高中数学15分钟试讲-高中数学三角函数专题例题解析过程
2014年东安一中高一直升班奥赛培训 陈雄武
《托勒密定理及其应用》
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩
形的面积)等于两组对边乘积之和
(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． <
br>即：
设四边形ABCD内接于圆，则有：
AB?CD?AD?BC?AC?BD；
定理：在四边形ABCD中，有：AB?CD?AD?BC?AC?BD
并且当且仅当四边
形ABCD内接于圆时，等式成立；
证：在四边形ABCD内取点E，使?BAE??CAD，?ABE??ACD
则：?ABE和?ACD相似
A
?
AB
?
BE
?AB?CD?AC?BE
ACCD
D
又
?
ABAE
AC
?AD
且?BAC??EAD
E
??ABC和?AED相似
?
BC
?
ED
?AD?BC?AC?
ACAD
ED
?AB?CD?AD?BC?AC?(BE?ED)
B C
?AB?CD?AD?BC?AC?BD
且等号当且仅当E在BD上时成
立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立；
一、直接应用托勒密定理
例1
如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC．
1
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二、完善图形 借助托勒密定理
例2
证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC=AB＋BC
例3 如图，在△ABC中，∠A的平分
线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
三、构造图形 借助托勒密定理
例4
若a、b、x、y是实数，且a＋b=1，x＋y=1．求证：ax＋by≤1．
2
2222
222
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四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理
例5
已知a、b、c是△ABC的三边，且a
2
=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．
五、巧变形 妙引线
借肋托勒密定理
例6 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，
3
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练习：
1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC
2<
br>=AB
2
+AB·BC。
2． 已知正七边形A
1
A
2
A
3<
br>A
4
A
5
A
6
A
7
。求证：
。（第21届全苏数学竞赛）
3.由?ABC外接圆的弧BC上一点P分别向
边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN，
求证：
BCAC
PK
?
AB
PL
?
PM
4