高中数学解题研究齐建民-着急考试高中数学怎么学
专题二 函数
（一）知识梳理：
1、函数与映射的概念
（1）对应法则
以下哪些图能表示A到B的映射？
A B
a d
e
b
c
(2 )
定义域（x的取值范围）
①
y?
A B
a
b
c
d
e
f
g
f(x)
，则
； ②
y?
2n
f(x)(n?N
*
)
则
；
g(x)
0
③
y?[f(x)]
，则
； ④如：
y?log
f(x)
g(x)
，则 ；
(3 ) 值域（f（x）的取值范围）
①
f(x)?ax?b(a?0)
，则 ；
②
f(x)?ax?bx?c
(a?0)
，则 ；
③
f(x)?
2
a
(a?0)
，则
；
x
x
④
f(x)?a
(a?0且a?1)
，则
；
⑤
f(x)?log
a
x
(a?0且a?1)
，则
；
（4）函数的三要素：__________，__________，____________。
相同函数的判断方法：①_______________；②___________
___ (两点必须同时具备)
（5）函数的表示法：_____________、_______
_______、______________
（6）分段函数
(7)
区间与集合的互换：
区间
(a，b)
(a，b]
集合 区间 集合
?
x|a?x?b
?
?
??,??
?
?
x|x?a
?
?
x|a?x?b
?
[a,??)
?
x|x?b
?
?
??,b
?
2、函数的性质
（1）奇偶性
①定义：对于定义域内任何一个x，满足：
_____________?函数f(x)为奇
函数;____________?函数f(x)为偶函数
②判别方法：
Ⅰ、定义法：
前提：判断定义域_____________________
Ⅱ、图像法：
奇函数图象关于_______对称；偶函数图象关于_______对称
(2)单调性
①
定义：区间D上任意两个值
x
1
,x
2
，若
x
1<
br>?x
2
时有_______________，称
f(x)
为D
上增函数，若___________________________________，称
f(
x)
为D上减函
数。区间D相应地叫做单调递增或递减区间。
②证明函数单调性的方法：
Ⅰ、定义法：
a.假设_________________________；
b.作差_________________________；
（一般
结果要分解为____________________________________________
___）
c.定号；
d.结论。
Ⅱ、导数法：
若
f(x)
在某个区间A内有导数，
____
____________________________，则
f(x)
在A内为增函数；
__________________________
______，则
f(x)
在A内为减函数。
Ⅲ、图象法：
（3）几个重要结论
①奇函数
y?(x)如果在原点处有定义?f(0)?0
②奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
（二）例题讲解：
考点1：函数的解析式
例1（b级）、下列函数可以表示同一函数的是 （ ）
2
2
f(x)?x,g(x)?x
A．
B．
f(x)?|x|,g(x)?(x)
1x?1
f(x)?x?x?1,g(x)?x(x?1)
Ｃ．
f(x)?
Ｄ．
,g(x)?
2
x?1
x?1
易错笔记：
例2（a级）、在国内投寄外埠挂号信，每封信不超过20克重付邮资5角，超过20 克
而
不超过40克重付邮资7角，超过40克而不超过60克重付邮资9角，设信的重量为x（0
y (角)
y (
角
) y
(
角
) y (
角
)
9
9 9
9
7 7 7
7
5
5 5 5
O
20 40 60 x (
重量
)
40 60
x (重量)
O 20 40 60 x
(
重量
)
O 20 40 60
x (
重量
)
O 20
(A) (B)
（C） （D）
易错笔记：
考点2：函数的定义域和值域
例3（a级）、函数
f(x)?
易错笔记：
例4（a级）、函数
y?x?2x?2,当x?R时
，值域为________；当
x?(0,3)
时，值域
为__________
2
1
9?x
2
的定义域为________.
易错笔记：
考点3：分段函数
?
x
2
,x?0
例5（a级）、已知
f(x)?
?
，则
f(0)?_____f[f(?1)]?_____
.
?
2,x?0
易错笔记：
例6（a级）、函数y=f(x)的图象如图所示，
则函数的关系式是 ；
1
?
2
易错笔记：
考点4：函数的奇偶性和单调性
例7（a级）、下列函数中为奇函数的是
( )
x?x
2?2
A．
f
(
x
)=
x
+
x
－1
B．
f
(
x
)=|
x
| C．
f
(
x
)=
x?x
D．
f
(
x
)=
5
2
32
易错笔记：
例8（a级）、下列函数中，在定义域内是增函数的是
（ ）
(A)
y
＝
x?x
(B)
y
＝
3
1
2
(C)
y
＝
x
(D)
y
＝lg
x
x
易错笔记：
例9（b级）、偶函数
y=f
(
x
),定义域为
R。
当<
br>x
<0时,
y=f
(
x
)是增函数,则（ ）
(A)
f
(0)<
f
(-1)
(–1)<
f
(0)
f
(-1)<
f
(2)
(2)<
f
(-1)
易错笔记：
例10（b级）、设函数
f(x)?a?
2
。
2<
br>x
?1
(Ⅰ)求证：无论
a为何实数，f(x)
总是增函数；
（Ⅱ）确定
a值，使f(x)
为奇函数；
（Ⅲ）当
f(x)
为奇函数时，求
f(x)
的值域。
易错笔记：
（三）练习巩固：
一、选择题：
1、
如图，正方形
ABCD
的顶点
A
（0，
22
），
B
（，0），顶点
C
，
D
位
22
A
D
C
于第一象限，直线
l
：
x
=
t
(0≤
t
≤
2
) 将正方形
ABCD
分成两部分，设
直线
l
左侧（阴影部分）的面积为
f
(
t
)，则函数
S
=
f
(
t
)的图
O
B
2
x
象
l
大致是
（ ）
1 1 1 1
2
t
2
t
2
t
2
t
O
O
O O
A B
C D
2、函数
y?x?1
的定义域是
( )
(A)(??,+?) (B)[?1,+?）
(C)[0,+?] (D)(?1,+?)
3、有四个幂函数 ：
①
f
(
x
) =
x
?1
； ②
f
(
x
) =
x
?2
； ③
f
(
x
) =
x
3
； ④
f
(
x
)
=
1
x
3
．
某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：
如果他给出的两个性质中，有一个正确，一个错误，则他研究的函数是 （ ）
⑴ 定义域是{
x
∣
x
∈
R
，且
x
≠0
}；⑵ 值域是{
y
∣
y
∈
R
，且
y
≠0
} ．
A、①
B、② C、③ D、④
4、下列函数在
(0,??)
上是减函数的是
（ ）
2
2
2
A、
y?2x?1
B、
y??
C、
y??x?2
D、
y??x?x?1
x
5、函数
y?x
的图象是
（ ）
?2
二、填空题
6、已知
f(x)?x?1
，则
f(2)?______
.
7、某厂从1998年起年产值平均每年比上一年增长12.4%，设该厂1998年的产值为
a, 则
该厂的年产值
y
与经过年数
x
的函数关系式为________.
8、已知函数
y=f
(
x
)的图象关于原点对称，且当
x<
br><0时，
f
(
x
)=2
x–
4，则当
x>0时，
f
(
x
)=
9、函数
f(x)?
10、函数
y??
x?2?3?x
的定义域为________.
2
的值域为________.
x
2
11、设函数
f(
x
)=(
m
－1)
x
+(
m
+1)
x
+3是偶函数，则m=________.
三、解答题
12、已知函数
f(x)?
2
?1 (x?(0,3])
x
（1）求证此函数为单调递减函数
（2）求出函数的最值。