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全国数学联赛金牌教练 高中中奥数辅导: 集合概念及集合上的运算

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 20:52
tags:高中数学补习

高中数学必修3知识点北师大版-高中数学教研专题记录


全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第一讲 集合概念及集合上的运算

知识、方法、技能

高中一年级数学(上)( 试验本)课本中给出了集合的概念;一般地,符合某种条件(或
具有某种性质)的对象集中在一起就成为 一个集合.
在此基础上,介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、< br>无限集,集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十
余个新 名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题,形成了以集合为背
景的题目和用集合 表示空间的线面及其关系,表面平面轨迹及其关系,表示充要条件,描述
排列组合,用集合的性质进行组 合计数等综合型题目.

赛题精讲
Ⅰ.集合中待定元素的确定
充分利用 集合中元素的性质和集合之间的基本关系,往往能解决某些以集合为背景的高
中数学竞赛题.请看下述几 例.
例1:求点集
{(x,y)|lg(x?
3
1
3
1< br>y?)?lgx?lgy}
中元素的个数.
39
3
【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.
【略解】由所 设知
x?0,y?0,及x?
3
1
3
1
y??xy,

39
由平均值不等式,有
x?
1
3
111
y? ?3
3
(x
3
)?(y
3
)?()?xy,
3939
当且仅当
x?
3
1
3
111
y?,即 x?
3
,y?
3
(虚根舍去)时,等号成立.
3993
故所给点集仅有一个元素.
【评述】此题解方程中,应用了不等式取等号的 充要条件,是一种重要解题方法,应注意掌
握之.
例2:已知
A?{y|y?x?4 x?3,x?R},B?{y|y??x?2x?2,x?R}.求A?B.

【思路分析】先进一步确定集合A、B.
1 7
22


【 略解】
y?(x?2)
2
?1?1,

y??(x?1)
2
?3?3.

∴A=
{y|y??1},B?{y|y?3},故A?B?{y|?1?y?3}.

【评述】此题应避免如下错误解法:
联立方程组
2
?
?
y?x?4x?3,
2
消去
y,2x?2x?1?0.
因方程无实根,故
A?B?
?
.
?
2
?
?
y??x?2x?2.
这里的错因是将A、B的元 素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛
物线的值域.
例3:已知 集合
A?{(x,y)||x|?|y|?a,a?0},B?{(x,y)||xy|?1?|x|? |y|}.


A?B
是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则a的值为 .
【思路分析】可作图,以数形结合法来解之.
【略解】点集A是顶点为(a,0),(0 ,a),(-a,0),(0,-a)的正方形的四条边构成(如
图Ⅰ-1-1-1).
将< br>|xy|?1?|x|?|y|
,变形为
(|x|?1)(|y|?1)?0,

所以,集合B是由四条直线
x??1,y??1
构成.
欲使
A?B
为正八边形的顶点所构成,只有
a?2或1?a?2
这两种情况.
(1)当
a?2
时,由于正八形的边长只能为2,显然有
2a?22?2,


a?2?2
.
(2)当
1?a?2
时,设正八形边长为l,则
2?l
,l?22?2,

2
l
这时,
a?1??2.

2
lcos45??
综上所述,a的值为
2?2或2,

如图Ⅰ-1-1-1中
A(2,0),B(2?2,0).

图Ⅰ-1-1-1

【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题,题目并不 难,读者应从解题过程中体会
此类题目的解法.
Ⅱ.集合之间的基本关系
充分应用 集合之间的基本关系(即子、交、并、补),往往能形成一些颇具技巧的集合
综合题.请看下述几例.
2 7


例4:设集合
A?{|n?Z},B?{n|n?Z},C ?{n?
在下列关系中,成立的是


A.
A?B?C?D

???
n
2
1n1
|n?Z},D?{?|n?Z},

236
( )
B.
A?B?
?
,C?D?
?

D.
A?B?B,C?D?
?
C.
A?B?C,C?D

?
12n?1n12n?1
?,??,n?Z.

22366
n1n1
【解法1】∵
A?{|n?Z},B?{n|n?Z},C?{n?|n?Z},D ?{?|n?Z},

2236
【思路分析】应注意数的特征,即
n?

A?B?C,C?D
.故应选C.
?
【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应,令
A
?
? {
n
??
n
??
|n?Z},B
?
?{n
?
|n?Z},C
?
?{n
?
?|n?Z},D?{?|n?Z}.

2236
结论仍然不变,显然A′为终边在坐标轴上的角的集合,B′为终边在x轴上的角的集
合,C′为终边在y轴上的角的集合,D′为终边在y轴上及在直线
y??
3
x
上的角的集
3
合,故应选(C).
【评述】解法1是直接法,解法2运用 转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的
的角的集合,研究角的终边,思路清晰易懂,实属巧 思妙解.
例5:设有集合
A?{x|x?[x]?2}和B?{x||x|?2},求A?B 和A?B
(其中[x]表示不
超过实数x之值的最大整数).
【思路分析】应首先确定集合A与B.
从而
?1?x?2.显然,2?A.

A?B?{x|?2?x?2}.


x?A?B,则x?[x]?2,[x]?{1,0,?1,?2},

从而得出
x?3([x]?1)或x??1([x]??1).
于是
A?B?{?1,3}

【评述】此题中集合B中元素x满足“|x|<3”时,会出现什么样的结果,读者试解之.
例6:设
f(x)?x
2
?bx?c(b,c?R),且A?{x|x?f(x),x ?R},B?{x|x?f[f(x)],x?R}

如果A为只含一个元素的集合,则A=B.
【思路分析】应从A为只含一个元素的集合入手, 即从方程
f(x)?x?0
有重根来解之.
2
2
3 7


【略解】设
A?{
?
|
?
?R},则方程f(x) ?x?0
有重根
?
,于是
f(x)?x?(x?
?
)
2
,

f(x)?(x?
?
)
2
?x..从而x ?f[f(x)],

x?[(x?
?
)
2
?(x??
)]
2
?(x?
?
)
2
?x,
< br>整理得
(x?
?
)
2
[(x?
?
?1)2
?1]?0,

x,
?
均为实数
(x?
?
?1)
2
?1?0,故x?
?
.

B?{
?
}?A.

【评述】此类函数方程问题,应注意将之转化为一般方程来解之.
例7:已知
M?{ (x,y)|y?x
2
},N?{(x,y)|x
2
?(y?a)
2
?1}.求M?N?N
成立时,a
需满足的充要条件.
【思路分析】由
M?N?N,可知N?M.

【略解】
M?N?N?N?M.


x
2
?(y? a)
2
?1得x
2
?y?y
2
?(2a?1)y?(1?a
2
).
于是,

?y
2
?(2a?1)y?(1?a
2
)?0

?4(1?a
2
)?(2a?1)
2
?0,
必有
y?x,即N?M.
而①成立的条件是
y
max
?
?4
2
22

4(1?a)?(2a?1)?0,
解得
a?1.

14
【评述】此类求参数范围的问题,应注意利用集合的关系,将问题转化为不等式问题来求解. < br>例8:设A、B是坐标平面上的两个点集,
C
r
?{(x,y)|x?y?r} .

若对任何
r?0
都有
C
r
?A?C
r
?B
,则必有
A?B
.此命题是否正确?
【思路分析】要想说明一个命题不正确,只需举出一个反例即可.
【略解】不正确.
反例:取
A?{(x,y)|x?y?1},
B为A去掉(0,0)后的集合. 容易看出
C
r
?A?C
r
?B,
但A不包含在B中.
【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要,应注意掌握之.
Ⅲ.有限集合中元素的个数
有限集合元素的个数在课本P
23
介绍了如下性质:
一般地,对任意两个有限集合A、B,有
4 7
22
222

< p>
card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B).

我们还可将之推广为:
一般地,对任意n个有限集合
A
1
,A2
,?,A
n
,

card(A
1
?A2
?A
3
?
?
?A
n?1
?A
n)

?[card(A
1
)?card(A
2
)?ca rd(A
3
)???card(A
n
)]?[card(A
1
?A
2
)?card(A
1
?A
3
)]

?
?
?card(A
1
?A
n
)?
?
? card(A
n?1
?A
n
)]?[card(A
1
?A< br>2
?A
3
)]?
?
?card(A
n?2
? A
n?1
?A
n
)]

?
?
?(?1)< br>n?1
?card(A
1
?A
3
?
?
?A< br>n
).

应用上述结论,可解决一类求有限集合元素个数问题.
【例 9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀,物理总评19人优秀,化
学总评有20人 优秀,数学和物理都优秀的有9人,物理和化学都优秀的有7人,化学和数
学都优秀的有8人,试确定全 班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围(该
班有5名学生没有任一科是优秀).
【思路分析】应首先确定集合,以便进行计算.
【详解】设A={数学总评优秀的学生},B ={物理总评优秀的学生},C={化学总评优秀的学生}.

card(A)?21,ca rd(B)?19,card(C)?20,card(A?B)?9,card(B?C)?7,card(C ?A)?8.


card(A?B?C)?card(A)?card(B)?ca rd(C)?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)

?card(A?B?C),

card(A?B?C)?card(A?B?C)?21?19?20?9?8?36.

这里,
card(A?B?C)
是数、理、化中至少一门是优秀的人数,
ca rd(A?B?C)
是这
三科全优的人数.可见,估计
card(A?B?C)
的范围的问题与估计
card(A?B?C)
的范
围有关.
card(A?B),card(B?C),card(C?A)}?7
,可知 注意到
card(A?B?C)?min{
0?card(A?B?C)?7
. 因而可得
36?card(A?B?C)?43.

又∵
card(A?B? C)?card(A?B?C)?card(U),其中card(A?B?C)?5.


41?card(U)?48.
这表明全班人数在41~48人之间.
仅数学优秀的人数是
card(A?B?C).


card(A? B?C)?card(A?B?C)?card(B?C)?card(A?B?C)?card(B)

5 7


?card(C)?card(B?C)?card(A?B?C)?32.

可见
4?card(A?B?C)?11,
同理可知
3?card(B?A?C)?10,

5?card(C?B?A)?12.

故仅数学单科优秀的学生在4~11之间,仅 物理单科优秀的学生数在3~10之间,仅化学
单科优秀的学生在5~12人之间.
【评述】 根据题意,设计这些具有单一性质的集合,列出已知数据,并把问题用集合中元素
数目的符号准确地提出 来,在此基础上引用有关运算公式计算,这是解本题这类计数问题的
一般过程.

针对性练习题
1.设S={1,2,…,n},A为至少含有两项的、公差为正的等差数列, 其项都在S中,且添
加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列.求这种A的个数,( 这
里只有两项的数列也看做等差数列).
2.设集合S
n
={1,2,…, n},若X是S
n
的子集,把X中的所有数的和为X的“容量”.(规
定空集的容量为 0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为S
n
的奇(偶)子集.
(1)求证:S
n
的奇子集与偶子集个数相等.
(2)求证:当
n ?3
时,S
n
的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
(3)当
n?3
时,求S
n
的所有奇子集的容量之和.
3 .设M={1,2,3,…,1995},A是M的子集且满足条件:当
x?A
时,
1 5x?A
,则A
中元素的个数最多是多少个.
4.集合
{x|?1?log
1
10??
x
1
,x?N*}
的真子集的个数是多少个?
2
k
5.对于集合
M?{x|x?3n,n?1,2,3,4},N?{x| x?3,k?1,2,3}.
若有集合S满足

M?N?S?M?N
,则这样的S有多少个?
6.求集合方程有序解的个数
X?Y?{1,2,?,n}.

7.设E={ 1,2,3,…,200},
G?{a
1
,a
2
,a
3,
?
,a
100
}?E
,且G具有下列两条性质:
?
(Ⅰ)对任何
1?i?j?100
,恒有
a
i
?a
j
?201;

(Ⅱ)
?
a
i?1
100
i
?10080.

试证:G中的奇数的个数是4的倍数,且G中所有数字的平方和为一个定数.

6 7








7 7

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