高中数学竞赛培训 函数的基本性质(二)函数的周期性 Word版 含答案

函数的基本性质(二)
基础知识：
函数的周期性
如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得
f(x＋T)＝f(x)
恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期. 一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N
＋
)也是f(x)的周期.
关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编)
例题：
1． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝－f(x)
所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
＝－f(x＋m)
＝f(x)
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
2． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝f(x－m)
令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m
于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立，
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
3． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f( x＋m)＝
证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
1?f(x)
,求证:2m是f(x)的一个周期.
1?f(x)
1?f(x?m)
1?f(x?m)
1?f(x)

1?

1?f(x)
?
1?f(x)
1?
1?f(x)
?
＝f(x)
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
4． 已知函数f(x)对任意实数 x,都有f(x＋m)＝－
1?f(x)
,求证:4m是f(x)的一个周期.
1?f(x)

证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
1?f(x?m)
1?f(x?m)
1?f(x)
1?
1?f(x)

??

1?f(x)
1?
1?f(x)
1
??f(x)
??
于是f(x＋4m)＝－
1
＝f(x)
f(x?2m)
所以f(x)是以4m为周期的周期函数.
5． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x),
求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b)
证明：不妨设a＞b
于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b))
＝f(a－(x＋a－2b))
＝f(2b－x)
＝f(b－(x－b))
＝f(b＋(x－b))
＝f(x)
∴ 2(a－b)是f(x)的一个周期
当a＜b时同理可得
所以，2|a－b|是f(x)的周期
6． 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有
f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)
若f(0)＝2004，求f(2004)
解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)
所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)
两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)
即：f(x＋3)＝－f(x)
∴ f(x＋6)＝f(x)
f(x)是以6为周期的周期函数
2004＝6×334
∴ f(2004)＝f(0)＝2004