高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用专题辅导

高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用专题辅导
高中数学椭圆焦半径公式的一种变式与应用

玉宏图
在圆锥曲线中 ，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，
故值得我们深入研究。为此，本 文以椭圆为例研究它的一种变式。
一、椭圆焦半径公式
x
2
y
2
P是椭圆
2
?
2
＝1
(a?b?0)
上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则
ab（1）
|PE|?a?ex
P
，（2）
|PF|?a?ex
P< br>。
y
2
x
2
P是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则
ab< br>（3）
PE?a?ey
P
，(4)|PF|?a?ey
P
。
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。
二、椭圆焦半径公式的变式
x
2
y
2
P是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为
?
，ab
b
2
b
2
|PF|?
|PE|?
PF与x 轴所成的角为
?
，c是椭圆半焦距，则（1）（2）；。
a?ccos
?< br>a?ccos
?
y
2
x
2
P是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的 角为
?
，
ab
b
2
b
2
|PF|?
|PE|?
PF与x轴所成的角为
?
，c是椭圆半焦距，则（3）（4）；。
a?csin
?
a?csin
?
证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当
?
不大于90°时，在三角形PEQ中，有
|PQ|
x
P
?c
?

cos
?
?

|PE||PE|
由椭圆焦半径公式（1）得

|PE|?a?ex
P
。
b
2
消去
x
P
后，化简即得（1）
|PE|?
。
a?ccos
?
而当
?
大于90°时，在三角形PEQ中，有
|PQ|
?c?x
P
?

cos(
?
?
?
)?

|PE||PE|
x?c

?cos
?
?
P
，
|PE|
以下与上述相同。
（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。
三、变式的应用
对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。
x
2
y
2
例1. （2005年全国高考题）P是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点，E、F是左右焦点，
ab
过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
_____ ______。
解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得
1 3

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b
2
b
2
?

|PF|?
。 a?ccos90°a
b
2
?a
2
?c
2
?2 ac?c
2
?2ac?a
2
?0?e
2
＋ 再由题意得
|EF|?|PF|?2c?
a
2e?1?0
。
注意到
0?e?1解得e?2?1
。
例2. （见高中数学课本第二册（上）1 33页复习参考题八B组第3题）P是椭圆
x
2
y
2
??1
上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为
?43
，求
1006 4
三角形PEF的面积。
解：设PF的倾斜角为
?
，则：

tan
?
??43，cos
?
??
143
，sin
?
?
。
77
因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式（2）得

|PF|?
8
2
1
10?6×(?)
7
?7

所以三角形PEF的面积
S?

1
|PF||EF|sin
?
2
143

?×7×2×6×
27
?243
x
2
y
2
例3. （2003年希望杯赛题）经过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)的左焦点F
1
作倾斜角为
ab
60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若
|AF
1
|?2|BF
1
|
，求椭圆的离心率。
解：由题意及变式（2）得
b
2
b
2
?2×

a?ccos60°a?cos(60°?180°)
1c2
化简得
2a?c?a?c?3c?2a?e??
。
2a3
??
y
2
2
x??1
例4. （200 5年全国高考题）设F是椭圆的上焦点，
PF与FQ
共线，
2
????
MF与FN
共线，且
PF·MF
＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。
解：设PF倾斜角为
?
，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋ α，而
a?2，b?1，c?1
，由题意及（3）式得
|PQ|?|PF|?|FQ|

?
?
11
?

2?sin
?
2?sin( 180°?
?
)
22
2?sin
2
?
2 3

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同理得
|MN|?

S?
22
。由题意知四边形PMQN面积
2?cos
2
?
1
|PQ||MN|

2
12222
?··
2
2?sin
2
?
2?cos
2
?
416

?

?
2222
2 ?sin
?
cos
?
8?4sin
?
cos
?1632
??
8?sin
2
2
?
17?cos4
?
32
32
所以当
cos4
?
?1
时，
S
max
?
＝
?2
；当
cos4
?
??1
时，
S
min
?
17?(?1)
17?1
16
。
9
3 3