高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳讲解

平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a
。
2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||AB 或||a
。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =
。
4.零向量:长度为0的向量。记作:0 。【0
方向是任意的,且与任意向量平行】
5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。
6.相等向量:长度和方向都相同的向量。
7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-
。
8.三角形法则:
AB BC AC += AB BC CD DE AE +++= AB AC CB -=
(指向被减数
9.平行四边形法则:
以,a b
为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b + ,a b - 。

10.共线定理:a b a b λ=? 。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b
与反向。
11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模:若(,a x y = ,则22
||a x y =+ ,22
||a a = ,2||(a b a b +=+
13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=? cos ||||
a b
a b θ?=?
14.平行与垂直:1221a b a b x y x y λ?=?= 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=
题型1.基本概念判断正误:
(1共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。
(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4四边形ABCD 是平行四边形的条
件是AB CD =
。 (5若AB CD =
,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
(6若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7若ma mb = ,则a b =
。

(8若ma na = ,则m n =。 (9若a 与b 不共线,则a 与b
都不是零向量。 (10若||||a b a b ?=? ,则a b 。 (11若||||a b a b +=-
,则a b ⊥ 。
题型2.向量的加减运算
1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b +=
。
2.化简((AB MB BO BC OM ++++=
。
3.已知||5OA = ,||3OB = ,则||AB
的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知AC AB AD 为与的和向量,且,AC a BD b ==
,则AB = ,AD = 。
5.已知点C 在线段AB 上,且35
AC AB = ,则AC = BC ,AB =
BC 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算:2(2533(232a b c a b c +---+-=
2.已知(1,4,(3,8a b =-=-
,则132

a b -= 。
题型4根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC ?中,D 是BC 的中点,请用向量AB
AC ,表示AD
。
2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==
,求AB AD 和。
题型5.向量的坐标运算
1.已知(4,5AB =
,(2,3A ,则点B 的坐标是 。 2.已知(3,5PQ =--
,(3,7P ,则点Q 的坐标是 。
3.若物体受三个力1(1
,2F = ,2(2,3F =- ,3(1,4F =--
,则合力的坐标为 。 4.已知(3,4a =-
,(5,2b = ,求a b + ,a b - ,32a b - 。
5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--
与AB 相等,求,x y 的值。
6.已知(2,3AB = ,(,BC m n = ,(1,4CD =-
,则DA = 。

7.已知O 是坐标原点,(2,1,(4,8A B --,且30AB BC += ,求OC
的坐标。
题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知12,e e
是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: A.1212e e e e +-
和 B.1221326e e e e -- 和4 C.122133e e e e +- 和 D.221e e e - 和
2.已知(3,4a = ,能与a
构成基底的是( A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55-- D.4(1,3
-- 题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA = ,150xOA ∠=
,求OA 的坐标。
2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA = ,60xOA ∠=
,求OA 的坐标。
题型8.求数量积
1.已知||3,||4a b == ,且a 与b 的夹角为60
,求(1a b ? ,(2(a a b ?+ ,
(31(2
a b b -? ,(4(2(3a b a b -?+ 。
2.已知(2,6,(8,10a b =-=-

,求(1||,||a b
,(2a b ?
,(3(2a a b ?+
,
(4(2(3a b a b -?+ 。
题型9.求向量的夹角
1.已知||8,||3a b ==
,12a b ?= ,求a 与b 的夹角。
2.已知(3,1,(23,2a b ==-
,求a 与b 的夹角。
3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。
题型10.求向量的模
1.已知||3,||4a b == ,且a 与b 的夹角为60
,求(1||a b + ,(2|23|a b - 。
2.已知(2,6,(8,10a b =-=- ,求(1||,||a b
,(5||a b + ,(61||2
a b - 。
3.已知||1||2a b == ,,|32|3a b -= ,求|3|a b +
。

题型11.求单位向量 【与a 平行的单位向量:||
a
e a =±
】
1.与(12,5a = 平行的单位向量是
2.与1
(1,2
m =-
平行的单位向量是 。 题型12.向量的平行与垂直
1.已知(1,2a =
,(3,2b =-
,(1k 为何值时,向量ka b +
与3a b -
垂直?(2k 为何值时
向量ka b + 与3a b -
平行?
2.已知a 是非零向量,a b a c ?=? ,且b c ≠ ,求证:(a b c ⊥-
。
题型13.三点共线问题

1.已知(0,2A -,(2,2B ,(3,4C ,求证:,,A B C 三点共线。
2.设2(5,28,3(2
AB a b BC a b CD a b =+=-+=- ,求证:A B D 、、三点共线。
3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-
,则一定共线的三点是 。
4.已知(1,3A -,(8,1B -,若点(21,2C a a -+在直线AB 上,求a 的值。
5.已知四个点的坐标(0,0O ,(3,4A ,(1,2B -,(1,1C ,是否存在常数t ,使O A t O B O
C +=
成立?
题型14.判断多边形的形状
1.若3AB e = ,5CD e =- ,且||||AD BC =
,则四边形的形状是 。
2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,证明四边形ABCD 是梯形。
3.已知(2,1A -,(6,3B -,(0,5C ,求证:ABC ?是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内，
是等腰直角三角形。
合应用 1.已知
行？ 2.已知
，
，且
已知 a与b 同向，
已知
b。 5.已知 ，
，
，当 k 为何值时，向量
， ，求 b 的坐标。
，则
， ，则
，求 a 的坐标。
求证：
题型 15.平面向量的综
与 平
， （1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 m 的范

围； （2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围。
2 ，
角为锐角？
4 ，D(2,1 ， 且 AB DC ，
已知
，当 m 为何值时， （1） a 与 b 的夹角为钝角？（2） a 与 b 的夹
已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为
， 求点 C 的坐标。 8.已知
，B(3,
三个顶
，求 c 的值；

点的坐标分别为 A(3, 4 ， B(0, 0 ， C (c, 0 ， （1）若
（2）若 ，求 sin A 的值。