高一数学同步辅导教材(第1讲)

高一数学同步辅导教材
（第1讲）


一、本讲教学进度
1.1—1.2 (P1--10)
二、本讲教学内容
1．集合
2．子集
3．全集和补集
三、重点、难点选讲
1．集合
（1）集合概念.
和几何中的点、线、面一 样，集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他基本概念来定义，它们
也叫做不定义的概念或原始概念 .课本通过几个具体例子对集合进行描述性的说明，这也表明集合概念和
其他数学概念一样，是从现实世 界中由具体事物抽象出来的，而不是数学家凭空臆造出来的.
（2）集合中元素的特性.
确 定性，对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，也就说，对于任何一个作为具体研究
对象的元 素，都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两种情况必有且只有一种为
真.因此， 诸如“高一（1）班个子高的同学”，“比较大的角”，就不能构成集合，因为“个子高”和“比
较大” 没有一个确定的标准.
互异性，对于给定集合中的任意两个元素，它们必定不相同，即集合中的元素是 没有重复现象的，
因此，一个元素在同一集合中只能出现一次.这个特性在解某些问题时非常重要. < br>无序性，由于集体是指一组对象的全体，而不论这些对象的先后顺序，因此在表示集合时，元素排
列的先后顺序不影响集合的表示.
（3）集合的表示法
表示一个集合常用下列两种方法：
列举法：把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号内表示集合的方法叫列举法.当元素个数较多，或集合有无限多个元素，在用列举法表集合时，可以采用省略号，但应很容易按常规看出该集合中
元素的规律.如：“小于100的正奇数”集合可以表示为{1，3，5，7，9，…，99}；“负整数”集 合可以
表示为{-1，-2，-3，-4，…}.
描述法：把集合中元素的公共属性描述出 来，用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
叫描述法.描述法中，竖线前面是这个集合的“ 代表元素”的一般形式，竖线后面是这个集合元素的公共
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1

属性.如：{x|x+3=3x-1}表示元素x是方程x+3=3x-1的 解，即x=2，亦即{x|x+3=3x-1}={x|x=2}={2}。所有
整数组成的集合可以写 成{整数}，而{所有整数}的写法就不要当了.
用描述法表示集合时要注意些“代表元素”是什么 .如：{
y|y?x?1,x?R
}和
{
(x,y)|y?x?1,x?R< br>}表示两个不同的集合，前一个集合就是{
y|y?1
}，后一个集合是抛物线
2
2
y?x
2
?1
上所有点组成的集合.
（4）符号“
?
”与“
?
”
表示“属于”的符 号“
?
”和表示“不属于”的符号“
?
”（或
?
）仅表示元 素与集合之间的关系，
而不是两个集合之间的关系.
由集合中元素的确定性，对于 任意元素
a
和集合M，在“
a?M
”和“
a?M
”这两种关 系中，
必有且仅有一种关系成立.
（5）集合按其中元素的多少，对只有有限个元素的集合叫 有限集，含有无限多个元素的集合叫无限集.
对于只有一个元素的集合有时也叫做单元集.
不含任何元素的集合叫做空集.用“
?
”表示，如：{
x|x?1?0,x?R
}是空集.但{
?
}不是空集，
它是以集合为元素的集合（这个元素是“
?
”），{0}也不是空集，它有一个元素“0”.
（6）常用的数集符号
以数为元素的集合叫数集.按约定，常用的数集符号有：N—自然数集（非负整数集）；Z—整数集；
2
N
?
或N
?
—正整数集；Q—有理数集；R—实数集.
例1 判断下列各条件所指对象能否构成集合：（1）2000年11月1日零时在江苏省内的所有中国人；（2）某校高一（3）班所有视力好的同学；（3）60的质因数；（4）某校高一年级字写得漂亮的同 学.
解（1）、（3）两个条件所指的对象具有确定性，因此（1）、（3）两个条件所指的对象可以构成集合.
（2）、（4）两个条件所指的对象无明确的标准，因此（2）、（4）两个条件所指的 对象不能构成集
合.
例2 用另一种表示法写出下列各集合：
（1）{3的正整数倍的数}；
（2）{1，6，11，16，21，26，…}.
解 （1）可用列举法表示为{3，6，9，12，15，…}；
（2）可用描述法表 示为{被5除余1时的正整数}，或表示为{
x|x?5n?1,n?N.
}
例3 已知集合{2，
x?1
,
2x?5x?5
}，求实数
x
应满 足的条件.
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2
2

解 由集合中元素的互异性，有

x?1?2,

x?3,

x?3,


2x?5x?5?2,
即
2x?5x?3?0,
得
x?1,且x?
22
3
,

2
2

2x?5x?5?x?1.

x?3x?3?0,

x?R.

2
∴应满足
x?3
，且
x?1
，且
x?
3
.
2
?
?
2、子集
?

?
?
（1）子集的定义
对于两个 集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，即若x
?A
,就必有
x< br>?B
,则称集合A是集合B的子集.
应注意，“集合B中的部分元素组成的 集合A叫集合B的子集”的说法是错误的，因为这和
“空集是任何集合的子集”的规定矛盾，也和“任何 一个集合是它本身的子集”的结论矛盾.
（2）符号“
?
”、“
?
”、“
?
”、“
?
”、“
?
”、“
?
”.
这几个符号仅适用于两 个集合之间的关系，而前面的符号“
?
”、“
?
”是用于
元素与集合之间的关系.规定“空集是任何集合的子集”后，任何一个集合是它本身
的子集，即
A?A
.并且可知“空集是任何非空集合的真子集”，但不能说“空集是任
．．．
何集合的真子集”，因为空集不是空集的真子集.
由子集和真子集的定义，容易证明集合的包含关系有传递性，即：若
A?B
，
B?C
，则
A?C
；若A
?
B，B
?
C，则A
?
C.
（3）集合的相等
若集合A和B，既满足
A?B
，又满足
A?B
，则这两个集合相等，即A=B.
因此要证明A=B，只要证明
A?B
，同时有
A?B
就可以了.
（4）韦恩图
如果两个集合A和B有关系A
?
B，可以用右图表示，这个图常称为韦恩图，
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