上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第十讲球的体积及球面距离

沪教版数学高二下春季班第十讲
课题
球的体积及球面距离
单元 第十五章 学科 数学 年级 十一
1．理解球的有关概念，掌握球的性质及有关公式；
学习
2．理解球面距离的概念，会计算常见的球面距离；
目标
3．解决常见的与球有关的计算问题．

重点
1．球面距离的计算方法；
2．球的表面积与体积的计算问题；
3．掌握常见的球内接与外切问题的解决方法
难点 掌握常见的球内接与外切问题的解决方法

教学安排

1
2
3
4
5



版块
知识梳理
例题解析
巩固训练
师生总结
课后练习
时长
30
60
20
10
30
球的体积及球面距离



知识梳理

1、球的定义：
半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做球，记作球< br>O
。半圆绕着它的直径
旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球． 大家要注意球面和球是不同的两个
概念．点
O
到球面上任意点的距离都相等，把点O
称为球心，原半圆的半径和直径分别成为球的半
径和球的直径。球面被过球心的平面所截 得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，
叫做球的小圆．

2、球的性质： < br>球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，
则：r=
R?d

22

圆的主要性质 球的主要性质
1
平面内与定点距离等于定长的点集
（轨迹）
空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面
2
同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2
倍
同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍
3
与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径
2
＝圆心
到弦距离＋弦长的一半 22
与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径＝球
22
心到截面圆距离＋截面 圆的半径
2
4
不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直
径，是最大的弦
不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小
于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截 得的
是球的大圆，是最大的截面圆
5
过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面
6
圆周长＝2π×圆半径

大圆周长＝2π×球半径
4
3、球的表面积、体积公式：表面积：
S?4< br>?
R
2
；球的体积公式：
V?
?
R
3
．
3

4、球的体积公式
高中数学教材对球的体积公式
V球
?
4
3
?
r
(
r
为球的半径)作了 要求，但只是简单地说“利用祖暅
3
原理和圆柱、圆锥的体积公式”可得出此公式，未作具体推 导.
鉴于部分学有余力的学生想了解其推导过程，现提供几种用高中数学知识就可推导的方法.

方法一:利用祖暅原理
为方便起见，现只计算半球的体积.正如教材中所说的方法 ，利用祖暅原理关键是要构造一个和
半球等高且横截面面积处处相等的几何体.
如图1，

在一个底面半径为
r
、高为
r
的圆柱中挖去一个底面半径 为
r
、高为
r
的圆锥，
则距离下底面
h
的横截面 为一圆环，面积为
?
r?
?
h
.
又半球距离下底面
h
的横截面为一个圆，由勾股定理，半径为
r?h
，面积也为
?
r ?h
因此，所构造几何体的体积与半球的体积相等，为圆柱的体积减去圆锥的体积，
22
22
?
22
?
.
1
2
2
?
r?r?
?
r
3
， < br>33
4
3
所以球的体积为
V
球
?
?
r
.
3
即
?
r?r?
2
方法二：把球分割成无穷多个小圆柱
高中生已经学过极限的知识，可以尝试这个方法.同样，只计算半球的体积. 如图2，
< br>r
的圆柱.这些
n
2
22
??
????
n? 1r
??
??
?
r
??
2r
?
2
22
2
圆柱的底面积分别为
?
r
，
?
?
r ?
??
?
，
?
?
r?
?
?
?所以这些圆
?
?
，
L
,
?
?
r??
?
n
?
?
?
n
?
?
???
?
n
?
?
????
??
把半球的高
n
等分，作
n
个半球的横截面，再以这些横截面为底面，作
n
个高 为
柱的体积之和是
2
22
??
r
n?1r
??< br>??
r2r
????
2222
V
n
?
??
?
r?r?
??
?r?
??
?
L
? r?
??
?
?

n
?
n
??
n< br>?
?
?
n
?
?
??
?
2
r
2
22
2
?
r
?
?
?nr?1?2?L
?n?1

??
?
?

?
2
n
??
n
??

?
?
r?
?
1?
3
?
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
?

?
n6
?
3
?
11
?

??
r?
?
3
1
??
21
??
2
?

?
32n6n
?
n??
当
n??
时 ，圆柱体积之和就无限趋近于半球的体积，即
limV
n
?
2
3?
r
，所以球的体积为
3
4
V
球
?
?
r
3
.
3
方法三、把球分割成无穷多个小圆锥
把球面近 似分成
n
个部分，当
n??
时，每个部分可看做一个圆.以这些圆为底面，以 球心为顶
点做圆锥，则所有圆锥体积的和即为球的体积.
如图3.
B
A
R
?
R
O

设每个圆的面积为
S
1
,S
2
,L,S
n
，则所有圆锥体积的和为
1111
S
1
r?S
2
r?L?S
n
r?r?
S
1
?S
2
?L?S
n
?

3333
又球的表面积为
lim
?
S
1
?S
2< br>?L?S
n
?
?4
?
r
2
，所以球的体积为
n??
14
limr
?
S
1
?S
2
?L?S
n
?
?
?
r
3
.
n??33
这种推导方法比较简单易懂，但需要用到球的表面积公式，而他无法用高中数学知识推导，顾此
方法的说服力不如前两种方法.
4、经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆
纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆 O
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与
0
经线及轴确定的 半平面所成的二面
角的度数
o
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数
5、球面距离：球面上两点之间的最短距离，也是过两点的大圆的圆弧（劣弧）长度．
（1） 两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣
弧的长度，我们 把这个弧长叫做两点的球面距离 即：
l?R
?
(
?
为球心角的弧度数)．

（2）半球的底面： 已知半径为
R
的球O
，用过球心的平面去截球
O
，球被截面分成大小相等
的两个半球，截面 圆
O
（包含它内部的点），叫做所得半球的底面．



1、球的概念与球的截面
【例1】① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；
② 过球面上两点只能作一个球大圆； ③ 过空间四点总能作一个球；
④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例题解析
【难度】★
【答案】C

【例2】已知半径为
5
的球的两个平行截面的周长分别为
6
?
和
8
?
，则两平行截面间的距离为（ ）
A．
1
B．
2
C．
1
或
7
D．
2
或
6

【难度】★
【答案】C

【例3】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求
图 中三角形（正四面体的截面）的面积。

【难度】★★
【答案】如图，
?ABE
为题中的三角形，

由已知得
A B?2
,
BE
?
2?
3223
?3
，
BF
?
BE?
，
AF?
233
AB
2
?BF< br>2
?4?
48
?
，
33
∴
?ABE
的面积为
S?

118
?BE?AF??3??2

223

【例
4
】已知正
段的中点，过点
【难度】★★
【答案】


三个顶点都在半径为
2
的球面上，球心到平面
作球的截面，则截面面积的最小值是
________
．

的距离为
1
，点是线
9
?

4
【巩固训练】
1．判断正误
（1）过球的一条直径的大圆有无数个；（ ）
（2）过球面上三点的大圆仅有一个；（ ）
（3）球面上两点
A,B间的直线段距离叫做
A,B
两点的球面距离；（ ）
（4）通过球面上两点
A,B
的大圆劣弧长叫做
A,B
两点的球面距离；（ ）
（5 ）
A,B
两点的球面距离是球面上连接
A,B
两点的最短路径；（ ）
（6）
A,B
两点在半径为
R
的球面上，
O
为球心 ，若
?AOB?
?
(0?
?
?2
?
)
，则
A,B
两点的球面距
离为
?
R
． （ ）
【难度】★
【答案】
1．√ 2．╳ 3．╳ 4．√ 5．√ 6．╳

2．已知球的表面积为
2500
?
，有两个平行截面的面积分别为
49
?
、
400
?，则这两个平行截面间的
距离为 。
【难度】★★【答案】9或39

3．过球
O
表面上一点
A
引三条长度相等的弦
AB
、
AC
、
AD
，且两两 夹角都为
60?
，若球半径为
R
，
求弦
AB
的长度 ．
【难度】★★
【答案】由条件可抓住
A?BCD
是正四面体，
A
、
B
、
C
、
D
为球上四点，则球心在正四面体中
心，设
AB?a
，则截面
BCD
与球心的距离
d?
63
a?R
，
a
，过点
B
、
C
、
D
的截面圆半径
r?
33
所以
(





3
2
626
a)?R
2
?(a?R)
2
得
a?R
．
333

4．如图，AB是球O的 直径，C、D是球面上两点，且点D在以BC为直径的小圆上，设小圆所在的
平面为
?
．
（1）求证：平面ABC
?
?
；
（2）设D为BC弧的中点，AD与平面
?
所成角为
?
，过球的半径OD


A
O
B
D
E
C

且垂直于截面BC弦于点E，求△OED与过OD的截面圆的面积之比．
【难度】★★
【答案】
21

7
【解析】（1）取BC的中点O
1
，连OO
1
，因为O
1
是以BC为直径的圆的圆心，
则OO
1
⊥BC，D为圆周上的一点。
??OO
1
D?? DO
1
B,即?DO
1
B??OO
1
D,?DO
1
?OO
1
,即OO
1
?底面BCD,又因为
OO
1
?面ABC所以面ABC?面BCD,即面ABC?
?

（2）因为⊿B OC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM，
可证得OH⊥面 ABC即OH是O到截面ABC的距离。
?OM?
37AO?OC21
（另：利用等体积法也可求得）
,AM?,?OH??.
22AM7
2、经纬度与球面距离
【例5】球面上 有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
为
4
?
，求这个球的半 径．
【难度】★
【答案】设球的半径为
R
，小圆的半径为
r，则
2
?
r?4
?
，∴
r?2
．
如 图所示，设三点
A
、
B
、
C
，
O
为球心，
1
，经过3个点的小圆的周长
6
?AOB??BOC??COA?
等 边三角形，
2
??
?
．
63
又∵
OA?OB< br>，∴
?AOB
是等边三角形，同样，
?BOC
、
?COA都是
33
AB?R
，
33
得
?ABC
为等边三 角形，边长等于球半径
R
．
r
为
?ABC
的外接圆半径，< br>r?
R?

3
r?23
．
3
【例6】设地 球半径为
R
，在北纬
45
圈上有
A
，
B
两 地，它们在纬度圈上的弧长等于
?
2
求
A
，
?
R< br>，
4
B
两地间的球面距离.
【难度】★
【答案】如图所示 ，
A,B
是北纬
45
圈上的两点，
OA
为它的半径， ∴
OO?
⊥
AO?
，
OO?
⊥
BO?
∵
?AOO?
＝
???O?
＝
45
，
∴< br>AO?BO?OA?cos45
=
??0
?
?
0
??
??
222
?AO
'
＝
R
；则
?R
＝
?
R
；
180
2
180
24

2
2
2
2
R?R
=
R
.
22
0
在
?AOB
中,
AO?BO?AB?R
则
?AOB
为正三角形，∴
?AOB?60
;
60
?
R
?
∴
A,B
两点间的球面距离为
?R

180 3
∴
?
＝
90
；∴
AB?
0
AO?
2
?B0?
2
＝

【例7】
在地球本初子午线上有两点
A,B
。它们的纬度差为
90
?
，若地球半径为
R
，求
A,B
两点间
的球面距离。
【难度】★
【答案】如图所示， 设
O
为地球球心，由题意可得
?AOB?90，
故
?
AB?

?
?
R
2
。
???
【例8】
设地球上两点
A
,
B
，其中
A
位于北纬
30
，
B
位于南纬
60
，且
A
、
B
两点的经 度差为
90
，
求
A
、
B
两点的球面距离。
【难度】★★
【答案】如图所示，设
O,O
1
,O
2
，分别为地球球心、
北纬
30
纬线圈的圆心和南纬
60
纬线圈的圆心。
??
?OBO
2
?60，
连结
AO
1
,O
1
O
2
,AO,OB,AB,O
2
B
??OAO
1
?30，

??

?O
1
A?
31R3 R
R
,
O
1
O?R,BO
2
?，OO
2< br>?
，则
BO
2
?O
1
O
2
,AO< br>1
?O
1
O
2
由异面直线上两
2222
点间 的距离公式得
AB
2
?O
1
O
2
?O
1< br>A
2
?O
2
B
2
?2O
1
A?O< br>2
Bcos90
?
?
2
8?23
R
4
?
?
OA
2
?OB
2
?AB
2
333
?
??

cos?AOB?????AOB?
?
?a rccos
?AB?R
?
?
?arccos
2?OA?OB444
?
??
?
3
?
??
即
A,B两点的球面距离为
?AB?R
?
?arccos
?
4
?
??
?

【巩固训练】
1．若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离 为
?
R
，则北
3
纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为
【难度】★【答案】
3

3
2．
在地球北纬
?度圈上有两点
A.B
，它们的经度差为
?
度，若地球半径为
R< br>，求
A.B
两点间的球
面距离。
【难度】★
【答案】设< br>?
度的纬线圈的圆心为
O
1
，半径
O
1
B< br>为
r
，则
r?Rcos
?
。依题意
?AO
1
B?
?
。取
AB
的中点
C
，则
BC?Rc os
?
sin

?
2
。
?
?
? ?
1
?
BC
?
Rt?BOC中，sin
?
?AOB
?
??cos
?
sin??AOB?2arcsin
?
co s
?
sin
?

22
??
2
?
R
?
?
??
?A.B两点的球面距离为
2Rarcsin
?< br>cos
?
sin
?

2
??
3．地球半 径为
R
，
P
地位于经度
0
?
，北纬
45< br>?
；
Q
地位于纬度
0
?
，东经
135
?
。
（1）地球自转6小时，
P
地旋转了多少路程？
（2）求
P、Q
两地的球面距离．
【难度】★★
【答案】
Q
O
1
O
P
2
2
?
R
?
R
；
4
3
2
R
，地球自转6小时，
2
Q
两地的位置如图所示。 【解析】设纬度
0
?
的大圆圆 心为
O
，北纬
45
?
的小圆圆心为
O
1
。
P、
（1）易知
O
1
P?R?cos45
?
??
2
?
2
，则它所经过的路程为
R??
?
R< br>。
2
224
Q
可看作异面直线
O
1
P与
OQ
上的两点，
OO
1
是异面直线
O
1P
与
OQ
的公垂线段。 （2）
P、
P
地在北纬
45
?
的小圆圆周上旋转的圆心角为
过
P
作大圆的垂线，垂足为
R
，则
1
2
1
2
22
R?R?R
2
?2?R?R??3R
2
，
2222
2
?
2
?
R
Q
两地的球面距离为∴PQ?3R
，则
?POQ?
，故求
P、
。
33
PQ
2
?PR
2
?QR
2
?PR
2
?O R
2
?OQ
2
?2OR?OQ?cos135
?
?

4．地球上
A,B
两地分别在北纬< br>60
?
和
30
?
的纬度圈上，且经度差为
90
?
，设
R
为地球半径，求
A,B
两
地之间的球面距离．
【难度】★★
【答案】
A,B
两地之间的球面距离为
Rarccos

3
。
4

3、球的表面积与体积
【例9】长方体的一个 顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面
积是 （ ）
A20
2
π B25
2
π C
50π D200π
【难度】★【答案】C
52
∴S
球
=4π×R
2
=50π

2
【例10】已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积< br>最大?侧面积的最大值是多少?
【解析】设球的半径为R，则（2R）
2
=3
2
+4
2
+5
2
=50，∴R=
【答案】下图为轴 截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，
h
则（）
2
＋r
2
=R
2
，
2
即h=2
R
2
?r
2

B
C< br>h
2
R
A
O
∵S=2πrh=4πr·
R
2
?r
2
=4π
r
2
?(R
2
?r
2
)

(r
2
?R
2
?r
2
)< br>2
≤4π=2πR
2
，
2
取等号时，内接圆柱底面半径为

【例11】点
A,B,C,D< br>在同一个球的球面上，
AB?BC?
大值为
2
R，高为
2R
2
2,AC?2
，若四面体
ABCD
体积的最
2< br>，则这个球的表面积为( )
3
A.
125
?
25
?
25
?
B.
8
?
C. D.
6416
【难度】★★
【答案】
C

【解析】如图所示，
O
为球的球心，由
AB?BC?2,AC?2
可知
?ABC?
?
2
，即
?ABC
所在的
小圆的圆心
O
1
1
为
AC
的中点，故
AO
1
?1，S
?ABC< br>?1
，当
D
为
OO
1
的延长线与球面的交点时，D
到

平面
ABC的距离最大，四面体
ABCD
的体积最大.连接
OA
，设球的半径为R
，则
112
5
DO
1
?R?R
2
? 1
，此时
V
ABCD
??S
?ABC
?DO
1?R?R
2
?1?
，解得
R?
,故这个球的
4
333
25
?
5
?
?
. 表面积为
4
?
??
＝
4
4
??

【例12】已知三棱锥
P?ABC
内接于球
O
，三条侧棱两两垂直且长都等于 1，求球的表面积和体积．

【难度】★★★
【答案】

P

C

O
1

B
2
?
?
3
?

2
【解析】设
?A BC
的中心为
O
1
，则
P,O
1
,O
三点 共线，设直线
PO
交球面于
Q
，连接
QB
。
因为三条侧棱两两垂直且长都等于1，所以
AB?BC?CA?2
，
从而< br>BO
1
?
63
36
，
PO
1
?PB
2
?BO
1
2
?1??
。
AB?
93
33
2323
。
??O
1
Q?O
1
Q?
333
A

O
?


Q
易知
BO
1
是直角
?PQB
斜边上的高。
由射影 定理，
BO
1
2
?PO
1
?O
1
Q
，即
34
?
r
3
3
?
2
设球的半径为< br>r
，则
2r?PQ?PO
1
?O
1
Q?3?r?。所以
S
球
?4
?
r?3
?
，
V球
?
。

?
222

【巩固训练】
1．如果球的大圆的面积增大为原来的
100
倍，那么球的体积增大为原来的 ( )
A．
10
2
倍 B．
10
3
倍 C．
10
4
倍 D．
10
6
倍
【难度】★
【答案】B

2． 64个直径都为
a
的球，记它们的体积之和为
V
甲
，表面积之和为< br>S
甲
；一个直径为
a
的球，记其体
4
积为
V
乙
，表面积为
S
乙
，则（ ）
A．
V
甲
?V
乙
且S
甲
?S
乙
B．
V
甲
?V
乙
且S
甲
?S
乙

C．
V
甲
?V
乙
且S
甲
?S
乙
D．
V
甲
?V
乙
且S
甲
?S
乙

【难度】★★
【答案】C

3．如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与 母线相等）的体积相等，求它们的表面积
S
球
，S
正方体
，S
圆柱
的大小关系．
【难度】★★
【答案】设球的半径为R、正方体的棱长为a , 等边圆柱的底面半径为r, 且它们的体积都为V,

则：
V
4
?
?
R
3
?a3
?2
?
r
3
,
?R?
3
3V
,

a?
3
V,

r?
3
V
．
3
4
?
2?
?< br>3V
?
333
222
?4?
3
??
?36? V,S
正表
?6V?36?6V

?
4?
?
22

?
S
球表
S圆柱表
2
?
V
??
V
?
3
2
?2
?
3
??
?2
?
?2?
3
??
?54
?
V
,
?
2
?
??
2
?
?
?S
球表
?S
圆柱表
?S
正方体表
．



4．设
A,B,C,D
是球面上的四个点，且在同一 平面内，
AB?BC?CD?DA?4
，球心到该平面的距
离是球半径的一半，求这个 球的体积．
【难度】★★
【答案】
5126
?

27< br>2
2
?
42
?
?
R
?
?
? R
2
，
R
2
?
32
【解析】
因
A,B,C,D
是球面上的四个点，且在同一平面内，因而
??
?
?
?
2
?
3
?
2
?
??

V?

4
3
5126
?
R?
?
。
327
4、球的内接和外切问题

【例13】已知正方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，它的八个 顶点都在某个球面上，则
A、B
两点的
球面距离是__________．
【难度】★★【答案】
3arccos
1

3
【例14】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 （ ）




A B C D
【难度】★★
【答案】C
【例15】A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为
面距离均为
?
，点A与B、C两点间的球
3
?
，且球心为O，求：
2
（1）∠AOB，∠BOC的大小；
（2）球心到截面ABC的距离；
（3）球的内接正方体的表面积与球面积之比．

【难度】★★★
21
??
，∠BOC=；（2）d=；（3）2∶
?
．
7
23
【例16】如图，在斜三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
?A
1
AB??A
1
AC,AB?A C,A
1
A?A
1
B?a
，侧
?
面
B1
BCC
1
与底面ABC所成的二面角为
120
，E、F分别是 棱
B
1
C
1
、A
1
A
的中点．
【答案】（1）∠AOB=
（1）求
A
1
A
与底面ABC所成的角；
（2）证明
A
1
E
∥平面
B
1
FC
；
（3）求经过
A
1
、A、B、C
四点的球的体积．
【难度】★★★
【答案】（1）60°；（2）略；（3）

43
3
?
a

27
【巩固训练】
1．一个四面体的所有棱长都为
2
, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积是 （ ）
A．3π B．4π C．3
3
π D．6π
【难度】★★
【答案】A



2．半径为
1cm
的球内切于一个圆锥，求该圆锥体积的最小值．
【难度】★
O
A
C
S
T
B
8
?
【答案】
cm
3

3
1
OTSO
?
∴，即
?
BCSB
r
h?1
h
2
?r
2
h
1
2
?
h
2
?r?< br>，∴
V?
?
rh??
。
h?2
33h?2
2
【解析】如图，设该圆锥底面半径为
r
，高为
h
，并设球心切母线
SB
于
T
。则
Rt?SOT
∽
Rt?SBC
。
h
2
(t?2)
2
4
令
h?2?t(t?0 )
，则
??t??4?8
，当且仅当
t?2
时，等号成立。
h?2tt
8
?
故
V
min
?cm
3
， 此时
h?4cm,r?2cm
。

3

3．将半径为R的五 个球中的四个放在桌面上，使每相邻两个球相切，第五个球放在四个球上，使它
与这四个球都相切，则这 第五个球球心到桌面的距离为 ．
【难度】★★
（2?1）R
【答案】

4．球面上三点
A,B,C
组成 这个球的一个截面的内接三角形，
AB?18,BC?24,AC?30
，且球心到该
截面的距离为球的半径的一半，
(1)求球的体积； (2)求
A,C
两点的球面距离．

【难度】★★
【答案】
40003
?
；




球面距离的计算需要先搞清楚经度、纬度、大圆、小圆等概念，然后计算过两点的 大圆的圆弧（劣
弧）长度。常见的有同赤道，同经度、同纬度几种，经度纬度都不同的情况较难，但是原 理是相同的．
计算球的表面积和体积主要利用前面所学的立体几何知识，求出球的半径，然后使用相应 公式计
算即可．
在球的有关问题中，常见球内接几何体或者球外切几何体的问题．球内接几何 体的问题中，球内
接棱柱的体对角线为球的直径，这是解决这一类问题的关键点；球外切几何体的问题， 一般与球的直
径垂直于面相关．



203
?

3
反思总结
课后练习


1．面半径2R的圆柱形铁罐 做一种半径为R的球型产品的外包装，一听4个，铁罐的高度至少应
为 ．
【难度】★★
【答案】2R

2．圆柱形容器内盛有高度为
8c m
的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，
水恰好淹没最上面的球( 如图所示)，则球的半径是________
cm

【难度】★★
【答案】
4

【解析】设球的半径为
rcm
，则
?
r?8?
2
4
3
?
r?3?
?
r
2
?6r
.解得
r?4cm
.
3

3．圆锥的高 为
4
，侧面积为
15
?
，其内切球的表面积为________．
【难度】★★
【答案】
9
?

【解析】设圆锥底面半径为
r(r?0)
，则母线长
l?16?r
2
，由
?
l r?15
?
得
r?16?r
2
?15
，解之得
r? 3
，∴
l?5
.设内切球半径为
R


，作出圆锥的轴截面如图，则

BO?BO
1?3
,
PD?5?3?2
,
PO?4?R
,
?OD?P B
?R
2
?4?
?
4?R
?
,
?R?2
3

2
∴球的表面积
S?4
?
R?9
?
.

4．半径为
R
的球内部装有
4
个半径相同的小球，则小球半径
r
的可能最大值为（ ）．

A.
2
3
2?3
R
B.
1
R

1?3
B.
6
3?6
R
D.
5
2?5
R

【难度】★★
【答案】
C


5．已知三棱锥
S?ABC
的所有 顶点都在球
O
的球面上，
?ABC
是边长为
1
的正三角形，
SC
为球
O
的直径，且
SC?2
，则此棱锥的体积为( )
A.
2

6
B.
3

6
C.
2

3
D.
2

2
【难度】★★
【答案】A
【解析】如图，
H
为
?ABC
的外接圆圆心，则
?BHC?120
，设
?ABC
的外接 圆半径为
R
，
则
1?BC?HC?HB?2HC?HBcos120
?3R
，
∴
R?
222?2
?
3
.连接
OH
，根据球的截面性 质知，
3
OH?平面ABC
?OH?OC
2
?CH
2?1?
的距离为
2OH?

16
?
，
?O为
SC
的中点，∴
S
到平面
ABC
33
26< br>12613262
????
，∴
V
S?ABC
?S
? ABC
?

3
333436
2,AC?2
，若四面体
ABCD
体积的最大值为6．点
A,B,C,D
在同一个球的球面上，
AB ?BC?
2
，则这个球的表面积为( )
3
A.
125
?
25
?
25
?
B.
8
?
C. D.
6416
【难度】★★
【答案】
C

【解析】如图所示，
O
为球的球心，由
AB?BC?2,AC?2
可知
?ABC?
?
2
，即
?ABC
所在的
小圆的圆心
O
1
1
为
AC
的中点，故
AO
1
?1，S
?ABC< br>?1
，当
D
为
OO
1
的延长线与球面的交点时，D
到
平面
ABC
的距离最大，四面体
ABCD
的体积最 大.连接
OA
，设球的半径为
R
，则

112
5
DO
1
?R?R2
?1
，此时
V
ABCD
??S
?ABC
?D O
1
?R?R
2
?1?
，解得
R?
,故这个球的< br>4
333
25
?
5
?
?
. 表面积为
4
?
??
＝
4
?
4
?

7．若一个正四面体的表面积为
S
1
，其内切球的表面积为
S
2
，则
【难度】★★
【答案】
2
?
?
S
1
＝________.
S
2
63
?

【解析】设正四面体棱长为
a
，则正四面体表面积为
S
1
?4?
3
2
?a
，其 内切球半径为正四面体高的
4
?
a
2
S
1
3a2
63
1
2
??
，即，因此内切球表面积为
S
2
?4
?
r?
，则.
?
6
S
2
?
4
a
2
6

8．如图，直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的六个顶点都在半径为
1
的半球面上，
AB?AC
，侧面
BCC< br>1
B
1
是
半球底面圆的内接正方形，则侧面
ABB
1
A
1
的面积为( )
A.2

C.2

【难度】★★
【答案】
C

B.1

D.
2

2
【解析】由题意知，球心在侧 面
BCC
1
B
1
的中心
O
上，
BC
为截面圆的直径，
∴
?BAC?90
，
?ABC
的外接圆圆心N
是
BC
的中点，同理
?A
1
B
1
C
1
的外心
M
是
?
B
1
C
1
的中心．设正方形
BCC
1
B
1
的边长为
x
，< br>Rt?OMC
1
中，
xx
?
x
??
x
?
OM?,MC
1
?,OC
1
?R?1
(
R为球的半径)，∴
??
?
??
?1
，即
x?2
，则
AB?AC?1
，
22
?
2
??
2
?
∴
S
矩形
ABB
1
A
1
?
9．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都
是边长为
2
的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．
【难度】★★
【答案】
43
?

【解析】依题意可知，新的几何体的外接球也就是 原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对


22
2?1?2
.

4
?
R
3
?43
?
. 角线；∴
2R?2 3
(
R
为球的半径)，∴
R?3
，∴球的体积
V?
3

10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为
4
，底面边长为
2
，则该球的表面积为( )
A.
81
?

4
B.16
?

D.
27
?

4
C.9
?

【难度】★★
【答案】
A

【解析】如图所示，设球半径为
R
，底面中心 为
O
且球心为
O
，∵正四棱锥
P?ABCD
中
'< br>AB?2
?AO
'
?2
∵
PO
'
?4
，∴在
Rt?AOO
'
中，
AO
2
?AO
'2< br>?OO
'2
，
∴
R?






2
??
9
?
9
?
81
?
2
，故选
A
.
2?
?
4?R
?，解得
R?
，∴该球的表面积为
4
?
R
2
?4
?
?
??
?
4
4
?
4
?
2
2