【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5第1章1.1正弦定理

第1章 解三角形
1.1 正弦定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，已知边长BC＝10，∠A＝30°，∠B＝45°，
则边长AC等于( )
A．202 B.
106
3

C．102 D.
56
3

解析：由正弦定理得
10
sin 30°
＝
AC
sin 45°
，解之得AC＝102.
答案：C
2．在△ABC中，∠A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B等于(
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
42×
3
解析：因为sin B＝
bsin A
2
a
＝
2
43
＝
2
，
所以∠B＝45°或135°.
但当∠B＝135°时，不符合题意，
所以∠B＝45°.

)

答案：C
3．若
abc
＝＝，则△ABC为( )
sin Acos Bcos C
A．等边三角形
B．有一个内角为30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角为30°的等腰三角形
abc
解析：由
＝＝，故sin B＝cos B，
sin Asin Bsin C
sin C＝cos C，
所以B＝C＝45°.
答案：C
4．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝60°，则a∶b∶c＝( )
A．1∶3∶2
C．2∶3∶4
B．1∶2∶4
D．1∶2∶2
解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2.
答案：A
5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A>B
C．A≥B
B．AD．A、B的大小关系不能确定
解析：sin A＞sin B?2Rsin A＞2Rsin B?a＞b?A＞B(大角对大
边)．
答案：A
二、填空题
6．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC

的面积为________．
解析：由正弦定理得
ABBC
＝，解得BC＝6，
sin Csin A
113
所以S
△ABC
＝
AB·BC·sin B＝×6×6×
＝93.
222
答案：93
7．在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c.已知A
π
＝，a＝1，b＝3，则B＝________．
6
π
ab
解析：由正弦定理
＝
.把A＝
，a＝1，
sin Asin B6
3
b＝3代入，解得sin B＝.因为b>a，所以B>A，
2
π
2π
结合题意可知B＝或
.
33
π
2π
答案：或
33
8．在△ABC中，c＋b＝1 2，A＝60°，B＝30°，则b＝________，
c＝________．
解析：由正弦定理知
得b＝4，c＝8.
答案：4 8
三、解答题 ?
π
??
π
?
9．在△ABC中，acos
?
2
－A
?
＝bcos
?
2
－B
?
，判断△ ABC的形状．
????
?
π
??
π
?
解：因为 acos
?
2
－A
?
＝bcos
?
2
－B
?
，
????
sin Bsin C1
＝，即b＝
c，又b＋c＝12，解
bc
2

所以asin A＝bsin B.
ab
由正弦定理可得：a·＝b·，
2R2R
所以a
2
＝b
2
，所以a＝b.
所以△ABC为等腰三角形．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＋C
＝2B.
(1)求cos B的值；
(2)若b
2
＝ac，求sin Asin C的值．
解析：(1)由2B＝A＋C和A＋B＋C＝180°，得∠B＝60°，
1
所以cos B＝
.
2
3
(2)由已知b
＝ac及正弦定理得sin Asin C＝sin
B＝sin60°＝.
4
222
B级 能力提升
一、选择题
b
11．在△ABC中，asin Asin B＋bcos
2
A＝2a，则＝( )
a
A．23
C.3
B．22
D.2
解析：因为asin Asin B＋bcos
2
A＝2a.
由正弦定理可得sin Asin Asin B＋sin Bcos
2
A＝2sin A，
b
sin B
即sin B＝2sin A，所以＝＝2.
a
sin A
答案：D

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，若
2sin
2
B－sin
2
A
3a＝2b，则的值为( )
sin
2
A
1
A．－
9
C．1
1
B.
3
7
D.
2
2sin
2
B－sin
2
A2b
2
－a
2
?
b
?< br>解析：由正弦定理得
＝＝2
?
a
?
2
－1，又3a＝
22
sinAa
??
2sin
2
B－sin
2A
97
2b，所以
＝2×－1＝
.
sin
2
A42
2sin
2
B－sin
2
A
sin
2
B997
所以＝2×－1＝2×－1＝－1＝
.
sin
2
Asin
2
A422
答案：D
二、填空题
π
13．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝，则C的大小为________．
3
ab
解析：在△ABC中，由正弦定理知
＝，
sin Asin B
3
3×
2
1bsin A
即sin B＝＝＝
.
a
32
π
又因为a>b，所以B＝
.
6
π
所以C＝π－A－B＝
.
2
π
答案：
2
14．在△ABC中，a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝________．

解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A＋C＝2B，
π
asin B1
故B＝，由正弦定理知sin A＝＝，
b
32
ππ
又a＜b，因此A＝，从而C＝，即sin C＝1.
62
答案：1
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，
b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．
?
π
?
?
解析：因为sin B＋cos B＝2sin
B＋
4
?
＝2，
??
?
π
?
π
ab
??
所以sin
B＋
4
＝1，解得B＝< br>.由正弦定理
＝得sin A
4sin Asin B
??
1
ππ
＝，因为a＜b，所以0＜A＜B＝
.所以A＝.
246
π
答案：
6
三、解答题
16．在△ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝26，B＝2A，
326
由正弦定理得＝
.
sin Asin2A
2sin Acos A26
所以＝
.
sin A3
故cos A＝
6
.
3

6
(2)由(1)知cos A＝
，所以sin A＝
3
3
1－cos
A＝.
3
2
2
1
又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos
A－1＝.
3
所以sin B＝
在△ABC中，
53
sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
9
asin C
所以c＝＝5.
sin A

22
1－cos
2
B＝.
3