【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章章末复习课(含答案)

第一章 章末复习课

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[警示·易错提醒]
1．三角形解的个数的确定(易错点)
已知两边和其中一边的 对角不能唯一确定三角形，解这类三角形
问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中 大边
对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
ab
(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理＝，
sin Asin B
得sin B＝
两解．
(2)利用余弦定理讨论： 已知a、b、A.由余弦定理 a
2
＝c
2
＋b
2
－
2cbcos A，即c
2
－(2bcos A)c＋b
2
－a
2
＝0，这是关于c的一元二次方
bsin A
.若sin B＞1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B＜1，
a

1

程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数 解，
则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
2．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定
理，化边为角(如：a＝2Rsi n A，a
2
＋b
2
－c
2
＝2abcos C等)，利用三角
变换得出三角形内角之间的关系
进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关
系．如：
sin A＝sin B?A＝B；sin (A－B)＝0?A＝B；sin 2A＝sin 2B?A
π＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：
2
b
2
＋c
2
－a
2
a
sin A＝(R为△ABC外接圆半径)，cos A＝等，通过代数
2R2bc
恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．
3.解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解
决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如测量
距离、高度、角度等)，然后依题意 画出示意图，把已知量和未知量
标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用< br>哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计
算的要求．

专题一 利用正、余弦定理解三角形(自主研析)
[例1] △ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.
π
已知c＝2，C＝.
3
(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

2

(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
[自主解答] (1)由余弦定理得a
2
＋b
2
－ab＝4.又因为 △ABC的面
1
积等于3，所以
absin C＝3，得ab＝4.
2?
a
2
＋b
2
－ab＝4，
联立方程组
?
?
b＝2a，
解得a＝2，b＝2.
(2)由正弦定理已知条件可化为b＝2a，
?
a
2
＋b
2
－ab＝4，
联立方程组
?

?
b＝2a，
2343
解得a＝，b＝，
33
123
所以△ABC的面积S＝
absin C＝.
23
归纳升华
正、余弦定理应用需注意的三个方面
(1)正弦定理和余弦 定理提示了三角形边角之间的关系，解题时
要根据题目条件恰当地实现边角的统一．
(2)统 一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式
进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配 方、因式分解等代数
变换方法进行变形．
(3)求值时注意方程思想的运用．
[变式训练] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

3

asin A＋csin C－2asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
解：(1)由正 弦定理得a
2
＋c
2
－2ac＝b
2
.
由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B.
2
故cos B＝，因此B＝45°.
2
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋6
.
4
sin A
故a＝b×＝1＋3.
sin B
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
sin 60°
sin C
c＝b×
＝2×＝6.
sin B
sin 45°
专题二 判断三角形的形状问题
[例2] 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a
3
＋b
3
－c
3
2
＝c，且acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状．
a＋b－c
a
3
＋b
3
－c
3
解：由
＝c
2
，
a＋b－c
得 a
3
＋b
3
－c
3
＝c
2
(a＋b)－c
3
，
所以a
2
＋b
2
－ab＝c
2
，

4

1
所以cos C＝
>0，
2
又因为C∈(0°，180°)，所以C＝60°.
由acos B＝bcos A，得2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为△ABC
外接圆的半径)，
所以sin(A－B)＝0，
又因为A－B∈(－180°，180°)，
所以A－B＝0°，所以A＝B＝C＝60°，
所以△ABC为等边三角形．
归纳升华
利用正、余弦定理判断三角形形状的方法
主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二，
通过角之间的关系判断形状．
利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件转化
为边的关系或转化为角的关系．
[变式训练] 在△ABC中，若(a
2
＋b
2
)·sin(A－B )＝(a
2
－b
2
)sin(A
＋B)，请判断三角形的形状． < br>解：因为(a
2
＋b
2
)sin(A－B)＝(a
2
－b
2
)sin(A＋B)，
所以(a
2
＋b
2
)(sin Acos B－cos Asin B)＝
(a
2
－b
2
)(sin Acos B＋cos Asin B)，
所以2b
2
sin Acos B－2a
2
cos Asin B＝0，

5

a
2
sin Acos B
所以
2
＝，
bcos Asin B
a
2
sin
2
A
又由正弦定理可得
2
＝
2
，
bsinB
sin Acos Bsin
2
A
所以＝，
cos Asin Bsin
2
B
cos Bsin A
所以＝，所以sin 2A＝sin 2B.
cos Asin B
又因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
π
即A＝B或A＋B＝，
2
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
专题三 正、余弦定理的实际应用
[例3] 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知
飞机的高度为海拔10 000 m，速度为180 kmh，飞机先看到山顶的
俯角为15°，经过420 s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高
度(取2≈1.4，3≈1.7)．

解：如图所示，根据题意可得∠A＝15°，∠DBC＝45°，
所以∠ACB＝30°，
AB＝180×
420
＝21(km)＝21 000(m)．
3 600

6

BCAB
所以在△ABC中，＝，
sin A
sin∠ACB
21 000
所以BC＝·sin 15°＝10 500(6－2)(m)．
1

2
因为CD⊥AD，
所以CD＝BCsin∠CBD＝
10 500(6－2)×
2
＝10 500(3－1)≈
2
10 500×(1.7－1)＝7 350(m)，
所以，山顶的海拔高度＝10 000－7 350＝2 650(m)．
归纳升华
正、余弦定理与三角函数的综合应用
(1 )以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换
为手段来考查三角形问题是近年高考的一类 热点题型．在具体解题
时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合理选用三角函数
公式 ，达到化简问题的目的．
(2)解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题．在高考
中 ，出题者有时会利用平面向量等知识给出问题的某些条件，这些知
识一般只起到“点缀”作用，难度较小 ．
[变式训练] (1)如图所示，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小

7

区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，
DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分
钟，从
D沿DA 走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，
求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．

(2)在△ACB中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且a＞c，已知BA
→
·BC
→
＝2，cos B＝
1
3
，b＝3，求：
①a和c的值；
②cos(B－C)的值．
(1)解：法一：设该扇形的半径为r米，由题意，得CD＝
500 米，DA＝300 米，∠CDO＝60°.
在△CDO中，CD
2
＋OD
2
－2·CD·OD·cos 60°＝OC
2
，
即500
2
＋(r－300)
2
－2×500×(r－300)×
1
2
＝r
2
，
解得r＝
4 900
11
≈445 (米)．
法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于点H，

由题意，得CD＝500米，
AD＝300米，

8

∠CDA＝120°.
在△ACD中，AC
2
＝CD
2
＋AD
2
－2·C D·AD·
1
cos 120°＝500
＋300＋2×500×300×＝700
2
，
2
22
所以AC＝700(米)．
AC
2
＋AD
2
－CD
2
11
cos∠CAD＝
＝
.
14
2AC·AD
在Rt△HAO中，AH＝350(米)，
11
cos∠HAO＝
，
14
4 900
AH
所以OA＝＝≈445(米)．
11
cos∠HAO
1
→→
(2)解：①由BA
·BC＝2，得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac
3
＝6.
由余弦定理，得a
2
＋c
2
＝b
2
＋2accos B.
1
又b＝3，所以a＋c＝3＋2×6×＝13.
3
222
?
ac＝6，
?
a＝2，
?
a＝3，
解
?
得
?
或
?

22
?
a
＋c＝13，
?
c＝3
?
c＝2.
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
②在△ABC中，
sin B＝

1－cos B＝
2
?
1
?
2
22
1－
?
3
?
＝，
3
??
9

由正弦定理，得
22242
c
sin C＝sin B＝×
＝
.
b
339
因a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝1－sin
C＝
2
?
42
?
2
7
?
＝
. 1－
?
9
9
??
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝
17224223
×
＋
×
＝
.
393927
专题四 三角函数的综合应用
[例4] 在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，
求a，c的长．
ac
解：由正弦定理得
＝，
sin Asin C
ac
因为A＝2C，所以＝，
sin 2Csin C
所以a＝2ccos C.
8－c
又因为a＋c＝8，所以cos C＝，①
2c
由余弦定理及a＋c＝8，得
a
2
＋b
2
－ c
2
a
2
＋4
2
－c
2
（8－c）
2
＋4
2
－c
2
10－2c
cos C＝
＝＝＝
.②
2ab8a
8（8－c）8－c
8－c10－2c
由①②知＝，
2c
8－c
整理得5c
2
－36c＋64＝0.

10

16
所以c＝或c＝4(舍去)．
5
24
所以a＝8－c＝
.
5
2416
故a＝，c＝
.
55
归纳升华
与函 数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决
问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及 的各量间的制约关系，
列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决．方程
可 以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知
的桥梁．本章在利用正弦、余弦定理求 角或边长时，往往渗透着函数
与方程思想．
[变式训练4] 在△ABC中，角A，B，C所 对的边分别为a，b，
c，已知a＝5，b＝53，A＝30°，解三角形．
解：由题可知a153
因为bsin A＝53×＝，
22
所以a>bsin A，
所以本题有两解．
1
53×
2
bsin A3
由正弦定理得sin B＝＝＝，
a
52
所以B＝60°或B＝120°.

11

asin C5
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝10.
sin A1
2
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝5.
综上，B＝60°，C＝90°，c＝10或B＝120°，C＝30°，c＝5.



12