2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)高考真题体验：3-6-3 导数及其应用

1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x
2
＋ax－1)e
x
－
1
的极
值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e
－
3
C．5e
－
3
D．1
[解析] 由题意可得f′(x)＝e
x
－
1
[x
2
＋(a＋2)x＋a－1]．
∵x＝－2是函 数f(x)＝(x
2
＋ax－1)e
x
－
1
的极值点， < br>∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x
2
－x－1)e
x
－
1
，
f′(x)＝e
x
－
1
(x
2
＋x－2)＝e
x
－
1
(x－1)(x＋2)，
∴x∈( －∞，－2)，(1＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－
2,1)时，f′(x) <0，f(x)单调递减，∴f(x)
极小值
＝f(1)＝－1.故选A.
[答案] A
2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x
3
＋(a－1)x
2< br>＋ax.若f(x)为奇函
数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x
C．y＝2x
B．y＝－x
D．y＝x
[解析] ∵f(x)＝x
3
＋(a－1)x
2
＋ax为奇函数，∴ a－1＝0，得a＝
1，∴f(x)＝x
3
＋x，∴f′(x)＝3x
2＋1，∴f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在
点(0,0)处的切线方程为y＝x，故选D.
[答案] D
3．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x
2
＋x)ex
在点(0,0)处的切线方程为
________．

[解析] ∵y′＝3(x
2
＋3x＋1)e
x< br>，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k
＝y′|
x
＝
0
＝3 ，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
[答案] y＝3x
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[证明] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
x－1
1
f′(x)＝
x
＋lnx－1＝lnx－
x
.
1
因为y＝lnx单调递增，y＝
x
单调递减，所以f′(x)单调递增．又
1
ln4－1
f′(1)＝－1< 0，f′(2)＝ln2－
2
＝
2
>0，故存在唯一x
0
∈ (1,2)，使
得f′(x
0
)＝0.
又当x0
时， f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>x
0
时，
f′(x)>0，f(x)单调递增．
因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2) 由(1)知f(x
0
)2
)＝e
2－3>0，所以f(x)＝0在(x
0
，
1
＋∞)内存在唯一根x＝α. 由α>x
0
>1得
α
<10
.
?
1
??
1
?
11f?α?1
又f
?
α
?＝
?
α
－1
?
ln
α
－
α
－ 1＝
α
＝0，故
α
是
????
f(x)＝0在(0，x
0
)的唯一根．
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难
度较小，有时出现 在解答题第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、
极值、最值 问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时
出现在解答题第一问．