高中数学必修4知识点总结培训资料

必修4
第一章 三角函数
一、任意角和弧度制
1.任意角
（1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形叫
做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角
叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.
在坐标系内， 使角的顶点与原点重合，角的终边与x轴的正半轴重合，则角的终边在第几象
限，就说这个角是第几象限 角.
（2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合

S?{
?
（3）坐标轴上的角：
?
?k?360
0
?
?
,k?Z}

2.弧度制
（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
（2）计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是
?
?
l

r
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
1

注意：弧长公式:
l?
?
r
.
扇形面积公式:
S?
（3）换算:360°＝2π
180°＝π
11
lr?
?
r
2
.
22
1
o
=
1=(
0
?
?0.01745

180
180
?
)
o
?57.30
o

o
o
180
o
??180
m
?,??45
o
；②
?
形说明：①180＝π是所有换算的关键，如
30?
664 4
n
式的角当n＝2，3，4，6时都是特殊角.

二、任意角的三角函数
1.任意角三角函数的定义
（1）定义：设P (x , y)是角α终边上任意一点,
OP?r?0
,则有
sin??
（2）三角函数值的符号：
y
xy

cos??

tan??

rx
r

口诀：一全二正弦，三切四余弦.
2

注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值.
2.同角三角函数的基本关系
sin
2
α+cos
2
α=1
tan??
sin?
cos?

三、三角函数的诱导公式
1.诱导公式
sin(2k
?
?
?
)?sin
?
cos(2k
?
?
?
)?cos
?

ta n(2k
?
?
?
)?tan
?
sin(
?
2
?
?
)?cos
?

cos(
?
2?
?
)??sin
?
口诀2：函数名改变，符号看象限.
四、三角函数的图象与性质
1.正、余弦函数的图象
3

2.正、余弦函数的性质

（2）最值
①y=sin x：当
x?2k
?
?
当
x?2k
?
?
?
2
时，取得最大值1，
3
?
时，取得最小值
?
1.
2
②y=cos x：当x=2kπ时，取得最大值1，
当x=2kπ+π时，取得最小值
?
1.
（3）对称性
①y=sin x：对称轴：
x?k
?
?
?
2
，对称中心：(kπ , 0).
②y=cos x：对称轴：x = kπ，对称中心：
(k
?
3.正切函数的图象与性质
（1）图象
如右图.
（2）性质
4
?
?
2
,0)
.

定义域：
x?k
?
?
值域：R.
奇偶性：奇函数
?
2
.

周期性：最小正周期为π
单调性：在
( k
?
?
?
2
,k
?
?
?
2
)
上是增函数.
五、y=Asin(ωx + φ)图象与性质
1.图象
（1）图象变换

注：x值不需记忆，针对具体问题计算即可，但应注意五个值成等差数列.
2.性质
定义域：R 值域：
[?A,A]

周期：
T?
频率：
f?
2
?
?
振幅：A
1
?
. 相位：ωx+φ 初相：φ
?
T2
?
单调性：将ωx+φ当成一个整体，利用y=sin x的单调区间求出.

5

第二章 平面向量
一、平面向量基本概念
（1）既有大小又有方向的量叫做向量.
uuuruuur
（2）向量可以用有向线段表示．向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），
uuur
记作
AB
．长度为0的向量叫做零向量，记作0 .长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
（3）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.
规定：零向量与任一向量平行.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

2.减法
（1）与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作
?a．零向量的相反
向量仍是零向量．
（2）任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(- a)＝(- a)＋a＝0.
（3）定义：a-b＝a＋(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
uu uruuuruuur
（4）已知a，b，在平面内任取一点O，作
OA?a
，
OB?b
，则
BA?a?b
，即
a?b
可
以表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
3.数乘
（1）定义：我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记
6

作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
（2）运算律
设λ、μ为实数，那么
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ+μ)a＝λa+μa；
③λ(a＋b)=λa+λb．
（3）向量共线条件
a，b共线(a≠0)
?
有且只有一个实数λ，使b=λa.
a=xi+yj，
我们把有序数对(x , y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x , y).
（2）平面向量的坐标运算
①设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则有
a+b=(x
1
+x
2
, y
1
+y
2
)
a-b=(x
1
-x
2
, y
1
-y
2
)
λa=(λx
1
, λy
1
)
uuur
②设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)，则有
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
)
③向量共线的坐标表示
设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则有a，b共线
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
④中点公式
设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)，P为AB中点，则对任一点O，有
7

uuur
1
uuuruuur
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
?
OP?(OA? OB)?
?
,.

22
?
?
2
?
四、平面向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a，b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积（或内积）.
2.坐标表示：设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则
a·b＝x
1
x
2
+y
1
y
2
.
3.垂直条件：设a，b为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x2
?y
1
y
2
?0.


第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的三角函数
sin(α+β)＝sinα cosβ+cosα sinβ
sin(α-β)＝sinα cosβ-cosα sinβ
cos(α+β)＝cosα cosβ-sinα sinβ
cos(α-β)＝cosα cosβ+sinα sinβ
tan(
?
?
?
)?
ta n(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan< br>?

1?tan
?
tan
?
8

二、二倍角的三角函数
sin2α＝2sinα cosα cos2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α －1＝1－2sin
2
α
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?

补充公式：


9