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人教版高中数学必修三必修3培训辅导讲义word版(含答案)13讲

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 20:46
tags:高中数学补习

高中数学数列教学教案-呼和浩特高中数学二模考试卷


人教版高中数学必修三讲义目录
第1讲 算法与程序框图
第2讲 基本算法语句(
第3讲 算法案例
第4讲 《算法初步》全章节复习与巩固
第5讲 随机抽样
第6讲 用样本估计总体
第7讲 变量间的相关关系
第8讲 《统计》全章复习与巩固
第9讲 随机事件的概率
第10讲 古典概型
第11讲 几何概型
第12讲 概率的应用
第13讲 《概率》全章复习与巩固


第一讲:算法与程序框图

【学习目标】
1.初步建立算法的概念;
2.让学生通过丰富的实例体会算法的思想;
3.让学生通过对具体问题的探究,初步了解算法的含义;
4.掌握程序框图的概念;
5.会用通用的图形符号表示算法,掌握算法的三个基本逻辑结构;
6.掌握画程序框图的基本规则,能正确画出程序框图.
【要点梳理】
【高清课堂:算法与程序框图 397425 知识讲解1】
要点一、算法的概念
1、算法的定义:
广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用 说明书是操作洗衣机的算
法,菜谱是做菜的算法等等.
在数学中,现代意义的算法是指可以用 计算机来解决的某一类问题的程序和步骤,这些程序或步骤必须
是明确和有效的,而且能够在有限步之内 完成.
2、算法的特征:
(1)确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏” .“不重”是指不是可有可无的、甚至
无用的步骤,“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.
(2)逻辑性:算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣,分工明确,“前一步”是
“后一步”的前提,“后一步”是“前一步”的继续.
(3)有穷性:算法要有明确的开始和结束, 当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果,也
就是说必须在有限步内完成任务,不能无限制的 持续进行.
(4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
3、设计算法的要求
(1)写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数35是否为 质数;求任意一个方程的近似
解……),并且能够重复使用.
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少.
(3)要保证算法正确.且计算机能够执行,如:让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的.
4、算法的描述:
(1)自然语言:自然语言就是人们日常使用的语言,可以是汉语、英语或 数学语言等.用自然语言描述
算法的优点是通俗易懂,当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解 .缺点是如果算法中包含判断和
转向,并且操作步骤较多时,就不那么直观清晰了.
(2)程 序框图:所谓框图,就是指用规定的图形符号来描述算法,用框图描述算法具有直观、结构清
晰、条理分 明、通俗易懂、便于检查修改及交流等特点.
(3)程序语言:算法最终可以通过程序的形式编写出来,并在计算机上执行.
要点诠释:
算法的特点:思路简单清晰,叙述复杂,步骤繁琐,计算量大,完全依靠人力难以完成,而这些恰恰就< br>是计算机的特长,它能不厌其烦地完成枯燥的、重复的繁琐的工作,正因为这些,现代算法的作用之一就< br>是使计算机代替人完成某些工作,这也是我们学习算法的重要原因之一.
事实上,算法中出现的 程序只是用基本的语句把程序的主要结构描述出来,与真正的程序还有差距,所
以算法描述的许多程序并 不能直接运行,要运行程序,还要把程序按照某种语言的严格要求重新改写才行.
【高清课堂:算法与程序框图 397425 知识讲解2】



要点二、程序框图
1、程序框图的概念:
程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.
2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框








名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束,是任何算法程
序框图不可缺少的.
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算
法中任何需要输入、输出的位置.
赋值、 计算.算法中处理数据需要的算式、
公式等,它们分别写在不同的用以处理数
据的处理框内.
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标
明“是”或“Y”;不成立时在出口处则标
明“否”或“N”.
输入、输出框
处理框
判断框
流程线


连结点
算法进行的前进方向以及先后顺序
连接另一页或另一部分的框图
3、程序框图的构成
一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带 箭头的流程线;程序框内必要
的说明文字.
4、算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的 顺序进行的.它是由若干
个依次执行的步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.
见示意图和实例:


顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将 程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤.如在
示意图中,A框和B框是依次执行的,只有在执 行完A框指定的操作后,才能接着执行B框所指定的操作.
(2)条件结构
如下面图示中虚 线框内是一个条件结构,此结构中含有一个判断框,算法执行到此判断给定的条件P
是否成立,选择不同 的执行框(A框、B框).无论P条件是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能既执
行A框又执行B 框,也不可能A框、B框都不执行.A框或B框中可以有一个是空的,即不执行任何操作.
见示意图

要点诠释:
条件结构中的条件要准确,不能含混不清,要清楚在什么情况下需要作怎样的判断,用什么条件来区分.
(3)循环结构
在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始 ,按照一定条件重复执行
某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构.
①当型循环结构,如左下图所示,它 的功能是当给定的条件P成立时,执行A框,A框执行完毕后,返
回来再判断条件P是否成立,如果仍然 成立,返回来再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次返回来
判断条件P不成立时为止,此时不再执 行A框,离开循环结构,继续执行下面的框图.
②直到型循环结构,如右下图所示,它的功能是先执行 重复执行的A框,然后判断给定的条件P是否成
立,如果P仍然不成立,则返回来继续执行A框,再判断 条件P是否成立,依次重复操作,直到某一次给
定的判断条件P成立为止,此时不再返回来执行A框,离 开循环结构,继续执行下面的框图.
见示意图

要点诠释:
循环结构中 使用什么样的条件控制循环的开始和结束,要清楚满足某个条件的变量的次数与循环次数的
联系与区别.


误区提醒
1、框图中的流程线不能出现交叉的现象.若有交叉,则程序语句无法写出;
2、各种框图有 其固定的格式和作用,不要乱用.如条件结构中不要忘了“是”与“否”,流程线不要忘
记画箭头;
3、条件分支结构的方向要准确;
4、循环结构中,计数变量要赋初值,计数变量的自加不要 忘记,自加多少不能弄错.另外计数变量一般
只负责计数任务;
5、循环结构中循环的次数要 严格把握,区分“<”与“≤”等.循环变量的取值与循环结构(当型与直
到型)有关,需区分清楚.另 外,同一问题用两种不同的结构解决时,其判断条件恰是相反的;
6、程序框图不要出现死循环(无限步的循环).
【典型例题】
类型一:算法的概念
例1.下列对算法的理解不正确的是( )
A.算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)
B.算法要求一步步执行,且每一步都能得到唯一的结果
C.算法一般是机械的,有时要进行大量重复的计算,它的优点是一种通法
D.任何问题都可以用算法来解决
【答案】 D
【解析】 算法是解决问题的精确的描述,但是并不是所有问题都有算法.
【总结升华】 算法一般是机械的,有 时需要进行大量的重复计算,只要按部就班去做,总能算出结果.
通常把算法过程称为“数学机械化”, 数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成.实际上处理任何
问题都需要算法,如:中国象棋有中 国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋
谱、走法、胜负的评判准则;再比如 申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相关的手续…….
举一反三:
【变式1】我 们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式,加减消元法求二元一次方程组的解,二
分法求出函数的 零点等,对算法的描述有:①对一类问题都有效;②算法可执行的步骤必须是有限的;③
算法可以一步一 步地进行,每一步都有确切的含义;④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果.以
上算法的描述 正确的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【变式2】下列哪个不是算法的特征( )
A.抽象性 B.精确性 C.有穷性 D.唯一性
【答案】D.
类型二:算法的描述
?
a
1
x?b
1
y?c
1
例2.写出求解二元一次方程组
?
的一个算法.
ax?by?c
?
222
【解析】
?
?
a
1
x?b
1
y?c
1


?
a
2
x?b
2
y?c
2



因为是二元一次方程组,所以a
1
、a
2
不能同时为0.
第一步,假设a
1
≠0(若a
1
=0,可将第一个方程与第二个方程互换),
?
a
??
ab
?
ac

?
??
2
?
?

,得到
?
b
1
?
21
?
y?c
2
?
21

a
1
?
a
1
?
a
1
??


即方程 组化为
?
?
a
1
x?b
1
y?c
1

?
(a
1
b
2
?a
2
b
1
)y?a
1
c
2
?a
2
c
1
③ 
a
1
c
2
?a
2
c
1

a
1
b
2
?a
2
b
1
第二步 ,若a
1
b
2
-a
2
b
1
≠0,解③得< br>y?
第三步,将④代入①,整理得
x?
b
2
c
1?b
1
c
2

a
1
b
2
? a
2
b
1
第四步,输出结果x、y.
如果a
1
b
2
-a
2
b
1
=0,从③可以看出,方程组无解或有无穷多 组解.
?
a
11
x?a
12
y?b
1
【 总结升华】
一般化,得到求二元一次方程组
?
?
a
21
x? a
22
y?b
2
第一步:计算
D?a
11
a
22
?a
21
a
12

(1)
(2)
的高斯消去算法步骤:
b
1
a
22
?b
2
a
12
?
x?
?
?
D第二步:若
D?0
,则原方程组无解或有无穷多组解,否则(
D?0
)< br>?
.
ba?ba
?
y?
211121
?
? D
第三步:输出计算的结果
x

y
或者无法求解的信息.

举一反三:
?
x?y?z?12

?
【变式1】试描述求解三元一次方程组
?
3x?3y?z?16

的算法步骤.
?
x?y?z??2

?
【解析】
算法1:第一步,①+③,得x=5. ④
?
y?z?7 ⑤
第二步,将④分别代入①式和②式可得
?

3y?z??1 ⑥
?
第三步,⑥-⑤,得y=-4. ⑦
第四步,将⑦代入⑤可得 z=11.
?
x?5
?
第五步,得到方程组的解为
?
y??4

?
z?11
?
算法2:第一步,①+②,得2x-y=14. ④
第二步,②-③,得x-y=9. ⑤
第三步,④-⑤,得x=5. ⑥
第四步,将⑥代入⑤式,得y=-4. ⑦


第五步,将⑥和⑦代入①式,得z=11.
?
x?5
?
第六步,得到方程组的解为
?
y??4

?
z?11
?
【高清课堂:算法与程序框图 397425 算法中的例2】
【变式2】 鸡兔同笼问题:一群小兔一群鸡,两群合到一群里,要数腿48,要数脑袋17,
多少小兔多少鸡? < br>【解析】算术算法:小兔的只数:
48?17?2
?7
;小鸡的只数:17-7 =10.
2
应用解二元一次方程组的方法来求解鸡兔同笼问题的步骤.
?
x?y?17(1)
第一步:设有小鸡x只,小兔y只,则有
?

2x?4y?48(2)
?
第二步:将方程组中的第一个方程两边乘-2加到第二个方 程中去,得到
?
x?y?17
,得到y=7;
?
(4?2)y?4 8?17?2
?
第三步:将y=7代入(1)得x=10.
类型三:算法的设计
例3、给出求1+2+3+4+5的一个算法.
【解析】本题可以按照逐一相加的程序进行 ,也可以运用公式
1?2?3?L?n?
还可以用循环方法求和.
算法1
第一步:计算1+2,得到3;
第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6;
第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10;
第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15.
算法2
第一步:取
n
=5;
第二步:计算
n(n?1)
直接计算,
2
n(n?1)

2
第三步:输出运算结果.
算法3
第一步:使
S?1

第二步:使
i?2

第三步:使
S?S?i

第四步:使
i?i?1

第五步:如果
i?5
,则返回第三步,否则输出
S
.
【总结升华】①一个问题的算法可能不唯一;
②若将本例改为“给出求
1?2?3? L?100
的一个算法”,则上述算法2和算法3表达较为方便.


举一反三:
【变式1】写出求
1?
111
的一个算法.
??L?
23100
【答案】
第一步:使
S?1
,;
第二步:使
i?2

1
i
第四步:使
S?S?n

第五步:使
i?i?1

第六步:如果
i?100
,则返回第三步,否则输出
S
.
第三步:使
n?

【变式2】求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法.
【答案】
算法1:
第一步,先求1×3,得到结果3;
第二步,将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15;
第三步,再将15乘以7,得到结果105;
第四步,再将105乘以9,得到945;
第五步,再将945乘以11,得到10395,即是最后结果.
算法2:
用P表示被乘数,i表示乘数.
第一步,使P=1;
第二步,使i=3;
第三步,使P=P×i;
第四步,使i=i+2;
第五步,若i≤11,则返回到第三步继续执行;否则算法结束.
类型四:顺序结构的应用
例4.设计算法,求两底半径分别为1和4,且高为4的圆台的表面积及体积,并画出程序框图.
【解析】 先求出斜高,再分别求出两个底面面积和侧面面积,则表面积与体积可得.
【答案】 算法如下:
第一步,令r
1
=1,r
2
=4,h=4;
第二步,计算 斜高
l?(r
2
?r
1
)
2
?h
2

22
第三步,令
S
1
?
?
r
1

S
2
?
?
r
2

S
3
?
?
(r
1
?r
2
)l

第四步,计算圆台的表面积S=S
1
+S
2
+S
3
,圆台的 体积
V?
1
(S
1
?S
1
S
2
? S
2
)h

3
第五步,输出S,V.
该算法的程序框图如图所示.
举一反三:
【变式1】半径为r的圆,面积公式为S =πr
2
,当r=10时,写出计算圆面积的算法,
画出程序框图.
【解析】 算法如下:第一步:输入r=10.
第二步:计算S=πr
2


第三步:输出S.
程序框图如图所示.
【总结升华】本题主要考查算法结构中的顺序结构.对套用公式型的问题 ,关键是明确所给公式中变
量的个数及数值,以及输入、输出部分的设计.
类型五:条件结构的应用
?
2x?1 (x?0)
?
2
例5.已知函数
y?
?
x?1 (0?x?1)
,写出求该函数的函数值的算法,并画出程序框图.
?
x
3
?2x (x?1)
?
【解析】 该函数是 分段函数,因此当给出一个自变量x的值时,需先判断x的范围,然后确定利用哪
一段的解析式求函数值 .画程序框图时,必须采用条件分支结构,因为函数解析式分了三段,所以需要两
个判断框,即进行两次 判断.
算法如下:
第一步,输入x.
第二步,如果x<0,那么使y=2x-1,输出y;否则,执行第三步.
第三步,如果0≤x<1,那么使y=x
2
+1,输出y;否则,执行第四步.
第四步,y=x
2
+2x
第五步,输出y.
程序框图如下图所示.

【总结升华】 凡是必须先根据条件作 出判断,然后再决定进行哪一个步骤的问题,在画程序框图时,
必须引入判断框,采用条件结构.而像本 题求分段函数的函数值的程序框图的画法,如果是分两段的函数,
只需引入一个判断框;如果是分三段的 函数,需引入两个判断框;分四段的函数需引入三个判断框,依此
类推.判断框内的内容是没有固定顺序 的.
举一反三:
?
?1 (x?0)
?
【变式1】已知函数
f(x)?
?
0 (x?0)
, 写出求函数
f(x)
的任一函数值的一个算法并画出程序框
?
1 (x?0)
?
图.
【解析】记y=f (x).
算法:
第一步:输入x.
第二步:如果x>0,那么使y=-1;如果x=0,那么使y=0;如果x<0,那么使y=1.
第三步:输出函数值y.


程序框图如下图所示.

【高清课堂:算法与程序框图 397425 程序框图中的例2】
【变式2】
设计 算法判断一元二次方程
ax?bx?c?0
是否有实数根,并画出相应程序框图.
2
【解析】算法步骤如下:
第一步:输入一元二次方程的系数:a,b,c;
第二步:计算Δ
?b
2
?4ac
的值;
第三步:判断Δ≥ 0是否成立.若Δ≥0成立,输出“方程有实根”;否则输出“方程无实
根”.结束算法.相应的程序框 图如图.
















类型六:循环结构的应用
例6.设计算法输出1000以内能被3和5整除的所有正整数,画出程序框图.
【解 析】本题是计数型循环结构,凡被3和5整除的正整数都是15的倍数,而1000=15×66+10,因此< br>结

输出有实根
开始

输入
△=b
2
-4ac
Y

△≥0
N
输出无实根


1000以内一共有66个这样的正整数,引入变量a表示输出的 数,引入计数变量n,n可以从1~66,反复
输出a,就能输出1000以内的所有能被3和5整除的 正整数.
算法如下:
S1:n=1;
S2:若n≤66,则执行S3,否则执行S6;
S3:a=15n;
S4:输出a:
S5:n=n+1,返回S2;
S6:结束.
程序框图如下图所示:

【总结升华】(1)本题中描述算法的结构中反复执行的第③部分称为循环体.
(2)变量n控制循环的开始和结束,称为循环变量.
(3)第①部分是赋予循环变量的初始值,预示循环开始.
(4)第②部分判断是否继续执行循环体,称为循环终止条件.
举一反三:
【变式1】画出计算
1?
111
的值的一个程序框图.
??L?
35999
【解析】所求程序框图如下图所示

类型七:三种结构的综合应用
例7.以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩:72,9 1,58,63,84,88,90,55,61,73,64,
77,82,94,60.要求将80 分以上的同学的平均分求出来并画出程序框图.
【解析】 用条件分支结构来判断成绩是否高于8 0分,用循环结构控制输入的次数,同时引进两个累加


变量,分别计算高于80分的成绩 的总和和人数.
程序框图如图所示.

【总结升华】 对于此类要求把所给的多个数据逐一检验是否满足条件的问题,可采用条件结构和循环
结构相结合的算法 .
举一反三:
【变式1】已知函数
y?
?
?
log2
x,x?2,
下图表示的是给定x的值,求其对应的函数值y的程序框图,
?< br>2?x,x?2.
①处应填写__________;②处应填写__________.

【答案】
x?2

y?log
2
x
< br>?
log
2
x,x?2,
【解析】分段函数
y?
?< br>中x的范围对应程序框图中的判断条件,填
x?2
;解析式对应
2?x,x?2
?
赋值框的内容,填
y?log
2
x



【变式2】先看一个小材料:1+2+3+…+( )>10000,这个 问题的答案不唯一,只要确定出满足条
件的最小正整数n
0
,括号内填写的数字只要大 于或等于n
0
即可.
写出寻找满足条件的最小正整数n
0
的算法,并画出相应的程序框图.
【解析】算法:第一步:取n的值等于1.
第二步:计算
S?
n(n?1)

2
第三步:如果S的值 大于10000,那么n即为所求;否则,让n的值增加1,然后转到第二步重复操作.
根据以上的操作步骤,画出程序框图如下图所示.










类型八:利用算法和程序框图解决实际问题
例8.北京获得了2008年第29届奥运会主办 权.你知道在申办奥运会的最后阶段,国际奥委会是如何
通过投票决定主办权归属的吗?
对选出的5个申办城市进行表决的操作程序是:首先进行第一轮投票,如果有一个城市得票超过总票
数的 一半,那么该城市就获得主办权;如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半,则将得票最少的
城市 淘汰,然后重复上述过程,直到选出一个申办城市为止.试画出该过程的程序框图.
【解析】 本题为算法中与现实生活相联系的题目,从选举的方法看,应选择循环结构来描述算法.
如图所示:

【总结升华】 解决与现实相关的问题时首先要理清题意,此 循环结构中对用哪一个步骤控制循环,哪
一个步骤作为循环体,要有清晰的思路.
举一反三:
【变式1】儿童乘坐火车时,若身高不超过1.1 m,则无需购票;若身高超过1.1 m,但不超过1.4 m,
可买半票;若超过1.4 m,应买全票,请设计一个算法,并画出程序框图.
【解析】 根据题意,该题的算法中应用条件结 构,首先以身高为标准,分成买和免票,在买票中再
分出半票和全票.


买票的算法步骤如下:
第一步:测量儿童身高h.
第二步:如果h≤1.1 m,那么免费乘车,否则若h≤1.4 m,则买半票,否则买全票.
程序框图如下图所示.

【总结升华】本题的程序框图中有两个判断点,一个是以1.1 m为判断点,1.1 m把身高分为两段,在
大于1.1 m的一段中,1.4 m又将其分两段,因此1.4 m这个判断是套在1.1 m的判断里的.所以我们用到
两个条件结构.




【巩固练习】
1.下列语句表达中是算法的有( ).
①从济南去巴黎可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达;②利用公式
S?
形的面积; ③
1
ah
计算底为1,高为2的三角
2
1
x?2x?4;④求M(1,2)与N(-3,-5)两点连线的方程可先求MN的斜率,再利
2
用点斜 式方程求得.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列叙述中,不正确的是( ).
A.设计算法时,规则要尽量地简单,步骤要尽量地少
B.在一个算法中,第二步没执行之前就可以执行第三步
C.算法中的语言可以是人们的日常用语
D.不正确的算法不合乎算法的要求
3.程序框图中“处理框”的功能是( )
A.赋值 B.计算 C.赋值或计算 D.判断某一条件是否成立
4.以下给出对程序框图的几种说法,其中正确的个数是( )
①任何一个程序框图都 必须有起止框;②输入框只能放在开始框后,输出框只能放在结束框前;③判
断框是唯一具有超过一个退 出点的符号;④对于一个程序框图来说,判断框内的条件表达方法是唯一的.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列说法中不正确的是( )
A.顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,每一个算法都离不开顺序结构
B.循环结构 是在一些算法中从某处开始,按照一定的条件,反复执行某些步骤,所以循环结构中一定
包含条件结构
C.循环结构中不一定包含条件结构


D.用程序框图表示算法,使之更加直观形象,容易理解
6.如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 .









7.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i值等于( )

A.2 B.3 C.4 D.5
8.给出一个算法的程序框图如下图所示,该程序框图的功能是( )
A.求出a,b,c三数中的最大数 B.求出a,b,c三数中的最小数
C.将a,b,c从小到大排列 D.将a,b,c从大到小排列

9.如图所示是求小于等于1000的所有正偶数的和的程序框图,则空白处①应为 ;②应为



10.阅读下图(左)的 程序框图,若输入m=4,n=6,则输出a=________,i=________.


11.执行如上图(右)所示的程序框图,输入
l?2
,m=3,n=5, 则输出的y的值是________.

12.下图中的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性,其中判断框内的条件是________.

?
?x?1 (x?0)
?
13.函数
y?
?
0 (x?0)
,'写出求其函数值的算法.
?
x?3 (x?0)
?
14.某工厂2009年生产小轿车200万辆,技术革新后预计每年的生产能力比上一年增加5%,问最早哪 一
年该厂生产的小轿车数量超过300万辆?写出解决该问题的一个算法,并画出相应的程序框图. < /p>


15.电脑游戏中,“主角”的生命机会往往被预先设定.如在某枪战游戏中,“主角”被 设定生命机会5次,
每次生命承受射击8枪(被击中8枪则失去一次生命机会).假设射击过程均为单发 发射,试为“主角”耗
用生命机会的过程设计一个程序框图.

【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】 ③中,没有解决问题的方法与步骤,它不是算法,其余均为算法.
2.【答案】B
【解析】算法在执行中是有顺序的,只有前一步执行完毕了才能执行后一步.
3.【答案】C
【解析】“处理框”的功能是赋值或计算.
4.【答案】B
【解析】任何一个 程序都必须有开始和结束,从而必须有起止框;输入框和输出框可以用在算法中任何需
要输入、输出的位 置;判断框内的条件不是唯一的,如“a>b?”亦可写成“a≤b?”,①③正确,②④错
误.
5.【答案】C
【解析】只有在一定条件下,算法才执行循环结构中的循环体部分.
6. 【答案】15
7. 【答案】C
?
a?2,
?
a?8,
?
a?24,
?
s?0,
???
?
?s?2,?
?
s?10,?
?
s?34,
此时s>11,∴ 输出i=4,故选C. 【解析】由流程图可知
?
?
i?1
?
i?2
?
i?3,
?
i?4,
???
8.【答案】A
【解析】由其作判断的条件,及根据判断的结果进行的操作得题图所示的程序框图所表示的算法是求出a,
b,c中的最大数.
9.【答案】
S?S?i;i?i?2

10.【答案】12 3
【解析】要结束程序的运算,就必须通过n整除a的条件运算 ,而同时m也整除a,那么a的最小值应为m
和n的最小公倍数12,即此时有i=3.
11.68
【解析】逐次计算.第一次y=70×2+21×3+15×5=278;执 行循环,第二次y=278―105=173;再次循环,
y=173―105=68,此时输出,故输 出结果是68.
12.m=1?
【解析】当一个整数x除以2的余数为1时,则为奇数, 余数为0时,则为偶数,并且余数只能是1或0.
13.【解析】算法如下:
第一步,输入x;
第二步,若x>0,则令y=-x+1,否则执行第三步;
第三步,若x=0,则令y=0,否则执行第四步;
第四步,y=x+3;
第五步,输出y.

14.【解析】由题意,2009年的年产量为200万辆,以后每年的 年产量都等于前一年的年产量乘(1+5%),


考虑利用循环结构设计算法.
算法如下:
第一步,令n=0,a=200,r=0.05.
第二步,T=ar(计算年增量).
第三步,a=a+T(计算年产量).
第四步 ,如果a≤300,那么n=n+1,返回重复执行第二步,第三步,第四步;
否则执行第五步.
第五步,N=2009+n.
第六步,输出N.
程序框图如下图所示.



15.【解析】
解法1:“主角”所有生命共能承受40枪,设“主角”被击中的枪数为i,程序框图如图(左).
解法2:电脑预存共承受枪数40,“主角”的生命机会以“减数”计算,程序框图如图(右).







第二讲:基本算法语句

【学习目标】
1、正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构.
2、会写一些简单的程序.
3、掌握赋值语句中的“=”号的作用.
4、正确理解条件语句和循环语句的概念,并掌握其结构的区别与联系.
5、会应用条件语句和循环语句编写程序.
【要点梳理】
要点一:输入语句
在程序中的INPUT语句就是输入语句.这个语句的一般格式是:


INPUT “提示内容”;变量



其中,“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息.
INPUT语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为:

INPUT “提示内容1,提示内容2,提示内容3,…”;变量1,变量2,变量3,…

功能:可对程序中的变量赋值.
要点诠释:
①“提示内容”提示用户输入什么样的 信息,必须加双引号,提示内容“原原本本”的在计算机屏幕上
显示,提示内容与变量之间要用分号隔开 ;
②变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;
③一个语句可以给多个变量赋值,中间用“,”分隔,但最后的变量的后面不需要;
④要求输入的数据必须是常量,而不能是函数、变量或表达式;
⑤无计算功能.
例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成:
INPUT “数学,语文,英语”;a,b,c
要点二:输出语句
在程序中的PRINT语句是输出语句.它的一般格式是:

PRINT “提示内容”;表达式


同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容”.
功能:可输出表达式的值,计算.
要点诠释:
①“提示内容”提示用户输出什么样的信息,提示内容必须加双引号,提示内容要用分号和表达式分开;
②表达式是指程序要输出的数据,可以是变量、计算公式或系统信息;
③一个语句可以输出多个表达式,不同的表达式之间可用“,”分隔;
④有计算功能,可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.
要点三:赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.它的一般格式是:

变量
=
表达式

赋值语句中的“=”叫做赋值号.
功能 :先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达
式的值 .
要点诠释:
①赋值号的左右两边不能对换,如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的;
②格式中 右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式,如果“表达式”是一个算式时,赋值语句的作
用是先计算 出“=”右边表达式的值,然后将该值赋给“=”左边的变量;
③赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式,如:2=X是错误的;
④不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等);
⑤对于一个变量可以多次赋值;
⑥有计算功能;
⑦赋值号与数学中的等号的意义是 不同的.赋值号左边的变量如果原来没有值,则执行赋值语句后,获
得一个值,如果已有值,则执行该语 句后,以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值,即将“原值”冲


掉.
要点四:条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的,是处理条件分支逻辑结构的算法 语句.它的一般格式是:
(IF-THEN-ELSE格式)




IF 条件 THEN


满足条件?

语句1


ELSE

语句2

语句1 语句2
END IF



当计算机执行上述 语句时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,就执行THEN后的语句1,否
则执行ELSE 后的语句2.其对应的程序框图为:(如上右图)
在某些情况下,也可以只使用IF- THEN语句:(即IF-THEN格式)






满足条件?
IF 条件 THEN

语句


END IF
语句


计算机执行这种形式的条件语句时,也是 首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,就执行THEN
后的语句,如果条件不符合,则直接结束 该条件语句,转而执行其他语句.其对应的程序框图为:(如上右
图)
要点诠释:
条件语句的作用:在程序执行过程中,根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去.需
要 计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情况进行不同的处理.
要点五:循环语句 < br>算法中的循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL语句.
语句的一般格式是:




WHILE 条件 循环体

循环体


满足条件?
WEND






其中循环体是由计算机反复执行的一组语句 构成的.WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环


体或跳出循环体的. < br>当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与WEND之间的 循环体;
然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件 不符合为
止.这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句. 因此,当型循环有
时也称为“前测试型”循环.其对应的程序结构框图为:(如上右图)
语句的一般格式是:





循环体
DO

循环体


LOOP UNTIL 条件


满足条件?




其对应的程序结构框图为:(如上右图)
直到型循环又称为“后测试型”循环,从UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循
环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继 续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程
反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环 体,跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句,是先执行循
环体后进行条件判断的循环语句.
要点诠释
当型循环与直到型循环的区别
①当型循环是先判断后执行,直到型循环是先执行后判断;
②当型循环用WHILE语句,直到型循环用UNTIL语句;
③对同一算法来说,当型循环和直到型循环的条件互为反条件.
【典型例题】
类型一:输入语句、输出语句和赋值语句
例1.阅读下列程序,并回答问题.
(1)程序 (2)程序

INPUT A,B,C
INPUT a,b
(1)中若输入1,2,则输出的结果为________
A=A+B

c=a―b
(2)中若输入3,2,5,则输出的结果为________.
B=B-A
b=a+c―b
【答案】(1)1,―2,―1(2)C=―3
C=C/A*B
PRINT a,b,c
【解析】 分别将输入的值代入程序中逐步计算即可,要注意赋值前后变量值的变化.
PRINT “C=”;C
END
(1)阅读程序,由a=1,b=2,c=a―b
END
可得c=―1;又根据语句b=a+c―b,可得b=―2;
所以程序运行后的结果为:1,―2,―1.
(2)阅读程序,由A=3,B=2,C=5,A=A+B,可得A=5,
又根据语句B=B―A,可得B=―3,
又C=C/A*B,所以输出结果为C=―3.
【总结升华】赋值语句在给变量赋值时,先计算赋值号右边的式子然后赋值给赋值号左边的变量;另< br>外可以给一个变量先后多次赋不同的值,但变量的取值只与最后一次赋值有关.解决此类问题时要时刻把< br>握某个变量在该程序中充当的角色,时刻关注其值的改变情况.
举一反三:


【变式1】当x的值为5时,语句PRINT “x=”;x在屏幕上的输出结果为( )
A.5=5 B.5 C.5=x D.x=5
【答案】 D
【变式2】 写出下列语句描述的算法的输出结果.
(1)
a=5

b=3

c=(a+b)2

d=c*c

PRINT “d=”;d

END

(2)
a=1

b=2

c=a+b

b=a+c―b

PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c

END

(3)
a=10

b=20

c=30

a=b

b=c

c=a

PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c

END

【答案】(1)16 (2)a=1 b=2 c=3(3)a=20 b=30 c=20
【解析】 (1)∵a=5,b=3,
c?
a?b
?4
,∴d=c
2
=16.
2
(2)∵a=1,b=2,c=a+ b,∴c=3.又将a+c―b赋值给b,∴b=1+3-2=2.
(3)由b=20及a=b知a= 20,由c=30及b=c知b=30,由a=30及c=a知c=20.
【总结升华】 此题主要考查对三种语句的理解,要对三种语句理解透彻.注意写出每一步的运算结
果,以减少错误.
例2.已知一个正三棱柱的底面边长为a,高为h,试设计一个程序来求解这个正三棱柱的表面积和体< br>积,并画出程序框图.
【解析】 由题意,已知底面边长,可求出底面积,正三棱柱的高已知, 体积易得;由底面边长和高,
可求侧面积,则表面积易解.
程序框图如图所示,
程序如下:

INPUT “a=”;a

INPUT “h=”;h

S=SQR(3)*a^2/4

V=S*h
C=3*a
T=C*h
P=T+2*S
PRINT “体积:”;V
PRINT “表面积:”;P











【总结升华】这是一道立体几何与算法相结合的 综合类题目.首先要理清解题的步骤,要求正三棱柱
的体积,可以利用公式V=Sh,所以要先求出正三 棱柱的底面积,然后代入公式即可;正三棱柱的表面积等
于各面的面积之和,所以还需求正三棱柱的侧面 面积.
举一反三:
【变式1】已知钱数x(不足10元),要把它用1元、5角、1角、1 分的硬币表示,若要用尽量少的
硬币个数表示x,设计一个算法,求各硬币的个数.
【解析】其程序为:


INPUT x

x=x*100

a=x/100

b=(x―a*100)/50

c=(x―a*100―b*50)/10

d=(x―a*100―b*50―c*10)/1

PRINT a,b,c,d

END


例3.读下面的程序,根据程序画出程序框图.

INPUT “x=”;x

INPUT “y=”;y

m=x/4

n=2*y

PRINT m

PRINT n

x=x+2

y=y-1

PRINT x

PRINT y

END

【解析】 由程序可以看出,此 程序共用INPUT输入语句、赋值语句和PRINT输出语句,因此根据
程序画出程序框图,只要按顺 序从上到下把输入、赋值、输出语句表达内容填入相应图框内即可.故程序
框图如图所示.
【总结升华】 算法语句和程序框图以不同的形式展示给我们,解决问题时要注意掌握算法语句和程序< /p>


框图的相互转换.
举一反三:
【变式1】以下是一个用基本算法语句编写的程序,根据程序画出其相应的程序框图.


INPUT “x,y=”;x,y

x=x/2

y=3*y

PRINT x,y

x=x-y

y=y-1

PRINT x,y

END

【解析】程序框图如图所示.
该程序主要利用了输入语句、赋值语句和输出语句进行算法 描述,只要按顺序从上到下将输入语句、
赋值语句、输出语句表达的内容填入相应的图框即可.















例4. 经过市场调查分析,2008年第一季 度内,某地区对某件商品的需求量为12000件,为保证商品
不脱销,商家决定在月初时将商品按相同 的量投放市场,已知年初商品的库存量为50000件,用S表示商
品的库存量,请设计一个算法,求出 第一季度结束时商品的库存量,编写其程序.
【解析】 依题意,每月应投放市场12000÷3=4000(件).这样库存量随月份的变化情况如下表:
月份
库存
S
算法的程序框图如图所示.
其程序如下:
S=50000
S=S―4000
S=S―4000
S=S―4000
一月
46000
二月
42000
三月
38000


PRINT “S=”;S
END
【总结升华】 利用赋值语句可对变量多次赋值,实现代数中的四则运算.但代数中的运算很多都是< br>方程、不等式的形式,这是赋值语句所不能实现的,要写成类似于函数y=f (x)的形式才能构造成赋值语句
的形式,从而用算法程序处理.这是解决这类问题的关键.
举一反三:
高清:算法与程序框图 397425 知识讲解1中的例2
【变式1 】“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了
这个有 趣的问题.书中这样描述:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔几何?
试设计一个算法,输入鸡兔的头和鸡兔的脚的总数,分别输出鸡、兔的数量.
【解析 】先假设M只都是兔子,那么就4M只脚,这比N只脚多了(4M―N)只脚,每只鸡比兔少2
只脚,所 以鸡的数量为
A?
4M?N
,从而得到兔的数量为B=M―A.
2
算法步骤如下:
第一步,输入鸡和兔的总数量M.
第二步,输入鸡和兔的脚的总数量N.
第三步,鸡的数量为
A?
4M?N

2
第四步,兔的数量为B=M―A.
第五步,输出A,B,得出结果.
程序框图如图所示.程序如下:








INPUT “鸡和兔的总数量为:”;M
INPUT “鸡和兔的脚的总数量为:”;N
A=(4*M-N)/2
B=M-A
PRINT “鸡的数量为:”;A
PRINT “兔的数量为:”;B
END

【变式2】“植树造林,防风抗沙”.某沙漠地区在2010年年底有绿化 带树林20000亩,该地区每年春
天会种树400亩加以绿公,但同时每年冬天又会有总绿化面积的1 %被沙漠化,问2013年年底该地区总绿
化面积有多少亩?画出解决此问题的算法的程序框图,并写出 程序.
【解析】该地区总绿化面积每年都在变化,可以设置一个变量来表示每年年底的绿化面积.
程序框图如图.
程序:

S=20000

S=(S+400)*(1―0.01)

S=(S+400)*(1―0.01)

S=(S+400)*(1―0.01)

PRINT “2013年年底总绿化面积为”;S

END

【总结升华】利用赋值语句可以对同一变量进行多次赋值,程序输出变量的最后值.


类型二:条件语句
例5.给出三个正整a,b,c,判断以这3个数为三条边 边长的三角形是否存在,若存在,则求出其面
积,请设计程序实现该功能,并画出相应的程序框图.
【解析】 由于不是任意三条线段都能构成三角形的三边,因此必须先判断三边是否满足任意两边之< br>和大于第三边,即a+b>c,a+c>b,b+c>a,这些是保证能组成三角形的必要条件.经判断, 如果满足上
述条件,则按下面的公式计算三角形的面积,
p?
程序框图如图所示.
程序如下:










INPUT a,b,c
IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN
p=(a+b+c)2
S=SQR(p*(p―a)*(p―b)*(p―c)
PRINT “三角形的面积为”;S
ELSE
PRINT “不能构成三角形”
END IF
END
【总结升华】 编程的一般步骤为:
(1)算法分析:根据提供的问题利用数学及相关学科的知识,设计出解决问题的算法;
(2)画出程序框图:依据算法分析,画出对应的程序框图;
(3)写出程序:根据程序框图中的算法步骤,逐步把算法用相应的程序语句表达出来.

举一反三:
【变式1】根据如图所示的伪代码,当输入
a,b
分别为2,3 时,最后输出的m的值是________







【答案】3
【解析】由已知可知,
1
(a?b?c)

S?p(p?a)(p?b)(p?c)

2
m

a, b
中的最大值,故最后输出的
m
值为3.
?
1,x?0
?
例6.已知符号函数
y?
?
0,x?0
,试编写程序输入x的值,输 出y的值,并画出程序框图.
?
?1,x?0
?
【解析】 解法一(嵌套结构),如下图:


INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE













解法二(叠加结构),如下图:













INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
END IF
IF x=0 THEN
y=0
END IF
IF x<0 THEN
y=-1
END IF
PRINT y
END
【总结升华】:(1)条件结构的差异,造成程序执行的 不同.当输入x的值时,解法一中先判断外层的
条件,依次执行不同的分支;而解法二中按程序中条件语 句的先后依次判断所有的条件,满足哪个条件就
执行哪个条件下的语句.
(2)条件语句的嵌套可以多于两层,表达算法步骤中的多重限制条件.
举一反三:
【变式1】读下面的程序,并回答问题.


INPUT x

IF x<=2 THEN

y=x^2

ELSE

IF x<=5 THEN

y=2*x-3

ELSE

y=1x

END IF

END IF

PRINT y

END



该程序的作用是输入x的值,输出y的值.
(1)画出该程序对应的程序框图;
(2)若要使输入的x值与输出的y值相等,问这样的x值有几个?
?
?
x
2
(x?2)
?
【解析】由程序可知这是一个求
y?
?
2x?3 (2?x?5)
的函数值的程序.
?
1
?
(x?5)
?
x
(1)程序对应的程序框图如图所示.
(2)x=x
2
,则x=0或x=1.
此时均满足x≤2.
若2x-3=x,则x=3,满足2<x≤5.

1
?x
,则x=±1,不满足x>5.
x
综上可知满足题设条件的x值有3个,即x=0或x=1或x=3.

【变式2】 输入一个自然数N,求其被3除得到的余数,设计一个程序,并输出相应的信息.
【解析】程序如下:

INPUT “请输入一个自然数N;”;N

M=N MOD3

IF M=0 THEN

PRINT “能被3整除”

END IF

IF M=1 THEN

PRINT “余数为1”

END IF

IF M=2 THEN

PRINT “余数为2”

END IF

END

例7. 某商场对顾客实行优惠措施, 若购物金额x在800元以上,则打八折;若购物金额x在500元以
上,则打九折;否则不打折.画出 程序框图,要求输入购物金额x,输出实际付款额,并写出相应的程序.
【解析】 依照题意,实际付款额y与购物金额x的函数关系为:
?
x, (x?500)
?

y?
?
0.9x (500?x?800)
,程序框图如
?
0.8x (x?800)
?
程序:



INPUT “x=”;x
IF x>800 THEN
y=0.8*x
ELSE
IF x>500 THEN
y=0.9*x
ELSE
y=x
图所示.












【总结升华】对于实际问题 应先建立函数模型,然后设计算法,对自变量x的取值进行判断,这是应
用条件语句的根据.
举一反三:
【变式1】某市电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过3分钟,则 收取通话费0.2元;
如果通话时间超过3分钟,则超过部分以0.1形分钟收取通话费(t以分钟计, 不足1分钟按1分钟计),问:
如何设计一个计算通话费用的算法,画出程序框图并写出相应的程序?
【解析】我们令c(单位:元)表示通话费用,t(单位:分钟)表示通话时间,则有
?
0.2 (0?t?3)

c?
?
0.2?0.1(t?3) (t?3)
?
依上面分析可知解决这一问题的算法步骤如下:
第一步:输入通话时间;
第二步:如果0<t≤3,那么c=0.2,否则c=0.2+0.1(t-3);
第三步:输出费用c.
程序框图如图所示.程序为:

INPUT “通话时间为”;t

IF t<=3 AND t>0 THEN

c=0.2

ELSE

c=0.2+0.1*(t-3)

END IF

PRINT “通话费用为”;c

END

类型三:循环语句
高清:基本算法语句 例5
例8.试用两种语句写出计算1+2+3+…+2010的程序,并画出相应的程序框图.
【解析】 先设计出计数变量和累加变量S,依两种语句的特点分别写出,应注意各自的条件.
WHILE语句如下,程序框图如图所示:

S=0

i=1

WHILE i<=2010

S=S+i

i=i+1
WEND
PRINT S
END






UNTIL语句如下,程序框图如图所示:

S=0

i=1

DO

S=S+i

i=i+1

LOOP UNTIL i>2010

PRINT S

END




举一反三:
【变式1】编写一个程序,计算1×3×5×7×…×99的值.(分别用两种循环语句)
【解析】方法一:利用当型循环得到如图l所示的程序框图.
方法二:利用直到型循环得到如图2所示的程序图.
利用当型(WHILE)循环语句编写程序如下:




S=1

i=3

WHILE i<=99

S=S*i

i=i+2

WEND

PRINT S

END

利用直到型(UNTIL)循环语句编写程序如下:

S=1

i=3

DO

S=S*i

i=i+2

LOOP UNTIL i>99

PRINT S

END


例9.某商场第一年 销售计算机5000台,如果平均每年销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,
大约几年可使总销 售量达到30000台?
【解析】 根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同,设总销售量为S,n年达到30000台.
第一年销售了5000台;
第二年销售了5000+5000×10%=5000×(1+10%)(台);
第三年销售 了5000×(1+10%)+5000×(1+10%)×10%=5000×(1+10%)
2(台);


第n年销售了5000×(1+10%)
n1
(台).

前n年的总销售量S=5000+5000×(1+10%)+5000×(1+10%)
2
+…+5000×(1+10%)
n1
(台).
程序框图如图所示.
程序:

m=5000

S=0

i=0

WHILE S<30000

S=S+m

m=m*(1+0.1)

i=i+1

WEND

PRINT i

END

【总结升华】(1)循环条件是总销售量小于30000台.

(2)本题中第n年销售量为5000×(1+10%)
n1
台.
(3)S表示总销售量,即前n年销售量之和.
举一反三:
【变式1】 一个小球从100 m的高度落下,每次落地后又反跳回原高度的一半,再落下,在第10次
落地时,小球共经过多少路程?
【解析】第1次下落的高度h
1
=100 m;
1
h
1
?50m

2
1
第3次下落的高度
h
3
?h
2
?25m

2
第2次下落的高度
h
2
?
……
第10次下落的高度
h
10
?
1
h
9

2
1
?h
n
,n=1,2,3,…,9.到第10次落地时,共经过的路程为
2
累加变量,i作为计
如下:
所以递推关系是h
1
=10 0,
h
n?1
?
s=h
1
+2h
2
+2h
3
+…+2h
10
=2(h
1
+h
2
+… +h
10
)-h
1
,故可将s作为
数变量.
程序框图如图所示.根据以上程序框图,可设计程序

s=0

h=100

i=1
WHILE i<=10
s=s+2h
h=h2
i=i+1
WEND


















【巩固练习】
1.对赋值语句的描述正确的是( ).
①可以给变量提供初值;②可以将表达式的值 赋给变量;③可以给一个变量重复赋值;④不能给同一
变量重复赋值.
A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④
2.“x=3*5”,“x=x+1”是某一程序中的先后相邻的两个语句,那么下列说法正确的是( )
①x=3*5的意思是x=3×5=15,此式与算术中的式子是一样的;②x=3*5是将数值1 5赋给x;③x=3*5
可以写为3*5=x;④x=x+1在执行时赋值号右边x的值是15,执行后 左边x的值是16.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
3.以下程序运行后输出的结果是( )

A=3

B=A*A

A=A+B

B=B+A

PRINT A,B

A.12,5 B.12,21 C.12,3 D.21,12
4.给出以下四个问题:①输入一个数x,输出它的相反数;② 求面积为6的正方形的周长;③求三个数a,
b,c中的最大数;④求函数
f(x)?
?
?
x?1 (x?0)
的函数值.其中不需要用条件语句来描述的有( ).
?
x?2 (x?0)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知程序如下:

INPUT “a=”;a

INPUT “b=”;b

INPUT “c=”;c

max=a

IF b>max THEN
max=b
END IF
IF c>max THEN
max=c
END IF










根据程序提示依次输入4,2,-5,则程序运行结果是( ).
A.max=max B.max=2 C.max=-5 D.max=4

6.下面程序输入“x=π”时的运算结果是( ).

INPUT “x=”;x

IF x>0 THEN

y=-2

ELSE

IF x=0 THEN

y=0

ELSE

y=2

END IF

END IF

PRINT y

END

A.-2 B.0 C.π D.2
7.如果以下程序运行后输出的结果是132,那么在程序中LOOP UNTIL后的“条件”应为(


i=12

s=1

DO

s=s*i

i=i-1

LOOP UNTIL 条件

PRINT s

END
A.i>11 B.i>=11 C.i<=11 D.i<11
8.执行下列程序后,x的值是( )




i=1

x=5

WHILE i<20
x=x+i5
i=i+2
WEND
PRINT x
END







A.25 B.24 C.23 D.22
9.已知A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
)是平面上两点,试根据平面几何中两点中点的坐标 公式,设计一个程序
输入A,B两点的坐标,输出它们中点的坐标,现已经给出程序的一部分.试在横线 处把程序补充完整.

INPUT x1,y1

INPUT x2,y2

①________

②________

PRINT x,y

END

10.将下列程序补充完整,要求输入两个数,输出其中较大的一个.

INPUT a,b

IF a>b THEN

PRINT a

ELSE

________

END IF

END

11.程序如下:
INPUT x

IF x>9 AND x<100 THEN

a=x10

b=x MOD 10

x=10*b+a

PRINT x

END IF

END

(注:“\”是X除以10的商;“MOD”是X除以10的余数)
则该程序输出的x的含义是________.
12.已知下列运行程序,填写输出结果.
(1) (2)
i=0 i=0

S=0 S=0

WHILE S<=20 WHILE S<=20

S=S+i i=i+1

i=i+1 S=S+i

WEND WEND

PRINT i PRINT i

END END



(1)________; (2)________.

13.根据下面的程序,画出程序框图.

INPUT “输入一门课的成绩a”;a

INPUT “输入一门课的成绩b”;b

INPUT “输入一门课的成绩c”;c

INPUT “输入一门课的成绩d”;d

INPUT “输入一门课的成绩e”;e

aver=(a+b+c+d+e)/5

PRINT aver

END

14.求
1111
的值,要求画出程序框图,写出用基本语句编写的程序.
???
L
?
1?22?33?499?100

15.在音 乐唱片超市里,每张唱片售价25元,顾客购买5张以上(含5张)唱片,则按九折收费;顾客购
买10 张以上(含10张)唱片,则按八五折收费.编写程序,根据输入顾客购买唱片的数量a,输出顾客要
缴 纳的金额c.并画出程序框图.

16.农历9月9日是我国传统的重阳节,某饭店自助餐厅 决定在这一天进行优惠酬宾活动.对于80岁(包
括80岁)以上的老人,享受免费自助餐;70岁以上 (包括70岁)的老人享受5折优惠,60岁以上(包括
60岁)的老人享受6折优惠,其余顾客享受9 折优惠.请设计算法,完成这一天的计费工作,要求输入用
餐者的年龄、消费额,输出应付金额,编写出 程序.

【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】 赋值语言不仅可以提供初值,也可将表达式的值赋给变量,还可对某一变量重复赋值.故只有
④错.
2.【答案】B
【解析】 赋值语句中的“=”与算术上的“=”是不一样的,式子两 边的值也不能互换,而x=x+1是将x+1
的值赋给x.
3.【答案】B
【解析】 A=3+3
2
=12,B=3
2
+12=21.
4.【答案】A
【解析】 只有问题①不需要用条件语句来描述.
5.【答案】D
【解析】 该程序是求三个数中的最大数.
6.【答案】A
?
?2 (x?0)
?
【解析】 此程序表示的函数为分段函数
y?
?
0 (x?0)
,故x=π时,y=-2.
?
2 (x?0)
?
7.【答案】D


【解析】 该程序中使用了直到 型循环语句,当条件不满足时执行循环体,满足时退出循环,由于输出的
是132,故执行了两次循环体 ,因此条件应为i<11.
8.【答案】A
【解析】 i=1,满足条件,x=5,
x?x?

x?5?
i

5
1

5
1319
??L?

555
1?3?5?
L
?19
?25

5
x
1
?x
2

2
此i=3,仍继续循环…,
当i=19时,
x?5?
此时将i+2的值赋给i,∴i=21>20.
退 出循环,∴
x?5?
9.【答案】①x=(x
1
+x
2
)/ 2 ②y=(y
1
+y
2
)/2
【解析】 已知两点(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)是平面上的 两点,则它们的中点(x,y)的坐标公式为
x?
y?
y
1
?y2

2
根据平面几何知识,易知①x=(x
1
+x< br>2
)/2;②y=(y
1
+y
2
)/2.
10.【答案】PRINT b
【解析】 若a>b,则PRINT a,否则PRINT b.
11.【答案】交换十位和个位上的数字后得到的新数
【解析】 本题的关键是读懂程序.“a=x\10”的含义是将两位数x的十位数字取出来,语句“b=x MOD 10 ”
取余运算即取出x的个位数.“x=10*b+a”得到的是原两位数中的十位上的数字与个位上的数 字对调后的两
位数.
12.【答案】(1)7 (2)6
【解析】 (1)第 一次运算后S=0,i=1;第二次S=1,i=2;第三次S=3,i=3;第四次S=6,i=4;第五次< br>S=10,i=5;第六次S=15,i=6;第七次S=21>20,结束,i=7.
(2)由于第一次运算后S=1,只需6次即可.∴i=6.
13.【解析】从程序可以看出 ,这是求一个学生五门课平均成绩的程序,我们只要把输入语句、输出语句、
赋值语句转化到程序框图中 ,就很容易把框图画出来.程序框图如下图.

14.【解析】程序框图如图所示.程序如下:

S=0

i=1

WHILE i<=99

S=S+1(i*(i+1))
i=i+1
WEND
PRINT S
END








1 5.【解析】根据题意知顾客要缴纳的金额c是购买唱片数量a的分段函数,函数关系式为
?
2 5a (0?a?5)
?
c?
?
22.5a (5?a?10)
,因为条件不同,结果不同,所以程序
?
21.25a (a?10)
?
框图中需要用到条件结构,程序中需要用到条件语句.
程序如下;程序框图如图.

INPUT “a=”;a

IF a>0 AND a<5 THEN

c=25*a

ELSE

IF a<10 THEN

c=22.5*a

ELSE

c=21.25*a

END IF

END IF

PRINT c

END
16.【解析】设用x、n分别表示用餐者的年龄、消费额,用t表示应付金额,则程序如下:

INPUT x,n
IF x>=80 THEN

t=0

ELSE

IF x>=70 THEN

t=0.5*n

ELSE
IF x>=60 THEN

t=0.6*n

ELSE

t=0.9*n
END IF

END IF

END IF

PRINT t

END



第三讲:算法案例
【学习目标】


1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析;
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序;
3.了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质; 4.了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.
【要点梳理】
要点一:辗转相除法
也叫欧几里德算法,它是由欧 几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法求最大公约数的
步骤如下:
第一步 :用较大的数m除以较小的数n得到一个商q
0
和一个余数r
0

第二步:若r
0
=0,则n为m,n的最大公约数;若r
0
≠0,则用除数n 除以余数r
0
得到一个商q
1
和一个
余数r
1

第三步:若r
1
=0,则r
0
为m,n的最大公约数;若r
1
≠0,则用除数r
0
除以余数r
1
得到一个商q
2
和一个
余数r
2

……
依次计算直至r
n
= 0,此时所得到的r
n-1
即为所求的最大公约数.
用辗转相除法求最大公约数的程序框图为:

程序:
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n


IF mx=m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT n
END
要点诠释:
辗转相除法的 基本步骤是用较大的数除以较小的数,考虑到算法中的赋值语句可以对同一变量多次赋
值,我们可以把较 大的数用变量m表示,把较小的数用变量n表示,这样式子
m?n?q?r(0?r?n)
就< br>是一个反复执行的步骤,因此可以用循环结构实现算法.
要点二:更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术.
更相减损术求最大公约数的步 骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减
损,求其等也.以等数约之.
翻译出来为:
第一步:任意给出两个正整数;判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步. 第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数.
理论依据:
a?b?r?a?b?r
,得
a,b

b,r
有相同的公约数
更相减损术一般算法:
第一步,输入两个正整数
a,b(a?b)
第二步,如果
a?b
,则执行
S3
,否则转到
S5

第三步,将
a?b
的值赋予
r

第四步,若
b? r
,则把
b
赋予
a
,把
r
赋予
b
,否则把
r
赋予
a
,重新执行
S2

第五步,输出最大公约数
b
.
程序:
INPUT “a=”,a
INPUT “b=”,b
WHILE a<>b
IF a>=b
a=a-b;
ELSE
b=b-a


WEND
END
PRINT b
或者
INPUT “请输入两个不相等的正整数”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a2
b=b2
i=i+1
WEND
DO
IF bt=a
a=b
b=t
END IF
c=a-b
a=b
b=c
LOOP UNTIL a=b
PRINT a^i
END
要点诠释:
用辗转相除法步骤较少,而更相减损术虽然有些步骤较长,但运算简单.
要点三:秦九韶计算多项式的方法
f(x)?a
n
x
n
? a
n?1
x
n?1
?a
n?2
x
n?2
?
L
?a
1
x?a
0
?(a
n
x
n ?1
?a
n?1
x
n?2
?a
n?2
x
n ?3
?
L
?a
1
)x?a
0
?((a
n< br>x
n?2
?a
n?1
x
n?3
?
L
?a
2
)x?a
1
)x?a
0
?
LL
?(
L
((a
n
x?a
n?1
)x?a
n?2
)x?
L
?a
1
)x?a
0


v
k
?(L((a
n
x?a
n?1
)x?a
n?2
)x?L?a
n?(k?1)
)x?a
n?k
,则有
?
这样 ,我们便可由
v
0
依次求出
v
1
,v
2
, ?v
n

?
v
0
?a
n
,其中
k?1,2,?n
.
?
v
k
?v
k?1
x?an?k
v
1
?v
0
x?a
n?1
,
v
2
?v
1
x?a
n?2
,
v
3
? v
2
x?a
n?3
,

?
v
n
? v
n?1
x?a
0


要点诠释:
显然,用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算
要点四:进位制
进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数,
基数为n,即可称n进位制,简称n进制.现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0-9进 行记数.
对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示.比如:十进数57,可以用二进制表示为 111001,也
可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的.
表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数 ,34
(5)
表示5进制数.
1.k进制转换为十进制的方法:
a
n
a
n?1
a?a
2
a
1
a
0(k)< br>?a
n
?k
n
?a
n?1
?k
n?1
???a
2
?k
2
?a
1
?k?a
0
, 把k进制数a转化为十进制
数b的算法程序为:
INPUT “ a,k,n=”;a,k,n
i=1
b=0
WHILE i<=n
t=GET a[i]
b=b+t*k^(i-1)
i=i+1
WEND
PRINT b
END
2.十进制转化为k进制数b的步骤为:
第一步,将给定的十进制整数除以基数k,余数便是等值的k进制的最低位;
第二步,将上一步的商再除以基数k,余数便是等值的k进制数的次低位;
第三步,重复第二 步,直到最后所得的商等于0为止,各次所得的余数,便是k进制各位的数,最后一
次余数是最高位,即 除k取余法.
要点诠释:
1、在k进制中,具有k个数字符号.如二进制有0,1两个数字.
2、在k进制中,由低位向高位是按“逢k进一”的规则进行计数.
3、非k进制数之间的转 化一般应先转化成十进制,再将这个十进制数转化为另一种进制的数,有的也
可以相互转化.
【典型例题】
类型一:辗转相除法与更相减损术
例1.分别用辗转相除法和更相减损术求378与90的最大公约数.
【答案】18
【解析】 用辗转相除法:
378=90×4+18,90=18×5.
∴378与90的最大公约数是18.
用更相减损术:
∵378与90都是偶数,
∴用2约分后得189和45.
189-45 =144,144-45=99,99-45=54,54-45=9,45-9=36,36-9=27,27 -9=18,18-9=9.
∴378与90的最大公约数为2×9=18.


【总结升华】比较辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求最大公约数的 方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗
转相除法计算次数相对较少 ,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显;
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体 现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差
相等而得到.
由该题可以看出,辗转相除法得最大公约数的步骤较少.
对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为0,更相减损术是到达减数和差相等.
举一反三:
【变式1】(1)用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数.
(2)利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数.
【解析】 (1) 因为84=21×4,72=18×4,
所以21-18=3,
18-3=15,
15-3=12,
12-3=9,
9-3=6,
6-3=3.
所以21和18的最大公约数等于3.
所以84和72的最大公约数等于12.
【总结升华】先约简,再求21与18的最大公约数,然后乘以约简的4得84与72的最大公约数.
(2)6497=3869×1+2628,
3869=2628×1+1241,
2628=1241×2+146,
1241=146×8+73,
146=73×2+0.
所以3 869与6 497的最大公约数为73,
最小公倍数为3 869×6497÷73=344341.
例2.求三个数:168,54,264的最大公约数.
【思路点拨】运用更相减损术或辗转 相除法,先求168和54的最大公约数a,再求a与264的最大公
约数.
【答案】6
【解析】
采用更相减损术先求168和54的最大公约数.
(16 8,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36) →(6,30)
→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6).
故168和54的最大公约数为6.
采用辗转相除法求6和264的最大公约数.
∵264=44×6+0,
∴6为264与6的最大公约数,也是这三个数的最大公约数.
【总结升华】 求最大公约数通常有两种方法:一是辗转相除法;二是更相减损术,对于3个数的最大
公约数的求法,则是先求其中两个数的最大公约数m,再求m与第三个数的最大公约数.同样可推广到求
3个以上数的最大公约数.
举一反三:
【变式1】求三个数324,243,135的最大公约数.


【答案】27
【解析】∵324=243×1+81,
243=81×3+0,
∴324与243的最大公约数为81.
又135=81×1+54,
81=54×1+27,
54=27×2+0,
∴81与135的最大公约数为27.
∴三个数324,243,135的最大公约数为27.
更相减损术:
∵324-243=81,
243-81=162,
162-81=81,
∴81是324和243的最大公约数.
又135-81=54,
81-54=27,
54-27=27,
∴27是81与135的最大公约数.
∴三个数324,243,135的最大公约数为27.
例3.甲、乙、丙三种溶液分别重
147g

343g

133g
,现要将它们分别全部装入小瓶中, 每个小瓶
装入液体的质量相同,问每瓶最多装多少?
【思路点拨】由题意,每个小瓶最多能装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数.
【答案】
7g

【解析】
先求147与343的最大公约数.
343-147=196,
196-147=49,
147-49=98,
98-49=49,
∴147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数.
133-49=84,
84-49=35,
49-35=14,
35-14=21,
21-14=7,
14-7=7.
∴147,343,133的最大公约数是7.
故每瓶最多装
7g
. 【总结升华】本题关键是分析清楚题意,找出三个数的最大公约数.求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时,可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得.


类型二:秦九韶算法
例4.利用秦九韶算法求
f(x)?1?x?0 .5x?0.16663x?0.04168x?0.00835x
在x=0.2时的值.写
出 详细计算过程.
【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的.
(1) 特点:它通过一次式的反复计算,逐步计算高次多项式的求值问题,即将一个n次多项式的求值问
题,归 结为重复计算n个一次式
(a
i
x?a
i?1
)
.即
f(x)?(L((a
n
x?a
n?1
)x?a
n?2
) x?La
1
)x?a
0

nn?1
(2)具体方法如下: 已知一个一元n次多项式
f(x)?a
n
x?a
n?1
x?L?a< br>1
x?a
0
0.当x=x
0
,我们可
2345
按顺序一项一项地计算,然后相加,求得
f(x
0
)

【答案】1.2214024
【解析】
v
0
=0.00835,
v
1
=v
0
x +0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35,
v2
=v
1
x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0. 1753,
v
3
=v
2
x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506,
v
4
=v
3
x+1=0.53506×0.2+1=1.107012,
v
5
=v
4
x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024.
【总结升华】秦九韶算法的原理是

?
?
v
0
?a
n

?
v
k
?v
k?1
x?a
n?k
(k?1,2,3,
L
,n)
在运用秦九韶算法进行计算时,应注意每一步的运算结果,像这种一环扣一环的运算, 如果错一步,
则下一步,一直到最后一步就会全部算错.同学们在计算这种题时应格外小心.
举一反三:
【变式1】用秦九韶算法求多项式
f(x)?8x?5x?3x?2x?1
当x=2时的值.
【答案】1397
【解析】
764
f(x)?8x
7
?5x
6
?0?x
5
?3x
4
?0?x
3
?0?x
2
?2x?1?((((((8x?5)x?0)x?3)x?0 )x?0)x?2)x?1

v
0
=8,
v
1
=8×2+5=21,
v
2
=21×2 -0=42,
v
3
=42×2 -3=87,
v
4
=87×2+0=174,
v
5
=174×2+0=348,
v
6
=348×2+2=698,
v
7
=698×2+1=1397,
所以,当x=2时,多项式的值为1397.
【变式2】用秦九韶算法计算多项式
f(x)? 6x?5x?4x?3x?2x?x?7
在x=0.4时的值时,需做加
65432

< p>
法和乘法的次数和是( )
A.10 B.9 C.12 D.8
【答案】 C
【解析】
f(x)?(((((6x?5)x?4)x?3)x?2)x?1)x?7

∴加法6次,乘法6次,
∴6+6=12(次),故选C.
类型三:进位制
例5.(1)试把十进制数136转化为二进制数;
(2)试把十进制数1 234转化为七进制数.
【答案】(1)10001000

2

(2)3412

7


【解析】 (1)由于136=2×68+0,
68=2×34+0.
34=2×17+0.
17=2×8+1.
8=2×4+0.
4=2×2+0.
2=2×1+0.
1=2×0+1.
所以136=10001000

2


(2)1234=7×176+2,
176=7×25+1.
25=7×3+4.
3=7×0+3.
所以1234=3412

7


【总结升华】(1)应注 意搞清每一次除法中的被除数、除数,当商为零时停止除法,把每步所得的余数
倒着排成一个数,就是相 应的二进制数.
(2)十进制数转化为七进制数与转化为二进制数的方法类似,要认真体会其原理.
举一反三:
【变式1】(1)把十进制数89转化为二进制数;
(2)将十进制数2l转化为五进制数.
【解析】(1)用除2取余法:

∴89=2×(2×(2×(2×(2×(2×(2×0+1)+0)+1)+1)+0)+0)+1= 2×(2×(2×(2×2×(2
2
×
0+2+0)+1)+1)+0)+0)+1 =……=1×2
6
+0×2
5
+1×2
4
+1×2
3
+0×2
2
×0×2
1
+1×2
0
=10110 01
(2)

(2)用除5取余法,可得



∴21=41

5


例6.把210121l

3

转化为八进制数.
【答案】3326

8


【解析】 先将三进制数转化为十进制数,再将十进制数转化为八进制数.
2101211

3


=2×3
6
+1 ×3
5
+1×3
3
+2×3
2
+1×3
1
+1×3
0

=1458+243+27+18+3+1
=1750.
1750=8×218+6.
218=8×27+2.
27=8×3+3.
∴1750=8×218+6
=8(8×27+2)+6
=8(8(8×3+3)+2)+6
=8(3×8
2
+3×8+2)+6
=3×8
3
+3×8
2
+2×8+6
=3326

8


∴2101211

3

=3326

8


【总结升华】从本例的解答中,大家要有两个提高.
第一,把三进制数转化为八进制数,十进 制数起了桥梁和纽带的作用,具体体现是2101211=1750=3326

3



8

第二,在把1750转化为3326

8

时,我们没有列竖式,大家要从中体会一下方法的内在规律.
举一反三:
【变式1】在十进制中,
2004?4?10?0?10?0?10?2?10
,那 么在五进制中数码2 004折合
成十进制为( )
A.29 B.254 C.602 D.2 004
【答案】B
解析:
2004?4?5?0?5?0?5?2?5?254
,故选B.
【变式2】(1)将二进制数
111
12
L
3
1

2

转化成十进制数;
16个1
0123
0123
(2)将七进制数235

7

转化成八进制数.
【答案】(1)
2?1
(2)174

8


【解析】对于(1),按照形式a
n
a
n

1
a
n

2
…a
1
a
0

2

=a
n
×2
n+
a
n

1
×2
n 1
+…+a
1
×2+a
n
计算即可;对于(2),
先将七进 制数转化成十进制数,再将所得十进数转化成八进制数.
(1)
111
12
L
3
1
16个1
(2)

16
?1?2
1 5
?1?2
14
?L?1?2
1
?1?2
0
?2< br>16
?1

(2)235

7

=2×7 2+3×7+5=124,利用除8取余法得124=174

8

,过程如 图所示,
所以235

7

转化成八制数为174

8


【巩固练习】
1.1337与382的最大公约数是( ).
A.3 B.382 C.191 D.201
2.用辗转相除法求得459和357的最大公约数是( ).
A.3 B.9 C.17 D.51
3.下列各数中最小的是( )
A.
111111
(2)
B.
210
(6)
C.
1000
(4)
D.
81
(9)

4.用秦九韶算法计算多项式
f(x)?x6
?12x
5
?60x
4
?160x
3
?24 0x
2
?192x?64
,当
x?2
时,
f(2)
的值为
A.0 B.2 C.-2 D.4
5.把67转化为二进制数为( ).
A.1100001

2

B.1000011

2

C.110000

2

D.100011l

2


6.用秦九韶算法求多项式
f (x)?4x?x?2
当x=3时的值时,需要进行的乘法运算和加减运算的次数分
别为( ).
A.4,2 B.5,3 C.5,2 D.6.2
7.已知一个k进制数132与十进制数30相等,那么k等于( ).
A.-7或4 B.-7 C.4 D.都不对
8. 计算机中常用的十六进制是 逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符
号与十进制数的对应关系 如下表:
十六进制
十进制
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
A
10
B
11
C
12
D
13
E
14
F
15
52
例如,用十六进制表示:E+D=1B,则A×B等于( ).
A.6E B.72 C.5F D.B0
9.三个数
72,120,168
的最大公约数是 .
10.(1)l 011010

2

=________.
(2)154

6

=________

7


11.已知a=333,b=24,则使得a=bq+r(q,r均为自然数, 且0≤r<b)成立的q和r的值分别为________.
12. 秦九韶的算法中有
n< br>个一次式,若令
v
0
?a
n
,我们可以得到
?
以利用 结构来实现.
13.用秦九韶算法求多项式
f(x)?7x?6x?5x?4x?3x?2x?x


x?3
时的值.
14.古时候,当边境有敌人来犯时,守边的官兵通过在 烽火台上举火向国内报告,如下图,若烽火台上点
火,则用数字1表示,若不点火用数字0表示,约定二 进制数对应的十进制数的单位是1000,请你计算一
下,这组烽火台表示边境有多少敌人入侵? 765432
?
v
0
?a
n

我们可
,2,
L
,n).
?
v
k
?v
k?1
x? ___(k?1


15.设有甲、乙、丙三种溶液,质量分别 为
4
132
kg、
3
kg、
2
kg.要将它们分别 全部装入小瓶中,每个
649
小瓶装入液体的质量相同.每瓶最多装多少?


【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】 1337=382×3+191,382=191×2+0,1337与382的最大公约数为191.
2.【答案】D
【解析】 ∵459=357×1+102,357=102×3+51 ,102=51×2+0,即51为459和357的最大公约数.
3. 【答案】A
【解 析】把这四个数都化为十进制数
111111
(2)
?63

210
(6)
?78

1000
(4)
?64

81
(9)
?73
,故选
A.
4.【答案】A
【解析】 按秦九韶算法计算.
5.【答案】B
【解析】 利用除2取余法易得67=1000011

2


6.【答案】C
【解析】
f(x)?4x?x?2?(((4x)x)x?1)x )x?2
,所以需要进行5次乘法运算和2次加减运算.
7. 【答案】C
【解析】 ∵132

k

=1×k2+3k+2=30,∴k=- 7或k=4.又∵k>0,∴k=4.故选C.
8. 【答案】A
【解析】A×B用十 进制可以表示为10×11=110,而110=6×16+14,所以用十六进制表示为6E,故选A.
9. 【答案】
24

【解析】
120?72?1?48,72?48?1?24,48?24?2,168?24?7

10.【答案】80 130
【解析】(1)1011010

2< br>)
=0×2
0
+1×2
1
+0×2
2
+1× 2
3
+1×2
4
+0×2
5
+1×2
6
= 90.
(2)154

6

=4×6
0
+5×6
1
+1×6
2
=4+30+36=70.将70转化为七进制数,故70=1 30(7).
11.【答案】13,21
【解析】 用333除以24,商即为q,余数就是r.333=24×13+21.
12. 【答案】
a
n?k
;循环
13. 【答案】21324
【解析】
f(x)?((((((7x?6)?5)x?4)x?3)x?2)x?1)x

5 2
V
0
?7,V
1
?7?3?6?27,V
2
?2 7?3?5?86,V
3
?86?3?4?262,

V4
?262?3?6?789,V
5
?789?3?2?2369,

V
6
?2369?3?1?7108,V
7
?7108?3?0?2 1324,
?f(3)?21324

14.【答案】27000

< br>【解析】由题图可知,从左到右的五个烽火台,表示二进制数的自左到右的五个数位.这组烽火台表示的< br>二进制数是11011(2),转化为十进制数为11011

2

= 1×2
4
+1×2
3
+0×2
2
+1×2
1
+1×2
0
=16+8+2+1=27.
又27×1000=27000,
所以,这组烽火台表示边境共有27000个敌人入侵.
5

36
12515
【解析】
4?

3?

2????

663644369936
5
,,,
??????
363636363636363636
1751560
,,,
??????
363636363636363636
601515
??

??

??
36363636363636363613
15

4

3
的最大公约数为.
64
36
801535
,,,
??????
363636 363636363636
35152055
,,.
????

? ???
363636363636363636363636
132
5
综上所 述,
4

3

2
的最大公约数是.
649
36
15.【答案】

第四讲:《算法初步》全章复习与巩固

【学习目标】
1.了解算法的含义,了解算法的思想;
2. 重点理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构;
3. 重点理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义;
4.会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。
【知识网络】




【要点梳理】
要点一:算法的概念
1、算法的定义:
广义的 算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算
法,菜谱是 做菜的算法等等.
在数学中,现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤,这 些程序或步骤必须
是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
2、算法的特征:
(1)确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的、甚至
无用的步骤,“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.
(2)逻辑性:算法从开始的“第一步”直 到“最后一步”之间做到环环相扣,分工明确,“前一步”是
“后一步”的前提,“后一步”是“前一步 ”的继续.
(3)有穷性:算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确 的结果,也
就是说必须在有限步内完成任务,不能无限制的持续进行.
(4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
3、设计算法的步骤
算法与一般意义上的解决问题的方法不同,它是针对一类问题的一般解 法的抽象和概括,在设计算法时,
要注意算法的特性,即概括性、逻辑性、有穷性、普遍性等.一般用算 法解决问题的过程可大致分为三步:
(1)明确问题的性质,分析题意.
(2)建立问题的描述模型.
(3)设计明确的算法.
要点二:程序框图及其画法
1. 程序框图的概念:
程序框图又称流程图,是最常用的一种表示法,它是描述计算机一 步一步完成任务的图表,直观地描
述程序执行的控制流程,最便于初学者掌握。
2.程序框图常用符号:


图形符号







名称
开始结束框
输入输出框
处理框
判断框
流程线
连接点
注释框
含义
用于表示算法的开始与结束
用于表示数据的输入或结果的输出
描述基本的操作功能,如“赋值”操作、数
学运算等
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标
明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”
表示流程的路径和方向
用于连接另一页或另一部分的框图
框中内容是对某部分流程图做的解释说明
3.画程序框图的规则:
(1)使用标准的框图的符号;
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画;
(3)除判断框图外,大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框是具有超过一个退出点的唯
一符号;
(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一种是多分 支判断,有
几种不同的结果;
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
4、算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构,语句 与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的.它是由若干
个依次执行的步骤组成的,它是任何一 个算法都离不开的一种基本算法结构.
见示意图和实例:


顺序 结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤.如在
示意图 中,A框和B框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执行B框所指定的操作.
(2)条件结构
如下面图示中虚线框内是一个条件结构,此结构中含有一个判断框,算法执行 到此判断给定的条件P
是否成立,选择不同的执行框(A框、B框).无论P条件是否成立,只能执行A 框或B框之一,不可能既执
行A框又执行B框,也不可能A框、B框都不执行.A框或B框中可以有一个 是空的,即不执行任何操作.
见示意图

要点诠释:
条件结构中的条件要准确,不能含混不清,要清楚在什么情况下需要作怎样的判断,用什么条件来区分.
(3)循环结构
在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始 ,按照一定条件重复执行
某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构.
①当型循环结构,如左下图所示,它 的功能是当给定的条件P成立时,执行A框,A框执行完毕后,返
回来再判断条件P是否成立,如果仍然 成立,返回来再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次返回来
判断条件P不成立时为止,此时不再执 行A框,离开循环结构,继续执行下面的框图.
②直到型循环结构,如右下图所示,它的功能是先执行 重复执行的A框,然后判断给定的条件P是否成
立,如果P仍然不成立,则返回来继续执行A框,再判断 条件P是否成立,依次重复操作,直到某一次给
定的判断条件P成立为止,此时不再返回来执行A框,离 开循环结构,继续执行下面的框图.
见示意图

要点诠释:
循环结构中 使用什么样的条件控制循环的开始和结束,要清楚满足某个条件的变量的次数与循环次数的
联系与区别.


5.设计程序框图的注意事项
程序框图是用规定的图形和连接线来准确、直观 、形象地表示算法的图形,画程序框图之前应先根据问
题设计出合理有效的算法,然后分析算法的逻辑结 构,最后根据逻辑结构画出相应的程序框图.
在画程序框图时,应注意图形的准确性,连接线指向方向要正确.
在利用判断框设计循环结构时,对循环变量要先赋值,同时注意推出的条件,不能形成死循环.
要点三:用基本算法语句编写程序
1.输入语句
在程序中的INPUT语句就是输入语句.这个语句的一般格式是:


INPUT “提示内容”;变量

其中,“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息.
INPUT语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为:

INPUT “提示内容1,提示内容2,提示内容3,…”;变量1,变量2,变量3,…

功能:可对程序中的变量赋值.
要点诠释:
①“提示内容”提示用户输入什么样的 信息,必须加双引号,提示内容“原原本本”的在计算机屏幕上
显示,提示内容与变量之间要用分号隔开 ;
②变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;
③一个语句可以给多个变量赋值,中间用“,”分隔,但最后的变量的后面不需要;
④要求输入的数据必须是常量,而不能是函数、变量或表达式;
⑤无计算功能.
例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成:
INPUT “数学,语文,英语”;a,b,c
2.输出语句
在程序中的PRINT语句是输出语句.它的一般格式是:

PRINT “提示内容”;表达式


同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容”.
功能:可输出表达式的值,计算.
要点诠释:
①“提示内容”提示用户输出什么样的信息,提示内容必须加双引号,提示内容要用分号和表达式分开;
②表达式是指程序要输出的数据,可以是变量、计算公式或系统信息;
③一个语句可以输出多个表达式,不同的表达式之间可用“,”分隔;
④有计算功能,可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.
3.赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.它的一般格式是:

变量
=
表达式

赋值语句中的“=”叫做赋值号.
功能 :先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达
式的值 .


要点诠释:
①赋值号的左右两边不能对换,如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的;
②格式中 右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式,如果“表达式”是一个算式时,赋值语句的作
用是先计算 出“=”右边表达式的值,然后将该值赋给“=”左边的变量;
③赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式,如:2=X是错误的;
④不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等);
⑤对于一个变量可以多次赋值;
⑥有计算功能;
⑦赋值号与数学中的等号的意义是 不同的.赋值号左边的变量如果原来没有值,则执行赋值语句后,获
得一个值,如果已有值,则执行该语 句后,以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值,即将“原值”冲
掉.
4.条件语句 算法中的条件结构是由条件语句来表达的,是处理条件分支逻辑结构的算法语句.它的一般格式是:
(IF-THEN-ELSE格式)




IF 条件 THEN


满足条件?

语句1


ELSE

语句2

语句1 语句2
END IF



当计算机执行上述语句时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符 合,就执行THEN后的语句1,否
则执行ELSE后的语句2.其对应的程序框图为:(如上右图)
在某些情况下,也可以只使用IF-THEN语句:(即IF-THEN格式)






满足条件?
IF 条件 THEN

语句


END IF
语句




计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对IF后的条件进行判断,如果条件 符合,就执行THEN
后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句.其对应 的程序框图为:(如上右
图)
要点诠释:
条件语句的作用:在程序执行过程中,根 据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去.需
要计算机按条件进行分析、比较、判断,并 按判断后的不同情况进行不同的处理.
5.循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现 的.对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也


有当型(WHILE型) 和直到型(UNTIL型)两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL语句.
(1)WHILE语句的一般格式是:




WHILE 条件 循环体

循环体


满足条件?
WEND






其中循环体 是由计算机反复执行的一组语句构成的.WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环
体或跳出 循环体的.
当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与 WEND之间的循环体;
然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行, 直到某一次条件不符合为
止.这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEN D之后的语句.因此,当型循环有
时也称为“前测试型”循环.其对应的程序结构框图为:(如上右图)
(2)UNTIL语句的一般格式是:





循环体
DO

循环体


LOOP UNTIL 条件


满足条件?




其对应的程序结构框图为:(如上右图)
直到型循环又称为“后测试型”循环,从UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循
环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继 续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程
反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环 体,跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句,是先执行循
环体后进行条件判断的循环语句.
要点诠释
当型循环与直到型循环的区别
①当型循环是先判断后执行,直到型循环是先执行后判断;
②当型循环用WHILE语句,直到型循环用UNTIL语句;
③对同一算法来说,当型循环和直到型循环的条件互为反条件.
基本算法语句包括输入语句、 输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种,它们对应于算法的三种逻
辑结构:顺序结构、条件分支 结构、循环结构,用基本语句编写程序时,要注意各种语句的格式要求,特
别是条件语句和循环语句,应 注意这两类语句中条件的表述以及循环语句中有关变量的取值范围.
【典型例题】
类型一:算法设计


例l.写出解方程
x?2x?3?0
的一个算法.
【解析】 算法一:
第一步:将方程左边因式分解,得
(x?3)(x?1)?0
; ①
第二步:由①得x-3=0, ②
或x+1=0; ③
第三步:解②得x=3,解③得x=-1.
算法二:
第一步:移项,得
x?2x?3
; ①
第二步:①式两边同时加1并配方,得
(x?1)?4
; ②
第三步:②式两边开方,得
x?1??2
; ③
第四步:解③得x=3或x=-1.
算法三:
第一步:计算方程的判别式判断其符号△=2
2
+4×3=16>0;
第二 步:将
a?1

b??2

c??3
,代入求根公式,得< br>x
1,2
2
2
2
?b?b
2
?4ac
?
,得
x
1
?3

x
2
??1

2a
【总结升华】 比较三种算法,算法三更简单,步骤最少,由此我们只要有公 式可以利用,利用公式解
决问题是最理想、合算的算法.因此在寻求算法的过程中,首先是利用公式,下 面我们设计一个求一般的
一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的根的算法如下 :
第一步:计算
△?b?4ac

第二步:若
△?0
,方程无实根;
2
2
?b?b
2
?4ac
第三步:若△≥0,方程的根
x
1,

2?
2a
例2.设计一个算法,将高一某班56名同学中考试成绩不及格者的分数打印出来.
【解析】 算法步骤如下:
S1 令n=1.
S2 如果n>56,则转到S7.
S3 输入一个学生的成绩G.
S4 将G和60比较,如果G<60,则输出G.
S5 n=n+1.
S6 转到S2.
S7 结束.
【总结升华】该题中实际是用到了算法的条件结构和循 环结构,条件结构用于判断分数是否小于60;
循环结构用于控制输入成绩的次数.
举一反三:
【变式1】 写出求过点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成的三角形面积的一个算法.
【解析】算法步骤如下:


第一步:取
x
1
??2

y
1
??1

x
2
?2

y2
?3

第二步:得直线方程
y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
第三步:在第二步的方程中令y=0,得y的值m,从而得直线与y轴的交点A(0,m);
第四步:在第二步的方程中令y=0,得x的值n,从而得直线与x轴的交点B(n,0);
第五步:根据三角形的面积公式求
S?
1
|m|g|n|

2
第六步:输出运算结果.
【总结升华】先由M,N两点得出直线的方程,再求直线 与两坐标轴的交点,求出三角形的两条直角
边长,再由面积公式计算.
类型二:程序框图及其画法
例3.输出1000以内能被3和5整除的所有正整数,画出其程序框图.
【解析】 能被3和5整除的正整数一定能被15整除,由于1000=15×66+10,因此1000以内一共
有66个这样的正整数.
引入变量a表示待输出的数,则a=15n(n=1,2,3,…,66), n从1变到66,反复输出a,就能输
出l000以内的所有能被3和5整除的正整数,算法流程图如图 所示.

【总结升华】像这样的算法结构称为循环结构,其中反复执行的第②部分称为循环体.
变量n控制着循环的开始和结束,称为循环变量,第①部分就是赋予循环变量初始值,预示循环开始.
第③部分判断是否继续执行循环体,称为循环的终止条件.
循环结构主要用在一些有规律的重 复计算的算法中,如累加求和、累乘求积等问题常需要用循环结构
来设计算法.
在循 环结构中,要注意依据条件,设计合理的计数变量、累加变量等,要特别注意循环结构中条件的
表述要恰 当、精确,以免出现多一次循环或少一次循环的情况.

例4.按下列程序框图来计算:(算 法)执行如图所示的程序框图,若输入
n
的值为8,则输出
s
的值为
______.




【思路点拨】本题是循环型程序框图,可以依次写出其前面的循环,找到规律,进而解答。
【答案】8
11
【解析】第一次循环,
s??
?
1?2< br>?
?2
,
i?4
,
k?2
;第二次循环,
s ??
?
2?4
?
?4
,
i?6
,
k?3< br>;第三
12
次循环,
s??
?
4?6
?
?8
,
i?8
,
k?4
.此时退出循环,输出
s
的值为 8.
1
3
举一反三:
【变式1】指出下列程序框图的运行的结果.
(1)图1的运行结果是
s?

(2)图2的运行结果是
a?

开始
开始
输入R

s?

b?4

ab
b
?
a
a?2
b?R2

a?2b

输出S
结束
图1
输出a
结束
图2


(3)图3中若输入
?4
,则输出的结果是 ;
(4)图4的运行结果是 .
开始
输入a

输出< br>a
开始
a?5,s?1
a?0?


a?4?

s?s?a

输出s
结束
输出“
是负数”

结束
图3
a?a?1

图4

【答案】(1)
s?

5
;(2)
a?2R
;(3)是负数;(4)
20

2
【变式2】如图5的算法功能是 ; 输出的结果为
i?

i?2?

开始
输入i?2
i(i?2)?624?


输出i,i?2
i?i?2

结束
图5

【答案】积为624的相邻两个整数,24,26
【变式3】已知函数
f(x)?2 x?1
,以下程序框图(图6)表示的是给定
x
值,求其相应函数值的算法.请
将该程序框图补充完整.其中①处应填 ,②处应填 .
开始
输入x





y=1-2x

输出y
结束
图6


【答案】
x?
1

y?2x?1


2

类型三:用基本算法语句编写程序
例5.如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线B-C-D-A由点B(起点 )向点A(终
点)运动.设点P运动的路程为x,△APB的面积为y,求y与x之间的函数关系式.画 出程序框图,并写
出程序.

【思路点拨】此分段函数只要能够判断x的取值范围, 就能够很容易的求出y的值.所以我们可以分
x?4

x?8

x? 8
这两个模块分别设计算法,然后再组合成整个算法.
(0?x?4)
?
2x
?
(4?x?8)
【解析】 按x 的变化情形,可知函数关系式为
y?
?
8
?
2(12?x)(8?x ?12)
?
程序框图如图所示

程序如下:



【总结升华】 本题要求运用条件语句的嵌套来完成,在书写含有嵌套形式的程序时,一般采用缩 进的
形式体现层次性.另外在书写运算符、逻辑关系符、常用数值符时,应按照要求规范书写。
举一反三:
?
1?x(x?0),
?
【变式1】已知函数
y?
?
0(x?0),
请设计输入x的值,输出y值的算法,画出算法框图,并用
?
?x(x?0),
?
基本语句描述算法.
【解析】算法步骤如下:
第一步:输入x.
第二步:如果x大于0,则输出1+x,否则执行第三步.
第三步:如果x等于0,则输出0,否则输出-x.
根据这个描述,可有算法框图如图所示.

根据算法框图,可设计条件语句如下:



例6.某班共有60名同学,在一次考试中,某科的成绩分为三个等级:80~100分为A,60~79分为B ,
60分以下为C,要求设计输出每个学生相应的成绩等级的算法,并统计各个等级的人数,先画框图, 再写
程序.
【解析】程序框图如图所示.

程序:



【总结升华】本题中学生成绩等级由是否小于60分和是否小于80分控制,要用循环变量来控制循环.
循环语句中一定包含着条件语句,在使用两种语句书写程序时,要明确它们各自的书写模式.
举一反三:
【变式1】设计算法,求
1?
11111
的值,画出程序框图,并写出程序.
???…??
2349991000
【思路点拨】本题为正、负相间隔的求和算式,故 采用奇、偶分析法进行判断.
【解析】算法框图如下图所示.



用Do Loop语句描述如下:

【巩固练习】
1.下列给出的赋值语句中正确的是( )
A.4 = M B.M =-M C.B*A=3 D.x + y = 0
2.在开始
如下图所示的算法流程图中,输出
S
的值为(
A.11


B.12 C.13 D.15

S=0


i=3


S=S+i




i=i+1


i>5


输出

S
结束










3.右边程序执行后输出的结果是( )
A.
?1
B.
0
C.
1
D.
2



n=5

s=0

WHILE s<15

S=s + n

n=n-1

WEND

PRINT n

END
4. 右边程序运行后输出的结果为( )
A.
50
B.
5
C.
25
D.
0



a=0

j=1

WHILE j<=5

a=(a + j) MOD 5

j=j+1

WEND

PRINT a

END


5.下图给出的是计 算
1111
2
?
4
?
6
?????
20< br>的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )




A.i>10 B.i<10 C.i>20 D.i<20 < br>6.下图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记< br>L,A
10
(如
A
2
表示身高(单位:cm)在
?< br>150155

A
1
,A
2

.图2是统计 图1中身高在一

?
内的学生人数)
定范围内学生人数的一个算法流程图.现 要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,
那么在流程图中的判 断框内应填写的条件是( )
A.
i?6
B.
i?7
C.
i?8
D.
i?9


人数人
600< br>550
500
450
400
350
300
250200
150
100
50

开始













输入A
1
,A
2
,...,A
10

S?0
i?4




i?i?1
i

S?S?A

145150195

图1
身高cm
输出

S

结束

图2



7.如果执行下面的程序框图,那么输出的
S?
( )


开始

k?1
S?0

k?50?



输出S
结束

S?S?2k

k?k?1


A.2450 B.2500 C.2550 D.2652
8.阅读下边的程序框图,若输入的
n
是100,则输出的变量
S

T
的值依次是( )
开始
输入n

S?0
T?0
n

?2?



输出S、T
结束
S?S?n
n?n?1


T?T?n
n?n?1
A.2500,2500

B.2550,2550 C.2500,2550 D.2550,2500` < br>9.三个数
72,120,168
的最大公约数是_________________ .
10.根据条件把流程图补充完整,求
1?1000
内所有奇数的和;
(1) 处填
(2) 处填


开始
i:=1,S:=0
i<1000

(1)

输出S
(2)
结束

11.下列各数
85
(9)

210
(6)

1000
(4)

111111
(2)
中最小的数是____________.
12.右图给出的是计算
1111
的值的一个流程图,其中判断
?????
24620
框内应填入的条件是____________.


开始

s : = 0

i : = 1


1

s:?s?

2i


i : = i+1






输出s


结束

13.用秦九韶算法求多项式
f(x)?7x?6x?5x?4x?3x?2x?x


x?3
时的值.
14.编写一个程序,输入正方形的边长,输出它的对角线长和面积的值.
15.画出为求1~1000的所有的偶数的和而设计的一个程序框图.
765432
【答案与解析】
1.【答案】B


【解析】赋值语句的左边只能是一个变量.
2.【答案】B
【解析】由题意知:
S?0?3?4?5?12

3. 【答案】D
【解析】
5?4?3?2?15,5?4?3?2?1?15

4. 【答案】D
【解析】
j?1,a?1;j?2,a?3;j?3,a?1;j?4,a? 0;j?5,a?0

5.【答案】A
6.【答案】C
【解析】依据题意 可知,输出的结果应该是
A
4
?A
5
?A
6
?A< br>7
,由于
i
的初始值为4,因此判断框中应
该填
i?8

7.【答案】C
【解析】依据题意可知:
S?0?2?1?2?2?...? 2?50?2(1?2?...?50)?2550

8.【答案】D
【解析】这是一个用循环结构设计的程序框图,
其作用是分别求
100?98?.. .?4?2

99?97?...?3?1
的值,并输出.所以
S?100? 98?...?4?2?2550

T?99?97?...?3?1?2500

9. 【答案】
24

【解析】
120?72?1?48,7 2?48?1?24,48?24?2,168?24?7

10. 【答案】(1)
s?s?i
(2)
i?i?2

11. 【答案】
111111
(2)

23
【解析】
85
(9)
?8?9?5?77

210
(6)
?2?6?1?6?0?78

1000
(4)
?1?4?64

111111
(2 )
?1?2
5
?1?2
4
?1?2
3
?1?22
?1?2?1?63

12. 【答案】
i?10

13.【解析】
f(x)?((((((7x?6)?5)x?4)x?3)x?2)x?1)x

V
0
?7,V
1
?7?3?6?27,V
2
? 27?3?5?86,V
3
?86?3?4?262,

V< br>4
?262?3?6?789,V
5
?789?3?2?2369,

V
6
?2369?3?1?7108,V
7
?7108?3?0?2 1324,
?f(3)?21324

14.【解析】
INPUT

a?a

l?SQR(2)?a


s?a?a

PRINT

l?l,s?s

END

15.【解析】程序框图为
开始

i=2

sum=0

i=i+2

sum=sum+i

Y




i??

1000?
N

sum 输出

结束


第五讲:随机抽样
【学习目标】
1、了解简单随机抽样的概念,掌握实施简单随机抽样的常用方法:抽签法和随机数表法;
2、了解系统抽样的意义,并会用系统抽样的方法从总体中抽取样本;
3、了解分层抽样的概念与特征,清楚简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系.
【要点梳理】
知识点一:简单随机抽样
简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样 方法.抽样中选取个体的方法有两种:放回和不放回.我们在
抽样调查中用的是不放回抽取.
1、简单随机抽样的概念:
一般地,从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为
n
的样本,如果每一次抽取时总体中的各个个体
被抽到的可能性是相同的,那么这种抽样方法叫简 单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本.
2、简单随机抽样的特点:
(1)被抽取样本的总体个数N是有限的;
(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N;
(3)从总体中逐个进行抽取,使抽样便于在实践中操作;
(4)它是不放回抽取,这使其具有广泛应用性;
(5)每一次抽样时,每个个体等可能的被抽到,保证了抽样方法的公平性.
3、实施抽样的方法:
(1)抽签法:
抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的 容量非常大时,费时、费力又不方便,若标号的纸片或小球


搅拌得不均匀还可能导致抽样 的不公平.
抽签法的一般步骤:
①将总体中的N个个体编号;
②把这N个号码写在形状、大小相同的号签上;
③将号签放在同一箱中,并搅拌均匀;
④从箱中每次抽取一个号签,连续抽取n次;
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.
(2)随机数表法:
要理解 好随机数表,即表中每个位置上等可能出现0,1,2,…,9这十个数字的数表.随机数表中各个
位置 上出现各个数字的等可能性,决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.
随机数表法的步骤:
①将总体的个体编号(每个号码的位数一致);
②在随机数表中任选一个数字作为开始;
③从选定的数开始按一定的方向读下去,若得到的数 码在编号中,则取出;若得到的号码不在编号中或
前面已经取出,则跳过,如此继续下去,直到取满为止 .
注意:
①选定开始数字,要保证所选数字的随机性;
②确定读数方向获取样本号码时,读数方向可向左、向右、向上、向下,样本号码不能重复,否则舍去.
要点诠释:
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取 个体的方法:放回和不
放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和 随机数法.
2、抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如 果标号的签
搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点上当总体容量较大 时,仍然不
是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型.
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为
n
,但是这里一定要将每个个体入样的可 能性、
N
第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开 来,避免在解题中
出现错误.
知识点二:系统抽样
1、系统抽样的概念:
当总体中的个体比较多时,将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分中抽取
一个个体,得到所需要的样本,这样的抽样方法称为系统抽样,也称作等距抽样.
2、系统抽样的特征:
(1)当总体容量N较大时,采用系统抽样;
(2)将总体 分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽
样;
(3)预先制定的规则指的是:在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上
分段间隔的整倍数即为抽样编号.
3、系统抽样的一般步骤:
(1)采用随机的方法将总体中的N个个体编号;
N
NN
是整数时,取k?
,当不是整数时,从总体中剔除一些个体,使
n
nn
N'
剩 下的总体中个体的个数
N'
能被
n
整除,这时取
k?
,并将 剩下的总体重新编号;
n
(2)将编号按间隔
k
分段,当

< br>(3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号
l(l?N,l?k)

(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将编号为
l,l?k,l?2k,LL,l?(n?1)k的个体取出.
要点诠释:
1、从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分 成若干部分分块解决,从而把复杂问题简
单化,体现了数学转化思想.
2、系统抽样与简单随 机抽样之间存在着密切联系,即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时,
采用的是简单随机抽样 .
知识点三:分层抽样
1、分层抽样的概念:
当总体由有明显差别的几部分组成 时,为了使抽取的样本更好地反映总体的情况,可将总体中各个个体
按某种特征分成若干个互不重叠的几 部分,每一部分叫做层,在各层中按层在总体中所占比例进行简单随
机抽样或系统抽样,这种抽样方法叫 做分层抽样.
2、分层抽样的特点:
(1)适用于总体是由有明显差别的几部分组成时的情况;
(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性相同.
3、分层抽样的优点:
(1)样本具有较强的代表性;
(2)在各层抽样时,可灵活地选用不同的抽样方法.
4、分层抽样的步骤:
(1)将总体按一定的标准分层;
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比;
(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量;
(4)在每一层进行抽样(各层可以按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)
要点诠释:
1、应用分层抽样应遵循以下要求:
(1)分层:将相似的个体归入一类,即为一层,分层要 求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不
遗漏的原则.
(2)分层抽样为保证每个个体 等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个
体数量的比与这层个体数量与总 体容量的比相等.
2、分层抽样是当总体有差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点:
(1)分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小,而层之间
的样本差异要大,且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样.
(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.
3、分层抽样的优点 是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此分
层抽样是一种实用、操 作性强、应用比较广泛的抽样方法.
知识点四:三种抽样方法的比较
类别 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样


共同点
(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
(2)每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样
将总体均分成几部分按
事先确定的规则在各部
分抽取
在起始部分抽样时采用
简单随机抽样
将总体分成
n
层,分层
进行抽取
各层抽样采用简单随机
抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部
分组成
各自特点 从总体中逐个抽取
相互联系
适用范围 总体中个体数较少 总体中个体数较多
【典型例题】
类型一:简单随机抽样
例1.下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作样本;
(2)盒子里共有80个零件,从中选出 5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意抽出1个零
件进行质量检验后再把它放回盒子里.
【解析】 (1)不是简单随机抽样,因为总体的个数是无限的.
(2)不是简单随机抽样,因为它是放回抽样.
【总结升华】简单随机抽样的四个特点:(1)总体 的个数有限;(2)逐个抽取;(3)是不放回的抽取;(4)
每个个体被抽到的可能性必须是相同的.
举一反三:
【变式1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么?
(1)某班45名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动.
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验.
(3)一小孩从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩.玩后放回再拿下一件,连续玩了5件.
【解析】(1)不是简单随机抽样.因为这不是等可能抽样.
(2)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
(3)不是简单随机抽样.因为这是有放回抽样.
例2.某工厂有112件产品,产品的编号为1,2 ,…,112.用随机数表法抽取一个容量为10的样本,写
出抽样过程.
【解析】
解法一:第一步,将这112件产品原有的编号调整为001,002,003,…,112;
第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向,例如,选第9行第7列的 数“3”,
向右读;
第三步,从“3”开始,向右读,每次读出三位,凡不在001 ~112中的数跳过去不读,前面已经读过
的数也跳过去不读,依次可得到074,100,094,0 52,080,003,105,107,083,092;
第四步,产品原来的编号为74 ,100,94,52,80,3,105,107,83,92的那10件就是被抽取出来
的产品.
解法二:第一步,将这112件产品原来的编号调整为101,102,103,…,212;
第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向,例如,选第9行第7列的 数“3”,
向右读;
第三步,从“3”开始,向右读,每次读出三位,凡不在101 ~212中的数跳过去不读,前面已经读过


的数也跳过去不读,依次可得到155,13 4,174,180,165,196,206,105,160,201;
第四步,对应原 来编号为55,34,74,80,65,96,106,5,60,101的产品就是要抽取的对象.
【总结升华】 本例中,112件产品原有的编号1,2,…,112的位数不统一,有1位数,有2位 数,
还有3位数.为了解决这一矛盾,解法一采用了“在位数少的数前面加0”的处理方法,例如,1变 为001,
11变为011;解法二采用了“把原来的数加上10的倍数”的处理方法.例如,2变为1 02,12变为112.解
法一、解法二所采用的处理方法都达到了凑齐位数的效果.
举一反三:
【变式1】某校有学生1200人,为调查某种情况,打算抽取一个样本容 量为50的样本,则此样本采用
简单随机抽样将如何获得?
【解析】解法一:(抽签法)①把 该校学生编号,号码为0001,0002,0003,…,1200;②做大小、形
状相同的号签;③ 将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌;④抽签时,每次从中抽出1个号签,连
续抽出50个号签 ,就得到了一个容量为50的样本.
解法二:(随机数表法)①把该校学生编号,号码为00 01,0002,0003,…,1200;②在随机数表中选
定一个起始位置,假如起始位置是表中第 5行第9列的数字6;③从6开始向右连续取数字,以4个数为一
组,取到一行末尾时转到下一行从左到 右继续读取,所得数字如下:6438,5482,4622,3162,4309,9006,
184 4,3253,2383,0130,3016……所取得的4位数字如果小于或等于1200,则对应此号的学 生就是被抽
取的个体.如果所取得的4位数字大于1200而小于2400则减去1200,剩余数字即 是被抽取的号码.如果
遇到相同号码,则只留第一次取得的数字,其余的舍去,经此处理,被抽取的学生 号码如下:0438,0682,
1022,0762,0709,0606,0644,0853,1 183,0130,0616……一直取够50人止.
【变式2】 要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验,请你设计抽样方案.
【解析】 解法一:(随机数表法)
第一步,将10架钢琴编号,号码是0,1,…,9.
第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第3行第6列的数“2”,
向右读.
第三步,从数“2”开始,向右读,每次读取1位,重复数字只记录一次,依次可得到2,7,6,5.
第四步,以上号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象.
解法二:(抽签法)
第一步,将10架钢琴编号,号码是0,1,…,9.
第二步,将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀.
第四步,从袋子中逐个抽取4个号签,并记录上面的编号.
第五步,所得号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象.
【总结升华】 (1)将钢琴编号从 0开始,10架钢琴用0—9就可表示,这样总体中的所有个体可用
一位数表示,便于使用随机数表.
(2)用抽签法抽样关键是将号签搅匀.
类型二:系统抽样
例3.下列抽样中,最适宜用系统抽样法的是( )
A.某市的4个区共有2 000名学生,且4个区的学生人数之比为3∶8∶8∶2,从中抽取200名学生做
样本
B.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本
C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本
D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本
【答案】 C
【解析】 A中各区学生有区别,不好分成均衡的几部分,不适宜,B中抽取样本容量太小,不适宜.D


中总体个数较少,不适宜.故选C
【总结升华】系统抽样适合总体容量较大且个体间差异较小的情况.
举一反三:
【变式1】下列抽样中不是系统抽样的是( ).
A.从号码为1~15的1 5个球中任选3个作为样本,先在1~5号球中用抽签法抽出i
0
号,再将号码为
i< br>0
+5,i
0
+10的球也抽出
B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间的过程中,检查人员从传送带上每5 min抽取一件
产品进行检验
C.弄某项市场调查,规定在商店门口随机地抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止
D.某电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈
【答案】 C
【解析】本题的判定依据是系统抽样方法的特征:系统抽样适用于个体数目较多但均衡的 总体.判断一种
抽样是不是系统抽样,首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的,抽样的方法能否保 证每个个体按事
先规定的条件等可能入样,再看抽样过程中是否将总体分成了几个均衡的部分,是否在每 个部分中进行简
单随机抽样.
本题C显然不是系统抽样,因为事先不知道总体,抽样 方法也不能保证每个个体等可能入样,总体也
没有分成均衡的几部分,故C不是系统抽样.
【总结升华】系统抽样的特点:①适用于总体容量较大的情况;②剔除多余个体及第一段抽样都用简
单随 机抽样,因而与简单随机抽样有密切联系;③是等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都是n/N.
例4.为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩,抽取一个容量为50的样本,选用什么抽样方
法比较恰当?简述抽样过程.
【思路点拨】 因为总体容量较大,且个体差异不大,适宜选用系统抽样.
【解析】抽样过程如下:
(1)随机地将这l 003个个体编号为1,2,3,…,1003.
(2)利用简单随机抽样,先从总体中随机 剔除3个个体,剩下的个体数1000能被样本容量50整除,
然后将1000个个体重新编号为1,2 ,3,…,1000.
(3)将总体按编号顺序均分成50部分,每部分包括20个个体.
(4)在编号为1,2,3,…,20的第一部分个体中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如是18.
(5)以18为起始号码,每间隔20抽取一个号码,这样得到一个容量为50的样本:18, 38,58,…,
978,998.
【总结升华】(1)总体中的每个个体被剔除的 概率相等都是
等都是
3
,也就是每个个体不被剔除的概率相
1003
100050
.采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是,所以在整个抽样过程中每个个体被抽取10031000
10005050
的可能性仍然相等,都是.
??
1
(2)系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的,在总体中剔除若 干个个体时,采用的是简单随机
抽样;当将总体均分后对第一部分进行抽样时,采用的也是简单随机抽样 .
举一反三:
【变式1】从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能.请合理选 择抽样方法进行抽样,并写出
抽样过程.
【解析】 因为802不能整除80,为了保证“等距”分段,应先剔除2个个体.
由于总体及样本中的个体数较多,且无明显差异,因此采用系统抽样的方法,步骤如下:
第一步,先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数表法);


第 二步,将余下的800辆轿车编号为1,2,…,800,并均匀分成80段,每段含
k?
80 0

?10
个个体;
80
第三步,从第1段即1,2,…, 10这10个编号中,用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起
始号;
第四步,从5开始,再将编号为15,25,…,795的个体抽出,得到一个容量为80的样本.
【总结升华】 用系统抽样法抽取样本,当
N
?
N
?
不为 整数时,取
k?
??
,即先从总体中用简单随机
n
?
n?
抽样的方法剔除N-nk个个体,且剔除多余的个体不影响抽样的公平性.
【变式2】
某服装厂平均每小时大约生产服装362件,要求质检员每小时抽取40件服装检验其质量状况,请你设
计一个调查方案.
【解析】
因为总体中的个体数较多,并且总体是由没有明显差异的个体组成,所以本题宜采用系统抽样法. 362
第一步:把这些服装分成40组,由于的商是9,余数是2,所以每个组有9件服装还剩2件 服装,
40
这时分段间隔就是9.
第二步:先用简单随机抽样的方法从这些服装中抽取2件服装不进行检验.
第三步:将剩下的服装进行编号,编号分别为0,1,2,…,359.
第四步:从第一组( 编号分别为0,1,…,8)的服装中按照简单随机抽样的方法抽取1件服装,比如,
编号为k. 第五步:依次抽取编号分别为下面数字的服装k,k+9,k+18,k+27,…,k+39×9,这样就 抽取了一个
容量为40的样本.
类型三:分层抽样
例5.在下列问题中,各采用什么抽样方法抽取样本?
(1)从20台彩电中抽取4台进行质量检验;
(2)科学会堂有32排座位,每排有40个 座位(座号为1~40),一次报告会坐满了听众,会后为听取
意见留下了座号为18的所有32名听众 进行座谈;
(3)光远中学有180名教职工,其中教师136名,管理人员20名,后勤服 务人员24名,为征求某项
意见,现从中抽取一个容量为15的样本.
【答案】 (1)简单随机抽样;(2)系统抽样;(3)分层抽样.
【解析】 (1)所述问题中总体中的个 体数和样本容量均较少,故宜用简单随机抽样法;(2)所述问题具
有总体中的个体数较多,且每个个体 无明显差异的特点,所以适宜用系统抽样法;(3)所述问题的总体中
的个体具有明显差异,即出现了3 个层次,因此适宜用分层抽样法.
【总结升华】 总体容量较小宜用抽签法;总体容量较大, 而样本容量较小宜用随机数表法;总体容量
较大,样本容量也较大的宜用系统抽样法;总体是由差异明显 的几个层次组成,宜用分层抽样法.
举一反三:
【变式1】一个单位有职工160 人,其中业务人员96人,管理人员40人,后勤服务人员24人,为了
了解职工的收入情况,要从中抽 取一个容量为20的样本,如何去抽取?
方法一:将160人从1到160编上号,然后将用 白纸做成的有1~160号的160个号签放入箱内搅匀,
最后从中抽取20个签,与签号相同的20个 人被选出.


方法二:将160人从1至160编号,按编号顺序分成20组, 每组8人,令1~8号为第一组,9~16
号为第二组,……,153~160号为第20组.从第一组 中用抽签方式抽到一个为k号(1≤k≤8),其余组是
(k+8n)号(n=1,2,3,…,19) ,以此抽取20人.
方法三:按20∶160=1∶8的比例,从业务员中抽取12人,从管 理人员中抽取5人,从后勤服务人员
中抽取3人,都用简单随机抽样法从各类人员中抽取所需人数,他们 合在一起恰好抽到20人.
以上的抽样方法,依次是简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( ).
A.方法一、方法二、方法三 B.方法二、方法一、方法三
C.方法一、方法三、方法二 D.方法三、方法一、方法二
【答案】C
【高清课堂:随机抽样 400439 例3】
【变式2】某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法 抽取
10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和 分层抽
样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统 一随机编号1,
2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;
关于上述样本的下列结论中,正确的是
A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样
C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样
【答案】D
例6.某地区中小学人数的分布情况如下表所示(单位:人):
学段
小学
初中
高中
城市
357000
226200
112000
县镇
221600
134200
43300
农村
258100
11290
6300
请根据上述基本数据,设计一个样本容量为总体中个体数量的千分之一的抽样方案.
【思路点拨】先采 用分层抽样法确定出此地区城市、县镇、农村应被抽取的个体数,再用分层抽样法
将城市应抽取的个体数 分配到小学、初中、高中.同理可以完成县镇、农村的分配.
【解析】
第一步,确定城市、县镇、农村应抽取的个体数.城市、县镇、农村的学生数分别为:
357000+226200+11000=695200(人),221600+134200+43300= 399100(人),258100+11290+6300=275690
(人).
因为样本容量与总体容量的比为1∶1000,所以样本中包含的各部分个体数分别为:
695200?
111
?695
(人)
?399
(人)
?276
(人),
399100?

275690?

1
第二步,将城市应抽取的个体数分配到小学、初中、高中.
因为城市小学 、初中、高中的人数比为:357000∶226200∶112000=3570∶2262∶1120=17 85∶1131∶
560,1785+1131+560=3476,所以城市小学、初中、高中应抽取 的人数分别为:
1785?
695695695
?357
(人)
? 226
(人)
?112
(人),
1131?

560?
247634763476
第三步,将县镇应抽取的个体数分配到小学、初中、高中.
因为县镇小学、初中、高中的人数 比为:221600∶134200∶43300∶2216∶1342∶433,


22 16+1342+433=3991,所以县镇小学、初中、高中应抽取的人数分别为:
2216?399

?222
(人)
3991
1342?
3993 99

433?

?134
(人)
?43
(人)
39913991
第 四步,使用同样的方法将农村应抽取的个体数分配到小学、初中、高中.可得农村小学、初中、高
中应抽 取的人数分别为:258(人),11(人),6(人).
第五步,再用合适的方法在对应的 各个部分中抽取个体.在各层中所抽取的个体数如下表所示(单位:
人):
学段
小学
初中
高中
城市
357
226
112
县镇
222
134
43
农村
258
11
6
按照上表数目在各层中用合适的方法抽取个体,合在一起形成所需样本.
【总结升华】 本题交错使用 了分层抽样的方法,像这样比较复杂的问题,在解答的时候可以先将问题
分成几个部分,再对各个部分具 体解决.
举一反三:
【变式1】一个单位有职工500人,其中不到35岁的 有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50
岁以上的有95人,为了了解这个单位职工与 身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,
职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取 ?
【解析】 用分层抽样来抽取样本,步骤是:
(1)分层.按年龄将 职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职
工.
(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为
在35岁至49岁的职工中抽280×
10011

?
,则在不到35岁的 职工中抽125×=25(人)
50055
1
=56(人);
5
1
在50岁及50岁以上的职工中抽95×=19(人).
5
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成样本.
【总结升华】 分层后,各层的个体数较多时,可采用系统 抽样或随机数表法抽取出各层中的个体,一
定要注意按比例抽取.
例7.为了考察某校的教学 水平,现抽查这个学校高一年级部分学生的本学年考试成绩进行分析.为了
全面地反映实际情况,采取以 下三种方式进行抽查(已知该校高一年级共有20个班,并且所有学生都已经
按随机方式编好了学号,假 定该校每班人数都相同):
①从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取20人,考察这20个学生的考试成绩;
②每个班都抽取1人,共计20人,考察这20个学生的考试成绩;
③把该校高一年级的学生 按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从中抽取100名学生进行考察(已
知按成绩分,该校高一学生 中成绩优秀的学生有150名,良好的学生有600名,普通的学生有250名).
根据上面的叙述,试回答下列问题:
(1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指 什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本
容量分别是多少?
(2)上面三种抽取方式中,各自采用何种抽样方法?
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.


【思路点拨】依据总体和个体的特点,选择抽取样本的方法.
【答案】(1)高一年级全体学生的本学 年考试成绩,高一年级每个学生本学年的考试成绩,抽取的20名
学生本学年的考试成绩.(2)简单随 机抽样法,系统抽样法和简单随机抽样法,分层抽样法和简单随机抽
样法.(3)略
【解析】 (1)这三种抽取方式中,其总体都是指该校高一年级全体学生的本学年考试成绩,个体都是指
高一年级 每个学生本学年的考试成绩.其中第①种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩,
样本 容量为20;第②种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩,样本容量为20;第③种
抽取方式中样本为所抽取的100一名学生本学年的考试成绩,样本容量为100.
(2)上 面三种抽取方式中,第①种方式采用的方法是简单随机抽样法;第②种方式采用的方法是系统
抽样法和简 单随机抽样法;第③种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法.
(3)第①种方式抽样的步骤如下:
第一步:首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班.
第二步:然后在这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生,考察其考试成绩.
第②种方式抽样的步骤如下:
第一步:首先在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取一个学号为n的学生.
第二步:在其 余的19个班中,选取学号为a+nk(n=1,2,…,19,k为各班人数)的学生,共计19

第三步:前两步所抽个体组成样本.
第③种方式抽样的步骤如下:
第一步:分层.
因为若按成绩分,其中优秀学生共150人,良好学生共6 00人,普通学生共250人,所以在抽取样本
时,应该把全体学生分成三个层次.
第二步:确定各个层次抽取的人数.
因为样本容量与总体的个体数比为100∶1000=1 ∶10,所以在每个层次抽取的个体数依次为等,等,
哿,即15,60,25.
第三步:按层次分别抽取.
在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人;
在良好生中用简单随机抽样法抽取60人:
在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.
【总结升华】 简单随机抽样是最基本的抽样方法,在系统抽样和分层抽样中都要用到简单随机抽样,< br>当总体的个体数不多时,常采用简单随机抽样;当总体中的个体数较多时,常采用系统抽样;当已知总体< br>是由差异明显的几部分组成时,常采用分层抽样.
举一反三:
【变式1】某 单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取
40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职 工随机按1~200编号,并按编号
顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200 号).若第5组抽出
的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则 40
岁以下年龄段应抽取________人.
【答案】37 20
【变式2】 某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的
相关人员中, 抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为 .

公务员
教师
相关人员数
32
48
抽取人数
x
y


自由职业者 64 4

【解析】采用分 层抽样,抽样比为2:3:4,由题可知
x=2,y=3
.则调查小组的总人数为2+3+4= 9人,即
为9人.







【巩固练习】
1.为了了解某地参加高考数学考试的12000名学生的成绩,从中抽取了4 00名学生的成绩进行统计分析.在
这个问题中,12000名学生成绩的全体是( )
A.总体 B.个体
C.从总体中抽取的一个样本 D.样本的容量
2.对于简单随机抽样,个体被抽到的机会( ).
A.相等 B.不相等 C.不确定 D.与抽取的次数有关
3.已知总体容量为106,若用随机数表法抽取一个容量为10的样本,下面对总体的编号正确的是( ).
A.1,2,…,106 B.01,…,105 C.00,01,…,105 D.000,001,…,105
4.下列问题中,最适合用简单随机抽样方法的是( ).
A.某电影院有32排座位 ,每排有40个座位,座位号是1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结
束以后为听取意见,要留 下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某学校有在 编人员160人,其中行政人员16人,教师112人,后勤人员32人.教育部门为了解学
校机构改革 意见,要从中抽取一个容量为20的样本
D.某乡农田有山地8000亩,丘陵12000亩 ,平地24000亩,洼地4000亩,现抽取农田480亩估计全
乡农田平均产量
5.为了 了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样
本. 那么总体中应随机剔除的个体数目是( ).
A.2 B.4 C.5 D.6
6.现从已编号(1~50)的50部新生产的赛车中随机抽取5部进行检验,用每部分选取的 号码间隔一样的
系统抽样方法确定所选取的5部赛车的编号可能是( ).
A.5,10,15,20,25 B.8,18,28,38,48
C.5,8,11,14,17 D.4,8,12,16,20
7.某校有高中生900人 ,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,用分层抽样法抽取一
个容量为45的 样本,那么高一、高二、高三各年级的抽取人数分别为( ).
A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20
8.某校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表,已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二 年级女
生的机会是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数 为( ).

女生
男生

一年级
373
377
二年级
x

370
三年级
y

z


A.24 B.18 C.16 D.12
9.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编 号顺序平均分成10个小组,组号分别为
1,2,3,…,10。现用系统抽样方法抽取一个容量为10 的样本,规定如果在第l组随机抽取的号码为m,
那么在第七组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数 字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是
________.

10.要从5 003个总体中抽取50个样本,按系统抽样法,应先将总体中随机剔除几个个体,再将总体分成
___ _____个部分,每部分都有________个个体.
11.某校有高中生900人,其中高一年 级300人,高二年级200人,高三年级400人,用分层抽样法抽取
一个容量为45的样本,那么高 一、高二、高三各年级的抽取人数分别为 .
12.某机关有老年、中年、青年 人数分别为18、12、6,现从中抽取一个容量为n的样本,如果采用系统抽
样和分层抽样则不用剔除 个体,如果容量增加1个,则在采用系统抽样时,需在总体中剔除一个个体,则
样本容量n=_____ ___.
13.现有一批编号为10,11,…,99,100,…,600的元件,打算从中抽取一 个容量为6的样本进行质量
检验.如何用随机数表法设计抽样方案?
14.某单位在岗职工共 有624人,为了调查工人用于上班途中的时间,该单位工会决定抽取10%的工人进
行调查.请问如何 采用系统抽样法完成这一抽样?
15.某工厂有1003名工人,从中抽取10人参加体检,试用系统抽样的方法进行具体实施.
16.某社区小学一、二、三年级各班级人数如下表所示:

年级



45
46
50
48
54
55
52
50
50
1班 2班 3班
学 校计划召开学生代表座谈会.请根据上述基本数据设计个样本容量为总体容量的
1
的抽样方案.
20
【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】12000名学生成绩的全体是总体,400名学生的成绩是样本,400是样本容量.
2.【答案】A
【解析】依据简单随机抽样定义判断.
3.【答案】D
【解析】对总体中每个个体编号的数字位数应相同,这样才能用随机数表法抽样.
4.【答案】B
【解析】根据简单随机抽样的特点进行判断.A的总体容量较大,用简单随 机抽样法比较麻烦;B的总体
容量较小,用简单随机抽样法比较方便;C由于学校各类人员对这一问题的 看法可能差异很大,不宜采用
简单随机抽样法;D总体容量较大.且各类田地的产量差别很大,也不宜采 用简单随机抽样法.
5.【答案】A
【解析】因为1252=50×25+2,所以应随机剔除2个个体.
6.B
【解析】由于每组为10个,所以所抽号码之间的间隔应为10.
7.【答案】D 【解析】∵
451111
?
,∴高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为×30 0=15,×200=10,×
9


400=20.
即应从高一、高二、高三中分别抽取15人,10人和20人,组成一个容量为45的样本.
8.【答案】C
【解析】依题意可知三年级的学生人数为500,即总体中各个年级的人数 比例为3∶3∶2,故用分层抽样抽
取的三年级学生人数为
64?
2
?16< br>.
8
9.【答案】63
【解析】 根据第k组抽取的号码个位数字与m+ k的个位数字相同.因第7组抽取的号码个位数字应与
6+7=13的个位数相同,因而是3,所以抽取 的号码是63.
10.50 100
【解析】本题考查的是系统抽样法的步骤,将总体 分为50个部分,荸部分都有
?
个个体,因5003
?
50
??不能被50整除,故应随机剔除3个个体.
11.【答案】D
【解析】 ∵
?
5003
?
451111
,∴高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ×300=15,×200=10,
?
9
×400=20.
即应从高一、高二、高三中分别抽取15人,10人和20人,组成一个容量为45的样本.
12.【答案】6
【解析】 ∵采用系统抽样时不用剔除个体,∴n是18+12+6= 36的约数,n可能的值为1,2,3,4,6,9,
12,18,36.而分层抽样时不用剔除个体, 因而
n?18nnnnn
?

?12?

?6?
. n=6,12,36.又
362363366
∵容量增加1时,需要剔除1个个体,才能用系统 抽样,∴n+1是35的约数.而n+1=7,13,37,∴n+1=7,
∴n=6.
13 .【解析】解法一:第一步:将元件的编号调整为010,011,012.…,099,100,…600;
第二步:在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第6行第7列的 “9”,
向右读;
第三步:从数“9”开始,向右读,每次读取三位,凡不在010 ~600中的数跳过去不读,前面已经读
过的也跳过去不读,依次可得到544,354,378,52 0,384,263;
第四步:以上号码对应的6个元件就是要抽取的对象.
解法二:第一步:将每个元件的编号加100,重新编为110,111,…,700;
第二 步:在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第8行第1列“6”,
向右读 ;
第三步:从数“6”开始,向右读,每次读取三位,凡不在110~700中的数跳过去不 读,前面已经读
过的也跳过去不读,依次可得到630,163,567,199,507,175这6 个号码.他们分别对应原来的530,
63,467,99,407,75.这些号码对应的6个元件就 是要抽取的对象。
14.【解析】624的10%约为62。624不能被62整除
采用系统抽样获取样本的步骤如下:
第一步,先将624名职工编号为000,001,…,623.
第二步,用随机数法任取4个号,从总体中剔除与这4个号对应的职工.
第三步,将余下的6 20名职工重新编号为0,1,2,…,619,取分段间隔k=10,将总体均匀分成62
段,每段含 10名职工.
第四步,从第1段即0,1,…,9这10个编号中,用简单随机抽样的方法抽 取一个号码(如2)作为


起始号码.
第五步,将编号为2,12,…,612的个体抽出,即可组成样本.
15.【解析】由于总体容量不 能被样本容量整除,需先剔除3名工人,使得总体容量能被样本容量整除,取
k?
1000?100
,然后再利用系统抽样的方法进行具体实施.
10
其步骤为:(1)将每个人编一个号由0001至1003;
(2)利用随机数表法找到3个号对应的工人,将这3名工人剔除;
(3)将剩余的1000名工人重新编号1至1000;
1000
?100
,将总体均分为10组,每组含100个工人;
10
(5)从第一段即1号到100号中随机抽取一个号
l

(6)按编号将1,100+1,200+1,…,900+
l
共10个号选出.
(4)分段,取间隔
k?
这10个号所对应的工人组成样本即为所求.
16 .【解析】第一步:确定一年级、二年级、三年级被抽取的个体数,一年级、二年级、三年级的学生数分
别为:
45+48+52=145;
46+54+50=150;
50+55+50=155.
由于总体容量与样本容量的比为20.所以,样本中包含的各部分个体数应为:
145÷20≈7,150÷20≈8,155÷20≈8.
第二步:将一年级的被抽取的个体数分配到一年级1班、2班、3班.
因为一年级1班、2班、3班的人数比为:45∶48∶52.
所以,一年级1班、2班、3班的被抽取的个体数分别为:
7÷145×45≈2.
7÷145×48≈2.
7÷145×52≈3.
第三步:将二年级的被抽取的个体数分配到二年级1班、2班、3班.
因为二年级1班、2班、3班的人数比为:46∶54∶50.
所以,二年级1班、2班、3班的被抽取的个体数分别为:
8÷150×46≈2.
8÷150×54≈3.
8÷150×50≈3.
第四 步:用同样的方法将三年级的被抽取的个体数分配到三年级1班、2班、3班.结果分别为:3,3,
3 人.
第五步:再用合适的方法在对应各班级中抽取个体.


第六讲:用样本估计总体
【学习目标】
1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.
2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本
的分布,准确地做出总体估计.
3.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.
4.能根据实际问题的 需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并


做出 合理的解释.
5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.
【要点梳理】
要点一、频率分布的概念
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用 频率分布直方图反映样本的频率分
布.其一般步骤为:
1.计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差
2.决定组距与组数
3.将数据分组
4.列频率分布表
5.画频率分布直方图
要点诠释:
频率分布直方图的特征:
1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势. 2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
要点二、频率分布折线图、总体密度曲线
1.频率分布折线图的定义:
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.
2.总体密度曲线的定义:
在样本频率分布直方图中,样本容量越大,所分组数越多,相应的 频率折线图会越来越接近于一条光滑
曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
要点诠释:
总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供 更加精细的信息,能
够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律.
要点三、茎叶图 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即
第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫
做茎叶图.
要点诠释:
茎叶图的特征:
(1)用茎叶图表示数据有两个优点: 一是在统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从
茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可 以随时记录,随时添加,方便记录与表示.
(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图 只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然
能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.
要点四、众数、中位数与平均数
1.众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数 .如果变量是分类的,用众数是很有必要的.例如班委会要作出
一项决定,考察全班同学对它赞成与否就 可以用众数.
2.中位数
将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均 数)叫做中位数.中位数把样本数据分
成了相同数目的两部分.
3.平均数
样本数 据的算术平均数,即
x?
1
(x
1
?x
2
?L?x
n
)
.
n


要点诠释:
由于众数仅能刻画 某一数据出现的次数较多,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此
这些因素制约了仅依 赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.
要点五、标准差与方差
1.标准差
样本数据
x
1,
x
2,
,x
n
的标准差的算法:
(1)算出样本数据的平均数
x
.
(2)算出每个样本数据与样本数据平均 数的差:
x
i
?x
?
i?1, 2,L,n
?
< br>(3)算出(2)中
x
i
?x
?
i?1, 2,L,n
?
的平方.
(4)算出(3)中n个平方数的平均数,即为样本方差.
(5)算出(4)中平均数的算术平方根,,即为样本标准差.
其计算公式为:
s?
2.方差
1
[(x
1
?x)
2
?( x
2
?x)
2
?L?(x
n
?x)
2
]< br>
n
从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方
s
(即方差)来代替 标准差,作为测量样本数据分散程度
的工具:
2
s
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2?L?(x
n
?x)
2
]

n
要点诠释:
在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差. < br>数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度;样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小;样本方差的算术根表示样本的标准差,它也描述了数据对平均数的离散程度.
【典型例题】
类型一:频率分布表、频率分布直方图
例1.在学校 开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委
会把同学们上 交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如下图所示).已知从左到右各
长方形的高 的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列问题:

(1)本次活动共有多少件作品参加评比?


(2)哪组上交的作品数最多?有多少件?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪组获奖率较高?
【答案】(1)60 (2)四组 18(3)六组
【解析】 (1)依题意知第三组的频率为
∵第三组的频数为12,
∴本次活动的参评作品数为
41
?

2?3?4?6?4?15
12

?60
件)
1
5
6
?18
2?3?4?6?4?1
(2)根据频率分布直方图,可以看出第四组上交的作品数量最多,共有
60?
(件).
(3)第四组的获奖率是
105
?

189
1

?3
(件)
2?3?4?6?4?1
第六组上交的作品数量为
60?
∴第六组的获奖率为
26
?

39
显然第六组的获奖率较高.
【总结升华】弄清所求问题是什么,并正确地运算是做对题的关键.本题主 要考查同学们对频率分布
直方图的理解,只有熟悉它的特征,才能清楚数据分布的总体趋势,根据直方图 反映的信息正确解题.
举一反三:
【变式1】某中学为了解学生数学课程的学习情 况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200
名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的 频率分布直方图(如下图所示).根据频率分布直方图推测,这
3000名学生在该次数学考试中成绩小 于60分的学生数是________.


例2.阅高 考试卷有一个环节叫“试批”.某省为了了解和掌握考生的实际答卷情况,随机地抽取了100
名考生的 数学成绩,数据如下(单位:分):
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
105 124 87 131 97 102 123 104 104 128
109 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108


(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和折线图;
(3)估计该省考生数学成绩在100~120分之间的比例;
(4)设该省有20万考生,估计该省考生数学成绩不及格的人数(满分150分,90分及以上视为及格);
(5)根据折线图估计该省考生的数学成绩在哪一个分数段的人数将会最多.
【思路点拨】理解频率分布直方图的具体含义.
【解析】 100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.
把100个数据分成11组,这时组距
?
(1)频率分布表如下:
分组
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120)
[120,125)
[125,130)
[130,135]
合计
注:表中加上“
频率
组距
极差55
??5

组数11
频数
1
2
4
14
24
15
12
9
11
6
2
100
频率
0.01
0.02
0.04
0.14
0.24
0.15
0.12
0.09
0.11
0.06
0.02
1
频率
组距

0.002
0.004
0.008
0.028
0.048
0.030
0.024
0.018
0.022
0.012
0.004
0.2
”一列,这是为画频率直方图准备的,因为它是频率直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,见下图.

(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在100~120分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在100~120分之间 的比例为60%(0.60=60%).
(4)100名考生中,数学成绩不及格的频率为0.01+0.02=0.03.比例为3%.
200000×3%=6 000(人).
估计该省考生数学成绩不及格的有6000人.
(5)折线图的最高点位于100~105之间,据此估计该省考生的数学成绩在100~10 5分这个分数段的
人数将会最多.
【总结升华】本例中,决定分点时,直接使用了最小 值加组距,即80+5k(k=1,2,…,11),而没有
把最小值减去某一个数(例如80-0.5 =79.5)作为第1个分点,这是因为100个分数是明确的,即它们都
在80~135之间.凡事都 要具体问题具体分析,不可教条化.本例是把5分看成一个分数段,统计各段的
情况.


举一反三:
【变式1】一个容量为20的样本,分组后,组距与频数如 下[10,20],2;(20,30],3;(30,40],4;
(40,50],5;(50,6 0],4;(60,70],2,则样本在(-∞,50]上的频率为( )
A.
1
117
B. C. D.
20
4210
频数
求解.
样本容量
【答案】 D
【解析】 根据频率的计算公式频率
?
频率
?
2?3?4?5147
??

2?3?4?5?4?22010
高清课堂:用样本估计总体 400450 例1
【变式2】对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命/h
个数
100~200
20
200~300
30
300~400
80
400~500
40
500~600
30
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计该电子元件寿命在100~400 h以内的占总体的比例;
(4)估计该电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.
【解析】
(1)样本频率分布表如下:
寿命/h
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
合计
(2)频率分布直方图如下图所示;
频数
20
30
80
40
30
200
频率
0.10
0.15
0.40
0.20
0.15
1

(3)估计该电子元件寿命在100~400 h以内占总体的比例为65%;
(4)估计该电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例为35%.
类型二:众数、中位数、平均数
例3.据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下:
职务
人数
工资(元)
董事长
1
5500
副董事长
1
5000
董事
2
3500
总经理
1
3000
经理
5
2500
管理员
3
2000
职员
20
1500
(1)求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数;(精确到元)


(2)假 设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.
【思路点拨】理解平均数、中位数、众数的概念.
【答案】(1)2091 1500 1500 (2)3288 (3)中位数和众数
【解析】 (1)平均数是
x?150 0?
4000?3500?2000?2?1500?1000?5?500?3?0?20

?1500?591?2091
(元)
33
中位数是1500元,众数是15 00元.
(2)平均数是
x'?1500?
28500?18500?2000? 2?1500?1000?5?500?3?0?20
?1500?1788?3288
33< br>(元),
中位数是1500元,众数是1500元.
(3)在这个问题中, 中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大
多数人的工资额差别较大 ,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司人员的工资
水平.
【总结升华】 (1)深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点,结合实际情况,
灵活运用.
(2)众数、中位数、平均数三者比较,平均数更能体现每个数据的特征,它是各数据的重心.
举一反三:
【变式1】为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次 数测试,将所得数据
整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为2:4 :17:15:9:3,第二小
组频数为12.
频率

组距
(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估
0.036
计该学校全体高一学生的达标率是多少?
0.032
在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个
0.028
小组内?请说明理由.
0.024
在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相
0.020
应各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频
数之和等于样本容量,频率之和等于1.
0.016
【答案】
0.012
(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数
0.008
据落在各小组内的频率大小,
0.004
因此第二小组的频率为:
4
?0.08

2?4?17?15?9?3
又因为频率=
o
90 100 110 120 130 140 150
次数
第二小组频数

样本容量
第二小组频数12
??150

第二小组频率0.08
所以
样本容量?


(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为
17?15?9?3
?100%?88%

2?4?17?15?9?3(3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69,前 四组的频
数之和为114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.
类型三:方差、标准差
例4.在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表:
分数
人数 甲组
乙组
50
2
4
60
5
4
70
10
16
80
13
2
90
14
12
100
6
12
已经算得两个组 的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中
的成绩谁优谁劣, 并说明理由.

【解析】 (1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲组成绩好
些.
(2)
s

?
-80)
2
]=
2
1
[2(50-80)
2
+5(60-80)
2
+10(7 0-80)
2
+13(80-80)
2
+14(90-80)
2+6(100
2?5?10?13?14?6
1
(2×900+5×400+10 ×100+13×0+14×100+6×400)=172,
50
1
2

s

?
(4×900+4×400+16-100+2×0+12×100+ 12×400)=256.
50
22

s

?s


∴甲组成绩较乙组成绩稳定,故甲组成绩好些.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平 均数都是80分,其中,甲组成绩在80分以上的有33人,乙组成
绩在80分以上的有26人,从这一 角度看,甲组的成绩总体较好.
(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的人数为 14+6=20(人),乙组成绩大于或等于90
分的人数为12+12=24(人),∴乙组成绩集中 在高分段的人数较多,同时,乙组得满分的人数比甲组得满
分的人数多6人,从这一角度看,乙组的成绩 较好
【总结升华】 要正确解答这道题,首先要抓住问题中的关键词语.全方位地进行必要的计算,而 不能
习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际的角度去分析,如 本例
的“满分人数”;其次要在恰当地评估后,组织好正确的语言作出结论.
举一反三:
高清课堂:用样本估计总体 400450 例2
【变式1】甲、乙两台机床在相同的技术条 件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如
下(单位:mm)
甲机床:
10.2 10.1 10.0 9.8 9.9
10.3 9.7 10.0 9.9 10.1
乙机床:
10.3 10.4 9.6 9.9 10.1
10.9 8.9 9.7 10.2 10.0
分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm,从计算的结果来看哪台机床加工
这种零件较合适?


【解析】
11
x

?(10.2?10.1??10.1)??100?10
1010
11
x

?(10.3?10.4???10)??10?10
.
1010
1
2222

s

?(=0.03
mm
2

10.2?10)?(10.1?10)??(10 .1?10)
10
1
2222
=0.06
mm
2
.
s

?(10.3?10)?(10.4?10)??(10?10)
10< br>??
??
2
2
s



s


∴用甲机床比乙机床稳定,即用甲机床加工较合适.
类型四:茎叶图
例5.某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩情况如下:
甲:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107;
乙:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
【思路点拨】茎叶图便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据.
【答案】乙同学的成绩比较稳定
【解析】 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.

从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位 数是98;甲同学的得分情况,也大
致对称,中位数是88.乙同学的成绩比较稳定,总体情况比甲同学 好.
举一反三:
【变式1】在某高中篮球联赛中,甲、乙两名运动员的得分如下:
甲:14,17,25,26,30,31,35,37,38,39,44,48,51,53,54;
乙:6,15,17,18,21,27,28,33,35,38,40,44,56.
(1)用茎叶图表示上面的样本数据,并求出样本数据的中位数;
(2)根据(1)中所求的数据分析甲、乙两名运动员中哪一位发挥得更加稳定.
【解析】(1)茎叶图如图所示.

甲运动员的中位数是37,乙运动员的中位数是28.


(2)从茎叶图上可以 看出甲运动员的得分大致对称,中位数是37,乙运动员的得分也大致对称,中位
数是28,因此,甲运 动员发挥得比较稳定,总体得分比乙运动员高.
高清课堂:用样本估计总体 400450 例3
【变式2】 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差.



【答案】(1)乙班(2)57
【解析】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于
160:179
之间,
而乙班身高集中于
170:180
之间.
因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
x=
158+162+163+168+168+170+171+179 +179+182
=170

10
甲班的样本方差为:
1
22222
[
?
158-170
?
+
?
162- 170
?
+
?
163-170
?
+
?
16 8-170
?
+
?
168-170
?
+

10
?
170-170
?
+
?
171-170
?< br>+
?
179-170
?
+
?
179-170
?
+
?
182-170
?





22222
]=57
【巩固练习】
1.下列关于“样本数据的频率分布表、频率分布直方图”的叙述中正确的是( )
A.从频率分布表可以看出样本数据的平均数
B.频数是指落在各个小组内的数据
C.每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率
D.组数是样本平均数除以组距
2.一个容量为80的样本中,数据的最大值时140,最小值是50,组距是10,则应将样本数据分为( )
A.10组 B.9组 C. 8组 D.7组
3.有一个容量为2 00的样本,其频率分布直方图如右图所示.根据样本的频率
分布直方图估计,样本数据落在区间[10 ,12]内的频数为( ).
A.18 B.36 C.54 D.72
4.某同学使用计算器求
30
个数据的平均数时,错将其中一个数据
105
输入为
15
,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A.
3.5
B.
?3

C.
3
D.
?0.5

5.两个 样本,甲:5,4,3,2,1;乙:4,0,2,1,-2.那么样本甲和样本乙的波动大小情况是( )
A.甲、乙波动大小一样
B.甲的波动比乙的波动大


C.乙的波动比甲的波动大
D.甲、乙的波动大小无法比较
6.对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是( )
A.频率分布直方图与总体密度曲线无关
B.频率分布直方图就是总体密度曲线
C.样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线 < br>7.下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据的方差必须是正数;③将一组数据中的每一个数
据都加上同一个常数后,方差不变;④在频率分布直方图中,每个小矩形的面积等于相应小组的频率.其
中错误的个数是( )
A.0 B.1 C. 2 D.3
8 .如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为
x
A

x
B
,样本标准差分别为
s
A

s
B
, 则( )
A.
x
A
?x
B

s
A
?s
B

B.
x
A
?x
B
s
A
?s
B

C.
x
A
?x
B

s
A
?s
B

D.
x
A?x
B

s
A
?s
B

9.数据a
1
,a
2
,a
3
,...,a
n
的 方差为
?
,平均数为
?
,则
(1)数据
ka
1< br>?b,ka
2
?b,ka
3
?b,...,ka
n
? b,(kb?0)
的标准差为_________,平均数为_________.
(2)数 据
k(a
1
?b),k(a
2
?b),k(a
3
? b),...,k(a
n
?b),(kb?0)
的标准差为_________,平均 数为
_________.
10.“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A 给出的分数如图所示.记分
员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91.复核员在复核时, 发现有一个数
字(茎叶图中的x)无法看清.若记分员计算无误;则数字x应该是________.
11.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直
方 图(如图).由图中数据可知
a?
.若要从身高在
?
120, 130
?

?
130,140
?

?
14 0,150
?
三组内的
学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高
?
140,150
?
内的学生中选取的人数应为
2



12.甲、乙两名高一年级男生,在参加投篮比赛时,各做了5组投篮,每组10次,投中次数如下:
甲:7,6,8,6,8 乙:6,7,8,7,7
22

x

= ;
s

?

x

= ;
s

?
.他们中 的成绩更稳定.
13.下图是总体的一样本频率分布直方图,且在[15,18)内的频数为8.

(1)求样本容量;
(2)若在[12,15)内小矩形面积为0.06,求在[12,15)内的频数;
(3)求样本在[18,33)内的频率.
14.某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传 送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其质量,抽
查记录如下(单位:千克):
甲:102 101 99 98 103 98 99
乙:110 115 90 85 75 115 110
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)估计甲、乙两车间的平均值与方差,并说明哪个车间产品较稳定.
15.某高级中学有 高三毕业生2000人,今年高考前学校组织了若干次模拟考试,其中最后一次考试中,从
中抽取的10 0名学生的总成绩如下(单位:分):
494 498 493 505 496 492 487 483 508 511
495 494 483 485 511 493 505 485 501 503
493 509 509 512 484 509 510 495 497 498
504 498 483 510 503 497 502 511 497 500
493 509 510 493 491 497 515 503 515 518
510 514 509 499 493 499 509 492 505 489
494 501 509 498 502 500 508 491 509 509
499 495 493 509 496 509 505 499 486 491
492 496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 493 501 510 496 487 511 501 496
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图;


(3)预测 该校所在的省份今年的最低投档线为490.5分,以此预测该校今年将有多少名学生可能升入
高等院校 ?
(4)高考中,该校某学生的总成绩在680分及以上的可能性存在吗?


【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】A数据的频率分布表一般不能 反映原有数据的全部信息.B频数是指落在各个小组内的数据的个
数.D组数是极差除以组距.
2【答案】.B
【解析】组数=
极大值?极小值

组距
3.【答案】B
【解析】 易得样本数据在区间[10,12]内的频率 为0.18,则样本数据在区间[10,12]内的频数为36,故
选B.
4.【答案】B
【解析】少输入
90,
90
?3,
平均数少
3
,求 出的平均数减去实际的平均数等于
?3

30
5.【答案】C
6.【答案】D
【解析】如果样本容量越大,所分组数越多,频率分布直方图中表示的频率分 布就越接近于总体在各个小
组内所取值的个数与总数比值的大小.频率分布直方图与总体密度曲线是有关 系的,故选项A不正确,频
率分布直方图不是总体密度曲线,故选项B不正确,样本容量很大的频率分布 直方图就越接近与总体密度
曲线,故选项C不正确.设想如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小, 则频率分布直方图实际上越
来越接近于总体的分布,它可以用一条光滑曲线y=f(x)来描绘,这条光 滑曲线就叫做总体密度曲线.总
体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.选项D正确 .
7.【答案】C
【解析】由众数及方差的定义知,C正确.
8.【答案】B
9.【答案】 (1)
k
【解析】
(1)
X?
?

k
?
?b
(2)
k
?

k
?< br>?kb

ka
1
?b?ka
2
?b?...?ka< br>n
?ba?a?...?a
n
?k?
12
?b?k
?
?b

nn
s?
?k
1
[(ka
1
?b?k
?
?b)
2
?(ka
2
?b?k
??b)
2
?...?(ka
n
?b?k
?
?b)
2
]
n
1
[(a
1
?
?
)
2< br>?(a
2
?
?
)
2
?...?(a
n
?
?
)
2
]?k
?
n

(2)
X?
k(a
1
?b)?k(a
2
?b)?...?k(a
n
?b)a?a
2
?...?a
n
?k?
1
?kb? k
?
?kb

nn


s?
?k
1[(ka
1
?kb?k
?
?kb)
2
?(ka
2
?kb?k
?
?kb)
2
?...?(ka
n
? kb?k
?
?kb)
2
]
n
1
[(a
1< br>?
?
)
2
?(a
2
?
?
)
2
?...?(a
n
?
?
)
2
]?k
?< br>n

10.【答案】1
【解析】 假设x<4,

89?89?92?93?92?91?(90?x)
?91?x?1

7
11.【答案】0.030,3
12.【答案】7,0.8,7,0.4 乙
13.【解析】(1)由题图可知[15,18)对应的y轴数字为
∴[15,18)对应频率为:
4
,且组距为3,
75
44

?3?
7525
又已知[15,18)内频数为8,
∴样本容量
n?
8
?50

4
25
(2)[12,15)内小矩形面积为0.06,即[12,15)内频率为0.06,且样本容量为50,
∴[12,15)内频数为:50×0.06=3.
(3)由(1)(2)知[12,15)内频数为3,[15,18)内频数为8,样本容量为50,
∴[18,33)内频数为:50-3-8=39,
∴[18,33)内频率为:
39
?0.78

50
14.【解析】(1)运用的是系统抽样法.
(2)分别计算甲、乙两个车间的平均数和方差.
1
x

???
102?101?99?98?103?98?99
?
?100
7
1
x

??
?
110?115?90?85?75? 115?110
?
?100

7
即甲、乙两车间产品的平均值都是100.下面在考虑它们的方差:
1
2
s

??
?
4?1?1?4?9?4?1
?
?3. 43

7
1
2
s

??
?
100 ?225?100?225?625?225?100
?
?228.57

7
22

s

?s

,表明甲车间的产品比较稳定.
15.【解析】(1)极差为518-483=35.
人为取组距为4,这时,
极差35
??8.75
,取组数为9.
组距4
使分点比数据多一位小数,并把第1个分点确定为最小值减去0.5.即483 -0.5=482.5.列出频率分布
表为



(2)频率分布直方图及频率分布折线图如下图所示.


(3)从频率分布表中可知,总分在490.5以下的累计频率为0.11,这样总分在490 .5及以上的频率就
是1-0.11=0.89,比例为89%,以此估计或者说预测,该校今年可能升 入高等院校的学生数为2000×89%
=1780(人).
(4)统计是相对的,不是绝对的.
高考中,该校某学生的总成绩在680分及以上的可能性仍然是存在的.

第7讲:变量的相关性
【学习目标】
1.明确两个变量具有相关关系的意义;
2.知道回归分析的意义;
3.知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义; 4.掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤,并能借助科学计算器确定实际问题中两个变量间的回归直线方程;
【要点梳理】

要点一、变量之间的相关关系
变量与变量之间存在着两种关系:一种是函数关系,另一种是相关关系。
1.函数关系 函数关系是一种确定性关系,如y=kx+b,变量
x
取的每一个值,
y
都有唯一确定的值和它相对应。
2.相关关系
变量间确定存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性


相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释:
对相关关系的理解应当注意以下几点:
(1)相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种 非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系,
即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而 函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因
此,不能把相关关系等同于函数关系.
( 2)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如,有人发现,
对 于在校儿童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三
个因素——年龄.当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
(3)函数关系与 相关关系之间有着密切联系,在一定的条件下可以相互转化.例如正方形面积S与其边
长x间虽然是一种 确定性关系,但在每次测量边长时,由于测量误差等原因,其数值大小又表现出一种随
机性.而对于具有 线性关系的两个变量来说,当求得其回归直线后,我们又可以用一种确定性的关系对这两
个变量间的关系 进行估计.
3.散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标,在直角坐标系 中描点,这样的图叫做散点图。通
过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系,她反映了各数据 的密切程度。
要点二、正相关、负相关
(1)正相关:在统计数据中的两个变量,一个变量 的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这
种相关称为正相关。如:家庭年收入越高,年饮食支出 越高。反映在散点图上它们散布在从左下角到右上
角的区域,按表中所列数据制作散点图如图
A 0 5 10 15 20 25 30 35
B 541.67 602.66 670.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75
(2)负相关:如果两个变量中,一个变量的值由小到大变化时,另一个变量的值由大到小变化,那么
这种相关称为负相关。在散点图中,对应数据的位置为从左上角到右下角的区域。按表中所列数据制作的
散点图如图。
C
D
5
64
8
56
16
50
18
42
28
37
30
32
35
21



(3)无相关关系:如果关于 两个变量统计数据的散点图如下图所示,那么这两个变量之间不具有相关
关系。例如,学生的身高与学生 的学习成绩没有相关关系。

要点诠释:
利用散点图可以大致判断两个变量之间有无相关关系。

要点三、线性回归方程
1.回归直线方程
(1)回归直线:观察散点图的特征,发现各个大致分布在通过散点图中心 的一条直线附近。如果散点
图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有 线性相关关系,这条直线叫
做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。
2.回归直线方程的求法
设与
n
个观测点(
x
i
,y
i

?
i?1,2,???,n
?
最接近的直线方程为
$$
y?bx?a,
,其中a、b是待定系数.

$$
yi
?bx
i
?a,(i?1,2,L,n)
.于是得到各个偏差 y
i
?
?
y
i
?y
i
?(bx
i
?a),(i?1,2,L,n)
.
显见,偏差
y
i
?
$$
y
i
的符号有正有负,若将它们相加会造成相互抵消,所以它们的和不能 代表几个点与
相应直线在整体上的接近程度,故采用n个偏差的平方和.
Q?(y
1
?bx
1
?a)
2
?(y
2
?bx
2?a)
2
???(y
n
?bx
n
?a)
2
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.

Q?
n
(y
i
?bx
i
?a)
2
.
?
i?1
上述式子展开后,是一个关于a、b的二次多项式,应用配方法,可求出使Q为最小值时的a、b的值.


n
?
(x
i
?x)(y
i
? y)
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
?
(x
i
?x)
2
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?
xy
i
i?1
n
ni
?nxy
?nx
2
1
n
1
n
, < br>x?
?
x
i

y?
?
y
i

n
i?1
n
i?1
?
x
i?1
2
i
相应的直线叫做回归直线,对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析
上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法,叫做最小二乘法。
要点诠释:
1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b,求出回归直线方程即可 .不要求掌握回归直线方
程的推导过程.
2.求回归直线方程,首先应注意到,只有在散点图 大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实标意义.
否则,求出的回归直线方程毫无意义.因此,对一组 数据作线性回归分析时,应先看其散点图是否成线性.
3.求回归直线方程,关键在于正确地求出系数 a、b,由于求a、b的计算量较大,计算时仔细谨慎、分
层进行,避免因计算产生失误.
4 .回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定
性 问题,把“无序”变为“有序”,并对情况进行估测、补充.因此,学过回归直线方程以后,应增强学生
应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.
【典型例题】
类型一:变量间的相关关系与函数关系
例1.下列两个变量之间的关系中,不是函数关系的是( )
A.角度和它的余弦值 B.正方形的边长和面积
C.正n边形的边数和其内角度数之和 D.人的年龄和身高
【答案】D
【解析】 函数关系是一种确定的关系。而相关关系是非确定性关系。选项A、B 、C都是函数关系,可
以写出它们的函数表达式:
f(x)?cos
?
g(a)?a

h(n)?n
?
?2
?
,选项D不是函 数关系,在相同
年龄的人群中,仍可以有不同身高的人,故选D.
【总结升华】 本题 考查非数据型两个变量的相关性判断.要根据两个变量之间是否具有确定性关系及
因素关系进行判断.
举一反三:
【变式1】下列图形中具有相关关系的两个变量是( )
2

【答案】 C
【解析】A、B中显然任给一个x都有唯一确定的y值 和它对应,是函数关系;C中从散点图可看出所
有点看上去都在某条直线附近波动,具有相关关系,因此 变量间是不相关的。
【变式2】下列关系是相关关系的是________(填序号).
①人的年龄与他拥有的财富之间的关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气
候之 间的关系;④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系;⑤学生与其学号之间的关系.
【答案】①③④

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