高中数学解题方法辅导直接推演法微教案学生导学案

第11讲 基于数学核心素养的解题方法——直接推演法





直接推演法的解题方法如何使用？
直接推演法，又称综合法，由 因导果法，是解填空题的一种常用方法，也是一种基本方
法.它的解题方法是根据填空题的题设条件，通 过应用定义、公理、定理、公式等经过计算、
变形、推理或判断，得出正确的结论.直接推演法解题自然 ，运用数学知识，通过综合法，
直接得出正确答案.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉 地、有意识地采取
灵活、简捷的解法.




你能利用直接推演法解决下列填空题吗？



【例1】 若
n?( ?2,1)
是直线
l
的一个法向量，则
l
的倾斜角的大小为 （结果用
反三角函数值表示）.
【答案】
arctan2
.
【解析】设直线的倾斜角为
?
，则
tan
?
?2,
?< br>?arctan2
.
【反思】本题考察直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角.
【例2】计算：
3?i
?
（
i
为虚数单位）.
1?i
【答案】
1?2i
.

【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可：
3?i(3?i)(1?i )3?1?4i
???1?2i
.
1?i(1?i)(1?i)2
【反思】
本题通过公式进行复数的运算.
（C
U
A）
?
（C
U
B）?

【 例3】设全集
U?{a,b,c,d}
，集合
A?{a,b}
，
B? {b,c,d}
，则
.
【答案】
{a,c,d}

【解析】∵
U?{a,b,c,d}，集合
A?{a,b}
，
B?{b,c,d}
，

（C
U
B）?{a}
.∴
（C
U
A）
?
（C
U
B）?
{a,c,d}
.
∴
（C
U
A）?{c,d}
，
【反思】本题考察集合的运算，直接法计算.
【例4 】已知
y?f(x)?x
是奇函数，且
f(1)?1
，若
g(x)? f(x)?2
，则
g(?1)?

.
【答案】
?1

【解析】∵函数
y?f(x)?x
为奇函数 ，∴
f
?
?x
?
?
?
?x
?
=? f
?
x
?
?x
2
，即
2
2
2??
f
?
?x
?
=?f
?
x
?
?2x
2

又∵
f
?
1
?
=1
，∴
f
?
?1
?
=?1?2=?3
.∴
g
?
?1
?
=f
?
?1
?
?2=?3?2=?1.
【反思】运用函数的奇偶性，自然解题.
【例5】已知
P
，
Q
为抛物线
x?2y
上两点，点
P
，
Q
的横坐标 分别为4，
?
2，过
P
、
Q
分
别作抛物线的切线， 两切线交于
A
，则点
A
的纵坐标为 .
【答案】
?
4.
【解析】∵点
P
，
Q
的 横坐标分别为4，
?
2，∴代人抛物线方程得
P
，
Q
的纵坐 标分别为8，
2.
由
x?2y
得
y?
2
2
1
2
x
，∴
y
?
?x
.∴过点
P
，
Q
的抛物线的切线的斜率分别为4，
2
?
2.
∴过点
P
，
Q
的抛物线的切线方程分别为
y?4x?8, y??2x?2
.
联立方程组解得
x?1, y??4
.∴点
A
的纵坐标为
?
4.
【反思】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法解题.
【例6】函数
f(x)?1?2log
6
x
的定义域为 ．
6
?
【答案】
0，
?
.
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
?
?
x>0
?
x>0
?
x>0
??
?
?
?0.
1
?
1
?
?
1?2logx?0
logx?
6
?
6
??
x?6
2
=6
2
?
?
【反思】本题考察函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式.

1
??
【例7】若
?
x?
?
的展开式中第3项与 第7项的二项式系数相等，则该展开式
x
??
中
n
1
的系数为 .
2
x
【答案】56.
【解析】利用二项式系数相等，确定
n
的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数.
26
?C
n
?n?2?6?8
. 根据已知条件可知
Cn
1
??
r8?rr8?2r
x?x
?r
?C
8
x
∴
?
x?
?
的展开式的通项为
T
r? 1
?C
8
，
x
??
5
?56
. 令8?2r??2
，
r?5
.∴系数为
C
8
8
【 反思】本题运用二项式定理中通项公式求解.







你能否从核心素养的层面对以上例题做归纳总结呢?

直接推演法有助于数学运算能力的发展．数学运算能力是指在明晰运算对象的基础上，
依据运算法则解决 数学问题的能力。比如例1、例2、例3、例6、例7五个例题都通过应用
定义、公理、定理、公式等经 过计算、变形，得出正确结论，分别考察了三角函数值的运算、
复数的运算、集合的运算、解对数不等式 、二项式系数的运算.题目本质上都是通过直接推
演法来解决选择问题.

（x?m?3）,g
?
x?
?2
x
?2
，若同时满足条件： 1.

已知
f
?
x
?
?m(x?2m)

①?x ?R，f
?
x
?
＜0或g
?
x
?
＜0，② ?x?(-?, -4), f
?
x
?
?g
?
x
?
＜0
，

则m的取值范围是 .

f(x)?x2
?ax?b(a，b?R)
的值域为
[0，
2.

已知函数
??)
，若关于x的不等


式
f(x)?c
的解集为
(m，m?6)
，则实数c的值为 ．

3.

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .