2020年五套高中数学联赛培训题

高中数学联赛培训题（一）
姓名： 成绩：
一、选择题（每小题6分）：
1．若
A?{
两边之和小于第三边的三角形
}
，
B?{
三边之比为
1:2:3
的三角形
}
，
则关系式
?
?(A?B)
，
(A?B)?(A?B)
，
A?B
中成立的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2．方程
3cos
x
?1 0
x
?10
?x
?1
的实数解有（ ）
2
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3．
a,b
是异面直线，直线c
与
a
所成的角等于
c
与
b
所成的角，这样的 直线
c
（ ）
A.有一条 B.有两条 C.不存在 D.有无数条 < br>4．等腰三角形的周长为
a
，一腰的中线将周长分成
5:3
，则三角形 的底边长为（ ）
3
aaaa4
B. C.或 D
a
或
a

5
62625
5．若
a,b< br>均为正整数，则恰过
(a,0)
、
(0,b)
和
(1,3)< br>，这三点的直线共有（ ）
A.
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条
6．若
a?log
?
(arccos
33
2
)
、
b?arccos(log
?
)
，则
)
、
c?arccos(log
?
22
3
a,b,c
的大小 关系是（ ）
A.
b?a?c
B.
a?b?c
C.
c?a?b
D.
b?c?a


二、填空题（每小题9分）：
7．直线
xcsc20??ysec110??1
，对
x
轴的倾角是 。
x
8．设
a?1,m?p?0
，若方程
x?log
a< br>x?m
的解是
P
，则方程
x?a?m
的解
22
是 。
9．
1?2?3?4???1993?1994 ?1995
被
3
除所得的余数是 。
10.函数
f (x),g(x)
的定义域为
R
，且
f(x)?0
的解集为
{x1?x?2}
，
g(x)?0
的
解集为
?
，则不等式< br>3333333
f(x)
?0
的解集为 。
g(x)
1

z
2
z
11．设复数< br>z?a?bi
(a,b?R,b?0)
，和都是实数，则
z?
。
1?z
1?z
2
12．已知
?
,
?
,
?
?
?
0,2
?
?
且互不相等，
2cos
?
(1?cos
?
)?3sin
?
(1?sin
?
)
?
2?

cos
?
(1?cos
?)?3sin
?
(1?sin
?
)?2cos
?
(1? cos
?
)?3sin
?
(1?sin
?
)?0
, 则
ctg
?
?
?
?
?
2
的值为 。

三、解答题（每小题20分）：
13．若
a,b,c,d?0
，证明：在方程
1
2
x
2
?2a?b?x?cd?0
，< br>1
2
x
2
?

2b?c?x?da?0
，< br>1
2
x
2
?2c?d?x?ab?0
，
1
2
x
2
?2d?a?x

?bc?0
中，至少有两个方程有不相等的实数根。
2

14．已知二次函数
f(x)?ax?bx?1
(a,b?R,a?0)
，设方程f(x)?x
的两个实
数根为
x
1
和
x
2。（1）如果
x
1
?2?x
2
?4
，设函数
f (x)
的对称轴为
x?x
0
，求证：
2
x
0
??1
；（2）如果
x
1
?2
，
x
1
? x
2
?2
，求
b
的取值范围。
3