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2019高考数学-错题重做

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 21:06
tags:高中数学补习

人教版高中数学必修四教材解读-高中数学抛物线及其简单方程知识点


课外补习专用

临近高考,错题重做,前车之鉴,引以为戒.错题重做,因人 而异,应立足于平日之积累.本篇精选考生典
型错误三十余例,以期抛砖引玉.
1.已知a,b∈R,下列四个条件中,使a>b成立的必要而不充分的条件是( )
A.a>b-1 B.a>b+1 C.|a|>|b| D.2>2
【答案】A
【错因】在本题中,选项是条件,而“a>b”是结论.在本题的求解中,常误认 为由选项推出“a>b”,而
由“a>b”推不出选项是必要不充分条件.
ab

2.某几何体及其俯视图如图所示,下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )


【答案】 A
【错因】1.易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错. 2.三种视图中,可见的轮廓线都画成实线,存在但不可见的轮廓线一定要画出,但要画成虚线.画三视图< br>时,一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线,避免出现错误.
【正解】该几何体是由圆柱切割而 得,由俯视图可知正视方向和侧视方向,进一步可画出正视图和侧视图(如
图所示),故选A.

1


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14
3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是
ab
79
A. B.4 C. D.5
22
【答案】 C
【错因】1.解答本题易两次利用基本不等式,如∵a> 0,b>0,a+b=2,∴ab≤
4
≥2
b
4
=4
a b
1
,又ab≤1,∴y≥4
ab

4
2
1
=1.又y=+
a
1
=4.但它们成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4 a,
1
这显然是不能同时成立的,故不正确.
2.使用基本不等式求最值,其失误的 真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不
等式求最值,这三个条件缺一不可.
3.在运用重要不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足重要不等式中
“ 正”“定”“等”的条件.

4.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高 校招生检验表中视力情况进行统计,其结果的频
率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在 0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为( )
(A)20 (B) 17 (C) 15 (D) 100
【答案】A
【错因】混淆频率分布条 形图和频率分布直方图,误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率,导致样
本数据的频率求错. < br>【正解】选A.该班学生视力在0.9以上的频率为(1.00+0.75+0.25)×0.2=0.4 0,所以能报
A
专业的人数
为50×0.40=20.
5.对某商店一个月 内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、
极差分别是 ( )

2


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(A)46 45 56
(B)46 45 53
(C)47 45 46
(D)45 47 53
【答案】A
【错因】本题易出现的错误主要有两个方面:
(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.
【正解】选A. 茎叶图中共有30个数据,所以中位数是第15个和第16个数字的平均数,即 × (45+47)=46,
排除C,D;再计算极差,最小数据是12,最大数据是68,所以68-12 =56,故选A.
6.若指数函数f(x)=a(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最 小值的2倍,则实数a的值为________.
1
【答案】 或2
2
【错因】
1.解决上题易忽视对a的讨论,错认为a=2a,从而导致得出a=2的错误答案.
2.求 函数f(x)=a(a>0,a≠1)在闭区间[s,t]上的最值,应先根据底数的大小对指数函数进行分类. 当
底数大于1时,指数函数为[s,t]上的增函数,最小值为a,最大值为a.当底数大于0小于1时 ,指数函
数为[s,t]上的减函数,最大值为a,最小值为a.
st
st
x
2
x

7.已知f(x)是定义在区间 [-1,1]上的增函数,且f(x-2)?
3
?
【答案】
?
1,
?

2
??
3
【错因】1.上题易忽视函数的定义域为[-1,1],直接利用单调性得到不 等式x-2<1-x,从而得出x<的
2
错误答案.

3


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2.解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f” ,从而转化为熟悉的不等式.若函数y=f(x)
在区间D上是增函数,则对任意x
1
,x
2
∈D,且f(x
1
)2
),有x
1
2
;若函数y=f(x)在区间D上是减函数,
则对任意x
1< br>,x
2
∈D,且f(x
1
)2
),有x1
>x
2
.需要注意的是,不要忘记函数的定义域.
?
?-1≤x-2≤1
【正解】由题意,得
?
?
-1≤1-x≤1
?

,解得1≤x≤2 ①.因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且
3 3
f(x-2)22
8. 函数
y=log
1
(x
2
-5x+6)
的单调递增区间为__________.
2
【答案】(-∞,2)
【错因】忽视对函数定义域的要求,漏掉条件x-5x+6>0.
【正解】由x-5x+6> 0知{x|x>3或x<2}.令u=x-5x+6,则u=x-5x+6在(-∞,2)上是减函数,

y=log
1
(x
2
-5x+6)
的单调增区间为(- ∞,2).
2
222
2
153
9.已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则cos β=________.
714
1
【答案】
2
533π2π
【错因】本题若不能利用sin(α+β)=<将α+β的范围进一步 缩小为0<α+β<或<α+
14233
11171
β<π,误认为α+β∈(0,π ),则会得出cos(α+β)=±,进而得出cos β=或的错误答案.
14298
< br>10.若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛 掷2次,则出现
向上的点数之和为4的概率为________.
1
【答案】 12
【错因】解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等 概念的理
解不深刻,错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,11,12),或者将点数和为4的
事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种,从而导致出错.
【正解】将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x,y),则共可得点坐标的个数为6×6=36, 而向上点

4


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数之和为4的点坐标有(1, 3),(2,2),(3,1),共3个,故先后掷2次,出现向上的点数之和为4的概率P

311
=.故填.
361212
11.已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈ R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是
_________________.
??
1
【答案】
?
λ|λ>-且λ≠2
?

2
??
【错因】误认为θ为锐角?cos θ>0,没有排除θ=0即两向量同向的情况.

12.函数
f
(
x
)=
ax

x

x
-5在R上是增函数,则< br>a
的取值范围是________.
1
【答案】[,+∞)
3【错因】误认为f′(x)>0恒成立是f(x)在R上是增函数的必要条件,漏掉f′(x)=0的情况.
?
?
a>0,
【正解】f(x)=ax-x+x-5的导数f′(x)=3a x-2x+1,由f′(x)≥0,得
?
?
Δ=4-12a≤0,
?
322
32

解得
1
a≥.
3
13.关于x的实系数方程
的最大值为 。
【答案】9
【错因】面对的是一个一元二次方程的根的分布问题,不少学生总想用求根公式求 出它的根,进而使问题
变得复杂,而想到合理的运用三个二次的关系转化为函数问题求解.

5
的一个根在区间[0,1]上,另一个根在区间[1,2]上,则 2a+3b


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【正解】令
区间[1,2]上等价于
,椐题意知,方程的一个根在区间[0,1]上,另一个根在

在直角坐标中作出关于 不等式组的点(a,b)的可行域,则2a+3b的最大值即为目标函数
解,结合图形可知,
1 4.已知函数
f(x)?
是 .
1
【答案】
(0,).

e
的最优
时, 目标函数的最大值为9
1a
m,n
?
,则
a
的取值范围< br>?(a?R)
.若存在实数
m

n
,使得
f(x)≥ 0
的解集恰为
?
x
ex
【错因】多数学生对此题无法入手,头脑中没 有函数,方程与不等式的关系的体系,更没有数形结合的意
识从而导致对问题理解的偏差.

15.已知函数
f(x)?
?
【答案】
9

【错因】面对此题很多学生被它的形式所吓倒,这其实体现出了学生三角公式的记忆和理解较薄弱的事实,
如果解决公式这一题,此题就是一个三角函数的范围问题.
2222
?
1
??
1
?
(1?sinx)(1?sinx)(1?cosx)(1?cosx)?1
??
?1
?
??
【正解】由
f(x)?
?

4444
sinxcosx
?
sinx
??
co sx
?
?
1
??
1
?
?1?1
???,则函数
f(x)
的最小值为 .
44
?
sinx
??
cosx
?
cos
2
x(1?sin
2
x)sin
2
x(1?cos
2
x)1?cos
2
x?sin
2
x?sin
2
xcos
2
x2
?? ??1?

442222
sinxcosxsinxcosxsinxcosx
?1?
88
?1?

(2sinxcosx)
2
sin< br>2
2x
88
??8

sin
2
2x1
2
由正弦函数的图像与性质可知
?1?sin2x?1

sin2x?0< br>,所以
0?sin2x?1
,所以
所以
f(x)?1?8?9
(当且仅当
sin2x??1

2x?

?
2
6
?k
?

x?
?
4
?
k
?
,k?Z
时等号成立).
2


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16.已知< br>?ABC
中,
a,b,c
分别为
?A,?B,?C
的对边,< br>?B?60?,b?2,a?x
,若
c
有两组解,则
x
的取值
范围是 .
【答案】
?
?
2,
?
?
43
?
?

3
?
?
【错因】少数学生想不到运用余弦定理构建等式关系,多数学生得到c和x的关系后就无法处理了,这实
际是一个谁是主元的问题.

17.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=________.
【答案】-
25

5
【错因】江苏对三角公式的要求并不是很多,且不学反三角函数,故不少学生看到此题中并非 特殊角时就
感到很困难.
【正解】f(x)=sin x-2cos x=
5
?
?
?
5
?
25
25
sinx?cosx
?

5
sin(x-φ),其中sin φ=,cos
?
55
?
5
?
φ=
??
5
,当x-φ=2kπ+ (k∈Z)时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ++φ时,函数f(x)取
5
2225
.
5
到最大值,所以cos θ=-sin φ=-
18.如图所 示,在边长为2的正六边形
ABCDEF
中,动圆
Q
的半径为1,圆心在线段
CD
(含端点)上运
动,设向量
AP?mAB?nAF(m,n
为实 数),则
m?n
的最大值为____________.
P
是圆
Q
上及内部的动点,

【答案】5

7


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【错因】多数学生对向量中三点共线则系数和为1 这个结论不清楚,更不说还要灵活运用了,另外学生对
此题中动圆的理解和运用与存在问题.
【正解】我们知道当点
P'
在直线
BF
上时,若
AP'?mAB?n AF
,则
m?n?1
,因此我们把直线
BF

上平移,则< br>m?n
在增大(只要点
P'
在与
BF
平行的同一条直线上,< br>m?n
就不变,也即
m?n
的值随直线
到点
A
的距离 的变化而变化),当
Q

D
重合,这时圆
Q
上有一点到A
的距离最大为5,而点
A
到直线
BF
的距离为1,故
m?n
最大值为5.
19.如图
?ABC
是直角边等于4的等腰直角三角 形,
AM?
D
是斜边
BC
的中点,
1
向量
AM
AB?m?AC

4
的终点
M

?ACD的内部(不含边界),则实数
m
的取值范围是 .
C
D
A

【答案】
B

13
?m?

44
【错因】面对本题中向量的关系,很多学生想不到 揪住一些特殊的位置加以思考问题,这实质上就是填空
题中的特值法的运用.

20 .对任意
x?R
,函数
f(x)
满足
f(x?1)?
前15 项的和为
?
1
f(x)?[f(x)]
2
?
,设
a
n
?[f(n)]
2
?f(n)
,数列
{a
n}

2
31
,则
f(15)?

16
3
【答案】
4

【错因】有些学生一看到函数与数列的 结合题就感到害怕,还有部分学生解题的目标意识不强,得到了
1
a
n?1
? a
n
??,
又不能将问题转化到函数了.
4
【正解】因为
f(x?1)?
1
f(x)?[f(x)]
2
?
,所以
2< br>
8


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111
(f(x?1)?)2
?f(x)?f
2
(x),f
2
(x?1)?f(x?1)? ?f(x)?f
2
(x),

a
n?1
?a
n??,
因此数列
{a
n
}
任意相邻
244
31
11333
2
两项和为
?,
因为
S
15
? a
15
?7?(?)?
?

a
15
??.
因此
f(15)?f(15)??,
所以
f(15)?

44161 64
16
1
11
f(15)?
,又由
f(x?1)?f(x )?[f(x)]
2
?
?,
f(15)?
3
.
4
4
2
2
2
21.已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?a
,其前
n
项和为
Sn
,且满足
S
n
?S
n?1
?3n
?
n…2
?
.若对任意的
n?N
*

a
n
? a
n?1
恒成立,则
a
的取值范围是 .
【答案】
?
?
915
?
,
?

4 4
??
2
【错因】不少学生不会处理
S
n
?S
n? 1
?3n(n?2)
这个条件,部分学生得到了
a
n?1
?a
n
?6n?3
,不能想
到再写出一个类似的式子就有突破口了.

22.观察下列不等式:
1
?
_________.
【答案】1?
1311`511`17
?
,1
???
,1
??< br>2
?
2
???
,
照此规律,第五个不等式为
2222
222332344
11`11111
????
2
?,
< br>2222
234566
【错因】本题在解答中容易出现以下错误:(1)对于给定的式子 ,只观察其结果,而不去继续探究下面几个
式子,从而找不到正确的规律而误解.(2)错误地以为:第 几个式子,其左边的最后一项的分母就是几的平
方,从而,错误地得到第五个不等式为
1
?
【正解】左边的式子的通项是
1?
11`119
??????
,

2222
23455
11`11
???
?
?
,右 边的分母依次增加1,分子依次增加2,
2
2
3
2
4
2(n?1)
2
还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不等式为
1?
23.记f(x)=

11`11111
?????,
< br>2
2
3
2
4
2
5
2
6
2< br>6
2-
x+3
的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)] (a<1)的定义域为B.若B?A,求实
x+1
9


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数a的取值范围.
1
【答案】(-∞,-2]∪[,1).
2
【错因】 在求解含参数的集合间的包含关系时,忽视对区间端点的检验,导致参数范围扩大或缩小.

7π3
2
24.下已知函数f(x)=2cosx-sin(2x-),若△ABC中,满足 f(A)=,b+c=2,求边长a的取值范围.
62
【答案】[1,2)
【错因 】本题中有两点易错:确定角A时忽视范围;求边长a的取值范围中忽视三角形中两边之和大于第
三边.
π3
【正解】由题意,f(A)=sin(2A+)+1=,
62
π1
化简得sin(2A+)=.
62
因为A∈(0,π),所以2A+
ππ13π
∈(,),
666
π5ππ
所以2A+=,所以A=.
663
π
2222
在△ABC中,a=b+c-2bccos =(b+c)-3bc.
3
b+c
22
由b+c=2,知bc≤()=1,即a≥1,
2
当且仅当b=c=1时取等号.

10


课外补习专用
又由b+c>a得a<2,
所以a的取值范围是[1,2).
25.等比数列{a
n
}(a
n
>0)满足a
1
-a
5
=90,a
2
-a
4
=36,求a
5
,a
7
的等比中项.
【答案】±3.
?
1
?
55
【错因】1.误认为a
5
,a
7
的等比中项是a
6
,故a
6
=a
1
q=96×< br>??
=3.
?
2
?
2.要明确同号两数的等比中项G有两个 且互为相反数,若G为a,b的等比中项,则G=±ab.
【正解】 设该等比数列的公比为q,首项 为a
1
,因a
1
-a
5
=90,a
2
-a
4
=36得:
?
?
a
1
-a
1
q=90,
?
3
?
?
a
1
q-a
1
q=36,
4

a
1
=96,
?
?
解得
?
1
q=
?
?
2

?
?
a
1
=-6,

?
?
?
q=2.

(舍)
?
1
?
102462102
令G是a
5< br>,a
7
的等比中项,则应有G=a
5
a
7
=a
1
q·a
1
q=a
1
q=96×
??
=9, < br>?
2
?
所以a
5
,a
7
的等比中项是±3.
26.设数列{a
n
}是等比数列,其前n项和为S
n
,且S
3
=3a
3
,求此数列的公比q.
1
【答案】1或-.
2
【错因】 1.易忽视q=1这一情况,从而得出错解.
2.在用等比数列求和公式求和前,先看公比 q,若其中含有字母,就应按q=0,q=1,q≠0且q≠1讨论.

27.某在棱长为 2的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别为DD
1
,DB的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC
1
D
1

(2)求证:EF⊥B
1
C.
【答案】见解析.
【错因】利用空 间线面关系的判定或性质定理证题时,推理论证一定要严格按照定理中的条件进行,否则
出现证明过程不 严谨的问题.
【正解】证明 (1)连接BD
1
,如图所示.

11


课外补习专用

在△DD
1
B中,E,F分别为DD
1
,DB的中点,则

?
EF∥D
1
B
?
?
D
1
B?平 面ABC
1
D
1
?
?EF∥平面ABC
1
D
1
.
EF?平面ABC
1
D
1
?
?
( 2)ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
为正方 体?AB⊥平面BCC
1
B
1


B
1
C ⊥AB
1
?
?
BC⊥BC
?

AB,BC?平面A BCD
?
?
AB∩BC=B
1
111
1


?B
1
C⊥平面ABC
1
D
1
?
?
?

?
BD
1
?平面ABC
1
D
1
?
?B
1
C⊥BD
1
?
?
?
?E F⊥B
1
C.
?
EF∥BD
1
?
2
28. 已知抛物线y=4x的焦点为F,过F作两条相互 垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.求
证:直线MN恒过定点.
【答案】见解析.
【错因】直线恒过定点是指无论直线如何变动,必有一个定点的坐标适合这 条直线的方程,问题就归结为
用参数把直线的方程表示出来,无论参数如何变化这个方程必有一组常数解 .本题容易出错的地方有两个:
一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误;二是在得到了直线系MN 的方程后,对直线恒过定点的思路
不清,找错方程的常数解.

12


课外补习专用

29.已知函数
f
1
( x)?
mx1
x?m

f(x)?()
,其中m∈R.
2
4x
2
?162
(1)若01
(x)+f
2
(x)
?
x?[2,??)
?
的单调性,并证明你的结论;
(2)设函数
g(x)?
?
?
f
1
(x),x≥2, 若对任意大于等于2的实数x
1
,总存在唯一的小于2的实数x
2
,使 得
?
f
2
(x),x?2.
g (x
1
) = g (x
2
) 成立,试确定实数m的取值范围.
【答案】(1)单调减函数,(2)(0,4).
【错因】第一问中学生首先不知道要将绝对 值去掉,更多的学生求出导数后不知道如何判断出导数的符号,
第二问中大多数学生无法正确的对m进行 分类讨论,绝大多数学生没有想到先显然可以排除m小于等于零
这种情形.

13


课外补习专用

(2)①若m≤0,由x1≥2,
g(x< br>1
)?f
1
(x
1
)?
mx
1
≤0

2
4x
1
?16
x2<2,
g(x
2
)?f
2
(x
2
)?()
1
2
|x
2
?m|
?0

所以g (x1) = g (x2)不成立.
2
m(4?x)
?0
, ②若m>0,由x>2时,
g
?< br>(x)?f
1
?
(x)?
(2x
2
?8)
2
所以g(x)在
[2,??)
单调递减.从而
g(x
1
)? (0,f
1
(2)]
,即
g(x
1
)?(0,
m< br>]

16
(a)若m≥2,由于x<2时,
g(x)?f
2
(x)?()
|x?m|
?()
m?x
?()
m
? 2
x

所以g(x)在(-∞,2)上单调递增,从而
g(x
2< br>)?(0,f
2
(2))
,即
g(x
2
)?(0,( )
m?2
)

要使g (x1) = g (x2)成立,只需
由于函数
h(m)?
所以2≤m<4.
1
2< br>1
2
1
2
1
2
m1m1
?()
m? 2
,即
?()
m?2
?0
成立即可.
162162
m1
m?2
?()

[2,??)
的单调递增,且h(4)=0,
162

14


课外补习专用

30. 在△
ABC
中,角
A

B

C
所对的边分 别为
a

b

c
,已知
sinA?sinC?p? sinB

p?R
),且
1
2
b

4< br>5
(1)当
p?

b?1
时,求
a

c
的值;
4
ac?
(2)若
B
为锐角,求实数
p
的取值范围.
1
?
a?1,
?
?
6
?
??
a?,
??
. 【答案】(1)
?
或;(2)
p?,2
4
1
?
?
2
?
c?
??
??
4
?
c?1.

?
【错因】第一问中少数学生不知道运 用正弦定理将条件化角为边,但很多学生出现了少一组解的问题;第二
问中不少学生不能想到正确运用余 弦定理求出p的表达式,角的范围是一个很大的错误.
【正解】
(1)由正弦定理得,
a?c?pb
,所以
a?c?
5
, (2分)
4
15


课外补习专用
1
?
a?1,
?
??
a?,
1

ac?
,所以
?
(少一组解扣1分)
4
(5分)
1

?
4
c?
?
4
?
??
c?1 .

31.已知向量
m?(cosx,?1),n?(3sinx,?)
, 设函数
f(x)?(m?n)?m
.
(1).求函数f(x)的最小正周期; (2).已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,
c?3,且
f(A)
恰是函数f(x)在
1
2
[0,]
上的最 大值,求A,b和三角形ABC的面积.
2
【答案】(1)
?
;(2)A?
?
?
6

b?1

b?2
S?
33

S?
.
42
【错因】第一问中的错误主要 集中在运用用三角公式时,所引入的辅助角是
考查的知识点比较多,故部分学生出现了乱用的现象.
【正解】
(1)
f(x)?(m?n)?m
?cosx?3sinxcos x?
2
?
?
还是的问题;第二问中所
63
31?cos2x 33
??sin2x?

2222
?
13
?
??< br>cos2x?sin2x?2?sin
?
2x?
?
?2
4分
226
??
2
?
?
?
. 6分
2
因为
?
?2
,所以最小正周期
T?

16


课外补习专用
(2)由(1)知
f(x)?sin< br>?
2x?
?
?
?
?
??
7
?
?
?
?
.
?
?2
,当
x?
?
0,
?
时,
?2x??
2
6
?
666
??
由正弦函数图象可知,当
2x?
所以
2A?
?
6
?
?
2
时,
f(x)
取得最大值
3
,又
A< br>为锐角
?
6
?
?
2
,A?
?
6
. 8分

32.已知函数
f(x)?
1
2x?3
?
, 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?f(),n?N

a
n
3x
(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)令
b
n
?
数m.
【答案】(1)
?an
?
1
a
n?1
a
n
(n?2),b
1
?3,S
n
?b
1
?b
2
?????b
n
,若
S
n
?
m?2004
对一切
n?N
?
成立,求最小正整
2
21
(2)
m
最小
?201 3

n?

33
【错因】第一问中学生代入后无法灵活运用等差数 列的定义,使得问题无法进行下去了,也有出现不作任
何交代直接就用的问题,第二问中部分学生不知道 运用裂项相消的方法进行数列求和,多数学生不能将数
列问题和函数问题结合起来研究问题.
【正解】
(1)
?
1
?
2?3a
n
2< br>a
n?1
?f
??
??a
n
?

3 3
?
a
n
?
2
?
?
a
n
?
是以为公差,首项
a
1
?1
的等差数列
3

17


课外补习专用
?a
n
?
21
n?

33
(2)当
n?2
时,
b
n
?
119
?
11
???
?
?

1
??
21
?
2
?
2n?12n?1
?
a
n
a
n?1
?
2
?
?
n?
?
?
?
n?
?
3
??
32
??
3

33.设
f(x)?e?ax?a
.
(Ⅰ)若
f(x)?0
对一切
x??1
恒成立,求
a
的取值范围;
(Ⅱ)设
g (x)?f(x)?
x
a
,且
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
)(x
1
?x
2
)
是曲线
y?g(x)
上任意两点,若对任意的
a??1
,
x
e
直线AB的斜率恒大于常数
m
,求
m
的取值范围; < br>(Ⅲ)求证:
1?3?
nn
?(2n?1)
n
?
e< br>(2n)
n
(n?N
*
)
.
e?1
【答案】(Ⅰ)
a?1
;(Ⅱ)
m?3
;(Ⅲ)详见解析
【错因】第一问中这个恒 成立问题学生的主要问题主要出现在一个细节上:运用参数分离时不知道一定要
单独考虑一下端点问题; 第二问中绝大多数学生无法想到去构建一个新的函数:
F(x)?g(x)?mx
,第三问中不等于的证明绝大多数学生无法想到第一问中的结论再结合放缩法进行对不等于的证明.
【正解】
e
x
(x??1)
(Ⅰ)
f(x)?0?
(x?1)a?e?a?
x?1
x

18


课外补习专用
xe
x
e
x

h( x)?
,则
h
?
(x)?

2
(x?1)
x?1
xe
x
?0

x?0
.所以
h(x)

(0,??)
上单调递增,
h(x)

(?1,0)
单调递减. 由
h
?
(x )?
2
(x?1)
所以
h(x)?h(0)?1(x??1)

由此得:
a?1


x??1
时,
(x?1)a? e
即为
0?a?e
?1
此时
a
取任意值都成立
综上得:
a?1

x

(Ⅲ)由(Ⅰ) 知
e?x?1(x?0
时取等号),
?
i
i
?e

x??
,
i?1,3,?2n?1,

1?
2n
2n
i
?
2n?i
n
)?e
2
累加得 即(
2n
132n?32n?1
????
2n?1
n
2n ?3
n
5
n
3
n
1
n
()?()???? ?()?()?()?e
2
?e
2
?????e
2
?e2

2n2n2n2n2n
i
2n
x



19


课外补习专用
1
2
e(1?e< br>?n
)ee
?n
??(1?e)?

?1
1?ee?1e?1
所以
1?3?5?????(2n?1)?

nnnn
?
e
(2n)
n

e?1

20

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