高中数学高考改革心得-高中数学干货知乎
黄冈市高中数学选修2-3学生培训辅导学案集
一、排列、组合和二项式定理
m
n
⑴排列数公式:
A
n
=n(n-1)(n-2)…(n-m+
1)=
(n?m)!
(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列
A
n<
br>=n(n-1)(n-2)…
0
?1
; 3.2.1=n!,
A
n
m
A
n
m
A
m
n!
⑵组合数公式:<
br>C?
m
n
?
n?(n?1)???(n?m?1)
(m≤n)
,
C
0
?C
n
?1
;
nn
m?(m?1
)?(m?2)???3?2?1
12n
;C
n
m
?C
n<
br>m?1
?C
n
m
?1
;
C
n
?2C
n
???nC
n
?n?2
n?1
; ⑶组合数性质:
C
n
?C
n
mn?m
0n1n?11kn?kknn
a?
C
n
ab???C
n
ab???C
n
b(n?N
?
)
⑷二项式定理:
(a?b)
n
?C
n
rn?r
r
ab(r?0,1,2,...,n);
②注意二项式系数与系数的区别;
①通项:
T
r?1
?C
n
⑸二项式系数的性质:
mn?m
?C
n
①与首末两端等距离的二项式系数相等(
C
n
);
n
n?1
n
n?1
②若n为偶数,中间一项(第+1项)二项式系数
(
C
2
)最大;若n为奇数,中间两项(第+1和+1
n
2
2
2
n?1
2
n
n?1
2
n
项)二项式系
数(
C
,
C
)最大;
012n0213
?C
n<
br>?C
n
?????C
n
?2
n
;C
n
?C
n
?????C
n
?C
n
?????2
n?
1
;
③
C
n
(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和
时,注意运用代入法(取
x??1,0,1
)。
(7)二项式的应用
(1)求某些多项式系数的和; (2)证明一些简单的组合恒等式;
(3)证明整除性。①求数的末位;②数的整除性及求系数;③简单多项式的整除问题;
(4)近似计算。当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值:
①(1+x)
n
≈1+nx;②(1+x)
n
≈1+nx+
n(n?1)
2
x; (5)证明不等式。
2
二.
随机变量
1.随机变量的概念
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变
量。随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。
对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量。 注:随机变量ξ是关于试验结果的函数,即每一个试验结果对应着一个实数;随机变量ξ的线性组合η=aξ
+b(a、b
是常数)也是随机变量。
2.离散性随机变量的分布列:
一般地,设离散型随机变量
?
可能取得值为: X1,X2,…,X3,…,
?
取每一个值Xi(I=1,2,…)的概率为P(
?
?xi)?P
,则称表
?
P
X1
P1
X2
P2
…
…
xi
Pi
…
…
为随机变量
?
的概率分布,简称
?
的分布列。
两条基本性
质:①
p
i
?0(i?1,2,
…);②P
1
+P
2
+…=1。
3条件概率
3.1. 条件概率的定义
定义1.5 设A,B为两个事件,且P(B)>0,则称P(AB)P(B)为事件B已发生的条件
下事件A发生的条件
概率,记为P(A|B),即 P(A|B)=
P(AB)P(B)
定理1.1(乘法定理) 设P(A)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B|A)
易知,若P(B)>0,则有
P(AB)=P(B)P(A|B)
注:①0
?
P(B|A)
?
1
;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(
B)。
4.独立
相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的
概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件。
独立重复试验:若n次重复试验中,每次
试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的。
公式: (1
)两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A·B)=P(A)·P(B);<
br>
推广:若事件A
1
,A
2
,…,A
n
相互
独立,则P(A
1
·A
2
…A
n
)=P(A
1)·P(A
2
)·…·P(
n
)。
(2)如果在一次
试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率:
k
P
n
(k)=C
n
P
k
(1-P)
n-k
。
5.随机变量的均值和方差
(1)随机变量的均值:
E
?<
br>?x
1
p
1
?x
2
p
2
?
…;反映随机变量取值的平均水平。
2
(2)离散型随机变量的方差:
D
?
?(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)
2
p
2
?
…
?(x
n
?E
?
)p
n
?
…;反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度。 基本性质:
E(a
?
?b)?aE<
br>?
?b
;
D(a
?
?b)?aD
?
。
6.几种特殊的分布列
(1)两点分步
两点分布:对于一个随机试验,如果它的结
果只有两种情况,则我们可用随机变量
?
?
?
2
甲结果发生,
?
1
.
?
0 乙结果发生
,来描述
这个随机试验
的结果。如果甲结果发生的概率为P,则乙结果发生的概率必定为1-P,所以两点分布的分布列为:
?
1 0
P
均值为E
?
=p,方差为D
?
=p(1-p)。
P
1-p
(2)
超几何分布:
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其
中恰有X件次品,则
kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)?
,k?0,1,?m,m?min{M,n},
其中,
n?N,M?N
。
n
C
N
称分布列
X 0
1 … m
0n?01n?1mn?m
C
M
C<
br>N
C
M
C
N
C
M
C
N?M?M?M
P …
nnn
C
N
C
N
C
N
为超几何分布列,
称X服从超几何分布。
(3)二项分布
如果我们设在每次试验中成功的概率都为P,则在n
次重复试验中,试验成功的次数是一个随机变量,用ξ来表示,
kk
则ξ服从二项分布.则在n
次试验中恰好成功k次的概率为:
P
?
??k
?
?C
np
?
1?p
?
n?k
.
n
n
C
n
1?p
?
n
p
?
0
二项分布的分布列为:
ξ
P
0
n
1
n?1
…
…
k
C
k
1?p
?
n
p
?
n?k
…
…
0
1
C
0
1?p
?
C
1
1?p
?
n
p
?
n
p
?
kkn?k
记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数,则ε~B(n,p);其概率
P
n
(k)?C
n
pq(q?1?p,k?0,1,2,
…
。
,n)
。期望Eε=np,方差Dε=np(1-p)
7.正态分布
正态分布密度函数:
f(x)?
1
2
??<
br>e
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,均值为Eε=μ,方差为
D
?
?
?
2
。
正态曲线具有以下性质:
(1)曲线在
x
轴的上方,与
x
轴不相交。
(2)曲线关于直线
x
=μ对称。
(3)曲线在
x
=μ时位于最高点。
(4)
曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当x
<μ时,曲线上升;当
x
>μ时,曲线下降。并且当
曲线向左、右两边无限延伸时,以
x
轴为渐近线,
向它无限靠近。
(6)当
μ一定时,曲线的形状由σ确定。σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,
表示总体的分布越集中。
从理论上讲,服从正态分布的随机变量
?
的取值范围是R
,但实际上
?
取区间(μ-3σ,μ+3σ)外的数值的可能性
微乎其微,在实际问题
中常常认为它是不会发生的。因此,往往认为它的取值是个有限区间,即区间(μ-3σ,μ+3σ),
这即实用中的三倍标准差规则,也叫3σ规则。在企业管理中,经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过
程控
制。
注:P
(
?
?3
?
?X?
??3
?
)
=0.9974 (
3
?
原则)
1
n
1
n
?
?
?
?
?
bx
?
a
?
,其中
x?
?
x
i
,y?
?
y
i
,
b
8线性回归方程
y
n
i?1<
br>n
i?1
9独立性检验
?
xy
i
i?1
n
n
i
?nxy
?nx
2
?
x
?
?
y
?
b
,
a
?
x
i?1
2
i
2
?
所谓独立性检验,就是要把采集样本的数据,利用公式计算的值,
比较与临界值的大小关系,来判定事
件A与B是否无关的问题。
具体步骤:(1)采集样本数据。
n
?
n
11
n
22
?n
12
n
21
?
?
?
2
n
?n?n?n
?
1?2??1?2
(2)由计算的值。
2
2
22
?
?
(3)统计推断,当>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关;
当>6.635时,有99%的把握说事件A
2
?
与B有关;当≤3.841时,认为
事件A与B是无关的。
例.为了研究色盲与性别的关系,调查了1000人,调查结果如下表所示:
男 女
正常 442 514
色盲
38 6
根据上述数据试问色盲与性别是否是相互独立的?
分析:问题归结为二元总体的独立性检验问题。
解:由已知条件可得下表
男 女
合计
正常
色盲
合计
442
38
480
514
6
520
956
44
1000
1000
?
442?6?38?514
?
2
?
依据公式得=
956?44?480?520
=27.139。
2
由于2
7.139>6.635,所以有99%的把握认为色盲与性别是有关的,从而拒绝原假设,可以认为色盲与性别
不是
相互独立的。
2
?
评注:根据假设检验的思想,比较计算出的与临界值
的大小,选择接受假设还是拒绝假设。
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