【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集(含答案)

得x
1
－x
2
<0.
于是f(x
1
)－f(x
2
)<0，即f(x
1
)2
)．
1
所以f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
x
B级 能力提升
1．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取
值范围是( )
A．(－∞，1]
C．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
D．[1，＋∞)
解析：由题意知－a≥－1，解得a≤1，故选A.
答案：A
ax＋1
2．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值
x＋a< br>范围是________．
ax＋1a
2
－1
解析：f(x)＝＝a－，
x＋ax－（－a）
?
a
2
－1>0，
若f(x)在(－2，＋∞)为增函数，则
?

?
－a≤－2，
解得a≥2.
答案：[2，＋∞)
3．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，
＋∞)，都有f(x＋ y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.

解：(1)因为f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
所以f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
因为f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
?
m－2≥2，
所以
?
解得m≥4.
?
m－2>0，
所以不等式的解集为{m|m≥4}．

第一章 集合号函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值

A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝
1
在区间[4，5]上的最小值为( )
x－3
1
A．2 B.
2
1
C.
3
1
D．－
2

解析：作出图象可知y＝
1
所以其最小值为＝.
5－3
2
答案：B
1
1
x－3
在区间[4，5] 上是减函数，(图略)
?
?
2x＋4，1≤x≤2，
2．函数f(x)＝?
则f(x)的最大值、最小值分别
?
?
x＋5，－1≤x<1，
为( )
A．8，4 B．8，6
C．6，4 D．以上都不对
解析： f(x)在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f(2)＝8，最小
值为f(－1)＝4.
答案：A
3．函数f(x)＝
5
A.
4
4
C.
3
1
的最大值是( )
1－x（1－x）
4
B.
5
3
D.
4
2
?
1
?
2
33
解析：因为1－x(1－x)＝x－x＋1 ＝
?
x－
2
?
＋≥，所以
44
??
44< br>≤，得f(x)的最大值为.
3
1－x（1－x）
3
答案：C
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则
实数a的值是( )
A．2 B．－2
1

C．2或－2 D．0
解析 ：a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，
a＋1－(2a＋1)＝2， 所以a＝－2，所以，a＝±2.
答案：C
5．已知f(x)＝x
2
－2 x＋3在区间[0，t]上有最大值3，最小值2，
则t的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
C．(－∞，2]
B．[0，2]
D．[1，2]
解析：因为f(0)＝3，f(1)＝2，函数f(x)图象的对称轴为x＝ 1，
结合图象可得1≤t≤2.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x) ＝x
2
－4x＋2，x∈[－4，4]的最小值是________，最
大值是___ _____．
解析：f(x)＝(x－2)
2
－2，作出其在[－4，4]上的图象 知f(x)
min
＝
f(2)＝－2；f(x)
max
＝f(－4) ＝34.

答案：－2 34
7．函数y＝
2
的值域是________．
|x|＋1
解析：观 察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x

＝0时，y的最大值为2， 即0答案：(0，2]
8．函数g(x)＝2x－x＋1的值域为________．
解析：令
2
x＋1＝t，则x＝t
2
－1(t≥0)，所以g(x)＝f(t)＝2(t
2
－
?
1
?
2
171
1)－t＝2t－t－2＝2
?
t－
4
?
－，因为t≥0，所以当t＝时，f(t)取得
84??
?
17
?
17
最小值－，所以g(x)的值域为
?
－
8
，＋∞
?
.
8
??
?
17
?
??

－，＋∞
答案：
?
8
?
三、解答题
2
9．已知函数f(x)＝.
x－1
(1)证明：函数在区间(1，＋∞)上为减函数；
(2)求函数在区间[2，4]上的最值．
(1)证明：任取x
1
，x2
∈(1，＋∞)，且x
1
2
，则f(x
1
)－f(x
2
)＝
2（x
2
－x
1
）
2
x
1
－1
－＝.
x
2
－1（x
1
－1）（x
2
－1）
由于11
2
，则x
2
－x
1
>0，x
1
－1>0，x
2
－1 >0，
则f(x
1
)－f(x
2
)>0，即f(x
1)>f(x
2
)，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数．
(2)解：由(1)可知，f(x)在区间[2，4]上递减，则f(2)最大，为2，
2
f (4)最小，为.
3
2

10．已知函数f(x)＝x
2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最
小值．
解：f(x)＝x
2
－2ax＋2＝(x－a)
2
＋2－a
2
的图象开口向上，且对 称
轴为直线x＝a.

图① 图② 图③
当a≥1时，函 数图象如图①所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是
减函数，最小值为f(1)＝3－2a； < br>当－1上是先减后增，最小 值为f(a)＝2－a
2
；
当a≤－1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区 间[－1，1]
上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.
综上，当a≥1时，f(x)
min
＝3－2a；
当－1min
＝2－a
2
；
当a≤－1时，f(x)
min
＝3＋2a.
B级 能力提升
1 ．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x
2
－2x，构造函数F(x)，定义
如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)么F(x)( )
A．有最大值3，最小值－1

B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－27，无最小值
D．无最大值，也无最小值
解析：画图得到F(x)的图象：射线AC、抛物线AB及射线B D
?
y＝2x＋3，
三段，联立方程组
?

2
?
y＝x－2x，

得x
A
＝2－7，代入得F (x)的最大值为7－27，由图可得F(x)
无最小值，从而选C.
答案：C
2 ．函数y＝－x
2
＋6x＋9在区间[a，b](a值－ 7，则a＝________，b＝__________．
解析：y＝－(x－3)
2＋18，因为a上单调递增，即－b
2
＋ 6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不合题意，舍去)－a
2
＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．
答案：－2 0
13
3．已知函数f(x)＝ax－，且f(－2)＝－.
x
2
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并加以证明；

?
1
?
?
(3)求函数f(x)在
2
，2
?
上的最大 值和最小值．
??
3
解：(1)因为f(－2)＝－，
2
13
所以－2a＋＝－，
22
1
所以a＝1，所以f(x)＝x－.
x
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明：任取x
1
， x
2
∈(0，＋∞)，且x
1
2
，
11则f(x
1
)－f(x
2
)＝x
1
－－x
2< br>＋
x
x
1
x
1
－x
2
＝x
1
－x
2
＋
x
1
x
2
?
1< br>?
＝(x
1
－x
2
)
?
1＋
xx< br>?

?
12
?
（x
1
－x
2
）（x
1
x
2
＋1）
＝，
x
1
x
2
因为01
2
，
所以x
1
－x
2
<0，x
1
x
2
>0，x
1
x
2
＋1>0，
所以f(x
1
)－f (x
2
)<0，即f(x
1
)2
)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
?
1
?
所 以f(x)在
?
2
，2
?
上是增函数，
??

3
所以f(x)
max
＝f(2)＝，
2
?
1
?
3
??
f(x)
min
＝f< br>2
＝－.
2
??

第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性

A级 基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)＝x
2
＋x( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数
f(x)是非奇非偶函数．
答案：C
2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝x
3

C．y＝－x
2
＋1
B．y＝|x|＋1
D．y＝2x＋1
解析：四个选项中的函数的定义域都是R. 对于选项A，y＝x
3
是

奇函数；对于选项B，y＝|x|＋1是偶函 数，且在(0，＋∞)上是增函
数；对于选项C，y＝－x
2
＋1是偶函数，但是它在 (0，＋∞)上是减
函数；对于选项D，y＝2x＋1是非奇非偶函数．故选B.
答案：B
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数．
答案：B
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结
论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：由f (x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数，可
得g(－x)＝－g(x)，故 |g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数．
答案：A
x
5．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
（2x＋1）（x－a）
1
A.
2
3
C.
4
2
B.
3
D．1
?
1
?
?
解析：函数f(x)的定义域为
x|x≠
2
，且x≠a
?
.
??

1
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，所以a＝.
2
答案：A
二、填空题
6.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象 如图，则函数f(x)的增区
间为______________．

解析：偶函数 的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－
1，0]∪[1，＋∞)．
答案：[－1，0]∪[1，＋∞)
7．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x>0 时，f(x)＝x－x
2
，
则f(－2)＝________．
解析：因为当x>0时，f(x)＝x－x
2
，
所以f(2)＝2－2
2
＝－2，又f(x)是奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝2.
答案：2
8．已知奇函数f(x)在区间[3 ，6]上是增函数，且在区间[3，6]上
的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值 为________．
解析：由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，
因为f(x)是奇函数，所以f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9.
答案：9
三、解答题

9．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈( 0，＋∞)时，f(x)＝x
2
＋x
－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式 ．
解：设x<0，则－x >0.
所以f(－x)＝(－x)
2
＋(－x)－1.
所以f(－x)＝x
2
－x－1.
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以f(x)＝x
2
－x－1.
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x
2
－x－1.
2
10．已知函数f(x)＝1－.
x
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
2
解：(1)由已知g(x)＝f(x)－a得：g(x)＝1－a－，
x
因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即
?
2
?
?
1－a－＝－
1－a－
x
?
，解得a＝1.
??
（－x）
2
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数，下面证明： < br>设01
2
，且x
1
，x
2
∈(0，＋∞)，
2
?
2（x
1
－x
2
）
2
?
则f(x
1
)－f(x
2
)＝1－－
?1－
x
?
＝.
x
1
?
xx
?
2
12
因为01
2
，所以x
1
－x
2
<0，x
1
x
2
>0，

2 （x
1
－x
2
）
从而<0，即f(x
1
)2
)．
x
1
x
2
所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
B级 能力提升
1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是 减
函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A．a≤－2
C．a≤－2或a≥2
B．a≥2
D．－2≤a≤2
解析：由已知 ，函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a<0，
由f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a ≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a
≤2.综上知－2≤a≤2.
答案：D
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增
f （x）
函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为______________________．
x
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上
是增函数，所 以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，所以f(3)＝f(－3)
＝0.当x>0时，f(x)< 0，解得x>3；当x<0时，f(x)>0，解得－3故－33.
答案：{x|－33}
3．已知函数y＝f(x)(x≠0)对于任意的x， y∈R且x，y≠0都满
足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；

(2)判断函数y＝f(x)(x≠0)的奇偶性．
解：(1)因为对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝1，得到f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0，
令x＝y＝－1，得到f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝0.
(2)由题意可知，函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称，
令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
因为f(－1)＝0，
所以f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)(x≠0)为偶函数．


第一章章末复习课

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒]
1．正确认识集合与元素的概念
(1)解决集合问题的前提条件：认清 集合中元素的属性(是点集、
数集或是其他类型的集合)．
(2)正确区分两种关系：元素与集合之间的从属关系，以及集合
与集合之间的包含关系．
2．处理集合问题的三个易错点
(1)在写集合的子集或进行集合的运算时，易忽视集合是空 集的
情形，如A?B(B≠?)中，要对A＝?和A≠?进行分类讨论．
(2)运用数轴表示集合时，易忽视端点是否属于集合的情形，即
表示为实心点还是空心点．
(3)在解决含参数的集合问题时，易忽视检验而不满足元素的互
异性致误．
3．关注换元法中“新元”的范围
在用换元法求函数解析式或求函数值域时，要注意“新元”的范

围，“新元” 的范围一般是由被替换的表达式的范围所确定．
4．函数单调性定义应用中的两个易错点
( 1)忽视x
1
与x
2
是所给区间I上的任意两个值，而用该区间上的
两个特殊值代替．
(2)易出现循环论证的错误，即用所要证明的结论作为论证该问
题的依据．
5．判断函数奇偶性时的注意点
一般不化简解析式，若要化简，应注意化简前后的等价性.

(对应学生用书P39)
专题一 集合间的关系与运算
集合的运算是指 集合间的交、并、补集三种常见的运算，具体数
集的运算一般采用数轴法，而抽象集合的运算采用Ven n图法．在解
含参数的集合问题时，一般要对参数进行讨论，分类时一定要标准统
一，做到“不 重不漏”．
[例1] (1)(2016·天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2 x
－1，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1，3} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3}
(2)已知集合M＝{x|－1的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
C．(－∞，2)
B．[2，＋∞)
D．[－1，＋∞)
解析：( 1)因为A＝{1，2，3}，所以B＝{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，
3，5}，所以A∩B ＝{1，3}．

(2)因为M?N，所以2≤a，即a≥2，所以实数a的取值范围是
[2，＋∞)．
答案：(1)A (2)B
归纳升华
1．集合是由元素构成的，从研究集合中元素的构成入手，是求
解结合运算问题的前提． 2．用不等式表示的集合问题，常用数轴的直观性求解，特别要
注意不等式边界值的取舍，含参数时 要注意对集合是否为空集进行讨
论．
[变式训练] (1)(2016·浙江卷改编)已知集 合P＝{x∈R|1≤x≤3}，
Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，则P∪(?RQ)＝( )
A．[2，3]
C．[1，2)
B．(－2，3]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
(2)如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分
表示的是( )

A．(?
U
B)∪A
C．(?
U
A)∩B
B．A∩(?
U
B)
D．A∩B
解析：(1)因为Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，
所以?RQ＝{x∈R|x
2
<4}＝{x|－2因为P＝{x∈R|1≤x≤3}，

所以PU(?RQ)＝{x|－2(2)阴影中的任意元素x满足x∈A但x?B，
故x∈A∩(?
U
B)．
答案：(1)C (2)B
专题二 函数的概念
函数的概念是建立在两个非空数 集上的，定义域、值域和对应
法则是函数的三要素．其中，定义域是研究函数问题的前提条件，而
求函数的解析式、定义域、值域(最值)问题是高考的重点和热点．
2
[例2] (1)函数y＝的定义域为( )
1－1－x
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，1]
C．(－∞，0)∪(0，1) D．[1，＋∞)
?
?
x＋1，x≥0，
(2)已知f(x)＝
?
若f(a)＝2，则实 数a＝________．
?
?
4x，x<0，
?
1－x≥0，< br>解析：(1)要使函数有意义，则
?

?
1－1－x≠0，
即x≤1，且x≠0.
(2)因为当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，所以a＝1.
1
所以当a<0时，f(a)＝4a＝2，所以a＝(舍去)．
2
答案：(1)B (2)1
归纳升华
1．函数的定义域，是使得每一个 含自变量的式子有意义的自变
量的取值集合，因此，求函数的定义域可转化为求不等式组的解集．

2．分段函数f(x)在x的不同取值范围内对应关系不同，求函数
值或值域时要分 段求解．
[变式训练] (1)若函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(2x)＋
?
1
?
f
?
x＋
3
?
的定义域为( )
??
?
12
?
A.
?
－
3
，
3
?

??
?
1
?
?
C.
0，
2
?

??
?
11
?
B.
?
－
3
，
2
?

??
?< br>1
?
?
D.
0，
3
?

??
?
1
?
1
??
(2)若函数y＝f(x)的值域是
2，3
，则函数F(x)＝f(x)＋的
??
f（x）
值域是( )
?
1
?
?
A.
2
，3
?
< br>??
?
510
?
C.
?
2
，
3?

??
?
10
?
?
B.
2，< br>3
?

??
?
10
?
??
3，D.
3
?

?
1
?
?
?
0≤ x≤
2
，
?
0≤2x≤1，
解析：(1)由
?
得< br>?

1
12
0≤x＋≤1，
?
?
－≤x≤，
?
3
?
33
?
1
?
所以x∈
?< br>0，
2
?
.
??
?
1
?
11(2)令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间
?
2
，1?
上是减
t
2
??
?
1
?
510??
函数，在[1，3]上是增函数，且g
2
＝，g(1)＝2，g(3)＝，可 得值
3
??
2
?
10
?
?
域为
2 ，
3
?
.
??
答案：(1)C (2)B
专题三 函数的单调性与奇偶性

函数的单调性是函数最重要的性质，函数的奇偶性是研究图象
的有力工具．函数单调性与奇偶性的判定，利用奇偶性做函数的图象，
利用单调性求函数的值域 (最值)，求解不等式或参数的取值范围是学
习的重点．
mx
2
＋2
5
[例3] 已知函数f(x)＝是奇函数，求f(2)＝.
3x＋n
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
解：(1)因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，
所以
mx
2
＋2mx
2
＋< br>－3x＋n
＝－
2
3x＋n
＝
mx
2
＋2< br>－3x－n
，
比较得n＝－n，即n＝0.
又f(2)＝
5
3
，所以
4m＋2
6
＝
5
3
，解得m＝2.
因此，实数m和n的值分别为2和0.
(2)由(1)知f(x)＝
2x
2
＋2
2x2
3x
＝
3
＋
3x
，
任取x
1
，x
2
∈[－2，－1]，且x
1
2
，
则f(x)－f(x
2
?
1
12
)＝
3
(x
1
－x
2
)
?
?
?
1－< br>x
1
x
?
2
?
＝
2
3
( x
x
1
x
2
－1
1
－x
2
)·< br>x
1
x
2
.
因为－2≤x
1
2
≤－1时，
所以x
1－x
2
<0，x
1
x
2
>1，x
1
x
2
－1>0，
3

所以f(x
1
)－f(x
2
)<0，即f(x
1
)2
)．
所以函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
4
因此f(x)
max
＝f(－1)＝－，
3
5
f(x)
min
＝f(－2)＝－.
3
归纳升华
1．单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性
可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化
繁为简的目的，特别是在比较大小、 证明不等式、求值域、求最值、
解方程(组)等方面，应用十分广泛．
2．奇偶性是函数的又 一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性，
可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．
[变式训练] (1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)
＝ 2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)函数y＝x
2
＋2x－3的单调递减区间是____________ ______．
解析：(1)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，
所以－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，
联立解得g(1)＝3. (2)由x
2
＋2x－3≥0，得x≥1或x≤－3，所以函数减区间为(－

∞，－3]．
答案：(1)B (2)(－∞，－3]
专题四 数形结合思想的应用
数形结合思想是研究集合、函数的重要思想．本章中涉及数形结
合的知识 点：借助Venn图、数轴研究集合的交集、并集、补集；借
助函数图象研究函数的单调性、对称性、奇 偶性等性质．
[例4] 对于函数f(x)＝x
2
－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)
2
－2|－x|＝x
2
－2|x|，
则f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
x
2
－2x，x≥0，
?
(2)f(x)＝x
2
－|x|＝
?

2
?
x＋2x，x<0，
?
（x－1）
2－1，x≥0，
即f(x)＝
?

2
?
（x＋1）－1，x<0.
画出图象如图所示，

根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.

单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；
减区间是(－∞，－1]，[0，1]．
归纳升华
1．在画函数图象时，将函数解 析式进行等价变形变为几种常见
函数(一次函数、二次函数、反比例函数等)，再作出图象．
2．根据函数的图象，借助几何直观图求函数的单调区间和最小
值，体现了数形结合思想．
[变式训练] (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，
0]上是递减，且f (－2)＝0，如图所示，则使得f(x)<0的x的取值范
围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2)
?
( 2)函数f(x)＝
?
－2x＋5，－1，≤x<1，
的值域是__________ __．
?
?
3，x≥1
解析：(1)由图(图略)可得在(－∞，0]上， f(x)<0的解集为(－2，
0]．
因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2，2)．
(2)作出函数图象如图所示，
2
x
?
－2x＋4，x<－1，

由图象知，函数的值域为[3，＋∞)．

答案：(1)D (2)[3，＋∞)

第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算

A级 基础巩固
一、选择题 4
1．下列说法：①16的4次方根是2；②16的运算结果是±2；
n
③当n为 大于1的奇数时，a对任意a∈R都有意义；④当n为大
n
于1的偶数时，a只有当a≥0时才 有意义．其中正确的是( )
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④
解析 ：①错，因为(±2)＝16，所以16的4次方根是±2；②错，16
4
4
4
＝2，而±16＝±2.
③④都正确．
答案：D
4
2．若32
＋（4－a）
4
的结果是( )
A．7－2a
C．1
B．2a－7
D．－1
解析：原式＝|3－a|＋|4－a|，因为3

所以原式＝a－3＋4－a＝1.
答案：C
3．已知a
m
＝4，a
n
＝3，则
23
A. B．6 C. D．2
32
解析：
答案：A
4．下列各式计算正确的是( )
A．(－1)
0
＝1
2
C．4
3
＝8
1
B．a
2
·a
2
＝a
21
1
D．a
3
÷a－＝a
3

3
a
m
－
2n
＝
a
m
＝
n2
（a ）
42
＝.
93
a
m
－
2n
的值为( )
152
3
解析：(－1)
0
＝1，A正确．a
2
·a
2
＝a
2
，B不正确；4
3
＝16，C
2< br>1
不正确．a
3
÷a－＝a，D不正确．故选A.
3
答案：A
5．已知a，b∈R
＋
，则
17
A． a
6
b
6

11
C．a
3
b
6

a
3
b
3
ab
71
B．a
6
b
6

11
D．a
2
b
6

＝( )
31< br>a
3
b
a
2
b
2
3111
71解析：＝＝a－b－＝a
6
b
6
，故选B.
1123233
ab
a
3
b
3

答案：B
二、填空题
6.
1
6－
4
3
3
33＋0.125的值为________．
8
?
5
?
2
??
－
?
2
?
3
解析：原式＝
3
答案：
2
?
3
?
3
??
＋< br>?
2
?
3
?
1
?
3
5313
??
＝－＋＝.
2222
?
2
?
?
1
??
3
?
3
0
2
??
2
7.
4< br>－(－9.6)－
?
3
8
?
＋(1.5)
－
2
＝________．
????
?
9
??
27
?
－
3
?
2
??
8
??
2
?31
?
2
?
23
??????????
解析：原式＝< br>4
－1－
8
＋
3
＝－1－
27
＋
3
＝－
?
3
?
22
????????????
1?
2
?
＋
?
3
?
＝
2
. < br>??
2
1
2
2
2
22
1
－
2
1
答案：
2
8．若x≤－3，则（x＋3）
2
－（x－ 3）
2
＝________．
解析：已知x≤－3，则x＋3≤0，x－3<0，故
（x－3）
2
＝|x＋3|－|x－3|＝－(x＋3)＋(x－3)＝－6.
答案：－6
三、解答题
1
0－
?
3
??
1
?
2
－
2
??
2
9．计算：
5
＋2×
?
2
4
?
－(0.01)
0.5
. ????
（x＋3）
2
－
1
0－
?
3
??
1
?
2
2
－
??
解：
2
5< br>＋2×
?
2
4
?
－(0.01)
0.5
< br>????

1
1
?
9
?
－
2< br>?
1
?
1
＝1＋
2
×
?
4
?
－
?
100
?
2

2
????
1
－
1
?
?
3
?
2
?
2
?
?
1
?
2
?
1
＝1＋×
?
??
?
－
?
??
?
2

4
?
?
2
?
??
?
10
?
?
1
?3
?
－1
1
＝1＋×
?
2
?
－
4
??
10
12116
＝1＋×－＝.
431015
10．化简下列各式(式中字母均为正数)．
(1)
b
3
a
a
6
；
b
611
112
(2)4x
4
－3x
4
y－÷－6x－y－ (结果为分数指数幂)．
323
解：(1)
b
3
a
3a
6
1
6
6
＝b·a－·a·b－＝a.
2
b
6
2
4
4
1
11
1
11112
12
(2)4x
4
－3x
4
y－÷－6x－y－＝2x
4< br>＋
4
＋
2
y
－
3
＋
3
＝2 xy
3
.
323
B级 能力提升
1．化简(a
2
－2＋a
－
2
)÷(a
2
－a
－
2
)的 结果为( )
a
2
－1a
2
＋1
A．1 B．－1 C.
2
D.
2

a＋1a－1
解析：(a
2
－2＋a
－
2
)÷(a
2
－a
－
2
)＝(a－a
－
1
)
2
÷(a＋a
－
1
)(a－a
－
1
)＝
a－a
－
1
a（a－a
－
1
）a
2
－1
＝＝
2
.
11
－－
a＋aa（a＋a）a＋1
答案：C

?< br>?
3
?
?
2
2．(0.25)－
?
－2×< br>??
?
×[(－2)
3
]
3
＋(2－1)
－
1
－2
2
＝________．
?
7
?
??
1
0
2
41
解析：原式＝
111
24
－(－2×1)×(－2)＋－2＝－4×16
42
2－1
125
＋2＋1－ 2＝－.
2
答案：－
125

2
2
a－b
3．已知a，b是方程x－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求
a＋b
的值．
解：因为a，b是方程x
2
－6x＋4＝0的两根，
?
a＋b＝6，
所以
?

?
ab＝4.
因为a>b>0，所以a>b>0.
所以
a－b
a＋b
>0.
?
所以
?
?
所以
a－b
?
2
a＋b－2ab6－24
21
＝＝ ＝，
?
＝
a＋b
?
a＋b＋2ab6＋24
105
a－b
a＋b
＝
15
＝.
55

第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数

2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及其性质

A级 基础巩固
一、选择题
1．以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为( )
A．y＝(e－1)
x

C．y＝3
x
＋
1

B．y＝(1－e)
x

D．y＝x
2

解析：由指数函数的定义可知选A.
答案：A
2．函数y＝2
x
－8的定义域为( )
A．(－∞，3)
C．(3，＋∞)
B．(－∞，3]
D．[3，＋∞)
解析：由题 意得2
x
－8≥0，所以2
x
≥2
3
，解得x≥3，所以函 数y
＝2
x
－8的定义域为[3，＋∞)．
答案：D
3．函数y＝a
x
＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0，1) B．(1，0) C．(2，1) D．(0，2)
解析：因为y＝ a
x
的图象一定经过点(0，1)，将y＝a
x
的图象向上
平移1个 单位得到函数y＝a
x
＋1的图象，所以，函数y＝a
x
＋1的图
象 经过点(0，2)．
答案：D

4．函数y＝16－4
x
的值域是( )
A．[0，＋∞)
C．[0，4)
B．[0，4]
D．(0，4)
解析：由题意知0≤16－4
x
<16，
所以0≤16－4
x
<4.
16－4
x
的值域为[0，4)． 所以函数y＝
答案：C
5．函数y＝a
x
，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )

解析：函数y＝x＋a单调递增．
由题意知a>0且a≠1.
当0x
单调递减，直线y＝x＋a
在y轴上的截距大于0且小于1；
当a>1时，y＝a
x
单调递增，直线y ＝x＋a在y轴上的截距大于
1.故选D.
答案：D
二、填空题
6．已 知集合A＝{x|1≤2
x
<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B