高一数学辅导教案：平面向量的应用

平面向量的应用辅导教案

学生姓名
授课教师
教学课题



1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
教学目标
2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
性别
上课时间
年级 高一 学科 数学
课时：3课时
第（ ）次课
共（ ）次课
教学重点
与难点
一、作业检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
二、内容回顾
三、知识整理
1．向量在平面几何中的应用
向量在平面几 何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、
全等、相似、长度、 夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0 )?a＝λb?x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0 .
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b?a·b＝0?x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0(a，b均为非零向量)．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
a·b
cos θ＝
|a||b|
＝
x
1
x
2
＋y
1
y
2
(θ为 a与b的夹角)．
2222
x
1
＋y
1
x
2
＋y
2
2．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向 量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要
熟练掌握向量数量积的坐标运算 公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变
换的相关知识．
3．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种 向量描述．它主要强调向量的坐标
1

问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
4．向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加 减法相似，因此可以用向量的
知识来解决某些物理问题.
四、例题分析
考点一 向量在平面几何中的应用
→→
【例1】 (1)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.
→→< br>(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则 AB的长为
________．
规律方法 用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基 向量法和坐标系法，建立平面直角坐
标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样 便于迅速解题．
考点二 向量在三角函数中的应用
【例2】 设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.











规律方法 (1)题目条 件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立
等，得到三角函数的关系式， 然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 思路是经
过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
2

考点三 向量在解析几何中的应用
【例3】 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上 一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，
?
→
1
→
??
→
1
→
?
??
＝0. 且
?
PC＋PQ
?
·
2
??
PC－
2
PQ
??
(1)求动点P的轨迹方 程；
→→
(2)若EF为圆N：x＋(y－1)＝1的任一条直径，求PE·PF的最值．
22













规律方法 向量在解析几何中的作用
(1)载体 作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的
意义、运算脱去 “向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、
轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特 别地，向量垂
直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法．
五、对应训练
→→
1.在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC 的中点，则AC·AE＝( )．
A.
3＋3
99
B. C.3 D.
324

→→→→
2.在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比值是( )．
1123
A.
3
B.
2
C.
3
D.
4

3

3.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．









→→→
3
→
4.已知 点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA·AM＝0，AM＝－
2MQ，
当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．










六、本课小结
1．向量的 坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量
的有关知识可以解 决某些函数问题．
2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结 合的一类综合
问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般 方法．
3．解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何 问
题．
4

七、课堂小测
一、选择题
1．已知a＝(1，sin
2
x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于( )．
2
A．1 B．－1 C.3 D.
2

2．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是( )．
31
A.
2
B.3 C．23 D.
2

→→→
ππ
3.函数y＝tan< br>4
x－
2
的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝( )．
A．4 B．6 C．1 D．2

4．已 知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x
2
＋|a|x－a·b＝0有两相等实根， 则向量a与b的夹角是( )．
πππ2π
A．－
6
B．－
3
C.
3
D.
3

→
→< br>→
5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aBC＋2b CA＋3cAB＝0，
则cos B＝( )．
11112929
A．－
24
B.
24
C.
36
D．－
36

6.已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是( )．
22
A．－6 B．－
3
C.
3
D．14
7.已知|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，则|a＋2b|＝( )．
A．9 B．3 C．1 D．2
5

8.已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，3)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )．
A．－23 B．23 C．43 D．63
9.已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )．
ππππ
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6

10.已知向量a＝(1，－cos θ)，b＝(1,2cos θ)且a⊥b，则cos 2θ等于( )．
12
A．－1 B．0 C.
2
D.
2

→→→
11.已知O是△ABC所在平 面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则有( )．
→→→→
＝2OD ＝OD
→→→→
＝3OD D．2AO＝OD
→→→→→
12.平面上 有四个互异点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状是( )．
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定

→→
13.在△ABC中，G是△ABC的重心，AB，AC的边长分别为2,1，∠BAC＝ 60°.则AG·BG＝( )．
5－35－3
810
A．－
9
B．－
9
C.
9
D．－
9


1 4.已知正方形ABCD(字母顺序是A→B→C→D)的边长为1，点E是AB边上的动点(可以与A或B→→
重合)，则DE·CD的最大值是( )．
1
A．1 B.
2
C．0 D．－1

二、填空题
→→→→
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝___ _____.

→→
→→→
BA·BC
2.在△ABC中，若AB ＝1，AC＝3，|AB＋AC|＝|BC|，则＝________.
→
|BC|
6

→→
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，S
△
ABC
＝2，则BA·AC
＝________.
三、解答题
1．已知圆C：(x－3)
2
＋(y－3)
2
＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长
→→
线上，且MA＝2 AN，求点N的轨迹方程．








→→→→
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC ＝BA·BC＝k(k∈R)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若c＝2，求k的值．








八、作业布置
→→→→→
1．已知向量OB＝(2,0)，向量OC＝(2,2)，向量CA＝(2cos α，2sin α)，则向量OA与向量OB的夹
角的取值范围是( )．
π
?< br>π
???
π
5
??
5
?
π
5
?
A.
?
0，
4
?
B.
?
4
，
12
π
?
C.
?
12
π，
2
?
D.
?
12
，
12
π
?

????????
7

→
1
→→→
2.已知△ABD是等边三角形，且AB＋
2
A D＝AC，|CD|＝3，那么四边形ABCD的面积为( )．
339
A.
2
B.
2
3 C．33 D.
2
3
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，| a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角
大小为________．
x
??
3sin ，1
4．已知向量m＝
?
，
4
?
??
xx
??
n＝
?
cos
4
，cos
2
4
?
.
??
?
2 π
?
(1)若m·n＝1，求cos
?
3
－x
?
的 值；
??
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，
求函数f(A)的取值范围．



















8

9