高二数学辅导教案：抛物线(导学案)

抛物线（导学案）辅导教案

学生姓名
授课教师
科组长签名
教学课题


性别
上课时间
教学主任签名
抛物线（导学案）
年级 高二 学科 数学
课时：3课时

第（ ）次课
共（ ）次课
教学目标
掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.

教学重点
与难点
理解数形结合的思想．

一、知识点讲解
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)距离______的点的轨 迹叫做抛物线．点F叫做抛物
线的__________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方
程
y
2
＝2px
(p>0)
y
2
＝－2px
(p>0)
x
2
＝2py
(p>0)
x
2
＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形

顶点
对称轴
焦点
离心率
准线方
程
范围
O(0,0)
y＝0
p
F(
2
，0)
e＝1
p
x＝－
2

x≥0，
p
x＝
2

x≤0，
1



x＝0
p
F(－
2
，0)
p
F(0，
2
)
p
F(0，－
2
)
p
y＝－
2

y≥0，
p
y＝
2

y≤0，

y∈R
开口方
向
二、重点题型讲解
探究点一 抛物线的定义及应用
向右
y∈R
向左
x∈R
向上
x∈R
向下
例1 已
知抛物线y
2
＝2x的焦点是F， 点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，
并求出取最小值时P点 的坐标．









变式迁移1 已知点P在抛物线y
2
＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与 点P到抛物线
焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
?
1
?
A.
?
4
，－1
?

??
C．(1,2)





?
1
?
B.
?
4
，1
?

??
D．(1，－2)
探究点二 求抛物线的标准方程
2

< br>例2已知
抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5， 求m的
值、抛物线方程和准线方程．








变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点 F是双曲线16x
2
－9y
2
＝144的左顶点；
(2)过点P(2，－4)．








探究点三 抛物线的几何性质
3

< br>例3
抛物线y
2
＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示 ．
过

(1)若A，B的纵坐标分别为y
1
，y
2，求证：y
1
y
2
＝－p
2
；
(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．










4

变式迁移3 已知AB是抛物线y
2
＝2px (p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，
y
2
)．求证：
p
2
(1)x
1
x
2
＝
4
；
11
(2)
|AF|
＋
|BF|
为定值．










三、易错题型
分类讨论思想的应用
例
5
过

抛物线y
2
＝2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准 线的垂线，垂足为
→→
D，设O为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO＝λOD？












【突破思维障碍】
由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在 和不存在讨论，由直线方程和抛物线方
→
和OD
→
的坐标，判断λ是否存在． 程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出AO
【易错点剖析】
解答本题易漏掉讨论直线 AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程
认识不足．
四、课堂小测
一、选择题
1．已知抛物线C：y
2
＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4 与C交于A，B两点，则cos∠AFB
等于( )
4
A.
5




3
B.
5

4
D．－
5

3
C．－
5

2．将两个顶点在抛物线y
2
＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形 个数记为n，
则( )
A．n＝0
C．n＝2




B．n＝1
D．n≥3
3．已知抛物线y
2
＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
6

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
4．已知点A(－2,1)，y
2
＝－4x的焦点是F，P是y
2
＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小
值，则P点的坐标是( )
?
1
?
A.
?
－< br>4
，1
?

??


B．(－2,22)
?
1
?
C.
?
－
4
，－1
?

??
D．(－2，－22)
→
·
→
＝－4，则点5．设O为坐标原点，F为抛物线y
2
＝4x的焦点，A为抛物线上 一点，若OAAF
A的坐标为( )
A．(2，±2)
C．(1,2)

二、填空题
6．设圆C位于抛物线y
2
＝2x与直线x＝3所围 成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径
能取到的最大值为________．
7．已知 A、B是抛物线x
2
＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|＝____ ____.
8．设抛物线y
2
＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若 线段FA的中点B在抛物线上，则B
到该抛物线准线的距离为________．
三、解答题
9．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线
方程．










10．已知抛物线C：x
2
＝是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)， 分别以A、B为切点作
轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.
7


B．(1，±2)
D．(2，2)

11．已知定点F(0,1)和直线l
1
：y＝－1，过定点F 与直线l
1
相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
→
·
→
的最小值． (2)过点F的直线l
2
交轨迹C于两 点P、Q，交直线l
1
于点R，求RPRQ
















五、课后作业
1．抛物线y
2
＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
8

x
2
y
2
2．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆
6
＋
2
＝1的右焦点重合，则p的值为( )
2
A．－2 B．2 C．－4 D．4
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y
2
＝－8x
C．y
2
＝－4x


B．y
2
＝8x
D．y
2
＝4x
4．已知抛物线y
2
＝2px (p>0)的焦点为F，点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，P
3
(x
3
，y
3
)在抛物线上，
且 2x
2
＝x
1
＋x
3
，则有( )
A．|FP
1
|＋|FP
2
|＝|FP
3
| B．|FP
1
|
2
＋|FP
2
|
2
＝ |FP
3
|
2

C．2|FP
2
|＝|FP
1
|＋|FP
3
| < br>D．|FP
2
|
2
＝|FP
1
|·|FP
3
|
5．已知抛物线方程为y
2
＝2px (p>0)，过该抛物线焦点F且 不与x轴垂直的直线AB交抛物
线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线， 分别交准线于M、N
两点，那么∠MFN必是( )
A．锐角
C．钝角

















9




B．直角
D．以上皆有可能

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