数列求和与递推公式(纯手工,教育培训专用讲义)

数列求和

1
．数列求和的常用方法

（
1
）倒序相加法：类似于等差数列前
n
项和公式的推导方法；

（
2
）分组求和法：适用于等差与等比数列相加减；

（
3
）裂项相消法：适用于
?
?
c
?
?
其中
{
a
n
}
是各项不为
0
的等差数列，
c
为常 数；部分
aa
?
nn?1
?
无理数列、含阶乘的数列等；

（
4
）错位相减法：适用于
?
a
n
b
n< br>?
其中
{
a
n
}
是等差数列，
?
b
n
?
是各项不为
0
的等比数列。


2
．常用结论

（
1
）
?
k?1?2?< br>k?1
n
n
?n?
n(n?1)

2
?(2n?1)?n
2

（
2
）
?(2k?1)?1?3?5?
k?1
（
3
）
111
??

；

n(n?1)nn?1
1、倒序相加
主要思想和等差数列求和一样，首末配对！

111
x
2
f (1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()
＝
______
；

【例
1
】已知
f(x)?
，则
2
234
1?x


1
??
2
?
4
x?
10
?
的值为( ) 【变式训练1】设f(x)＝
x
，则 f
?
＋f＋…＋f
?
11
??
11
??
1 1
?
4＋2
A．5 B．10 C．15 D．20


2、分组求和
1

【例2】已知数列{a
n
}是 3＋2－1,6＋2
2
－1,9＋2
3
－1,12＋2
4
－ 1，…，写出数列{a
n
}的通项公
式并求其前n项和S
n
.





【变式训练
2
】求数列
3
＋
3.裂项相消法
如果 数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消
法求和
.
常用裂项形式有：

111
，
6
＋
2
，< br>……
，
3n
＋
n
的各项的和
.
3
33
1111
111
1111
?(?)

①
n(n?1)
?
n
?
n?1
；

②
n(n?k)
?
k
(
n
?
n?k
)
；

③
n(n?2)2nn?2
2
n
1 1
??
④
n
；

n?1nn?1
(2?1)(2?1)2?12?1
⑤


⑥
n11
??

(n?1)!n!(n?1)!
1111
?[?]

n(n?1)( n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
⑦适当放缩：
1111111
???< br>2
???
；

kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k
2(n?1?n)?
【例
3
】求和：

（
1
）
a
n
?


（
2
）
a
n
?


?
1
?
n?n?1n
22
n?n?1
?2(n?n?1)
. < br>1
，求
{a
n
}
的前
n
项和
Sn
；

n?n
2
1
，求
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
；

(2n?1)(2n?1)
2

（
3
）
a
n
?





（
4
）
a
n
?




1
求
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
；

(3n?2)?(3n?1)
1
3
，求证：
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?
；

n(n?2)
4
（
5
）
a
n
?




1
，求
{a
n
}
的前120
项和；

n?1?n
2
n
（
6
）
a
n
?
n
求
{a
n
}
的前n
项和
S
n
；

(2?1)(2
n?1
?1)




（
7
）
S
n
?




11
??
2?44?6
?
1
.
2n(2n?2)
3

（
8
）求
1?





1111
???
?
?,(n?N
*
)

1?21?2?31?2?3?41?2?3?
?
?n
4.错位相减法 【例
4
】（
1
）已知数列
a
n
?n?2
，求数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
。

n










（
2
）求和
S
n
?










4
135
???
248
?
2n?1
.
n
2

1
、在数列
{a
n
}
中，
a
n
?



2
、设{a
n
}
是公比为正数的等比数列，
a
1
＝2，a3
＝a
2
＋4.

(1)
求
{a
n
}
的通项公式；

(2)
设
{b
n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列，求数列
{a
n
?b
n
}

的前
n
项和
s
n
.








1
n?n?1

，且
s
n
?9

，则
n
＝
_____ .
1a
3
＋b
5
＝21，
3
．设
{a
n
}
是等差数列，
{ b
n
}
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
＝b
1
＝，

a
5
＋b
3
＝13.

( 1)
求
{a
n
}
，
{b
n
}
的通 项公式；

?
a
n
?
(2)
求数列
??< br>的前
n
项和
S
n
.

?
b
n
?





5

1
，且
4
．等差数列
{a
n
}
的各项均为正数，
a
1
＝3
，前
n
项和为
S
n
.{b
n
}
为等比数列，
b
1
＝b
2
S
2
＝64，b
3
S
3
＝960 .

(1)
求
a
n
与
b
n
；

11
?
(2)
求
?
s
1
s
2






?
1
.
s
n
5.已知数列
{a
n
}
的满足条件：
a
1
?t
,
a
n?1
?2a
n
?1
。
(1)判断数列
{a
n
?1}
是否为等比数列；
2
n
(2)若
t?1
，令
c
n
?
,记
T< br>n
?c
1
?c
2
?
a
n
a
n?1
?c
n
，证明：①
c
n
?
11
；②
T
n
?1
.
?
a
n
a
n?1














6

数列递推求通项

?
?
（n＝1），
1．a
n
与S
n
的关系：已知S
n
， 则，则a
n
＝
?

?
?
（n≥2）.
2．已知n与S
n
的关系求a
n
。

3．已知a
n
＋
1
与a
n
的关系求a
n
。


【例1】若数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n
2
－10n，则此数列的通项公式为a
n
＝______________．




【变式训练1】已知下列数列{a
n
}的 前n项和S
n
＝2n
2
－3n，求它的通项公式a
n
＝______________.





【例2 】若数列{a
n
}的前n项和S
n
＝2
n
＋1，则此数列的 通项公式为a
n
＝______________．





【变式训练2】已知数列{a
n
}的前n项和S
n＝2
n
－3，则数列{a
n
}的通项公式为________．







7

< br>（2）数列{a
n
}的前n项积为n
2
，那么当n≥2时，a
n
＝( )
A．2n－1
（n＋1）
2
C.
n
2

【例3】写出下面各数列{a
n
}的通项公式． < br>(1)a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n
＋n＋1；
(2)a
1
＝1，a
n
＋
1
＝3a< br>n
＋2
n＋2
(3)a
1
＝1，前n项和S
n
＝a求a求S
3
n
，
n n

























8




B．n
2

n
2
D.
（n－1）
2

【变式训练3】 写出下面各递推公式表示的数列{a
n
}的通项公式．
(1)a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n
＋
1
；
n（n＋1）
(2)a
1
＝1，a
n
＋
1
＝2n
a
n
；
(3)a
1
＝1，a
n
＋
1
＝2a
n
＋1.












【例4】已知无穷数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，并且
a
n
?S
n
?1(n?N)
，求
?
a
n
?
的通项公
*
式







【变式训练4】数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
?1
，a
n?1
?2S
n
(n?N)
，求数列
{a
n
}
的
通项
a
n
.






9
*

1
、已 知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?2n
2
?3n?1
，求
{a
n
}
的通项公式．< br>



2
、已知
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?3
n
?b
，求
{a
n
}
的通项公式





3、如果数列
{a
n
}
的前
n
项的和
S
n
?



4、已知数列
?
a
n
?
，
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?3n?2
,求
a
n
。




5
、若数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>?1,a
n?1
?a
n
?




6
、已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?





3
a
n
?3
, 那么这个数列的通项公式是？
2
1
，则
a
n
?
.
2
n
2n
a
n
，求
a
n
.
，
a
n?1
?
3n?1
10

7
、已知
a
1
?3
，
a
n?1
?






3n?1
a
n

(n?1)
，求
a
n
.
3n?2
8
、已 知数列
{a
n
}
中，
a
1
?2
，前
n
项和
S
n
，若
S
n
?n
2
a
n
，求
a
n
.





9
、已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?1
，求
a
n
.





10
、在数列
?
a
n
?
中，若
a
1< br>?1,a
n?1
?2a
n
?3(n?1)
，则该数列的通项< br>a
n
?
____________

11