上海2020年高三数学基础知识回顾辅导讲义——解析几何(教师版)

高考数学基础知识回顾：解析几何
基础知识
一、直线与方程
★1、直线的倾斜角及斜率：
（1）倾斜角：
x
轴正向与直线向上方向之间 所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与
x
轴平
行或重合时，我们规定它的倾斜角 为
0
，因此，倾斜角的范围是
?
0，
?
?
. （2）斜率：①倾斜角不是
（
?
?
?
的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率，即
k?tan
?
2
y
2
?y
1
?
x
1
?x
2
?
.
x
2?x
1
?
2
时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：
k?
★2、直线的方程：点方向式：
x?x
0
y?y
0
（过 点
?
x
0
,y
0
?
，方向向量
?
u,v
?
）
?
uv
点法向式：
a
?
x?x
0
?
?b
?
y?y
0
?
?
0
（过点
?
x
0
,y
0
?
，法向量?
a,b
?
）
斜截式：
y?kx?b
，直线斜 率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

点斜式 ：
y?y
1
?k
(
x?x
1
)
直线斜率< br>k
，且过点
?
x
1
,y
1
?

两点式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2,y
2
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
截 矩式：
xy
??
1
（与
x
轴交于点
(a,0)，与
y
轴交于点
(0,b)
）
ab
一般式：< br>Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全为
0
）
1 26

★★3、直 线与直线的位置关系：（1）平行直线系：
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C
2
?0
；（2）垂
直直线系：
Ax?By?C
1
?0
与
Bx?Ay?C
2
?0
；（3）直线平行与垂直 的充要条件：①当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1< br>l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
；②当
l
1
:a
1
x?b
1
y?c
1
?0
，
l
2
:a
2
x?b2
y?c
2
?0
时，
l
1
l
2
?a
1
b
2
?a
2
b
1
?0
；
l
1
?l
2
?a
1
a
2
?b1
b
2
?0

★★4、直线的夹角公式：（1）对直线
l
1
:a
1
x?b
1
y?c
1
?0
，
l
2
:a
2
x?b
2
y?c
2
?0
，
cos
?
?|cos
?
|?|
d
1
?d
2
|d
1
|?|d
2
|
|?
|a
1
a
2
?b
1
b
2
|
a< br>1
?b
1
?a
2
?b
2
2222
； （2）对直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
，
tan
??
k
1
?k
2

1?k
1
k
2
★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点
P
?
x
0< br>,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
；（2）点在直线的同侧或异侧的问题：令
?
?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
，当两点在直线
l
的同侧 ，则它们的
?
同号；当两点在直线
l
的异侧，则
?
异号；（ 3）两平行线间的距离公式：
l
1
:Ax?By?C
1
?0
与
l
2
:Ax?By?C
2
?0
为
d?
C
1
?C
2
A?B
22

★6、线性规划：①设出所 求的未知数；①列出约束条件（即不等式组）；①建立目标函数；①作出可
行域；①运用图解法求出最优 解．
二、圆与方程
2
★1、圆的方程：（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
，圆心
22
?
a,b
?
，半径为
r
；（2）一般方程
D
2?E
2
?4F
?
DE
?
x?y?Dx?Ey?F?0< br>，圆心
?
?,?
?
，半径，能形成圆的充要条件是
2
22
??
22
?
x?a?rcos
?
D
2
?E
2
?4F?0
；（3）参数方程：
?
，圆心
?
a,b
?
，半径为
r
．
?
y?b?rsin
?
2 26

★2、点与圆的位置关系：点
?
x
0
,y
0
?与圆的位置关系通过代入圆的方程，若
22
x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
?F?0
，点在圆内；若等于0，点在圆上；大于 0，点在圆外．
★★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基 本上由下列两
种方法判断：（1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:< br>?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l的距
离为
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
，则有
d?r?l
与
C
相离；
d?r?l
与
C
相切；< br>d?r?l与C
相交；
（2）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆< br>C:
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，先将方程联立消元，得到一个一元
22
二次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l
与
C
相离；
??0?l
与
C
相切；
??0?l
与
C
相交．
★★★4、 过圆上一点的切线方程：①圆
x?y?r
，圆上一点为
?
x
0
,y
0
?
，则过此点的切线方程为
222
xx
0
?yy
0
?r
2
；①圆
?
x?a
?
2< br>?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆上一点为
?
x
0
,y
0
?
，则过此点的切线方程为
?x
0
?a
??
x?a
?
?
?
y
0
?b
??
y?b
?
?r
2
．
★★5 、圆与圆的位置关系：设圆
C
1
:
?
x?a
1
?< br>2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?< br>y?b
2
?
?R
2
，
d
22
为两圆 的圆心距，当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；当
d?R?r
时两 圆外切，连心
线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当
R?r?d?R?r
时两 圆相交，连心线垂直平分公
共弦，有两条外公切线；当
d?R?r
时，两圆内切，连心 线经过切点，只有一条公切线；当
d?R?r
时，两圆内含；当
d
三、圆锥曲 线
1、椭圆：
★（1）定义：平面内到两定点
F
1
,F
2
的距离的和为常数
2a
（
2a
?
F
1
F
2
）的动点的轨迹叫椭圆．（长
222
轴长
2a
，短轴长，
2b
长半轴
a
，短半轴
b
，焦距
2c
，< br>a?b?c
）
?0
时，为同心圆．
3 26

x
2
y
2
y
2
x
2
★（2）方程：①标准方程：焦点在
x
轴上时： < br>2
?
2
?1
；焦点在
y
轴上时：
2
?
2
?1

abab
x?acos
?
?
a?b?0
?
；②参数方程：
?
（焦点在
x
轴上）
?
?
y?bsin
?
22
x
0
y
0x
2
y
2
★（3）椭圆的的内外部：①点
P(x
0,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)< br>的内部
?
2
?
2
?1
；
abab
22
x
0
y
0
x
2
y
2
②点< br>P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1

abab
x
2
y
2
★★★（4）椭圆中的相关结论：①若< br>P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2?
2
?1
上，则过
P
0
的椭圆的切线方程
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
是
2
?
2
?1
；①若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外 ，则过
P
0
作椭圆的两条切线切点为
P
1
、P
2< br>，
ab
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?
2
?1
；①椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左右焦点分别为则切点弦
P
1< br>P
2
的直线方程是
ab
a
2
b
2
F
1
,F
2
，点
P
为椭圆上任意一点
?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆的焦点角形的面积为
S
?F< br>1
PF
2
?btan
?
2
；①
AB
x
2
y
2
b
2
是椭圆
2
?
2?1
的不平行于对称轴的弦，
M(x
0
,y
0
)
为
AB
的中点，则
k
OM
?k
AB
??
2
，即
aba
K
AB
x
2
y
2
b
2
x
0
B
两点，①已知椭圆
2
?
2
?1
，直线
y?kx
交椭圆于
A
，点
P
是椭圆上 异于
A
，
??
2
；
ab
ay
0
b
2
??
2
．
a
B
的任一点，且
k
PA
，
k
PB
均存在，则
k
PA
?
k< br>PB
2、双曲线：
★（1）定义：平面内到两定点
F
1
,F
2
的距离的差的绝对值为常数
2a
（
0?2a?
F
1
F
2
）的动点的
222
轨迹叫双曲线．（实轴长
2a，虚轴长
2b
，实半轴
a
，虚半轴
b
，
c?a ?b
）
4 26

< br>x
2
y
2
b
★（2）标准方程：焦点在
x
轴 上时：
2
?
2
?1
，渐近线
y??x
；
ab
a
y
2
x
2
a
焦点在
y< br>轴上时：
2
?
2
?1
，渐近线
y??x

ab
b
x
2
y
2
y
2
x
2
x
2
y
2
★（3）共轭双曲线和等轴双曲线：
2
?
2
?1
与
2
?
2
?1
互为共轭双曲线； 形如
2
?
2
?1
ab
baaa
的双曲线叫等轴双曲 线
x
2
y
2
★★★（4）双曲线中的相关结论：①若
P< br>0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?< br>2
?1
（
a?0,b?0
）上，则过
P
0
a b
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
的双曲线的切线方程是
2
?
2
?1
；①若
P
0< br>(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2< br>?1
（
a?0,b?0
）外 ，
ab
ab
则过
P
0
作双曲线的两条切线切点为
P
则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是
1
、P
2
，
x
0
xy
0
y
?
2
?1
；①双曲线
a
2b
x
2
y
2
??1
（
a?0,b?0
）的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，点P为双曲线上任意一点
?F
1
PF
2
?
?
，
a
2
b2
则双曲线的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
x
2
y
2
?bcot
；①
AB
是双曲线
2
?
2
?1
（
a?0,b?0
）的
ab
2
2
?
不平行于对称轴的弦，
M(x
0
,y
0
)
为
AB
的中点，则
K
OM
?K
AB
b
2
b
2
x
0
?
2
，即
K
AB
?
2
；①已知
a
ay
0
x
2
y
2
双曲线
2
?
2
?1
，直线
y?kx< br>交双曲线于
A
，
B
两点，点
P
是双曲线上异于
A
，
B
的任一点，
ab
且
k
PA
，k
PB
均存在，则
k
PA
?
k
PB
b
2
?
2
．
a
3、抛物线：
★（1）定义：到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹．（定点不在定直线上）
5 26

2
★（2）标准方程 ：①
y?2px
，焦点(
pp
pp
2
x??x?
, 0)，准线；①
y??2px
，焦点(-,0)，准线；
22
22
①
x?2py
，焦点(0,
2
pp
pp
2
)，准线
y??
；①
x??2py
，焦点(0,-)，准线
y?
< br>22
22
22
（3）抛物线的相关结论：①设抛物线方程
y?2px< br>（
x?2py
），F为其焦点，AB为过F的弦，
p
2
p2
112
22
A(x
1
,y
1
)
，< br>B(x
2
,y
2
)
．
??
则
x1
x
2
?
（
y
1
y
2
?），
y
1
y
2
??p
(
x
1
x
2
??p
)，．
44
AFBFp
①抛物线
y? 2px
在点
(x
0
,y
0
)
的切线方程为：
y
0
y?p(x?x
0
)
．
四、解析几何综合问题 < br>★★1、直线与圆锥曲线的位置关系：①把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式
?< br>来讨
论位置关系，方程解的个数为交点个数；②利用区域划分的图形效果，用数形结合的方式讨论 ；③
2
x
2
y
2
椭圆
2
?
2?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
，双曲 线
ab
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b? 0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
，抛物线
2
ab
y
2
?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB
2
?2AC
．
22
★★2、弦长公式：
|AB|?1?k|x
1
?x
2
|
=
1?kg(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2

2

?1?
1
1
2< br>1?g(y?y)?4y
1
y
2
=
|y?y|
12
2
12
2
k
k
★★★3、距离问题：（1）点与圆锥曲线的 距离：一般通过两点间距离公式，转化为二次函数问题来
解决，注意变量范围．特殊的，当该点为焦点时 ，椭圆这侧的长轴顶点到该点的距离最小，双曲线
这侧的实轴顶点到该点的距离最小．抛物线一般转化为 到准线的距离解决．（2）到定直线的距离：
一般是通过作定直线的平行线与圆锥曲线相切来解决．另外 ，通过参数方程也可以解决．（3）到圆
上点的距离：一般转化为到圆心的距离加减半径．
6 26

★★★4、弦中点问题 ：（1）解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法：联立直线和圆锥曲线的方程，借
助于一元二次方程的根的 判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．（2）点差法：若
设直线与圆锥曲线的交点（弦 的端点）坐标为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
，将这两点代入圆锥曲线的方
程并对所得两式作差，得 到一个与弦
AB
的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称
这种代点作差 的方法为“点差法”．利用点差法解题一般需要验算直线与圆锥曲线是否相交.



题型与方法
一、直线的相关问题

对直线方程的考查主要涉及：倾斜角和斜 率的求解、两直线的位置关系的判断、距离问题、对
称问题等，大都是结合定义和公式利用数形结合的方 法来解决。
【例1】直线
l
经过
A
?
2,1
?< br>，
B1,m
【难度】★
?
2
?
?
m?R< br>?
两点，那么直线
l
的倾斜角
?
的取值范围是
【答案】
?
0,
?
?
??
?
?
?
?
,
?
?

?
4
???
2
?

【例2】已知点
A?
?2,3
?
，
B
?
3,2
?
，过点
P
?
0,?2
?
的直线
l
与线段
AB有公共点，则直线
l
的斜率的
取值范围为
【难度】★★
【答案】
?
??,?
?
?
?
,??
?

23
?
?
5
?
?
?
4
?
?
?

【例3】若直线
x?
?
2a?1
?
y?1?0
与
?
2a?2
?
x??
4a?2
?
y?3?0
平行，则实数
a
的值为
7 26

【难度】★★
【答案】
1
或
0

2
< br>【例4】已知点
P
?
x,y
?
在直线
x?y?1?0
上运动，则
?
x?2
?
?
?
y?2
?的最小值为
22
【难度】★★
【答案】
1

2

【例5】已知直线
l
：
2x?3y?1?0
， 则直线
m
：
3x?2y?6?0
关于直线
l
的对称直线m
?
的方程
为
【难度】★★
【答案】
9x?46y?102?0


【巩固训练】
< br>1．直线
x?a?
1
y?
1
?
0
的倾斜角的 取值范围是
【难度】★
?
2
?
【答案】
?
?
3
?
?
,
?
?

4
??

2．已知直线
l
：
y?kx?3
与直线
2x?3y?6?0
的交点位于第一象限，则直线
l
的倾斜角的取值< br>范围为
8 26

【难度】★★
【答案】
?
?
??
?
,
?

?
62
?

3．已知直线
l
1
：
x?ay?6?0
和
l
2
：
?
a?2
?
x ?3y?2a?0
，则
l
1
l
2
的充要条件是
a?

【难度】★★
【答案】
?1


4 ．若直线
m
被两平行线
l
1
：
x?y?1?0
与< br>l
2
：
x?y?3?0
所截得的线段的长为
22
，则
m
的
倾斜角可以是
【难度】★★
【答案】
75
?
或
15
?


?2
?
对称的直线
l
?
的方程为 5．直线
l
：
2x?3y?1?0
关于点
A
?
?1，
【难度】★★
【答案】
2x?3y?9?0


二、圆的相关问题

圆的方程及圆中的位置关系的判断一般利用点和圆心的距离、圆心 到直线的距离与半径作比较
来进行判断，也可以利用几何意义、垂直定理等相关性质来快速求解。 【例6】自点
P
?
2,10
?
引圆
C
：
?
x?4
?
?
?
y?2
?
?1
的两条切 线，切点分别为
A
，
B
，则
?PAB
的
22
9 26

外接圆的方程为
【难度】★★
【答案】
?
x?1
?
?
?
y?6
?
?25

22

【例7】已知圆
M
：
?
x?cos
?
?
?
?
y?sin
?
?
?1
，直线
l
：
y?kx
，下面四个命题： < br>22
①对任意实数
k
与
?
，直线
l
与圆M
相切；
②对任意实数
k
与
?
，直线
l与圆
M
有公共点；
③对任意实数
?
，必存在实数
k< br>，使得直线
l
与圆
M
相切；
④对任意实数
k
，必存在实数
?
，使得直线
l
与圆
M
相切
其中真命题的序号是
【难度】★★
【答案】②④

【例8】已知圆
C
：
?
x?3
?
??
y?4
?
?1
和两点
A
?
?m,0
?
，
B
?
m,0
??
m?0
?
.若圆C
上存在点
P
，
22
使得
?APB?90
?< br>，则
m
的最大值为
【难度】★★
【答案】6

2
【例9】过
P
?
3,1
?
作圆
C
：
?
x?1
?
?y?1
的两条切线，切点分别为
A
，
B
，则弦
AB
的长为
2
【难度】★★
10 26

【答案】
45

5

2
【例10】若方程
x?m?4?x
有且只有一个实数解，则实数
m
的取值范围为
【难度】★★
【答案】
?2?m?2
或
m?22


【巩固训练】

1．圆
C
与
x
轴相切， 圆心在直线
3x?y?0
上，且被直线
x?y?0
所截得的弦长为
2 7
，则圆
C
的方程为
【难度】★★
【答案】
?
x?1
?
?
?
y?3
?
?9
或
?
x?1
?
?
?
y?3
?
?9

2222

2．已知圆
x?y?
8
mx?
?
6
m?
2
?
y?
6
m?
1?
0
，直线
4x?3y?3?0
与该圆的位置关系是
22
【难度】★★
【答案】相切

3．如果圆
x?y?
2
ax?
2
ay?
2
a?
4
?
0
与圆
x?y?4
总相交，则
a
的取值范围是
【难度】★★
22222
11 26

【答案】
0,22

??

2
4．在平面直角坐标 系
xOy
中，已知圆
x?
?
y?
3
?
?< br>2
，点
A
是
x
轴上的一个动点，
AP
，AQ
分
2
别切圆
C
于
P
，
Q
两点，则线段
PQ
长的取值范围为
【难度】★★
【答案】
?
?
214
?

,22
?
?
?
3
?

5．若直线
y?x?b
与曲线
y?3?4x?x
2
有公共点，则
b
的取 值范围是
【难度】★★
【答案】
1?22,3

??

三、圆锥曲线的相关问题

圆锥曲线中的问题大都是利用方程 的结构，结合圆锥线自身的定义，联立方程进行求解。常用
的方法有：数形结合、几何转化、函数思想、 分类讨论等等。
x
2
y
2
??1
表示的曲线是椭圆，则实 数
m
的取值范围是 【例11】若方程
10?mm?6
【难度】★
【答案】
?
?6,2
?
?
?
2,10
?


12 26

x
2
y
2
??1
，
F
1
、
F
2
分别为椭圆的左、右 焦点，
A
点的坐标为
?
2,1
?
，【例12】已知椭圆的方 程为
2516
P
为椭圆上一点，则
PA?PF
2
的最大值与 最小值分别是
【难度】★★
【答案】
10?26
和
10?26


x
2
y
2
??1
的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，点
P
在椭圆上，
?F
1
PF
2?60
?
，则【例13】已知椭圆
94
S
?F
1
PF
2
?

【难度】★★
【答案】
4
3

3

x?4y
的两条切线
PA
、【例14】设
P
为直线
l
：过点
P
?
x
0
,y
0
?
作抛物线
C
：
x ?y?2?0
上的点，
2
PB
，其中
A
、
B
为切点，若
F
为抛物线
C
的焦点，当点
P
在直线
l
上移动时，
AF?BF
的最小
值为
【难度】★★
【答案】
9

2

x
2
y
2??1
，直线
y?kx
与双曲线
C
相交于
A
、
B
两点，
M
是双曲线【例15】已知双曲线
C
：
9 16
上异于
A
、
B
的任一点，且
AM
、
B M
均与坐标轴不平行，则
AM
、
BM
的斜率之积
k
AM
?k
BM
?

【难度】★★
13 26

【答案】
16

9

【巩固训练】

1． 若双曲线的渐近线方程为
y??3x
，且经过点
2,?33
，则双曲线的方程 为
【难度】★
??
y
2
?1
【答案】
x?
9
2

x
2
y
2
? ?
1
的左焦点，点
A
?
1,4
?
，
P是双曲线右支上的动点，则
PF?PA
的
2．已知
F
是双曲线< br>412
最小值为
【难度】★★
【答案】9
x
2
?y
2
?1
的两个焦点，点
P
在双曲线上 且满足
?F
1
PF
2
?90
?
，则
?PF
1
F
2
3．设
F
1
和
F
2
为双曲线
4
的面积是
【难度】★★
【答案】1

x?
2
y?
4
，
4．已知椭圆
C
：
设
O
为原点，若点
A
在直线
y?2
上，点B
在椭圆
C
上，且
OA?OB
，
14 26

22

则线段
AB
长度的最小值为
【难度】★★
【答案】
22


x
2
y
2
?< br>1
，一直线与椭圆
C
相交于
A
、
B
两点，< br>M
是线段
AB
的中点，若
O
为
5．已知椭圆
C
：
?
43
坐标原点，且直线
AB
、
OM
斜率存在，则
AB
、
OM
的斜率之积
k
AB
?k< br>OM
?

【难度】★★
【答案】
?
3

4

四、直线与圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题有常见两种思路：数形结合、代数求解。
【例16】若平面区域< br>?
?
|x|?|y|?2,
是一个三角形，则
k
的取值范围是 _________．
?
y?2?k(x?1)
【难度】★★★
【答案】
(??,?2)?
?
0,
?
?
2
?

3
?
?

【例17】对于曲线
C
所在平面上的定点
P
0
，若存在以点
P
0
为顶点的角
?
，使 得
?
??AP
0
B
对于曲
线
C
上的任意两 个不同的点
A,B
恒成立，则称角
?
为曲线
C
相对于点P
0
的“界角”，并称其中最小
2
?
?
x?1(x?0 )
的“界角”为曲线
C
相对于点
P
0
的“确界角”．曲线< br>C:y?
?
相对于坐标原点
O
2
?
?
2?1 ?x(x?0)
15 26

的“确界角”的大小是 ．
【难度】★★
【答案】
?

2

【例18】设圆O
1
和 圆O
2
是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能
是 ①两条双曲线；①一条双曲线和一条直线；①一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）
A．① ① B．① ① C．① ① D．① ① ①
【难度】①①
【答案】C

【巩固训练】
< br>1．如果函数
y?x?2
的图像与曲线
C:x?
?
y?4恰好有两个不同的公共点，则实数
?
的取值范
围是
A．
[?1,1)
B.
?
?1,0
?
C.
(??,?1]U[0,1)
D.
[?1,0]U(1,??)

【难度】①①①
【答案】A

2．若两函数
y?x?a
与
y?1?2x
2
的图像有两个交点
A
、
B
，O
是坐标原点，
?OAB
是锐角三
角形，则实数
a
的取 值范围是
【难度】★★★
22
16 26

【答案】
(
623
,)

33

x
2
y
2
x
2
y
2
3．若双曲线
C
1
:
2
?
2
?1(a
1
?0,b
1?0)
和双曲线
C
2
:
2
?
2
?1( a
2
?0,b
2
?0)
的焦点相同，
a
1
b
1
a
2
b
2
2222
且
a
1< br>?a
2
给出下列四个结论：①
a
1
?a
2
? b
2
?b
1
；①
a
1
b
2
?；①双曲线
C
1
与双曲线
C
2
一定没有
a2
b
1
公共点；①
a
1
?a
2
?b< br>1
?b
2
；其中所有正确的结论序号是（ ）
A. ①① B, ①① C. ①① D. ①①
【难度】★★★
【答案】B



【例1】过点
?
2,1
?
且在两坐标轴截距相等的直线方程是
【难度】★
【答案】
x?2y?0
或
x?y?3?0

易错题型
【解析】当截距为0时，所求直线方程是
x?2y?0
，当截距不 为0时，斜率为-1，所求直线方程是
x?y?3?0
。
【易错点】截距是一个数，是直线与坐标轴焦点的对应坐标的值，可正可负，也可为零。

【变式训练】

17 26

1．若直线
l
与圆
x?y?
4
相切，且在两个坐标轴上的截 距相等，则直线
l
的方程为
【难度】★★
【答案】
x?y?22?0


【例2】一条光线从点
?< br>?2,?3
?
射出，经
y
轴反射后与圆
?
x?3?
?
?
y?2
?
?1
相切，则反射光线所
22
22
在直线的斜率为
【难度】★★
【答案】
?
43
或
?

34
【解析】设反 射光线所在直线的斜率为
k
，反射光线过点
?
?2,?3
?
关于
y
轴的对称点
?
2,?3
?
，所以
设反射光线 所在直线方程为
y?3?k
?
x?2
?
，又因为反射光线与圆
?
x?3
?
?
?
y?2
?
?1
相切，所 以
22
?3k?2?2k?3
1?k
2
43
?1
， 整理得
12k
2
?25k?12?0
，解得
k??
或
k??

34
【易错点】与光的反射有关的问题，本质上还是与直线相关的对称问题 ，求解中利用光的反射性质，
转化为对称直线问题

【变式训练】

1．如图，已知
A
?
4,0
?
，
B
?
0 ,4
?
，从点
P
?
2,0
?
射出的光线经直线AB
反射
后再射到直线
OB
上，最后经过直线
OB
反射 后又回到
P
点，则光线所经
过的路程是
【难度】★★★
18 26

【答案】
210


【例3】
P
?
x,y
?
是曲线
?
?
x??1?cos
?
22
上 任意一点，则
?
x?2
?
?
?
y?4
?
的 最大值是
?
y?sin
?
【难度】★★
【答案】36
【解析】可直接代入求得到关于三角的函数结构来求最值，也可将其转化为圆的 标准方程，利用坐
标系，而
?
x?2
?
?
?
y?4
?
表示点
?
x,y
?
到点
?
2,?4?
距离的平方，也可以用数形结合的方法求解。
22
【易错点】注意参数的隐藏的范围。

【变式训练】

1．若实数
x
，
y
满足
x?y?
8
x?
6
y?
16
?
0
，则
x?y?1
的最大值为
【难度】★★
22
【答案】
32


，2
?
，
B
?
3,1
?
到直线
l
的距离分别 为
2
，
5?2
，则满足条件的直线
l
总共【例4】已知两点
A
?
1
有 条
【难度】★★
【答案】3
19 26

，2?
，
B
?
3,1
?
，所以
AB?5
， 以
A
为圆心，
2
【解析】因为
A
?
1
为半 径画圆
A
，以
B
为圆心，
5?2
为半径画圆
B，如图所示，
易知圆
A
与圆
B
外切，故两圆有三条公切线，所以 满足条件的直线
l
共有3条
【易错点】将题中的距离问题转化为两圆的位置关系是关键。

【变式训练】

1．如果圆
?
x?a
?
?
?
y?a
?
?
4
上总存在两个点到原点的距离为1，则实数
a
的取值范围是
22
【难度】★★
?
322
??
232
?
??
?
??
【答案】
?,?,???
22
??
22
?
??

【例5】已知两 圆
C
1
：
x?y?2x?10y?24?0
，
C
2
：
x?y?2x?2y?8?0
，则以两圆公
共弦为直径的圆的方程是
【难度】★★
【答案】
?
x?2
?
?
?
y?1
?
?5

22
2222
【解析】圆
C
1
的圆心为
?
1,?5
?
，半径为
50
，圆C
2
的圆心为
?
?1,?1
?
，半径为
10< br>，则两圆心连
线的直线方程为
2x?y?3?0
，由两圆方程作差得公共弦方程 为
x?2y?4?0
，两直线的交点
?
?2,1
?
即为所求 圆的圆心。由垂径定理可得半径为
22
5
，即所求圆的方程为
?
x? 2
?
?
?
y?1
?
?5

22
【 易错点】圆
C
1
：
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
C
2
:
x?y?D
2x?E
2
y?F
2
?0
相交于
A
、
B
20 26

22

两点，则两圆的公共弦
AB
所在的直线为
?
D
1
?D< br>2
?
x?
?
E
1
?E
2
?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0


【变式训练】

2222
1．圆
C
1
：
x ?y?1
与圆
C
2
：
x?y?2x?2y?1?0
的公共弦 所在直线被圆
C
3
：
?
x?1
?
2
??
y?1
?
2
?
25
所截得的弦长为
4
【难度】★★
【答案】
23


【例6】设点
M
?
x
0
,1
?
，若在圆
O
：< br>x?y?1
上存在点
N
，使得
?OMN?45
?
，则
x
0
的取值范
22
围是
【难度】★★
【答案】
?
?1,1
?

【解析】 点
M
?
x
0
,1
?
在直线
y?1
上，而直线
y?1
与圆
x?y?1
相切，根据题意可设点
N
?
0,1
?
，
22
如图，则只需
?OMN?45
?
即可，此时有
tan?OMN?
ON
MN
?tan45
?< br>，得
0?MN?ON?1
，
即
0?x
0
?1
，当
M
位于点
?
0,1
?
时，显然在圆上存在点
N
满足要求，综上可知
?1?x
0
?1

【易错点】观察图形可知，当
MN
是切线时，
?OMN
最大。

【变式训练】

21 26

2
1．已知圆
C
：
?
x?
3
?
? y?
4
，点
P
?
x
0
,y
0
?< br>在直线
y?x?1
上，若圆
C
上存在点
A
，使
2
?APC?30
?
，则
x
0
的取值范围是
【难度】★★
【答案】
?
?1,3
?


x
2
y
2
2
??1
上一点，
M
、
N
分别是圆
A
：
?
x?2
?
?y
2?1
和圆
B
：【例7】设
P
是椭圆
95
?x?2
?
2
?y
2
?1
上的点，则
PM?PN
的取值范围是
【难度】★★
【答案】
?
4,8
?

【解析】
PM?PN
的最小值，则
PM
，
PN
都应该最小，
PM?PN
的最小 值为
PA?r?PB?r?6?2?4
；同理，最大值为
PA?r?PB?r?6?2 ?8

【易错点】利用椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值以及圆外一点到圆上距离的最小值 和最大值
应该与过圆心的连线相关。

【变式训练】

y
2
22
22
?
1
右支上一点，
1．
P
为双 曲线
x?
点
M
、
N
分别是圆
?
x?4?
?y?4
和圆
?
x?4
?
?y?1
152
上的点，则
PM?PN
的最大值是
【难度】★★
22 26

【答案】5

x
2
?y
2
?1
上的点， 则
P
、
Q
两点之间的最大【例8】设
P
、
Q
分别为圆
x?
?
y?6
?
?2
和椭圆
10
2
2
距离是
【难度】★★
【答案】
62

2
【解析】设圆心为点
C
，则圆< br>x?
?
y?6
?
?2
的圆心为
C
?
0,6
?
，半径
r?
2
2
，设点
Q
?x
0
,y
0
?
是
2
x
0
2< br>2
2
22
?10?10y
0
?y
0
?1，即
x
0
椭圆上任意一点，则，其中
y
0
?1
，
CQ?10?10y
0
?
?
y
0
?6
?

10
2
?
2
?
??9y?12y
0?46??9
?
y
0
?
?
?50
，当
y
0
??
时，
CQ
有最大值
52
，则
P< br>、
Q
两
3
?
3
?
2
0
2< br>点之间的最大距离为
52?r?62

【易错点】在考虑两个曲线上的双动点间的距离问题时线转化为已知的单点到曲线的距离问题。

【变式训练】

1．设点
M
是抛物线
x
?
4y
上一动点，
N
是直线
x?y?3?0
上任一点，则< br>MN
的最小值为
【难度】★★
2
【答案】
2


23 26

x
2
?y
2
?1
的两个焦点，
P
在双曲线上，当
?F
1
PF
2
的面积为1时，【例9】设
F
1
，
F
2
是双曲线< br>4
PF
1
?PF
2
的值为
【难度】★★
【答案】0
【解析】
?F
1
PF
2
的面积为
S
?F
1
PF
2
?b
2
cot
?F
1
PF
?1
，所以
?F
1
P F
2
?90
?
，故
PF
1
?PF
2
?0

2
【易错点】椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式是解决焦点三角形问题的捷径。

【变式训练】

x
2
y
2
??
1
的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，点
P
在 椭圆上，若
P
、
F
1
、
F
2
是一个直角< br>1．已知椭圆
94
三角形的三个顶点，则点
P
到
x
轴 的距离为
【难度】★★
【答案】
44
或
5

35

【例10】已知点
P
?
4,0
?
是 圆
x?y?36
内一点，点
A
、
B
是圆上两动点，且满足< br>?APB?90
?
，
22
则矩形
APBQ
的顶点Q
的轨迹方程为
【难度】★★
【答案】
x?y?56

【解析】利用相关点代入法和垂径定理就可求解。
24 26

22

【易错点】对轨迹中相关点之间的联系处理不清楚，应先探求其相关点
AB
中点
R
的轨迹，再将所
求
Q
的坐标转移给相关点
R
即可。

【变式训练】

1．在平面直角坐标系
xOy
中，点P
是圆
x?y?
4
上一动点，
PD?x
轴于点
D
，记满足
22
OM?
1
OP?OD
的动点
M的轨迹为
C
，则轨迹
C
的方程为
2
??
【难度】★★
x
2
?y
2
?1
【答案】
4

【例11】已知抛物线方程为
y?4x
，直线
l
的方程为
x?y?4 ?0
，在抛物线上有一动点
P
到
y
轴
的距离为
d< br>1
，
P
到直线
l
的距离为
d
2
，则
d
1
?d
2
的最小值为
【难度】★★
2
【答案】
5
2?1

2
【解析】由抛物线的定义 可知
d
1
?PF?1
，已知当
d
2
与
PF
共线时最短。
【易错点】抛物线定义相关的最值问题主要利用到焦点的距离与到准线距离相等来进行相互转化。

【变式训练】

2
1．已知在抛物线
y
?
4x
上存在三点
A
、
B
、
C
，
F
为抛物线焦点，且
FA?FB?FC?0
，则
25 26

FA?FB?FC?

【难度】★★
【答案】6

26 26