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重点高中提前自主招生数学培训材料

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 20:53
tags:高中数学补习

怎样出高中数学试卷-高中数学选修2-2导数分析


自主招生
数学培训材料
一、选拔思路:选拔具有创新意识、思维能力强、综合素质高、潜能潜力大的
学生。
二、试题特点
1.注重考察学生对数学概念、数学知识的生成过程。
2.考察学生 对数学问题的直观感知、操作、探究的意识和能力,从而考察了学
生的整个思维过程。重点考察的思维方 式:直观思维、运动变化的观点、极端
原理及数学模型构建的思维方式。
3.重视对数学思想的考察,函数思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想是
考察的重点。
三、重点专题培训
(一)代数式专题
1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三 位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数
可以被( )整除。
A. 111
2、若
S?
B. 1000 C. 1001 D. 1111
1
111
????
1
,则S的整数部分是____________________
3、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店
把零 售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( )
A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元
C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元
4、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么
a< br>?
b
?
c
?
abc
的所有可能的
|a||b ||c||abc|
值为( )
A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2
5、在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若∠B=60°,则
值( )
A.
1

2
ca

?
a?bc?b
B.
D.
2

2

c
B
A
b
a
C
C. 1
2


6、设a<b<0,a
2
+b
2
=4ab,则
A.
a?b
的值为
a?b
C. 2 D. 3
( )
3
B.
6

7、已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999 x+2002,则多项式a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc- ca
的值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
a2
b
2
c
2
8、已知abc≠0,且a+b+c=0,则代数式 的值是
??
bccaab
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
( )
9、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即
降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为_____
10、已知实数z、y、z满足x+y= 5及z
2
=xy+y-9,则x+2y+3z=_______________
【答案与解析】

1.
解:依题意设六位数为
abcabc
,则
abcabc
=a×10
5
+b×10
4
+c×10
3
+a×10
2
+b×
10+c=a×10
2
(1 0
3
+1)+b×10(10
3
+1)+c(10
3
+1) =(a×10
3
+b×10+c)
(10
3
+1)=1001(a× 10
3
+b×10+c),而a×10
3
+b×10+c是整数,所以能被1 001
整除。故选C
方法二:代入法
2.
解:因1981、1982… …2001均大于1980,所以
S?
22?
1
22?
部分为90。
1
1
1980
?
1980
?90
,又1980、< br>22
1981……2000均小于2001,所以
S?
1
2001?
200121
?90
,从而知S的整数
2222
3.
解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1+a%)元,因调整后的零售价为原零
售价的b%,所以 调价后每件衬衣的零售价为m(1+a%)b%元。
应选C
4.
解:由已知,a,b,c为两正一负或两负一正。
①当a,b,c为两正一负时:


abcabcabcabc
???1,??1所以????0

|a||b||c||abc||a||b||c||abc|
②当a,b,c为两负一正时:
abcabcabcabc
????1,?1所以????0

|a||b||c||abc||a||b||c||abc|
由①②知
应选A
abcabc
???
所有可能的值为0。
|a||b||c||abc|< br>5、
解:过A点作AD⊥CD于D,在Rt△BDA中,则于∠B=60°,所以DB=


C
,AD
2
3
3
C
C
。在R t△ADC中,DC
2
=AC
2
-AD
2
,所以有(a-)
2
=b
2
-C
2
,整理
2
24
a
2
+c
2
=b
2
+ac,从而有
cac
2
?cb?a
2
?aba
2
?c
2
?ab?bc????1

2
a?bc?b(a?b)(c?b)
ac?ab?bc?b
应选C < br>6、解:因为(a+b)
2
=6ab,(a-b)
2
=2ab,由于a a?b??6ab,a?b??2ab


a?b
?3

a?b
应选A
1
解:?a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca?[(a?b)
2
?(b?c)2
?(c?a)
2
],
2
7、
   又a?b??1, b?c??1,c?a?2

1
   ?原式?[(?1)
2
?(? 1)
2
?2
2
]?3
2
?(b?c)?a?(a?c)?b ?(a?b)?c
??
bcacab
aabbcc
??(?)?(?)?(? )
8、
       

bcacab
abc
        ????3
abc
解:原式?


9、解:设该商品的成本为a,则有a (1+p%)(1-d%)=a,解得
d?
100p

100?p
1 0、解:由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1)·y=z
2
+9,所以x+1,y是t
2
-6t+z
2
+9=0
的两个实根,方程有实数解,则△=(-6 )
2
-4(z
2
+9)=-4z
2
≥0,从而知z=0,< br>解方程得x+1=3,y=3。所以x+2y+3z=8
(二)方程专题
1、甲乙两 人同时从同一地点出发,相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B,
若仍从原地出发,互换彼此 的目的地,则甲在乙到达A之后35分钟到达B,甲乙的
速度之比( )
A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4
2、某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品 ,每件获利润8元,每提高一个
档次,每件产品利润增加2元,用同样工时,最低档次产品每天可生产6 0件,提高
一个档次将减少3件,如果获利润最大的产品是第R档次(最低档次为第一档次,档
次依次随质量增加),那么R等于( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
3、某商店出售某种商品每件可获利m元,利润为20%(利润=
售价?进价
),若这种商品< br>进价
的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元,则提价后的
利润率为 ( )
A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% 4、某项工程,甲单独需a天完成,在甲做了c(cb天, 若开始就由甲乙两人共同合作,则完成任务需( )天
A.
c

a?b
B.
ab

a?b?c
C.
a?b?c

2
D.
bc

a?b?c
5、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时,逆流航行这段路程需b小时,那
么一木块顺水漂 流这段路需( )小时
2ab2abab
A. B. C.
ab
D.
a?bb?ab?a
a?b
6、甲乙两厂生产同一种产品,都计划把全年的产 品销往济南,这样两厂的产品就能占有
311
,然而实际情况并不理想,甲厂仅有的产品,乙厂 仅有的
423
1
产品销到了济南,两厂的产品仅占了济南市场同类产品的,则甲厂该产 品的年产量
3
济南市场同类产品的
与乙厂该产品的年产量的比为_______ 7、假期学校组织360名师生外出旅游,某客车出租公司有两种大客车可供选择,甲种客

< br>车每辆有40个座位,租金400元;乙种客车每辆有50个座位,租金480元,则租用
该公司 客车最少需用租金_____元。
8、时钟在四点与五点之间,在_______时刻(时针与分针)在同一条直线上?
9、为 民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生,钱先生在三年后再以超出房
子原来标价60%的价 格把房子转让给金先生,考虑到三年来物价的总涨幅为40%,则
钱先生实际上按_____%的利率获 得了利润(精确到一位小数)
10、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳,甲 游100米要72秒,
乙游100米要60秒,略去转身时间不计,在12分钟内二人相遇____次。
【答案与解析】
1、D 解:设甲的速度为
v
1
千米时,乙的速度 为
v
2
千米时,根据题意知,从出发地点
到A的路程为
v
1
千米,到B的路程为
v
2
千米,从而有方程:

v2
v
1
35
v
2
vv
3
v
4
??
,化简得
12(
1
)?7(
1
)?12?0< br>,解得
1
?(
1
??
不合题
v
1
v
2
60v
2
v
2
v
2
4v
23
意舍去)。应选D。
2、C 解:第k档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为

y?[60 ?3(k?1)][8?2(k?1)]
  ??6(k?9)?864
2

所以,生产第9档次产品获利润最大,每天获利864元。
3、C 解:若这商品原来进价为每件a元,提价后的利润率为
x%


??
m?a?20%
解这个方程组,得
x?16
,即提价后的利润率为16 %。
?
m?(1?25%)a?x%
c
a
)x?1
,解得
x?
4、B解:设甲乙合作用
x
天完成。
由题意:
(
1
?
ab
1?
ab
。故选B。
a?b?c


5、B解:设小船自身在静水中的速度为v千米时,水流速度为x千米时, 甲乙之间的
SS(b?a)SS2ab
所以
?

,v?x?
求得
x?
ab2abxb?a
6、2∶1。解甲厂该产品的年产量为
x,乙厂该产品的年产量为
y

3
x?y
则:
?x:y?2:1

?
4
,解得
x?2y  
111
x?y
233
距离为S千米,于是有
v?x?
7、3520。 解:因为9辆甲种客车可以乘坐360人,故最多需要9辆客车;又因为7辆乙
种客车只能乘坐350人 ,故最多需要8辆客车。
①当用9辆客车时,显然用9辆甲种客车需用租金最少,为400×9=3600元;
②当用8辆客 车时,因为7辆甲种客车,1辆乙种客车只能乘坐40×7+50=330人,而
6辆甲种客车,2辆乙 种客车只能乘坐40×6+50×2=340人,5辆甲种客车,3辆乙
种客车只能乘坐40×5+50 ×3=350人,4辆甲种客车,4辆乙种客车只能乘坐40×
4+50×4=360人,所以用8辆客 车时最少要用4辆乙种客车,显然用4辆甲种客车,
4辆乙种客车时需用租金最少为400×4+480 ×4=3520元。
8、4点
21




96
分或4点
54
分时,两针在同一直线上。
1111
解:设四点过
x
分后,两针在同一直线上,
19
若两针重合,则
6x?120?x
,求得
x?21
分,
211
16
若两针成180度角,则
6x?120?x?180
,求得
x?54
分。 < br>211
96
所以在4点
21
分或4点
54
分时,两针 在同一直线上。
1111
1?60%1.6
?1??1?0.203?20.3%

95%(1?40%)0.95?1.4
9、20.3。解:钱先生购房开支为标价的95%,考虑到物 价上涨因素,钱先生转让房子的
利率为
10、共11次。



100米



60

180
300
420 540
660 720
(三)三角形边角不等关系专题


1、如图8-1,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP 和PB为
边作两个等边三角形APC和BPD,则线段CD的长度的最小值是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
5(5?1)

2、如图8-2,四边形ABCD中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7, 则BC
+CD等于( )
A.
63
B. 5
3
C. 4
3
D. 3
3

3、如图8-3,在梯形ABCD中,A D∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF∥
BC,且梯形AEFD与梯形EBCF 的周长相等,则EF的长为 ( )
A.
A
D

D
C
E
F

60°
B
C
A
A
B
B

P
图8-3
图8-2
图8-1

4、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α=A+B,β=C+A, γ=C+B,则α、β、
γ中,锐角的个数最多为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5、如图8-4,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠, 使点D与点B重合,
E
那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 ( )
D
A
A
D
A. 4cm
10cm
B. 5cm
10cm

B
F
C
C
B
C
C. 4cm
23cm
D. 5cm
23cm

图8-4
6、若函数
y?kx(k?0)
与函数
y?
△ABC的面积为
A. 1 B. 2
45

7
C
B.
33

5
C.
39

5
D.
15

2
D
1
的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则
x

C. k

D. k
2

( )
7、如图8-5,AA′、BB ′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则
∠BAC的度数为___
8、如图8-6,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=____
A
9、如图8-8,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内
的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,
A
B
P
图8-6
D
C
B
P
图8-8
C


PC=6,则PB=__
10
、如图8-9,AD是△ABC中BC边上的中线,
求证:AD<
A
1
(AB+AC)
2
C

B
D

图8-9



【答案与解析】
1、如图过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥PB于F,过D作DG⊥CE于G。
显然 DG=EF=
1
AB=5,CD≥DG,当P为AB中点时,有CD=DG=5,所以CD2
长度的最小值是5。
2、如图延长AB、DC相交于E,在Rt△ADE中,可求得A E=16,DE=8
3
,于是BE
=AE-AB=9,在Rt△BEC中,可求得BC =3
3
,CE=6
3
,于
是CD=DE-CE=2
3
BC+CD=5
3

3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF




A
D
1
∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=
(AD?AB?BC?CD)?11

G
2
E
F
AEDF
B
C
∵EF∥BC,∴EF∥AD, H
?
EBFC
AEDFk6kk4k

??k

A E?AB?,DF?CD?
EBFCk?1k?1k?1k?1
6k4k13k?313k?3
???11
解得k=4 AD+AE+FD=3+ ∴
k?1k?1k?1k?1
A
D
C
60°
B
E
作AH∥CD,AH交BC于H,交EF于G,
则GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6

EGAE44242439
??
,∴
EG?BH??3?

EF?EG?GF?

BHAB55555
4、假设α、β、γ三个角都是 锐角,即α<90°,β<90°,γ<90°,也就是A+B
<90°,B+C<90°,C+A<9 0°。∵2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°与A
+B+C=180°矛盾。故α、β 、γ不可能都是锐角,假设α、β、γ中有两个锐角,
不妨设α、β是锐角,那么有A+B<90°,C +A<90°,∴A+(A+B+C)<180°,
即A+180°<180°,A<0°这也不可能, 所以α、β、γ中至多只有一个锐角,如


A=20°,B=30°,C=130°,α= 50°,选A。
5、折叠后,DE=BE,设DE=x,则AE=9-x,在Rt△ABC中,AB< br>2
+AE
2
=BE
2
,即
3
2
?( 9?x)
2
?x
2
,解得x=5,连结BD交EF于O,则EO=FO,BO =DO

BD?9
2
?3
2
?310
∴DO=
22
3
10

2
310
10)
2
?
∴EF=
10
。选B。
22
在Rt△DOE中,EO=
DE?D O?5
2
?(
6、A。设点A的坐标为(
x,y
),则
xy ?1
,故△ABO的面积为
11
xy?
,又因为△
22
AB O与△CBO同底等高,因此△ABC的面积=2×△ABO的面积=1。
7、12°。设∠BAC的度数为x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x
∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB=

1
(180??x)

2
1
(180??x)?4x?4x?180?
,于是可解出x=12°。
2
D
a
H
b
d
22
8、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC
E
A
的平行线分别交AB、CD于G、H。
a
设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,
G
P
b
222222
AP?a?c,CP?b?d,
B
c
F

222222
C
BP?b?c, DP=d?a
2222
于是
AP?CP?BP?DP
,故
DP?AP?CP?BP?3?5 ?4?18

DP=3
2

9、提示:由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,设∠PBC=α,∠ABC=60°
则∠ABP=60°-α,∴∠BAP=∠PBC=α,
22222
APBP< br>?
∴△ABP∽△BPC,,BP
2
=AP·PC
BPPC
BP?AP?PC?48?43

B
A
10、证明:如图延长AD至E,使AD=DE,连结BE。
∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB
∴△ACD≌△EBD ∴AC=BE
在△ABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC ∴AD<

D
C
E
1
(AB+AC)
2


(四)面积及等积变换专题
1、如图9-1,在梯形ABCD中, AB∥CD,AC与BD交于O,点P在AB的延长线上,
且BP=CD,则图形中面积相等的三角形有 ( )
A. 3对 B. 4对
C
C
D
D
C. 5对 D. 6对
G F
O
2、如图9-2,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC
B
A
E
A
P
B
的中点,连AF、CE,设AF、CE交于点G,则
图9-2
图9-1
S
四边形AGCD
S
矩形ABCD
A.
等于 ( )
5

6
B.
4

5
C.
3

4
D.
2

3
3、设△ABC的面 积为1,D是边AB上一点,且
四边形DECB的面积为
A.
AD1
=,若在边AC上取一点E,使
AB3

D.
( )
1

2
3CE
,则的值为
4EA
11
B. C.
34
1

5
E
F
C
B
4、如图9-3,在△ABC中,∠A CB=90°,分别以AC、AB为边,在
△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB,作CK⊥A B,分别交AB
和GH于D和K,则正方形ACEF的面积S
1
与矩形AGKD的面积
S
2
的大小关系是 ( )
A. S
1
=S
2
B. S
1
>S
2

C. S
1
<S
2
D. 不能确定,与
A
D
G
K
H
图9-3
AC
的大小有关
AB< br>5、如图9-6,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足,则DE=( )
A
A.
2ab
4a?b
2aba
2
?4b
2
22
B.
ab
4a ?b
ab
a
2
?4b
2
22

A
E
M
图9-6
D
F
84
x
E
O
y
C. D.
B
C
B
35
40
30
D
图9-7
C
6、O为△AB C内一点,AO、BO、CO及其延长线把△ABC分成六个小三角形,它们的
面积如图9-7所示,则 S

ABC
=( )
A. 292 B. 315
C. 322 D. 357


7、如图9-11,已知D、E分别是△ABC的 边BC、CA上的点,且BD
=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结AD和BE,它们相交于点P ,
过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q、R,
A
则△PQR的面积与△ABC的面积之比为_____
8、如图9-13,P是矩形ABCD 内一点,若PA=3,PB=4,PC=
5,则PD=____
B
A
P
C
E
P
D
Q
R
图9-11
B
D
C
图9-13
9、如图9-16,在 ABCD中,P
1
、P
2
、P
3
……P
n-1
是BD的n 等分
点,连结AP
2
,并延长交BC于点E,连结AP
n-2
并延长 交CD于点F。
①求证:EF∥BD
A
3
②设 ABCD的面积是S,若S

AEF
=S,求n的值。
8







B
·
1
P
E
图9-16

P
2
D
P
n-2
·
P
n-1
F
C
10 、如图9-17,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到△ABC
各边的 距离等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A
1
B
1
C
1
,两三角形的公
共部分为多边形KLMNPQ。
C

①证明:△AKL,△BMN,△CPQ都是等腰直角三角形。
P

C
1
②求证:△ABC与△A
1
B
1
C
1
公共部分的 面积。
Q

A
1
K

A

L

图9-17

·

O

N

M

B

B
1


【答案与解析】
1、C。
S
?ABC
?S
?ABD
,S
?AOD
?S
?BOC
,S
?ACD
?S
?BCD
,S
?BCP
?S
?BCD
,S
?B CP
?S
?ACD

2、D。连结AC,有
S
?AGC:S
?ABC
?1:3
,则
1112
?S
矩形ABC D
?S
矩形ABCD
=S
矩形ABCD

3223
31
3、B。如图联结BE,
S
?ADE

1??

A
44
CE

?x
,则
S
?ABE
?1?x

D
AC
1?x11
E

S
?AD
?

?,x?
E
344
CE1

?

B C
EA3

S
四边形AGCD
?S
?AGC
?S
?ACD
?
4、A。解:
S
1
?AC,S
2
?AD?AG
,因为
Rt?ADC∽Rt?ACB

所以
2ADAC
2
,即
AC?AD?AB
,又因为AB=AG,
?< br>ACAB
2
所以
S
1
?AC?AD?AG?S
2,所以应选A。
5、A。解:由△ADE∽△ABM,得DE=
AD?AB
?< br>AM
ab
1
a
2
?(b)
2
2
?< br>2ab
4a?b
22

6、B。
S
?ABO
AO
S
?ACO
84?y35?x
??
∵,即
?
S
?BDO
DOS
?CDO
4030
又∵S
?ABO
BO
S
?BCO
84?y
70
??
?
,即
S
?BDE
OES
?CEO
x35

?
?
4x?3y?112
?
x?70
,解之得
?

2x?y?84y?56
??
∴S

ABC
=84+40+30+35+70+56=315。
7、
400CFCE2
??
,所以 。解:过点E作EF∥AD,且交BC于 点F,则
1089FDEA5


FD?
PQBPBD
55
???
?CD?
。因为PQ∥CA,所以
EABEBF
5?27
4
4?
5
7
?
28

33
于是
PQ ?
140
。因为PQ∥CA,PR∥CB,所以∠QPR=∠ACB,
33
因为△PQR∽△CAB故
S
?PQR
S
?CAB
?(
PQ
2
20400

)?()
2
?
CA331089
8、3
2
。解:过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平行 线分别交
AB、CD于G、H。设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d ,则
AP
2
?a
2
?c
2
,CP
2
=b
2
?d
2
,BP
2
?b
2
?c2
,DP
2
?d
2
?a
2

于 是
AP?CP?BP?DP
,故
DP
2
?AP
2
? CP
2
?BP
2
?3
2
?5
2
?4
2
?18
,DP=
3
2

9、解:①因AD∥BC,A B∥DC,所以
?P
n?2
FD∽P
n?2
AB, ?P
2
BE∽P
2
DA

从而有
2222
AP
n?2
BP
n?2
n?2
AP
2
DP
2
n ?2
??,??

P
n?2
FP
n?2
D2P2
EP
2
B2

AP
n?2
AP
2
?
所以EF∥BD
P< br>n?2
FP
2
F
DF211
,所以
S
?AF D
??S
,同理可证
S
?ABE
?S

ABn?2n?2n?2
DF2FCDC?DFDFn?4
显然,所以,
???1??
DCn?2DCDCDCn?2
1n?4
2
3
)S< br>,已知
S
?AEF
?S,
所以有 从而知
S
?ECF
?(
2n?28
②由①可知
311n ?4
2
2(n?4)
2
3
S?S?2?S?()S
,即1?

??
8n?22n?2
n?2
2(n?2)
2
8
解方程得n=6。
10、证明:①连结OC、OC
1
,分别交PQ、NP于点D、E ,根据题意得∠COC
1
=45°。
∵点O到AC和BC的距离都等于1,∴OC是∠ACB的平分线。
∵∠ACB=90° ∴∠OCE=∠OCQ=45°
同理∠OC
1
D=∠OC
1
N=45° ∴∠OEC=∠ODC
1
=90°









∴∠CQP=∠CPQ=∠C
1
PN=∠C
1
NP=45°
∴△CPQ和△C
1
NP都是等腰直角三角形。
∴∠BNM=∠C
1
NP=45° ∠A
1
QK=∠CQP=45°
∵∠B=45° ∠A
1
=45°
∴△BMN和△A
1
KQ都是等腰直角三角形。
∴∠B
1
ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A
1
KQ=90°
∴∠B
1
=45° ∠A=45°
∴△B
1
ML和△AKL也都是等腰直角三角形。

②在Rt△ODC
1
和Rt△OEC中,
∵OD=OE=1,∠COC
1
=45°
∴OC=OC
1

2
∴CD=C
1
E=
2
-1
∴PQ=NP=2(
2
-1)=2
2
-2,CQ=CP=C
1
P=C
1
N=
2

2
-1)=2-
2


S
?CPQ
?







1
?(2?2)
2
?3?22

2
延长CO交AB于H
∵CO平分∠ACB,且AC=BC
∴CH⊥AB, ∴CH=CO+OH=
2
+1
∴AC=BC=A
1
C
1
=B
1
C
1

2

2
+1)=2+
2


S
?ABC
?
1
?(2?2)
2
?3?22

2
∵A
1
Q =BN=(2+
2
)-(2
2
-2)-(2-
2
)=2
∴KQ=MN=
2
2

2


S
?BMN
?
1
?(2)
2
?1

2
∵AK =(2+
2
)-(2-
2
)-
2

2

1
?(2)
2
?1

2
?S
多边形KLM NPQ
=S
?ABC
-S
?CPQ
-S
?BMN
- S
?AKL

S
?AKL
?
      =(3?22)- (3?22)?1?1

       ?42?2


(五)三角形的四心及平移、旋转、覆盖专题 1、G是△ABC的重心,连结AG并延长交边BC于D,若△ABC的面积为6cm
2
, 则△BGD
的面积为( )
E
A. 2cm
2
B. 3 cm
2

A
3
22
C. 1 cm D. cm < br>2
2、如图10-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠C的平分线与
C
B
图10-1
∠B的外角的平分线交于E点,则∠AEB是( )
A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°
3、在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,如图10-2,将△ABC
B
A’
绕点C按逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’的位置,其中A’、B’分
B’
D
别是A、B的对应点,B在A’B’上,CA’交AB于D,则∠BDC的
C
α
A
度数为( )
图10-2
A. 40° B. 45°
C. 50° D. 60°
4、如图10-3,有一块矩形纸片ABCD,AB =8,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,
折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,A E与BC的交点为F,△CEF的面积为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

D
D
B
B
B
A
A
A

F

C
D
C
C
E

E
图10-3

5、已知点I是锐角三角形AB C的内心,A
1
、B
1
、C
1
分别是点I关于BC、CA、 AB的对称点,
若点B在△A
1
B
1
C
1
的外接圆 上,则∠ABC等于( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6、在凸四边形ABCD中,已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠ABC=90°,则∠D AB
的度数是_____
7、如图10-5,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,将矩形ABCD沿
A
对角线对折,然后放在桌面上,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是
B
_______
E
D’
图10-5
D
C
8、已知AM是△ABC中BC边上的中线,P是△ABC的重心,过P作EF(EF∥BC),分别交
AB、AC于E、F,则
BECF
?
=________
AEAF


9、在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、 F分别
作CA、CB的垂线相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N。
C
求证:①△DEM≌△DFN
②∠PAE=∠PBF
D
A
B

E

F
M

N

P

图10-7










10、如图10-8,在△ABC中,AB=AC,底角B的三等分线 交高线AD于M、N,边CN并延
长交AB于E。
A
求证:EM∥BN
M
E
B
N
D
图10-8
C


【答案与解析】
一、选择题
1、解:
S
?BGD
?
111
S
?ABD
??S
?ABC
?1(cm< br>2
)
。选C。
332
2、解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ A=30°,则∠ABC=60°,因为EB是∠B的外角的
平分线,所以∠ABE=60°,因为E是 ∠C的平分线与∠B的平分线的交点,所以E点到
CB的距离等于E到AB的距离,也等于E点到CA的 距离,从而AE是∠A的外角的平分
线。
所以
?BAE?
150??75?
,∠AEB=180°-60°-75°=45°。应选B。
2
3、解 :依题意在等腰三角形B′CB中,有∠B′CB=α,∠B′=90°-20°=70°。
所以α=180°-2×70°=40°,即∠DCA=α=40°, 从而∠BDC=∠DCA+∠A=
40°+20°=60°。应选D。
4、解:由折叠过程知 ,DE=AD=6,∠DAE=∠CEF=45°,所以△CEF是等腰直角三角形,
且EC=8-6= 2,所以S

CEF
=2。故选A。
5、解:因为IA
1
=IB
1
=IC
1
=2r(r为△ABC的内切圆半径),所以I点同时是△ A
1
B
1
C
1
的外接
圆的圆心,设IA
1
与BC的交点为D,则IB=IA
1
=2ID,所以∠IBD=30°。同理,∠IB A
=30°,于是∠ABC=60°。故选C。
6、解:连AC,即AD=a,则在等腰Rt△ABC中

AC?AB?BC?8a?(3a)?a?CD?AD

有∠CAD=90° ∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°。
7、解:设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S,则:
22222222
S?S?ABC
?S
?AD
1
C
?S
?AEC
?S< br>矩形ABCD
?S
?AEC

S
?AEC
15
?AB?EC?EC
22
2

由Rt△ABE≌Rt△CD
1
E 知EC=AE
222
设EC=x,则
AB?BE?x
,即
5?(12?x)?x

22
解得:
x?
452035
  S
?AEC
? ??  S?5?12??

24224484848
8、解:如图分别过B、C两点 作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K,则有
BEBGCECK
?  ?

AEAPAFAP
BECFBG?CK1
??
两式相加 又梯形BCKG中,PM=(BG+CK),而由P为重心得
AEAFAP2
AP=2PM

BECF2PM
???1

AEAF2PM

9、证明:①如图,据题设可知DM平行且等于BN,DN平行且等于AM,
∴∠AMD=∠BND
∵M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点
∴EM=AM=DN FN=BN=DM
又已知DE=DF ∴△DEM≌△DFN
②由上述全等三角形可知∠EMD=∠FND ∴∠AME=∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形
∴∠PAE=∠PBF。
A
10、证明:连结MC ∵AB=BC,AD⊥BC ∴∠1=∠2=∠3
∵∠4=∠5=∠6 又∵∠7=∠8 ∴M是△AEC的内心
7
8
∴EM是∠AEN的平分线 ∴
AEAM

?
ENMN
M
E
B
3
2
1
又∵∠EBN=2∠NBD=2∠1
∠ENB=∠NBD+∠4=2∠1
∴EB=EN ∴
N
5
6
4
AEAM
∴EN∥BN
?
EBMN
D
C
(六)逻辑推理专题
1、世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0
分 ,平局时两队各得1分,小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛,如果总
积分相同,还要 按净胜球排序,一个队要保证出线,这个队至少要积( )
A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分
2、已知四边形ABCD从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB=CD ④BC=AD ⑤∠
A=∠C ⑥∠B=∠D,任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论
的情况有( )
A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种
3、正整数n小于100,并且满 足等式
?
n
?
?
?
n
?
?
?n
?
?n
,其中
?
x
?
表示不超过x的最大整 数,
??????
?
2
??
3
??
6
?< br>这样的正整数n有( )个
A. 2 B. 3 C. 12 D. 16
4、一副扑克牌有4种花色,每种花色有13张,从中任意抽牌,最小要抽( )张才能保证
有4张牌是同一花色的。
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
5、观察下列图形:

根据①②③的规律,图④中三角形个数___
【答案与解析】
1、B 解:4个队单循环比赛共比赛6场,每场比赛后两队得分之和或为2 分(即打平),或为
3分(有胜负),所以6场后各队的得分之和不超过18分,若一个队得7分,剩下 的3个队




得分之和不超过11分, 不可能有两个队得分之和大于或等于7分,所以这个队必定出线,
如果一个队得6分,则有可能还有两个 队均得6分,而净胜球比该队多,该队仍不能出线。
应选B。
2、B 解:共有15种搭配。①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①和
⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形ABCD是平行四边形。
①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形ABCD是平行四边
形。应选B。
3、D 解:由
nnn
? ??n
,以及若x不是整数,则[x]<x知,2|n,3|n,6|n,即n是6的
236< br>?
100
?
?16
个。应选D。
?
6
??
倍数,因此小于100的这样的正整数有
?
4、B 解:4种花色相当于4个抽屉,设最少要抽x张扑克,问题相当于把x张扑克放进4个抽
屉,至少有4张 牌在同一个抽屉,有x=3×4+1=13。故选B。
5、解:根据图中①、②、③的规律,可知图④ 中的三角形的个数为1+4+3×4+3
2
×4+3
3
×4=
1+4 +12+36+108=161(个)
(七)一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)专题
1、 已知
x
1
,x
2
是关于
x
的一元二 次方程
x?(3a?1)x?2a?1?0
的两个实数根,使得
22
(3x< br>1
?x
2
)(x
1
?3x
2
)??80成立。求实数
a
的所有可能值。
`







2、
已知关于
x
的一元二次方程
x?cx?a?0
的两个整数根恰好比方程
x?ax?b?0
22
的 两个根都大1,求
a?b?c
的值。








2
3.已知二次函数
y? x?ax?b
的图象与
x
轴的两个交点的横坐标分别为
m

n
,且
m?n?1
.设满足上述要求的
b
的最大值和最小值分别为< br>p

q
,求│p│+│q│的值。










【答案与解析】
1、解:由条件知
??(3a?1)
2
?4(2a
2
?1)?a2
?6a?5?0
,解得
a?5

a?1

又由根与系数的关系知
x
1
?x
2
??(3a?1)

x
1
x
2
?2a?1

于是(3x
1
?x
2
)(x
1
?3x
2
) ?3(x
1
?x
2
)?10x
1
x
2
?3 (x
1
?x
2
)?16x
1
x
2

222
2
?3(3a?1)
2
?16(2a
2
?1)?? 5a
2
?18a?19


?5a? 18a?19??80
,解得
a?3
(舍去)或
a??
于是
a??
2
33

5
3333
.综上所述,所求的实数
a??

55
2、解:设方程
x
2
?ax?b?0
的两个根为α、β ,其中α、β为整数,且α

β
则方程
x
2
?cx?a?0
的两个整数根为α+1、β+1,
由根与系数关系得:α+β=
-a,(
α+1)(β+1)=a
两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即
(
α+2)(β+2)=3
?< br>?
?2?1
?
?
?2??3
?
?
??1?
?
??5

?

?
解得:
?

?

?
?2?3
?
?2??1
?
?1
?
??3
???
?


又∵a

-(
α+β),b=αβ,c=
-[(
α+1)+(β+1 )]

a
=0,b=
-1,c

-2

a
=8,b=
15,c
=6

a?b?c

-3

a?b?c
=29
2
3、
解:根据题意,
m,n
是一元二次方程
x?ax?b?0< br>的两根,所以
m?n??a

mn?b
.

m? n?1
,∴
m?n?m?n?1

m?n?m?n?1
.
a
2
(m?n)
2
1
??
. ∵方程
x? ax?b?0
的判别式
??a?4b?0
,∴
b?
444
2 2
4b?4mn?(m?n)
2
?(m?n)
2
?(m?n)
2
?1??1
,故
b??
1
,等号当且仅当
4
m ??n?
1
时取得;
2
11
,等号当且仅当
m?n?
42
4b?4mn?(m?n)
2
?(m?n)
2
? 1?(m?n)
2
?1
,故
b?
取得.
111

q??
,于是
p?q?
.
442
(八)圆专题
所以
p?
1、如图,圆
O
与 圆
D
相交于
A,B
两点,
BC
为圆
D
的切 线,点
C


O
上,且
AB?BC
.
(1)证明:点
O
在圆
D
的圆周上.
(2)设△
ABC
的面积为
S
,求圆
D
的的半径
r
的最小值.











2、
如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的
A

O
1
和△BCH的外接圆⊙
O
2
相交于点D,延长AD交
CH于点P,
B
O
1
H
D
P
C
Q
O
2


求证:点P为CH的中点。
证明:如图,延长AP交⊙
O
2
于点Q










【答案与解析】
1解 (1)连
OA,OB,OC,AC
,因为
O
为圆心,
AB?BC
,所以△
OBA
∽△
OBC
,从

?O BA??OBC
.
因为
OD?AB,DB?BC
,所以
?DOB?90???OBA?90???OBC??DBO

所以
DB?DO
,因此点
O
在圆
D
的圆周上.
(2)设圆
O
的半径为
a

BO
的延长线交
AC
于点
E
,易知
BE?AC
.设
AC?2y(0?y? a)

OE?x

AB?l
,则
a
2
?x
2
?y
2

S?y(a?x)

l
2< br>?y
2
?(a?x)
2
?y
2
?a
2
?2ax?x
2
?2a
2
?2ax?2a(a?x)?
2aS.
y
因为
?ABC?2?OBA?2?OAB??BDO
,
AB?BC
,
DB?DO
,所以△
BDO
∽△
ABC
,所以
raal
BDBO
?
,即
?
,故
r?.
l2y2y
ABAC
2S
,其中等号当
a?y
时 成立,这
2
2S
.
2
a
2
l
2
a
2
2aSSa
3
S
?
2
???()?
,即
r?
所以
r?
2
4y4yy2y2
2

AC
是圆
O
的直径.所以圆
D
的的半径
r
的最小 值为
2. 连结AH,BD,QC,QH
∵AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ=90
0


∴BQ为⊙
O
2
的直径
于是CQ⊥BC,BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC,BH⊥AC
∴AH

CQ,AC

HQ,四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点
(九)抛物线专题
1、抛物线
y?ax?bx?c< br>的图象与
x
轴有两个交点
M(x
1
,0),N(x
2
,0)
,且经过点
其中
0?x
1
?x
2
. 过点
A
的直线
l

x
轴交于点
C.
,与抛 物线交于点
B
(异于点
A
),
A(0,1)

满足
?CAN
是等腰直角三角形,且
S
?BMN
?






2.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点 A、B的坐标分别是
(5,0)

(3,2)

点D在线段OA上, BD=BA, 点Q是线段BD上一个动点,
点P的坐标是
(0,3)
,设直线PQ的 解析式为
y?kx?b

(1)求k的取值范围;
(2)当k为取值范围 内的最大整数时,若抛物线
C
y
P
2
5
S
?AMN
.求该抛物线的解析式.
2

Q
B
y?ax?5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形
内部,求a的取值范围.











2
O
D

A
x




3、已知二次函数
y?x?bx?c
的图象经过两点P
(1,a)
,Q(2,10a)
.
(1)如果
a,b,c
都是整数,且
c?b ?8a
,求
a,b,c
的值.
(2)设二次函数
y?x?bx?c
的图象与
x
轴的交点为A、B,与
y
轴的交点为C.如果关

x
的方程
x?bx?c?0
的两个根都是整数,求△ABC的面积.








4、已知二次 函数
y?x?bx?c(c?0)
的图象与
x
轴的交点分别为A、B,与y
轴的交
点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
(1)证明:⊙P与
y
轴的另一个交点为定点.
(2)如果AB恰好为⊙P 的直径且
S
△ABC
=2
,求
b

c
的值 .








【答案与解析】
1. 解:由条件知该抛物线开口向上,与
x
的两个交点在
y
轴的右侧.
由于
?CAN
是等腰直角三角形,故点
C

x
轴的左侧,且
?CAN?90


?ACN?45
,从而
C(?1,0 )

N(1,0)

于是直线
l
的方程为:
y?x?1

?
?
2
2
2
2



B(x
3
,y
3
)
,由
S
?BMN
?
从而
x
3
?
55
S
?AMN

y
3
?

22
3
35
,即
B(,)

2
22
综上可知,该抛物线通过点
A(0,1)

B(,)

N(1,0)

35
22
?
1?c
?
593
于是
?
?a?b?c

2
?
24
?
0?a?b?c
?
a?4
?< br>解得
?
b??5

?
c?1
?
所以所求抛 物线的解析式为
y?4x?5x?1

2. 解:(1)直线
y?kx?b
经过P
(0,3)
,∴
b?3

y
2
∵B
(3,2)
,A
(5 ,0)
,BD=BA,∴ 点D的坐标是
(1,0)

∴ BD的解析式是
y?x?1
,
1≤x≤3.

C
P

Q
B
依题意,得
?

1≤
?
y?x?1,
4
,
,∴
x?
1?k
?
y?kx?3.
O
D

A
x
41
≤3.
解得
?3≤k≤?.

1?k3
1
(2)
?
?3≤k≤?,
且k为最大整数,∴
k??1
.
3
则直线PQ的解析式为
y??x?3

2
又因为抛物线< br>y?ax?5ax
的顶点坐标是
?
5
?
525
?,?a
?
,对称轴为
x?

4
?
2
?
2
5
?
?
y??x?3,
?
x?,
?< br>?
2
即直线PQ与对称轴为
x?
5
的交点坐标为
(
5
,
1
)
, 解方程组
?

?
5
22
2
x?.
?
?
y?
1
.
2
?
?
2
?



12582
??a? 2

解得

??a??

242525
3解 点P
(1,a)
、Q
(2,10a)
在二次函数
y?x?bx?c< br>的图象上,故
1?b?c?a

2
4?2a?c?10a

解得
b?9a?3

c?8a?2
.
?
8a? 2?9a?3,
(1)由
c?b?8a

?
解得
1?a?3
.
9a?3?8a,
?

a
为整数,所以
a?2

b?9a?3?15

c?8a?2?14
.
(2) 设
m,n
是方程的两个整数根,且
m?n
.
由根与系数的关系可得
m?n??b?3?9a

mn??c?2?8a
,消去
a
,得
9mn?8(m?n)??

6

两边同时乘以9,得
81mn?72(m?n)??54
,分解因式,得
(9m?8)(9n?8)?10
.
所以
?
?
9m?8?1,
?
9m?8?2,
?
9m?8??10,
?
9m?8??5,

?

?

?

?
9n?8?10,
?
9n?8?5,?
9n?8??1,
?
9n?8??2,
1021
???
m?,m??,m?,
??
?
m?1,
?
???
9993
解得
?

?

?

?

1372
n?2,
?
?
n?,
?
n?,
?
n?,
???
993
???

m,n
是整数,所以后面三组 解舍去,故
m?1,n?2
.
因此,
b??(m?n)??3
,< br>c??mn??2
,二次函数的解析式为
y?x?3x?2
.
易求得 点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为
2
1
?(2?1)?2?1

2
(x,0
4解 (1)易求得点< br>C
的坐标为
(0,c)
,设
A
1
)

B(x
2
,0)
,则
x
1
?x
2
??b

x
1
x
2
?c
.
设⊙P与
y
轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,
所以OA×O B=OC×OD,则
OD?
c
OA?OB
x
1
x
2
???1
.
OCcc
因为
c?0
,所以点
C
y
轴的负半轴上,从而点D在
y
轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).


(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径, 则C、D关于点O对称,所以点
C
的坐
标为
(0,?1)


c??1
.

AB?x
1
?x
2< br>?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
? (?b)?4c?b?4
,所以
222
S
△ABC
?
11
2
AB?OC?b?4?1?2

22
解得
b??23
.
(十)几何证明专题
1、如 图10-9,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经过点A,且分别交两于C、D两
点,连结B C、CD,设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的
中点。
A
K
C
D
BPNQ
?
求证:①
PMQB
P
Q
B
N
②△KPM∽△NQK
M
图10-9













2.已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN
A
分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.
求证:EF∥AB.






H
F
N
Q
P
E
C
M
B




3、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC。点P在△ABC内,且PA =
3

PB=5,PC=2,求△ABC的面积。
M

A

Q


P


B C






4、如图8-1 0,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF
∥AC交 BC于点F。
求证:①四边形CEDF是正方形。
C
②CD
2
=2AE·BF

F
E


A

B
D

图8-10




【答案与解析】
1、证明:①如图: 因为M是
BC
的中点,P是BC的中点,所以MP⊥BC,∠BPM=90°,
连结AB,则有∠PBM=
= ∠QNB。
所以Rt△BPM∽Rt△NQB。于是有

1
11
∠CAB=(180°-∠DAB)=90°-∠DAB=90°-∠NBD
22
2
BPNQ
?

MPBQ


②因为KP∥BD,且KP=1
BD=BQ,所以,四边形PBQK是平行四边形。于是,有BP
2
KQNQ< br>=KQ BQ=KP 由式①得。又∠KPM=∠KPB+90°=∠KQB+90°=∠
?MPKP
A
NQK,所以△KPM∽△NQK。
2、解 因为BN是∠ABC的平分线,所以
?ABN??CBN
.
又因为CH⊥AB,所以
?CQ?N?
因此
CQ?NC
.
B?QH??9?0

?
N
F
Q
P
?< br>H
??
E
又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以
?CFB?90? ??CHB

因此C、F、H、B四点共圆.

?FBH=?FBC
,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.
同理可证,点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH,所以EF∥AB.

C
M
B
3、解:如图, 作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,
则△ABQ

△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2
于是,AQ=2 AP=2
3
,BQ=2CP=4
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°
由AQ:AP=2:1知,∠APQ=90
0
于是,PQ=
3
AP=3
∴BP
2
=25=BQ
2
+PQ
2
从而∠BQP=90
0

作AM⊥BQ于M,由∠BQA=120
0
,知
∠AQM=60
0
,QM=
3
,AM=3,于是,
2 2 2 22
M
A
Q
P
B
∴AB=BM+AM =(4+
3
)+3=28+8
3

C
故S
△AB C
=AB?ACsin60
0

1
2
36?73
A B
2

82
4、证明:①∵∠ACB=90°,DE∥BC,DF∥AC ,∴DE⊥AC,DE⊥BC,
从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°。
∵CD是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形CEDF是正方形。
②在Rt△AED和Rt△DFB中, ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B
∴Rt△AED∽Rt△DFB

AEDE
,即DE·DF=AE·BF ∵CD=
2
DE=
2
DF,
?
DFBF

< br>∴
CD?
2
2DE?2DF?2DE?DF?2AE?BF

四、模拟试题练习
模拟试题一

一、选择题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
1.设,则代数式x(x+1)(x+2)(x+3)的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.2
222
2.已知x,y,z为实数,且满足x+2y﹣5z=3,x﹣2 y﹣z=﹣5,则x+y+z的最小值为( )
A. B.0 C.5 D.
3 .点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设S
四边形
EADF< br>=S
1
,S
△BDF
=S
2

S
△ BCF
=S
3
,S
△CEF
=S
4
,则S
1
S
3
与S
2
S
4
的大小关系为( )

A.S
1
S
3
<S
2
S
4
B.S
1
S
3
=S
2
S
4
C.S
1
S
3
>S
2
S
4

D.不能确定
4.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且
OA=a ,OB=OC=OD=1,则a等于( )

A. B. C.1 D.2
5.如果x、y是非零实数,使得,那么x+y等于( )
A.3 B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
6.两条直角边长分别是整数a,b(其中b<2011),斜边长是b+1的直角三角形的个数为

7.若

8.如图,双曲线(x>0)与矩形OABC的边C B,BA分别交于
的最大值为a,最小值为b,则a+b的值为
22
点E,F,且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为 .

9 .如图,将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠,使点B落在
CD边上的中点E处,压平后得 到折痕MN,则线段AM的长度为
cm.


10.已知二次函数 的图象经过原点及点(﹣,﹣),且图象与x轴的另一交点到原点的距离
为1,则该二次函数的解析式为 ________________________________.
三、解答题(本大题共5小题,共60分)
11.(本题12分)
(1)阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值.
如对于任意正实数
a

b
,可作如下变形:
a?b?( a)
2
?(b)
2
?(a)
2
?(b)
2
?2ab?2ab

?(a?b)
2
?2ab

22
?(a?b)?0

?(a?b)?2ab?0?2ab


a?b?2ab

根据上述内容,回答下列问题:在
a?b?2 ab
中(
a

b
均为正实数),若
ab
为定值P
,则
a?b?2P
,当且仅当
a,b
满足_________ __时,
a?b
有最小值
2P

(2)思考验证:如图,△AB C中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CO为AB边上的中线,AD=
2a

y
DB=
2b
,试根据图形证明上述不等式
a?b?2ab
成立,并指 出等号成立的条件;
C

A













A
O
D
B
D
O
F
E
x

4的图像上一点,A点的横坐标为1,将一块三角板
x
的直角顶点放在A处旋转,保持两直角 边始终与
x
轴交于两点D、E,
F(0,?3)

y
轴上一 点,
(3)探索应用:已知A为反比例函数
y?
连接DF、EF,求四边形ADFE面 积的最小值.






12 .(本题12分)已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、
C D上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系.
(1)如图①,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为________.
(2)如图②,若AB=BC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以证明.
(3)如图③,若AB=kBC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以证明.

第14题图















13.(本题12分) 某企业为打入国际市场,决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产.已
知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
项 目
类 别
年固

成本
20
40
每件产

成本
m
8
每件
产品
销售

10
18
每年最
多可
生产的
件数
200
120
A产品
B产品
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A 产品的原材料价格决


定,预计6≤
m
≤8.另外,年销售
x< br>件B产品时需上交
0.05x
万美元的特别关税.假设生
2
产出来的产 品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润
y
1
,y
2
与生产相应产品的件数
x
之间的
函数关系并指明 其自变量取值范围;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.













14.(本题12分)已知
?ABC
是⊙
O
的内接三角形 ,
BT
为⊙
O
的切线,
B
为切点,
P
为直 线
AB
上一点,过点
P

BC
的平行线交直线
BT
于点
E
,交直线
AC
于点
F

(1)当点
P
在线段
AB
上时求证:
PA?PB?PE?PF

(2)当点
P
为线段
BA
延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,否
则说明理由;
AB?42,cos?EBA?
(3)若

1
3
,求⊙
O
的半径
A
P
F
.
O
B
C
E
























15.(本题12分) 已知二次函数
y?ax?bx?c

a,b,c均为实数且
a?0
)满足条件:对任
意实数
x
都有
y? 2x
;且当
0?x?2
时,总有
y?
(1)求
a?b?c< br>的值;
(2)求
a?b?c
的取值范围。




2
1
(x?1)
2
成立。
2


















【答案与解析】
一、选择题:(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.
考点:二次根式的化简求值。
分析:这道求代数式值的题目,不应考虑把x的值直接代入,而 是先把原式化成平方的形式,
然后根据给出的数求出x+3x+1=0,最后即可求出结果.
22
解答:解:原式=(x+3x)(x+3x+2)
22
=(x+3x+1)﹣1
当x=
2
2

可得x+3x+1=0,
22
∴(x+3x+1)﹣1
=0﹣1
=﹣1
故选C
点评:本题主要考查了二次根式的化简求值问题,在解题时要注意有 简便方法的要用简便方法,
不要直接把值代入.

2.
考点:二次函数的最值。
专题:计算题。
分析:首先将x+2y﹣5z=3,x﹣ 2y﹣z=﹣5,联立得出x,y用z表示出的值,整理出关于z的
函数关系式,再利用二次函数的最值 问题即可解决.


解答:解:由
于是x+y+z=11z﹣2z+5.
因此,当
2222
可得
时,x+y+z的最小值为
222

故选:D.
点评:此题主要 考查了二次函数的最值问题,整理出关于一个未知数的函数关系式,是解决问
题的关键.
3.
考点:三角形的面积。
分析:首先作辅助线:连接DE,再设S
△DEF
= S′
1
,根据等高三角形的面
积比等于对应底的比,可得:则
即可得到:S< br>1
S
3
>S
2
S
4

解答:解:如图,连接DE,设S
△DEF
=S′
1

则 ,从而有S
1
′S
3
=S
2
S
4
,则可证得:S
1
′S
3
=S
2
S
4

因为S
1
>S
1
′,所以S
1
S
3>S
2
S
4

故选C.

点评:此题考查 了有关三角形面积的求解.注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应
用.

4.
考点:相似三角形的判定与性质;菱形的性质。
专题:计算题。
分析:易证△BOC∽△ABC,即可得,即,解得a的值即可解题.
解答:解:∵∠BAC=∠BCA=∠OBC=∠OCB,
∴△BOC∽△ABC,
所以

2


所以,a﹣a﹣1=0.
由a>0,


解得.
故选A.
点评:本题考查了菱形各边 长相等的性质,等腰三角形底角相等的性质,相似三角形的判定和
对应边比值相等的性质,本题中列出关 于a的方程式并求解是解题的关键.

5.
考点:一元二次方程的应用。
分析:根据绝对值的意义,可知分为两种情况来讨论,即x>0和x<0来完成我题目,解化简
后的一 元二次方程即可得出答案.
解答:解:将y=3﹣|x|代入|x|y+x=0,得x﹣x+3|x|=0.
322
(1)当x>0时,x﹣x+3x=0,方程x﹣x+3=0无实根;
322
(2)当x<0时,x﹣x﹣3x=0,得方程x﹣x﹣3=0
解得
于是
,正根舍去,从而


332
故.
故选D.
点评:本题主要考查了绝对值的性质和解一元二次方程的实际应用,属于基础性题目 ,要求学
生能够熟练掌握并加以运用.
二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)
6.考点:完全平方数;勾股定理。
专题:计算题。
2222
分析:先根 据勾股定理得到a=(b+1)﹣b=2b+1,而b是整数,b<2011,得到a是1到4023
2 2
之间的奇数,而且是完全平方数,3到63都这其中,所以a可以为3,5,…,63,由此得到满足条件的直角三角形的个数为31.
解答:解:∵两条直角边长分别是整数a,b(其中b<2011),斜边长是b+1,
∴a=(b+1)﹣b=2b+1.
2
∴a为奇数,
∵b是整数,b<2011,
2222
∴a是1到4023之间的奇数,而且是完全 平方数,这样的数共有31个,即3,5,…,63.
∴a可以为3,5,…,63,
∴满足条件的直角三角形的个数为31.
故答案为:31.
点评:本题考查了完全平方数的概念.也考查了勾股定理以及会计算1~100的平方数.
7.考点:二次函数的最值;二次根式的应用。
专题:计算题。
222

< p>
分析:根据二次根式的性质,可以确定x的取值范围,再将
出,y的最大值与最小值,从而 得出a+b的值.
解答:解:由1﹣x≥0,且≥0,得≤x≤1.
222
方程两边平方得

由于
所以当


时,y取到最大值1,故a=1.
2
2
或1时,y取到最小值,故


所以:
故答案为:.
点评:此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用 ,将原式平方得出y的最大值
与最小值是解决问题的关键,这种方法经常运用于此类问题的运算.
8.
考点:反比例函数综合题。
专题:计算题;数形结合。
分析:设 B(a,b),根据题意得F,由点F在双曲线
2
上,得a×=2,即ab=4,E、B两点纵 坐标相等,且E点在双曲线
上,则E(,b),再根据S
△OEF
=S
梯形< br>OFBC
﹣S
△OEC
﹣S
△FBE
求解.
解答:解:如图,设点B的坐标为(a,b),则点F的坐标为
∵点F在双曲线上,

∴a×=2,解得ab=4,
又点E在双曲线上,且纵坐标为b,所以点E的坐标为(,b),则



故本题答案为:.
点评:本题考查了反比例函数图象上点的性质,直角坐标系中三角形面积的 表示方法.注意双
曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数.
9.
考点:翻折变换(折叠问题);勾股定理。
专题:计算题;探究型。
分析:连接B M,EM,BE,由折叠的性质可知,四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN
对称,由垂直平分 线的性质可知BM=EM,再由点E是CD的中点,可求出DE的长,由勾股
定理即可求出AM的长.
解答:解:如图,连接BM,EM,BE,
由折叠的性质可知,四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.
∴MN垂直平分BE,
∴BM=EM,
∵点E是CD的中点,DE=1,
∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中,AM+AB=BM,DM+DE=EM,
2222
∴AM+AB=DM+DE.
设AM=x,则DM=4﹣x,
2222
∴x+2=(4﹣x)+1.
解得,即

cm.
222222
故答案为:

点评:本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理, 解答此类问题时,首先清楚折叠和轴对称能
够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时,我们常常设 要求的线段长为x,然后根据折
叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角 三角形,运用勾股定
理列出方程求出答案.
10.
考点:待定系数法求二次函数解析式。
专题:综合题。
分析:由于点( ,)不在 坐标轴上,与原点的距离为1的点有两种情况:点(1,0)
和(﹣1,0),所以用待定系数法求解需 分两种情况:


(1)经过原点及点(
(2)经过原点及点(


)和点(1,0),设y=ax(x+1),可得y=x+x;
)和点(﹣1,0),设y=ax(x﹣1),则得y=x+x.
2
2
解答 :解:根据题意得,与x轴的另一个交点为(1,0)或(﹣1,0),因此要分两种情况:
(1)过点(﹣1,0),设y=ax(x+1),则
∴抛物线的解析式为:y=x+x;

(2)过点(1,0),设y=ax(x﹣1),则
∴抛物线的解析式为:y=x+x.
2
2
,解得:a=1,
,解得:a=,
点评:本题主要考查二次函数的解析式的求法.解题的关键 利用了待定系数法确定函数的解析
式.
三、解答题(本大题共5小题,共56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11、(本题10分)
(1)在
a?b?2ab
中(
a
b
均为正实数),若
ab
为定值
P
,则
a? b?2P
,当且仅当
a,b
满足__
a?b
_________时,
a?b
有最小值
2P

(2)由已知得CO=
a?b
,CD=
2ab

CO
?
CD,即
a?b?2ab

当D与O重合时或
a?b
等式成立;

(3)S
四边形
ADFE
=S

ADE
+S

FDE
=< br>A
O
D
B
C
1
DE?
11
y< br>A
+DE?OF=DE(
y
A
+OF)
222
DE最小时,S
四边形
ADFE
最小.
过A作AH ⊥
x
轴,由(2):当
DH?EH
时,
DE
最小.
所以
DE
最小值为8.
所以S
四边形
ADFE
=





y
A
1
?8?(4?3)?28

2
D
O
F
E
x




12、(本题11分)


(1)如图①,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为_AE=EF_______.
(2)猜想:(1)中得到的结论没有发生变化.
证法一:如图①,过点E作EH∥AB交AC于点H,则
∠BAC+∠1=180°,∠BAC=∠2.
∵AB=BC,∴∠BAC=∠3.∴∠2=∠3.∴EH=EC.
∵AD∥BC,∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠BAC=∠D,∴∠1=∠DCB=∠ECF


∵∠4=∠5,∠AEF=∠ACF,∴∠6=∠7.∴△AEH≌△FEC.
∴AE=EF



第25题答图
证法二:如图②,过点E作EG∥AC交AB于点G,则∠BAC+∠1=180°.
∵AD∥BC,∴∠D+∠DCB=180°,∠2=∠3.
∵∠BAC=∠D,∴∠1=∠DCB=∠ECF,∠B=∠4.
∵∠AEF=∠4,∴ ∠B=∠AEF.
∵∠B+∠GAE=∠AEF+∠CEF,∴∠GAE=∠CEF.
∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.


∵GE<AC,∴四边形AGEC是等腰梯形.
∴AG=CE.∴△AEG≌△EFC.
∴AE=EF.
(3)猜想:AE=kEF.
证法一:如图③,过点E作EH∥AB,交AC于点H,则△HEC∽△ABC.
?
HEECHEAB

????k

ABBCECBC
AEEH
??k

FEEC
同(2)可证 ∠AHE=∠FCE,∠EAH=∠CFE.
∴△AEH∽△FEC.
?
即AE=kEF.
证法二:如图④,过点E作EG∥AC,交AB于点G,则△GBE∽△ABC.
?
GB
?
AB
GB
??
BE
BE

BC
AB
?k

BC
∴GB=kBE,AB=kBC.
?
AGAB?GBkBC?kBE
???k

ECBC?BEBC?BE
同(2)可证 ∠GAE=∠CEF,∠AGE=∠ECF.
∴△AEG∽△EFC.
?
AEAG
??k

EFEC
即AE=kEF


13、(本题11分)
.解:(Ⅰ)由年销售量为
x
件,按利润的计算公式,有生产A、B两产品的年利润< br>y
1
,y
2
分别
为:
y
1
?10 ?x?
?
20?mx
?
?
?
10?m
?
x ?200?x?200

x?N

y
2
?18?x?
?
40?8x
?
?0.05x
2
??0.05x
2
?10x?40

?y
2
??0.05
?
x?100?
?460,0?x?120,x?N.

(Ⅱ)
?6?m? 8
,,
?10?m?0

?y
1
?(10?m)x?20< br>为增函数,
生产A产品有最大利润为
?
10?m
?
?20 0?20?1980?200m
又0?x?200,x?N?x?200
时,
(万元)
2



y
2
??0.05
?
x?10 0
?
?460,0?x?120,x?N.
?x?100
时,生产B产品有最 大利润为460
(万美元)
现在我们研究生产哪种产品年利润最大,为此,我们作差比较:
2
(y
1< br>)
max
?(y
2
)
max
6?m?7.6
?
?0,  
?
?(1980?200m)?460?1520?200m
?
?0,  m?7.6

?
?0,  7.6?m?8
?
所 以:当
6?m?7.6
时,投资生产A产品200件可获得最大年利润;

m?7.6
时,生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润;

7.6?m?8
时,投资生产B产品100件可获得最大年利润.
14.(本题12分)

15.(本题12分)


(1)根据题意可知:当
x?1
时,
y?2x?2


y?
1
(1?1)
2
?2

2

?

x?1
时,
y?2


a?b?c?2

(2)对任意实数
x
都有
y?2x

2
2

?

ax?bx?c
?2x
总成立,即
ax?(b?2)x ?c?0
恒成立
2

?

a?0

(b?2)?4ac?0


a?b?c?2
?
b?2??(a?c)

2
22
代入上式得
a?c?2ac?0
,即
(a?c)?0

2

?(a?c)?0
,故
a?c
--

?b?2?2a
-----------
1
(x?1)
2

2
1
2
1
整理得
(a?)x?(1?2a)x?a??0

22
11
2
于是
(a?)(x?1)?0

?
a?

22
1

a?b?c?4a?2

0?a?

2

0?x?2
时,
ax?bx?c?
2

??2?a?b?c?0


模拟试题二
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.已知
a?2?1
b?3?2

c?6?2
,那么
a,b,c
的大小关系是
( )
A.
a?b?c
B.
a?c?b
C.
b?a?c
D.
b?c?a

2.方程
x
2
?2xy?3y
2
?34
的整数解
(xy,
的组数为
( )


A.3. B.4. C.5. D.6.
3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与 CD交于
点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为
( )
A.
2625
65
B. C. D.
33
33
2244
A
D
4.已知实数
a,b
满足
a?b?1
,则
a?ab?b
的 最小值
为 ( )
A.
?
. B.0. C.1. D..
G
F
P
1
8
9
8
B
CE
2
5.若方程
x?2px?3p?2?0
的两个不相等的实数根
x< br>1
,x
2
满足
x
1
2
?x
1
3
?4
( )
2
?(x
2
?x)
则实数
2

p
的所有可能的值之和为
A.0. B.
?
35
. C.
?1
. D.
?
.
44
6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数
abc d
(数字可重复使用),要求满足
a?c?b?d
.
这样的四位数共
( )
A.36个. B.40个. C.44个. D.48个.
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
1.已知互不相等的实数
a,b,c
满足
a?
m

111
?b??c??t
,则
t?
_________.
bca
2.使得
5?2?1
是完全平方数的整数
m
的个数为 .
3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP
=20° ,则
A
BC
= .
AP
B
F
P< br>4.已知实数
a,b,c
满足
abc??1

a?b?c?4

D
C
E
abc4
222
???
,则a?b?c
= .
222
a?3a?1b?3b?1c?3c?1 9
二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:
AD
2
?BD?CD
.

A
O
D
PBC










1
2
x?bx?c
的顶点为P ,与
x
轴的正半轴交于
6
3
A
(x
1
,0 )
、B
(x
2
,0)

x
1
?x
2
)两点,与
y
轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M
(0,? )

2
三.(本题满分25分)已知抛物线
y??
若AMBC,求抛 物线的解析式.

















[答案与解析]
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.【答】C.
因为
1111
?2?1

?3?2
,所以
0??< br>aab
b
,故
b?a
.又
c?a?(6?2)?(2?1)? 6?

(2?1)
,而
(6)
2
?(2?1)
2< br>?3?22?0
,所以
6?2?1
,故
c?a
.因此
b?a?c
.
2.【答】B.


方程即
(x?y)?2y? 34
,显然
x?y
必须是偶数,所以可设
x?y?2t
,则原方程变 为
22
?
t??2,
2t
2
?y
2
?17
,它的整数解为
?
从而可求得原方程的整数解为
(x,y)

(?7,3)

(1,3)

?
y??3,
(7,?3)

(?1,?3)
,共4组.
3.【答】D.
过点C作CPBG ,交DE于点P.因为BC=CE=1,所以CP是△BEG的中位线,所以P为EG
的中点.
又因为AD=CE=1,ADCE,所以△ADF≌△ECF,所以CF=DF,又CPFG,所以FG是△< br>DCP的中位线,所以G为DP的中点.
因此DG=GP=PE=
2
1
DE=.
3
3
连接BD,易知∠BDC=∠EDC=45°,所以∠BDE=90°.
又BD=
2
,所以BG=
BD?DG?
4.【答】B.
22
2?
225
?
.
93
19
a
4
?ab?b
4
?(a
2
?b
2
)
2< br>?2a
2
b
2
?ab?1?2a
2
b
2?ab??2(ab?)
2
?
.
48
1131
22< br>因为
2|ab|?a?b?1
,所以
??ab?
,从而
??a b??
2244
191999
0?(ab?)
2
?
,因此< br>0??2(ab?)
2
??
,即
0?a
4
?ab?b
4
?
.
4164888
因此
a?ab?b
的最小 值为0,当
a??
5.【答】 B.
由一元二次方程的根与系数的关系可得
x
1
?x
2
??2p

x
1
?x
2
??3p?2
,所以
2
x
1
2
?x
2
?(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
? x
2
?4p
2
?6p?4

3
x
13
?x
2
?(x
1
?x
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?3x
1
?x
2
]? ?2p(4p
2
?9p?6)
.
1
,故
4
44< br>2222
,b?,b??

a?
时取得.
2222
又由
x
1
2
?
3
x4
1
?
223
(?x
2
)x
2
x
1
2
?x
2< br>?4?(x
1
3
?x
2
)

?
,< br>,




4p
2
?6p?4?4?2p( 4p
2
?9p?6)
,所以
p(4p?3)(p?1)?0

< br>3
p
1
?0,p
2
??,p
3
??1
.
4
3
均满足题意,
p
3
??1
不满足题意.
4
33
因此,实数
p
的所有可能的值之和为
p
1< br>?p
2
?0?(?)??
.
44
代入检验可知:
p
1
?0,p
2
??
6.【答】C.
根据使用的不同数字的个数分类考虑:
(1)只用1个数字,组成的四位数可以是1111,2222,3333,4444,共有4个. < br>(2)使用2个不同的数字,使用的数字有6种可能(1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、< br>4).如果使用的数字是1、2,组成的四位数可以是1122,1221,2112,2211,共有4 个;同样
地,如果使用的数字是另外5种情况,组成的四位数也各有4个.因此,这样的四位数共有6× 4
=24个.
(3)使用3个不同的数字,只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的 四位数可以是1232,
2123,2321,3212,2343,3234,3432,4323, 共有8个.
(4)使用4个不同的数字1,2,3,4,组成的四位数可以是1243,1342,2 134,2431,
3124,3421,4213,4312,共有8个.
因此,满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个.
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
1.【答】
?1
.
a?
11111
?t

b?
,代入
b??t

??t
,整理得
bt?ac
t?ac
ct
2?(ac?1)t?(a?c)?0

又由
c?
1
1) ?0

?t
可得
ac?1?at
,代入①式得
ct
2
?at
2
?(a?c)?0
,即
(c?a)(t
2
?
a
2

c?a
,所以
t?1?0
,所以
t??1
.
验证可知:
b?
2.【答】 1.
m2

5?2?1?n
(其中
n
为正整数),则
5?2?n?1?(n?1 )(n?1)
,显然
n
为奇数,
m2
1a?11a?1
时< br>t?1

b??

t??1
.因此,
t??1
.
,c?,c??
1?aa1?aa

n?2k?1
(其中k
是正整数),则
5?2?4k(k?1)
,即
5?2
mm?2
?k(k?1)
.
?
k?5?2
m?2
,
?k?5,
?
k?2
m?2
,
显然
k?1
,此时
k

k?1
互质,所以
?

?

?
解得
m?2
?
k?1?1,
?
k?1?2,
?< br>k?1?5,
k?5,m?4
.


因此,满足要求的整数
m
只有1个.
3.【答】
3
.
A
设D为BC的中点,在△ABC外作∠CAE=20°,则∠BAE=
60°. < br>F
1
作CE⊥AE,PF⊥AE,则易证△ACE≌△ACD,所以CE=CD=BC.
2
又PF=PA
sin
∠BAE=PA
sin
60°=P
3
AP,PF=CE,所以
2
B
D
C
E3
1
AP=BC,
2
2
因此
BC

3
.
AP
33
4.【答】 .
2
22
因为
a?3a ?1?a?3a?abc?a(bc?a?3)?a(bc?b?c?1)?a(b?1)(c?1)

所以
a1
?
.
a
2
?3a?1(b?1)(c?1)
b1c1
??
,.
22
b?3b?1(a?1)(c?1)c?3c?1(a?1)(b?1)

同理可得

a
?
2
a?3?
1
)
?(a?
a?1?
?
2
b
1
?
?b?3
)

?
4
2
c
4
a?(
b1
所< br>可得
c3
)
1
(b?
?
1c?1c?b1?

4
(a?1)(b?1)(c?1)?(a?1)?(b?1)?(c?1)
.
9
1
.
4
33
2222
因此,
a?b? c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?
.
2
11
实际上,满足条 件的
a,b,c
可以分别为
?,,4
.

22
结合
abc??1

a?b?c?4
,可得
ab?bc?ac??
二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:
AD
2
?BD?CD
.










证明:连接OA,OB,OC.
A
O
D
PBC

∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理 可得
PA?PD?PO

2
AD
2
?PD?OD
. ……………………5分
又由切割线定理可得
PA?PB?PC
,∴
PB?P C?PD?PO
,∴D、B、C、O四点共圆,
……………
………10分
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△
COD, ……………………20分

2
PDBD
?
CDOD
,∴< br>A
2
?D
.
??D

P
……………………25分
?
1
2
x?bx?c的顶点为P,与
x
轴的正半轴交于
6
3
A
(x
1
,0)
、B
(x
2
,0)

x
1
?x
2
)两点,与
y
轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M< br>(0,?)

2
三.(本题满分25分)已知抛物线
y??
若 AMBC,求抛物线的解析式.
解 易求得点P
(3b,b?c)
,点C
(0,c)
.
设△ABC的外 接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的
坐标为
(3b,m)< br>.
显然,
x
1
,x
2
是一元二次方程
?< br>3
2
2
1
2
x?bx?c?0
的两根,所以
x
1
?3b?9b
2
?6c

6
x
2?3b?9b
2
?6c
,又AB的中点E的坐标为
(3b,0)
,所以AE=
9b
2
?6c
.……………………5分


因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得
AE
2
?PE?DE


3
(9b
2
?6c)
2
?(b
2
?c)?|m|
,又
2
m??6
. ……………………10分
又由DA=DC得
DA?DC
,即
(9b
2
?6c)
22
易知
m?0
,所以可得
2
?m2
?(3b0?)
2
(?m?)c
2
,把
m??6
入后可解得(另一解
c??6c?0

去). ……………………15分
又因为AMBC,所以
OAOM
OB
?
O C
3b?9b
2
?6c
|?
3
|
3b?9b
2
?6c
?
2
|?6|
. ……………………20分

c??6
代入解得
b?
5
2< br>(另一解
b??
5
2
舍去).
因此,抛物线的解析
y??
1
6
x
2
?
5
2
x?6
. ……………………25分
,即
式为

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