高中数学关于同底指数函数与对数函数的交点问题专题辅导

关于同底指数函数与对数函数的交点问题

九姑中学 蔡春晖
< br>函数
y?a
x
与y?log
a
x
图像的交点问题在一 些题目中经常出现，由于教科书中并没有
提到，在高中日常教学中，老师往往作出草图去判断，但往往出 现错误。现将该问题完整
解答如下：
一、
a?1
时方程
a
x
?log
a
x
的解
先求如图3所示曲线
y?a
x
与y?log
a
x
相切时a的值。设曲线
y?a
x
与y?log
a
x
相切
于点M（
x
0
,x
0
），由于曲线
y?a
x
在点M处的切线斜率为1，
x
0
x
?
?
?
a?x
0
,
?
a0
?x
0
,
即
?
x
所以
?
x

0
?
?
alna?1
?
(a)'|
x? x
0
?1
?
?
a
x
0
?x
0,
1
1
?
ln
则a
a
?
所以
?
1

lna
?x
?
0
?
lna
1
即
e?,所以a?e
e
,此时x
0
?e
。 lna
以上说明，当
a?
1
e
e
1
1
e
e
时，两条曲线
y?a
x
与y?log
a
x相切 于点M(e,e)
。
因此有以下结论：
①当
a?,方程(*)
无解（见图1所示）；
②当
1?a?
1
e
e

，方程（*）有且只有两解（见图2所示）；
③当
a?
1
e
e

，方程（*）有且只有一解（见图3所示）。

1
用计算器可算得
e
e
?1.44467
。

二、
0?a?1时方程a
x
?log
a
x
的解 < br>先求如图5所示曲线
y?a
x
与y?log
a
x
相切 时a的值。
设曲线
y?a
x
与y?log
a
x
相 切于点P，由对称性知，点P在直线
y?x
上，设
P(x
0
,y0
)
。
由于曲线
y?log
a
x(或y?a
x
)
在点P处切线的斜为
?1
，
x
0
?
?
a?x
0
,
所以
?

(logx)'|??1< br>ax
x
0
?
?
?
a
x
0
? x
0
,
?
即
?
1

?
xlna< br>??1
?
0
?
?1
?
1?1
?1
l na
?,
?,
?
a
?
??
elna
lna
即
所以
?

?
1
?
x?
?1?
x?
0
0
?
?
e
?
lna
?
11
则
a?()
e
。此时，
x
0
?。
ee
111
以上说明，当
a?()
e
时，两条曲线
y?a
x
与y?log
a
x
相切于点P（
,
）。
eee
因此有以下结论：
1
①
0?a?()
e
时，方程（*）有且只有三解（见图4所示）；
e
②当
a?()
e
时，方程（*）有且只有一解（如图5所示）；
1
e

③当
()
e
?a?1
时，方程（*）有且只有一解（如图6所示）。
1
e

1
e
较小数值所示的函数图像，这也 是人们易产生错误认识的—个重要原因。
综上所述，得：
1
当
a?(0, ()
e
)
时，方程
a
x
?log
a
x有且只有三解；
e
1
当
a?()
e
时,方程a
x
?log
a
x
有且只有一解；
e
1
当
a?(()
e
,1)
时，方程
a
x
?log
a< br>x
有且只有一解；
e
当
1
a?(1,e
e

用计算器可算出
()
e
?0.06599
。由于此数非常小，因此， 人们在平时较难观察到这种
)
时，方程
a
x
?log
ax
有且只有两解；
当
a?
当
1
e
e
时，方程
a
x
?log
a
x
有且只有一解；
时，方程
a
x
?log
a
x
无解。
1
a?(e
e
,??)
随着时代的发展，多媒体计算机的出 现，网络技术的运用，信息时代的来临，正在给
传统教学方式带来深刻的影响，教育技术的更新也更新了 教学手段、教学方法，也给我们
解决问题创造了一些新的途径，提高了课堂教学的效率，我们可以通过多 媒体探究问题解
决的方法，验证问题解决的正确性。