高中数学说课视频百度云链接-高中数学普通竞赛题
第二章 平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1
向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
A级
基础巩固
一、选择题
→→→
1．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则(
)
A．四边形ABCD为矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
解析：由向量加减法的平行四边形法则知四边形ABCD是平行
四边形．
答案：D
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
→→→
＝OF＋OE
→→→
＝－OF＋OE
→→→
＝OF－OE
→→→
＝－OF－OE
→→→→→→→→→
解析：EF
＝EO＋OF＝OF－OE＝EO－FO＝－OE－FO
.故选B.
答案：B
1
3．如图，四边形ABCD是梯
形，AD∥BC，O是AC与BD的
→→→
交点，则OA＋BC＋AB＝( )
→
→
→
B．－CO
→
→→→→→→→
解析：OA
＋BC＋AB＝OA＋AC＝OC＝－CO，故选B.
答案：B
→→
4．在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为( )
A．1 B．2 C.
解析：作菱形ABCD，
3
D.3
2
→→→→→
则|AB－BC
|＝|AB
－AD
|＝|DB|＝3.
答案：D
5.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA
的中点，则( )
→→→
＋BE＋CF＝0
2
→→→
－CF＋DF＝0
→→→
＋CE－CF＝0
→→→
－BE－FC＝0
解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
→→→→→→→→
所以AD＝DB，CF＝ED，FC＝DE，FE＝DB，
→→→→→→
所以AD＋BE＋CF＝DB＋BE＋ED＝0，故A成立．
→→→→
→→→→→
BD
－CF＋DF＝BD＋DF－CF＝BF＋FC＝BC≠0，故B不成立． <
br>→→→→→→→→
AD
＋CE－CF＝AD＋FE＝AD＋DB＝AB≠0，故C不成立
．
→→→→→→→
BD
－BE－FC＝ED－DE＝ED＋ED≠0，故D不成立．
答案：A
二、填空题
→→→→
6．化简(AB＋PC)＋(BA－QC)＝________．
→→→→
→→→→→
解析：(AB
＋PC
)＋(BA
－QC
)＝(AB
＋BA
)＋(PC
＋CQ
)＝0＋PQ
→
＝PQ
.
→
答案：PQ
→→
7．在平行四边形ABCD中，若AB＝a，AD＝b，
且|a＋b|＝|a－
b|，则四边形ABCD的形状是________．
解析：由平行四边形法则知，|a＋b|，|a－b|分别表示对角线AC，
3
→→
BD的长，当|AC|＝|BD|时，平行四边形ABCD为矩形．
答案：矩形
→→
8．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB
→→
＝b，OC＝c, 则OD＝________(用a，b，c表示)．
→→→
解析：在平行四边形ABCD中，因为OA
＝a，OB＝b，所以BA＝
→→
OA－OB＝a－b，
→→
所以CD＝BA＝a－b，
→→→
所以OD＝OC＋CD＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
三、解答题
9．如图所示，已知a，b，求作a－b.
解：
4
→→→→
10．如图所示，已知OA＝a，
OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
OF
→
＝f，试用a，b，c，d，e，
f表示：
(1)AD
→
－AB
→
；
(2)AB
→
＋CF
→
；
(3)EF
→
－CF
→
.
解：(1)因为OB
→
＝b，OD
→
＝d，
所以AD→
－AB
→
＝BD
→
＝OD
→
－OB
→
＝d－b.
(2)因为OA
→
＝a，OB
→
＝b，OC
→
＝c，OF
→
＝f，
所以AB
→
＋CF
→
＝(OB
→
－OA
→
)＋(OF
→
－OC→
)＝b＋f－a－c.
(3)EF
→
－CF
→
＝E
F
→
＋FC
→
＝EC
→
＝OC
→
－OE<
br>→
＝c.
B级 能力提升
1．若|AB
→
|＝8，|AC
→
|＝5，则|BC
→
|的取值范围是( )
A．[3，8]
B．(3，8)
5
C．[3，13]
D．(3，13)
→→→
解析： 因为|BC|＝|AC
－AB
|， →→→→→→
又因为|AB
|－|AC|≤|AC
－AB
|≤|AB|＋
|AC|，
→→→
所以3≤|AC－AB
|≤13，即3≤|BC|≤13.
答案：C
2．对于非零向量a，b，当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||. 解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有
|a－b|＞||a|－|b||，
所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－
|b||.
答案：a与b同向
→→
3．如图所示，?ABCD中，AB＝a，AD＝b.
→→
(1)用a、b表示AC、DB；
(2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
→→→→→→
解：(1)AC
＝AD＋AB＝b＋a，DB＝AB－AD＝a－b.
→→
(2)由(1)知a＋b＝AC
，a－b＝DB
.
因为a＋b与a－b所在直线垂直，
6
所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
(3)假设|a＋b|＝|a－b|，
→→
即|AC
|＝|BD|.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形，所以a⊥b，
所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能．因为?ABCD的两条对角线不可能平行，
所以a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．
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