高中数学必修四课本目录图片-十 高中数学学科的核心素养
两角和与差的正弦、余弦和正切公式辅导教案
学生姓名
授课教师
教学课题
性别
上课时间
年级 高一 学科
数学
课时:3课时
第( )次课
共( )次课
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
教学目标
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
能利用两角差的余弦公式导出两
角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、
余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
教学重点
与难点
一、作业检查
作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□
二、内容回顾
三、知识整理
1.公式
cos(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α-β)=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
sin(α+β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
tan(α-β)=tan(α-β)=
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=tan(α+β)=
1-tanαtanβ
2. asinα+bcosα=a
2
+b
2
sin(α+φ),其中cosφ=
所在象限由a、b的符号来确
3. 二倍角公式
sin2α=2sinαcosα;
cos2α=cos
2
α-sin2
α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α;
2tanα
tan2α=.
1-tan
2
α
4. 降幂公式
abb
,sinφ=,tanφ=
a
.φ的终边<
br>a
2
+b
2
a
2
+b
2
1
1-cos2α
sin
2
α=;
2
1+cos2α
;
2
sin2α
sinαcosα=
2
.
四、例题分析
cos
2
α=
一、给角求值问题
sin 47°-sin
17°cos 30°
(1)=( )
cos
17°
3113
A.-
2
B.-
2
C.
2
D.
2
(2)-sin 167°sin
223°+sin 257°sin 313°=________.
解决给角求值的问题有两种思路
:一种是非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数,一种是利
用诱导公式把角化整化小,然后观察角
的关系及式子特点,选择公式求值.在这两种思路中,公式
的正用逆用都要熟练.
二、给值求值问题
45
?
π
?
,π
??
已知sin
α=
5
,α∈
2
,cos
β=-
13
,β是第三象限角,求cos(α+β),tan(α+β)的值.
??
1.在给值求值问题中,
已知α,β的某一种弦的函数值,求α+β,α-β的余弦值,其基本思路是:
先看公式中的量,哪些是
已知的,哪些是待求的,再利用同角三角函数的基本关系式求出,但在求
未知量的过程中,要注意根据角
所在的象限确定符号.
2.解决给值求值问题的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差
异,角的变换是其
α+βα-βα+βα-β
中较为常见的.如α=(α+β)-β=β-(β
-α),α=
2
+
2
,β=
2
-
2
,2α
=(α+β)+(α
?
π
??
π
?
π
?
π
??
π
?
π
-β),2β=(α+β)-(α-β),
?<
br>4
+α
?
+
?
4
+β
?
=
2
+(α+β),
?
4
+α
?
+
?
4-β
?
=
2
+(α-β)等.
????????
三、给值求角问题
1212
?
π
??<
br>3π
?
,π
?
,α+β∈
?
2
,2π
?
,求角β的值. 已知cos(α-β)=-
13
,cos(α+β)=
13
,且α-β∈
?
2
????
2
解
答这类题目的步骤为:第一步,求角的某一个三角函数值;第二步,确定角所在的范围;第三步,
根据角
的范围写出所求的角.特别注意选取角的某一三角函数值时,应先缩小所求角的范围,最好
把角的范围缩
小在某一三角函数的单调区间内,进而选取三角函数求解.
四、三角函数式的化简与证明
化简下列各式:
(1)sin x-3cos x;
?
π
??<
br>π
??
2π
?
x+x-
(2)sin
?
3<
br>?
+2sin
?
3
?
-3cos
?
3
-x
?
;
??????
sin(2α+β)
(3)
sin
α
-2cos(α+β);
cos 10°
(4)(tan 10°-3)·.
sin 50°
1.三角函数式的化简或证明,主要从三方面寻
求思路:一是观察函数的特点,已知和所求中包含
什么函数,它们可以怎样联系;二是观察角的特点,它
们之间可经过何种形式联系起来;三是观察
结构特点,它们之间经过怎样的变形可达到统一.
2.同时,注意公式的变形应用:cos(α+β)+sin αsin β=cos αcos
β,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan
tan α+tan
β
β),tan α+tan β+tan αtan
βtan(α+β)=tan(α+β),tan αtan β=1-
等.
tan(α+β)
一、给角求值
求下列各式的值:
3
π
1-
tan
2
8
25π
(1)2cos
2
-1;(2);
12
π
tan
8
13
(3)
sin
10°
-
cos 10°
;(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
解答此类题目一方面要注意角的倍数关系,另一方面要注意函数名称的
转化方法,同角三角函数的
关系及诱导公式是常用方法.
二、给值化简求值问题
π
cos 2x
?
π
?
5
已知sin
?<
br>4
-x
?
=
13
,0<x<
4
,求的值.
??
?
π
?
cos
?
4
+x
?<
br>??
(
1)从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题途径:一是对题设条件变形,将
题设条
件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变形,将结论中的角、函数
名向题设条件
中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
(2)另外,注意几种诱导公式的应用,如:
?
π
???
π
??
①sin 2x=cos
?2
-2x
?
=cos
?
2
?
4
-x<
br>??
??????
?
π
??
π
?
=2cos
2
?
4
-x
?
-1=1-2sin
2<
br>?
4
-x
?
;
????
?
π
???
π
??
②cos 2x=si
n
?
2
-2x
?
=sin
?
2
?
4
-x
??
??????
?
π
??
π<
br>?
=2sin
?
4
-x
?
cos
?
4
-x
?
;
????
?
π
???
π
??
③cos 2x=si
n
?
2
+2x
?
=sin
?
2
?
4
+x
??
??????
4
?
π<
br>??
π
?
=2sin
?
4
+x
?
c
os
?
4
+x
?
.
????
五、对应训练
sin 7°+cos 15°sin 8°
1.求值:.
cos 7°-sin
15°sin 8°
β
?
ππ
3
?
π
?
1
?
πβ
??
2.若0<α<
2
,-
2
<β
<0,cos
?
4
+α
?
=
3
,cos
?
4
-
2
?
=
3
,则cos
?
α+
2
?
=( )
??????
33536
A.
3
B.-
3
C.
9
D.-
9
4311
3.已知α,β是锐角,且sin
α=
7
,cos(α+β)=-
14
,求sin β的值.
4.已知tan α=2,tan
β=3,且α,β都是锐角,求α+β的值.
5.化简下列各式:
(1)sin 70°sin
65°-sin 20°sin 25°;
(2)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x);
3+tan 15°
(3);
1-3tan 15°
(4)tan
23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°.
6.已知sin(2α+β)=5sin β,求证:2tan(α+β)=3tan α.
5
8.求下列各式的值:
(1)cos
2
15°-sin
2
15°;
π
5
(2)cos
12
cos
12
π.
13
9.求
sin 50°
+
cos 50°
的值.
?
π
?
3
10.已知cos
?
4
-x
?
=
5
,则sin 2x=( )
??
187716
A.
25
B.
25
C.-
25
D.-
25
sin
2α-cos
2
α
1
11.已知tan
α=-
3
,则=________.
1+cos 2α
六、本课小结
1. 已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为:
(1)
先化简所求式子;
6
(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);
(3)
将已知条件代入所求式子,化简求值.
2.
应用倍角公式,一是要选择合适的公式,二是要注意正用和逆用.
3. 降幂公式是解决含有cos<
br>2
x、sin
2
x式子的问题较常用的变形之一,它体现了逆用二倍角公式的解
题技巧.
七、课堂小测
1.sin 59°cos 89°-cos
59°sin 89°的值为( )
113
A.-
2
B.
2
C.-
2
D.-3
π
?
π
?
3
??
2.设α∈
?
0,
2
?
,若sin
α=
5
,则2cos
?
α+
4
?
=( )
????
7171
A. B. C.- D.-
5555
π
10
3.在△ABC中,A=
4
,cos
B=
10
,则sin C=( )
552525
A.-
5
B.
5
C.-
5
D.
5
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
1
π
4.已知tan α=
3
,tan(β-α)=-2,且
2
<β<π,则β=________.
π
?
1
?
5.
若α是锐角,且sin
?
α-
6
?
=
3
,则cos
α的值是________.
??
cosα-sinα
6.
已知α、β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=________.
cosα+sinα
π
?
7π
?
4
??
7. 已知cos
?<
br>α-
6
?
+sinα=
5
3,则sin
?
α
+
6
?
的值为________.
????
?
π
?
8.设sin2α=-sinα,α∈
?
,π
?
,则tan2α=
________.
?
2
?
π
?
2
2
?
9.已知sin2α=
3
,则cos
?
α+
?
=_
_______.
4
??
?
π
?
1
?
2
π
?
10. 已知sin
?
6
+α
?
=
3
,则cos
?
3
-2α
?
=________.
????
π
π
??
2
11
.已知函数f(x)=sinωx+3sinωxsin
?
ωx+
?
(ω>0
)的最小正周期为
2
.
2
??
(1)
写出函数f(x)的单调递增区间;
π
??
(2)
求函数f(x)在区间
?
0,
?
上的取值范围.
3
??
7
八、作业布置
1
1.
2
sin 15°cos 15°的值等于( )
1111
A.
4
B.
8
C.
16
D.
2
1
2.若tan
θ+
tan θ
=4,则sin 2θ=( )
1111
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
ππ
??
ππ
??
3.
?
cos
12
-sin
12
??
cos
12
+sin
12
?
的值为( )
????
3113
A.-
2
B.-
2
C.
2
D.
2
[来源:学科网]
5
?
π
?
4.已知α∈
?
2
,π
?
,sin
α=
5
,则tan 2α=________.
??
5.化简1+cos
2α+2sin
2
α=__________.
8
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