运城市教师职称考试高中数学-高中数学每本书学什么
直线与圆，圆与圆的位置关系辅导教案
学生姓名
授课教师
教学课题
性别
上课时间
年级 高一 学科
数学
课时：3课时
第（ ）次课
共（ ）次课
直线与圆，圆与圆的位置关系
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根
据给定两个圆的方程
判断两圆的位置关系．
教学目标
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
（1）动直线与圆的位置关系的判定
教学重点
与难点
（2）利用相切或相交求值或参数的范围
（3）弦长问题
一、作业检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
二、内容回顾
三、知识整理
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A
2
＋B
2
≠0)，圆：(x－a)
2
＋(y－b)
2＝r
2
(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
相交
相切
相离
2. 圆与圆的位置关系
1
几何法
d＜r
d＝r
d＞r
代数法
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
222
设圆O
1
：(x－a
1
)
2
＋(y
－b
1
)
2
＝r
2
1
(r
1
＞0
)，圆O
2
：(x－a
2
)＋(y－b
2
)＝r
2
(r
2
＞0).
方法
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
四、例题分析
几何法：圆心距d与r
1
，r
2
的关系
d＞r
1
＋r
2
d＝r
1
＋r
2
|r
1
－r
2
|＜d＜r
1
＋r
2
d＝|r
1
－r<
br>2
|(r
1
≠r
2
)
0≤d＜|r
1－r
2
|(r
1
≠r
2
)
代数法：两圆方程联立组成方程组
的解的情况
无解
一组实数解
两组不同的实数解
一组实数解
无解
考点一 直线与圆的位置关系
【例1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x
2
＋y
2
＝1外，
则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )．
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)过点(3,1)作圆(x－1)
2
＋y
2<
br>＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )．
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；
若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
考点二 圆与圆的位置关系
【例2】 已知两圆x
2
＋y
2
－2x－6y－1＝0和x
2
＋y
2
－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
规律方法
(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一
2
般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆
方程相减消掉二次项所得
方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共
弦长．
考点三 有关圆的综合问题
【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
规律方法
(1)圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与
直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得
的弦；连接圆
心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最
短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．
五、对应训练
3
1.直线y＝－
3
x＋m与圆x
2
＋y
2
＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是( )．
A．(3，2)
?
323
?
?
C.
?
，
3
??
3
B．(3，3)
?
23
?
?
D.
?
1，
3
??
2.圆O
1
：x
2
＋y
2
－2x＝0和圆O
2
：x
2
＋y
2
－4y＝0的位置关系是( )．
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
3
3.设两圆C
1
、C
2
都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则
两圆心的距离|C
1
C
2
|＝( )．
A．4
B．42 C．8 D．82
4.已知圆C：x
2
＋
y
2
－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
六、本课小结
1．直线与
圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不
同的方面和思路来
判断的．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜
率不
存在的情形．
3．圆的弦长的常用求法
?
l
?
(1
)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则
?
2
?
2
＝
r
2
－d
2
；
??
(2)代数方法：运用根与系数的关系
及弦长公式：|AB|＝1＋k
2
|x
1
－x
2
|＝?1＋
k
2
?[?x
1
＋x
2
?
2
－4x
1
x
2
].
七、课堂小测
一、选择题
1．直线y＝kx＋1与圆x
2
＋y
2
－2y＝0的位置关系是(
)．
A．相交 B．相切 C．相离
D．取决于k的值
2．圆(x＋2)
2
＋y
2
＝4与圆(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝9的位置关系为( )．
A．内切
B．相交 C．外切 D．相离
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)
2
＋y
2
＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
4
4．若圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＋m＝0(m＜3)的一条弦AB
的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线
的方程为( )．
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
5．若直线y＝kx与圆(x－2)
2
＋y
2
＝1的两个交点关于直
线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为
( )．
11
A．k＝
2
，b＝－4 B．k＝－
2
，b＝4
11
C．k＝
2
，b＝4 D．k＝－
2
，b＝－4
6. 已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x
2
＋y
2
＝r<
br>2
内一点，直线l的方程为ax＋by＋r
2
＝0，那么直线l
与圆O
的位置关系是( )
A. 相离
C. 相交
B. 相切
D. 不确定
7. 圆x
2
＋y
2
－2x＋4y－20＝
0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是( )
A. 10
C.
5或－34
B. 10或－68
D. －68
8.过点P(1,1)的直线
，将圆形区域{(x，y)|x
2
＋y
2
≤4}分成两部分，使得这两部分的
面积之差最大，
则该直线的方程为( )
A. x＋y－2＝0
C.
x－y＝0
B. y－1＝0
D. x＋3y－4＝0
9.已知圆C：x<
br>2
＋y
2
－4x－2y＋1＝0，直线l：3x－4y＋m＝0，圆上存在两点
到直线l的距离为1，
则m的取值范围是( )
A. (－17,7)
C.
(－17，－7)∪(3,13)
10已知点P(x
0
，y
0
)，圆O：x
2
＋y
2
＝r
2(r＞0)，直线l：x
0
x＋y
0
y＝r
2
，有以下
几个结论：①若点P在
圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点
P在圆O内，
则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是(
)．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知圆C
1
：(x－2)
2
＋(y－3)
2
＝1，圆C
2
：(
x－3)
2
＋(y－4)
2
＝9，M，N分别是圆C
1
，C
2
上的动
5
B. (3,13)
D.
[－17，－7]∪[3,13]
点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )．
A．52－4
B.17－1 C．6－22 D.17
二、解答题
1.圆O1
的方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝4，圆O
2
的圆心为O
2
(2,1)．
(1)若圆O
2
与圆O
1
外切，求圆O
2
的方程；
(2)若圆O
2
与圆O
1
交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆
O
2
的方程．
2.已知圆M：x
2
＋(y－2)
2
＝1，Q
是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
42
(3)若|AB|＝
3
，求直线MQ的方程．
八、作业布置
一、填空题
1．过点A(2,4)向圆x
2
＋y
2
＝4所引切线的方程为_______
_．
?
1
?
2．过点M
?
2
，1
?的直线l与圆C：(x－1)
2
＋y
2
＝4交于A，B两点，C为圆心，
当∠ACB最小时，
??
直线l的方程为________．
6
3．两
圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m
＋c＝________.
4.已知圆C：x
2
＋y
2
－4x－
6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
7