高中数学开放题赏析

高中数学开放题赏析
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解 法灵活且具有一定的探索性,
这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模 型,操作设计型,
情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标 ,那
么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高
考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
题目1：< br>如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直
角三角形；②锐角三角形； ③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三
角形。请说出你认为正确的那些序号。
解 分三种情形
第一种情形 从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，
如图1。
设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，
∵ ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90
0
，
∴ AB，BC，AC的长分别为
在△ABC中，由余弦定理
a
2
?b
2
,b
2< br>?c
2
,c
2
?a
2

AB
2
?AC
2
?BC
2
cos∠BAC=
2AB?AC
=
A
a?b?a?c?(b?c)

2AB? AC
B
222222
a
b
c
a
2
=＞0
AB?AC



??1
C
∴ ∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角
∴ △ABC是锐角三形。②正确。当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。

第二种情形 如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=90
0

A
∵ AD⊥BD，AD⊥DC ，
∴ AD⊥面DBC
a
∴ BD是AB在平面DBC上的射影。
D
c
由三垂线定理知，BC⊥AB
b
∴ 第四个面△ABC是直角三角形。①正确。
A
B
C

??2
第三种情形 如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=90
0

a
D
b
c
B
??3
C

设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，
则AC
2
=a
2+c
2
，BC
2
=b
2
+c
2
，
∴ AB
2
=AC
2
+BC
2
=a
2< br>+b
2
+2c
2

在△ABD中，由余弦定理得
A D
2
?BD
2
?AB
2
a
2
?b
2
?(a
2
?b
2
?2c
2
)c
2
???
＜0 cos∠ADB=
2AD?BD2abab
∴ ∠ADB＞90
0
，△ABD是钝角三角形，③正确。
显然在第二种情形下，AB和 BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，
⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤ ⑥。
注 此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。
其中 第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。
（注 第三种情形的存在性可以这样来 验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，
然后过D作直线DC垂直于面ABD。以AB为直径作一 球，则D必在球的内部，设C是
直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在）。
题目2
：设{a
n
}是由正数组成的等比数列，S
n
是其前 n项和。
（I）证明：
lgS
n
?lgS
n?2
＜lgS
n+1
；
2
lg(S
n
?c)?lg(S
n? 2
?c)
?lg(S
n?1
?c)
成立？并证
2
（ II）假设存在常数C＞0，使得
明你的结论。（1995年全国高考题）
解：（I）证明略
?
得出S
n
·S
n+2
＜S
n+1
2
?
。
（II）假设存在常数c＞0，使得
lg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
?lg(S
n?1
?c)
则有
2
S
n
－c＞0 ①
S
n+1
－c＞0 ②
S
n+2
－c＞0 ③

(S
n
－c)(S
n+2
－c)=(S
n+ 1
－c)
2
④
由④得
(S
n
S
n+2
－S
n+1
2
= c (S
n
+S
n+2
－2S
n+1
) ⑤
由重要不等式及①②③④知
S
n
+S
n+2
－2S
n+1
=（S
n
―c）+（S
n+2
―c）―2（S
n+ 1
―c）
≥2
(S
n
?c)(S
n?2
?c)? 2(S
n?1
?c)?0

因为c＞0，故⑤式右端非负，即

S
n
S
n+2
－S
n+1
2
≥0。而由（I）的证明可知
S
n
S
n+2
－Sn+1
2
＜0，产生了矛盾。
故不存在常数，c＞0，
使
l g(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
?lg(S
n?1
?c)

2
评析 这是一个台阶试题，在求解第（II）小题时，必然要用 到第（I）题结论，也就
是说第（I）题经过证明之后的结论将在解答第（II）小题时作为条件使用， 而第（II）小
题中究竟中是否存在常数c＞0？最终要看假设存在之后，是否与第（I）小题矛盾。
题目3。
设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，前
n
项和为
S
n
，是否存在常数
c
，使数列
?
S
n
?c
?
也成等比数列 ？若存在，求出常数
c
；若不存在，请 说 明 理 由.
讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数
c
， 使数列
?
S
n
?c
?
成等比数列.

?
(S
n
?c)(S
n?2
?c )?(S
n?1
?c)
2

?S
n
?S
n?2
?S
2
n?1
?c(2S
n?1
?S< br>n
?S
n?2

(i) 当
q?1
时，
S
n
?na
1
代入上式得
a
1
n(n?2)?a
1
?
n?1
?
?ca< br>1
?
(a(n?1)?n?(n?2)
?
即
a
1
=0
2222
但
a
1
?0
, 于是不存在常数
c
，使
?
S
n
?c
?
成等比数列.
a(1?q
n
)
(ii) 当
q?1
时，
S
n
?
， 代 入 上 式 得
1? q
?a
1
q
n
ca
1
q
n
a1
22
.
(1?q)?(1?q),?c?
2
(1? q)q?1
(1?q)
2

综 上 可 知 , 存 在 常 数
c?
a
1
，使
?
S
n
?c< br>?
成等比数列.
q?1
等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比
q?1
的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !
条件探索性开放型 问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题
目。这类问题大致可分为：其一是条件未 知，需要探注；其二是条件不足，要求寻求充分
条件。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求 的一些条件，逐一列出，逐一推
导，从中找出满足结论的条件。
题目4
：某选择题已 知条件缺漏，原题为：已知α
=－
、β均为锐角，且sinα－sinβ
1
，
2
_______，则tg（α－β）的值为 （ ）
A、
7

3
B、
3
7
C、－
3
7
D、－
3
7
其中 为缺少部分，试根据所附答案为（C），推断并补足所缺的条件。
分析：根据所附答案知tg（α－β）=－
7
，
3
， 解得tg
?
?
?
2
?7
，或tg
1
2
?
?
?
2
??
1
7
由已知sinα －sinβ＝－
即
2cos
若
tg
?
?
?
2
2
sin
?
?
?
2
1
??
，
2
?
?
?
?7
，
则得
2cos
?
?
?
2
cos
?
?
?
2
，
??
1
27
，
即cosα+cosβ=－
1
27
此与α、β均为锐角矛盾。

若
tg
?
?
?
2
??< br>1
7
，
则得
2cos
?
?
?
2< br>cos
?
?
?
2
?
7

2
即cosα+cosβ=
7
，
2
1
在形式上了比较接近。
2
这一结果与另一已知条件sinα－ sinβ=－
故所缺失的条件可能为cosα+cosβ=
7
。
2
评析 此类题可模仿分析法的解题方法，将结果加入条件，逆推导出需要寻求的条件，但一般情况下答案不惟一。
方法探索性开放型问题
这是一类条件、结论都不明确的问题 ，使得解题方法是开放的，需要探索出合适的解
题方法，又需要进行严格的推理论证。
题目5
：已知f（θ）=sin
2
θ+sin
2
（θ+α）+sin
2
（θ+β），其中α、β适合0≤α
＜β≤π的常数，试问α、β取何值时，f（θ）的值 恒为定值。（日本御茶水女子大学入
学试题）
分析一：要使f（θ）的值不随θ的变化而变化 ，即函数f（θ）为常值函数，则可赋
予特殊的自变量值探求。
解一：令θ=0，
??
,
得
62
f（0）=sin
2
α+sin
2
β
?
?
?1
??
2
?
?
2
?
?
f
??
??sin
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
6
?
4
?
6
??
6?

?
?
?
f
??
?1?co
2
s
?
?co
2
s
?
2
??
依 题意可设f（0）=
f
?
?
?
??
?
??
?
?
（m为常数），则由f（0）+
f
??
=2m，解
?< br>=
f
??
=m，
?
6
??
2
??< br>2
?
得m=
3
。
2

再代 入f（0）=
f
?
解得
?
?
?
?
???
?
3
?
=
f
??
=
6
???
2
?
2
2
?
。
3
?
3
,
?
?
分析二 要使f（θ）的值不随θ 变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变
量的系数为零，这样就可以把问题转化。
解二：
f(
?
)?

=
31
?
?
cos2
?
?2cos(2
?
?
?< br>?
?
)cos(
?
?
?
)
?
22
31
?
?
cos2
?
?2cos2
?cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
) ?2sin2
?
sin(
?
?
?
)cos(
??
?
)
?

22
31
?
?
1 ?2cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)
?
cos2
?
?
?
sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)
?
sin2
?
22
=
∵ f（θ）恒为定值，即f（θ）的值与θ无关。
∴ 1+2cos（α+β）cos（α－β）=0
sin（α+β）cos（α－β）=0
∴ sin（α+β）=0
考虑到0≤α＜β≤π，有0＜α+β＜2π，
∴ α+β=π ①
∴ cos（α－β）=
1

2
∵ －π≤α－β＜0， ∴ α－β=－
①、②联立可得：
?
?

?
②
3
?
3
,
?
?
2
?
。
3
题目6
某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，< br>计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年
增加4万 元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额
为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为
合算？请说明你的理由.
讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.

（1）
y?50x?[12x?
2
x(x?1)
?4]?98

2
=
?2x?40x?98
.
（2）解不等式
?2x?40x?98
＞0,
得
10?51
＜x＜
10?51
.
∵ x∈N， ∴ 3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
2
y9898
??2x?40??40 ?(2x?）
≤40
?22?98?12

xxx
98
当且仅当
2x?
时，即x=7时，等号成立.
x
（3）(i) ∵
∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
22
(ii)
?
y=-2x+40x-98= -2（x-10） +102，
?
当x=10时，y
max
=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
题目
7 已 知函数
f
(
x
)=
-1
1
x?4
2
(
x
<-2)
(1)求
f
(
x
)的反函数< br>f
(
x
);
(2)设
a
1
=1,1
a
n?1
2
=-
f
(
a
n
)(
n
∈N),求
a
n
;
-1
(3)设S
n
=
a
1
+
a
2
+…+
a
n
,
b
n
=
S
n
+1
-
S
n
是否存在最小正整数
m
,使得对任意
n
∈N,有
b
n
<
立？若存在，求出
m
的值；若不存在说明理由.
讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.
(1)
y
=
22
m
成
25
1
x?4
2< br>,
∵
x
<-2，∴
x=
-
4?
1
,
2
y
1
(
x
>0).
x
2
即
y
=
f
(
x
)= -
4?
-1

(2) ∵
11
11
=4.
?
?4?
2
, ∴
2
2
a
n
a
n?1
a
n
a
n?1
∴{
1
}是公差为4的等差数列.
2
a
n
11< br>=
2
+4(
n
-1)=4
n
-3.
2
a
n
a
1
1
.
4n?3
2
∵
a
1
=1, ∴
∵
a
n
>0 , ∴
a
n
=
(3)
b
n
=
S
n
+1
-
S
n
=
a
n
+1
=
∵
1
m
25
, 由
b
n
<,得
m
>对于
n
∈N成立.
25
4n?14n?1
25
≤5 ,
4n?1
m
成立.
25
∴
m
>5,存在最小正数
m
=6,使得对任意
n
∈N有
b
n
<
为了 求
a
n
,我们先求
11
,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是
22
a
n
a
n
构造等差数列的一个典范.
题目
8已知数列
{a
n
}中,a
1
?1,且点P(a
n
,a
n?1
)(n?N)
在直线x-y+1=0上.
（1） 求数列{
a
n
}的通项公式；
（2）若函数
f(n)?
1 111
?????(n?N,且n?2),

n?a
1
n?a
2
n?a
3
n?a
n
求函数f(n)的最小值；
(3 )设
b
n
?
1
,S
n
表示数列{b
n}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得
a
n
S
1
?S
2
?S
3
?
?
?S
n?1
?(S
n
?1)?g(n)
对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,
写 出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.
（1）
?a
n
?a
n?1
?1?0

?a
1
?a
2
?1?0,
a2
?a
3
?1?0,

??

a
n?1
?a
n
?1?0,
以上各式相加,得a
1
?an
?n?1?0,




（2）
?
f(n)?
a
n
?a
1
?n?1?n.
111
? ???
,
n?1n?22n
11111
f(n?1)???????
,
n?2n?32n2n?12n?2
111111
?f(n?1)?f(n)???????0
.
2n?12n?2n?12n?22n?2n?1

?f(n)是单调递增的,









7
.

12
111
（3）
? b
n
??s
n
?1????
,
n2n
1
即ns
n
?(n?1)s
n?1
?s
n?1
?1,

?s
n
?s
n?1
?(n?2),
n
故f(n)的 最小值是f(2)?

?(n?1)s
n?1
?(n?2)s
n? 2
?s
n?2
?1
.

???????


2s
2
?s
1
?s
1
?1,?ns< br>n
?s
1
?s
1
?s
2
?
?
?s
n?1
?n?1,

?g(n)?n.

?s
1
?s
2
?
?
?s
n?1
?ns
n?n?(s
n
?1)?n(n?2),
故存在关于
n
的整式g(n)?n,
使等式对于一切不小2的自然数
n
恒成立.
事实上, 数列{
a
n
}是等差数列, 你知道吗？

题目
9 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——
红色出租车公司和蓝色出租车公司 ，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城
市出租车的85%和15%。据现场目击证人说， 事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别
能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认 定红色出租车具有较大的肇事
嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.


讲解 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

真
实
颜
色

蓝色（85%）
红色（15%）
合计
证人所说的颜色（正确率80%）
蓝色
680
30
710
红色
170
120
290
合计
850
150
1000 290
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为
120
?0.41
，而
它是蓝色的概率为
170
?0.59
. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租
290
车显然是不公平的.
本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的
独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.

题目
10 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡< br>场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：











（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出
产2万只鸡;
（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？
（2）哪一年的规模最大？为什么？


讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为< br>a
n
，平均每个养鸡场出产鸡
b
n
万只，
由图（B）可知,
a
1
=30，
a
6
?10,< br>且点
(n,a
n
)
在一直线上，
(n?1,2,3,4,5, 6),

从而
a
n
?34?4n,n?1,2,3,4,5,6;

由图（A）可知,
b
1
?1,b
6
?2,
且点
( n,b
n
)
在一直线上，
(n?1,2,3,4,5,6),

于是
b
n
?



n?4
,n?1,2,3,4,5,6;

5
6
，
a
2
b
2
?31.2
（万只）
a
2
?2 6(个),b
2
=
?1.2
（万只）
5
291
(n ?)
2
?31,当n?2时,(a
n
b
n
)
max
?a
2
b
2
?31.2
（万只），
544
第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
（2）由
a
n
b
n
??
第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.
有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映
了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.
题目11
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线
l:x??1
相切，点C在
l
上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－
3
的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在
性问题.
（1） 由曲线M是以点P为焦点，直线
l
为准线的抛物线，知曲线M的方程为
y
2< br>?4x
.
?
y??3(x?1),
（2）（i）由题意得，直线AB 的方程为
y??3(x?1),由
?
消
y
得
?
2
?
?
y?4x,
1
3x
2
?10x?3?0,解 出x
1
?,x
2
?3.

3
123
于是, A点和B点的坐标分别为A
(,
，
|AB|?x
1
?x
2< br>?2?
16
.

)
，B（3，
?23
）3
33
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|A C|=|AB|，
即有
16
?
(3?1)
2
?(y?2 3)
2
?()
2
①
?
3

?
?

1216
222
?
(?1)?(y?)?()
②
?
33
3
?
y
2
?4x

23

3
由①－②得
4
2
?(y?23)
2
?(
4
)
2
?(y?
23
)
2
,

33
解得y??

143
.

9
?23
(3，
?23
)

因为
y??
143
不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
9
故知直线
l
上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）设C（－1，
y
）使△ABC成钝角三角形，
y??3(x?1),
由
?
得y?23.

?
?< br>x??1,
即当点C的坐标是（－1，
23
）时，三点A，B，C共线，故y?23
.

|AC|
2
?(?1?
1
)
2
?(y?
23
)
2
?
28
?
4 3y
?y
2
，
3393

|BC|
2
?(3?1)
2
?(y?23)
2
?28?43y?y
2
，
16256

|AB|
2
?()
2
?
.
39
(i) 当
|BC|
2
?|AC|
2
?| AB|
2
，即
28?43y?y
2
?
28
?
43
y?y
2
?
256
，
939
2
即
y?3时,?CAB
为钝角.
9
(ii) 当
|AC|
2
?|BC|
2
?|AB|
2
，即
28
?
43
y?y
2
?28?43y?y
2
?
256
，
939
即
y??
10
3时?CBA
为钝角.
3
(iii)当
|AB|
2
?|AC|
2
?|BC|
2
，即
2562843y
???y
2
?28?43y?y
2
，
993
即
y
2
?
4
3y?
4
?0,(y?
2
)
2
?0
. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
33
3
故当△ABC为钝角三角形时， 点C的纵坐标y的取值范围是
y??
10323
或y?(y?23)
.
39
需要提及的是, 当△ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一
探讨.
题目12
已知
f(x)< br>是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的
a
，b∈R都满足
关系式
f(a?b)?af(b)?bf(a)
.
（1）求
f
（0），
f
（1）的值；
（2）判断
f(x)
的奇偶性，并证明你的结论；

f(2
?n
)
(n?N)
，求数列{u
n
}的前n项的和S
n
. （3）若
f(2)?2,u
n
?
n
讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.
（1）在
f(a?b)?af(b)?bf(a)
中,令
a?b?0,
得

f(0)?f(0?0)?0?f(0)?0?f(0)?0
.
在
f(a?b)?af(b)?bf(a)
中,令
a?b?1,
得

f(1)?f(1?1)?1?f(1)?1?f(1)
，有
f(1)?0
.
（2）
f(x)
是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上

?
f(1)?f[(?1)
2
]??f(?1)?f(?1)?0,


?f(?1)?0,


f(?x)?f(?1?x)??f(x)?xf(?1)??f(x),

故
f(x)
为奇函数.
（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想.
由
f(a
2
)?af(a)?af(a)?2af(a),


f(a
3
)?a
2
f(a)?af(a
2
)?3a
2
f(a)
,
………………………………
猜测
f(a
n
)?na
n?1
f(a)
.
于是我们很易想到用数学归纳法证明.
1° 当n=1时，
f(a
1
)?1?a
0
?f(a)
，公式成立；
2°假设当 n=
k
时，
f(a
k
)?ka
k?1
f(a)成立，那么当n=
k
+1时，
f(a
k?1
)?a
k
f(a)?af(a
k
)?a
k
f(a)?ka
k
f(a)?(k?1)a
k
f(a)
，公式仍然成立.
综上可知 ，对任意
n?N,f(a
n
)?na
n?1
f(a)
成立.
?n
从而
u
n
?
f(2)
?(
1
)
n?1
?f(
1
)
.
n22
111

?
f(2)?2,f(1)?f(2?)?2f()?f(2)?0,

222

11
n?1
111
?
f()??f(2)??
，
u
n
?(?)?()(n?N),
.
22
242
11
?[1?()
n
]
1
2
故
S
n
?
2
?()
n
?1(n?N).

1
2
1?
2

题目13
若a
1
?0
、
a
1
?1
，
a
n
?1
?
(1)求证：
a
n
?1
?a
n；
(2)令
a
1
?
a
n
；
2
a
n
(n?1,2,?，)

1?
a
n
1
，写出
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
的值，观察并归纳出这个数列的通项公式
2
(3)证明：存在不等于零的常数p，使
{
a
n
?p
}
是等 比数列，并求出公比q的值.
a
n
2
a
n
?
a
n
, 解得
a
n
?0，1.

1?
a
n
讲解 (1)采用反证法. 若
a
n
?1
?a
n
，即
从而
a
n
?a
n
?1
????
a
2
? a
1
?
0
,
1
与题设
a
1
?0< br>,
a
1
?1
相矛盾，
故
a
n
?1
?a
n
成立.
(2)
a
1
?
124816
、
a
2
?
、
a
3
?
、
a
4
?
、
a
5
?
,
235917
2
n
?1

a
n
?
n
?1
.
2?1
a
?< br>p(
2?
p)a
n
?
pa
?
pa
?
p
??
n
?q
, （3）因为
n
?1
又
n
?1
a
n
?1
2
a
n
a
n
?1
a
n
所以
(2?p?2q)a
n
?p(1 ?2q)?0
,
因为上式是关于变量
a
n
的恒等式，故可解得
q?

1
、
p??1
.
2
我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?
22
题目
14如图，已知圆A、圆B的方程分别是
?
x?2
??y?
251
2
,
?
x?2
?
?y
2
?,
44

动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：< br>x?a
?
a?
（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当
a?
离的 比为定值；
?
?
1
?
?
．
2
?
1
时，点P到点B的距离与到定直线l距
2
（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求
PQ
的最小值；
（3）如果存在某一位置 ，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足
PC?QC,
求a
的取值范围．
讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋

51
，｜PB| = r + ，
22
∴ |PA| －｜PB| = 2．
∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点， 焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，
y
2
11
?1
（x ≥1）其方程为
x?
．若
a?
, 则l的方程
x?
为双曲线的右准线, ∴
22
3
2
点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.
(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双
曲线方程, 得
?
3?k
?
x
22
?4 k
2
x?4k
2
?3?0

?< br>?
??0
?
4k
2
?
2
k
由
?
x
1
?x
2
??
， 解得＞３．
? 0
2
3?k
?
?
4k
2
?3
?0
?
x
1
x
2
??
2
3?k
?
6( k
2
?1)24
?6??6
． ∴ ｜PQ｜＝
1?k|x1
?x
2
|?
22
k?3k?3
2
当直线的斜 率存在时，
x
1
?x
2
?2
，得
y
1?3,y
2
??3
，｜PQ|＝６．
∴ ｜PQ|的最小值为６．
（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.
∴ R到直线l的距离｜RC|＝
|PQ|
?x
R
?a
①
2
2
y
2
?1
上， 又 ∵ 点P、Q都在双曲线
x?
3
∴
|PB||QB|
??2
．
11
x
P
?x
Q
?
22
∴
|PB|?|QB|
?2
，即
|PQ|?4x
R
?2
．
x
P
?x
Q
?1
∴
x
R
?
|PQ|?2
②
4
将②代入①得
|PQ||PQ|?2
??a
，｜PQ｜＝２－４a≥6．
24
故有ａ≤－１．
“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问
题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐
的提升.