【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第2课时等比数列的性质(含答案)

第二章 数列
2.4 等比数列
第2课时 等比数列的性质

A级 基础巩固
一、选择题
1.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )
1
A．1 B．－1 C．±1 D.
2
解析：设等比中项为b，则b
2
＝(2＋1)·(2－ 1)＝1，所以b＝±1.
答案：C
2．在等比数列{a
n
}中，a1
＋a
2
＋a
3
＝2，a
4
＋a
5< br>＋a
6
＝4，则a
10
＋
a
11
＋a
12
等于( )
A．32 B．16 C．12 D．8
a
4
＋a
5
＋a
6
4
解析：
＝q
3
＝ ＝2，
2
a
1
＋a
2
＋a
3
所以a10
＋a
11
＋a
12
＝(a
1
＋a
2
＋a
3
)q
9
＝2·(2
3
)＝2
4< br>＝16.
答案：B
1
3．已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0 的四个根组成以为首项
2
22
m
的等比数列，则等于( )
n
3
A.
2
32
B.或
23

1

2
C.
3
D．以上都不对 < br>1
解析：不妨设
是x
2
－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，所以m
2
19
＝4＋＝，
22
对方程x
2
－nx＋2＝ 0，设其根为x
1
，x
2
(x
1
2
) ，则x
1
x
2
＝2，
1
所以等比数列为，x
1
，x
2
，4，
2
4
所以q
3
＝＝8，所以q＝2，
1
2
所以x
1
＝1，x
2
＝2，
所以n＝x
1
＋x
2
＝1＋2＝3，
93
m
所以＝＝
.
n
2×3
2
答案：A
4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，
则插入的n个数的积为( )
A．10
n
B．n
10
C．100
n
D．n
100

解析：设这n＋2个数为a
1
，a
2
，…，a
n＋1
，a
n＋2
，
nn
则a
2·a
3
·…·a
n＋1
＝(a
1
a
n＋2)
2
＝(100)
2
＝10
n
.
答案：A
5．等比数列{a
n
}中，a
n
∈R
*
，a
4
·a
5
＝32，则log
2
a
1
＋log2
a
2
＋…
＋log
2
a
8
的值为( )
A．10 B．20 C．36 D．128

2

解析：log
2
a
1
＋log
2
a
2
＋…＋log
2
a
8
＝
log2
(a
1
·a
2
·a
3
·…·a
8< br>)＝
log
2
(a
4
a
5
)
4< br>＝4log
2
32＝20.
故选B.
答案：B
二、填空题
6．等比数列{a
n
}中，a
1
＜0，{a< br>n
}是递增数列，则满足条件的q
的取值范围是______________． 解析：由a
n＋1
＞a
n
?a
1
q
n
＞a
1
q
n
－
1
，
因为a
1
＜0，
所以q＜q
nn
－
1
?
1
?
?q
1－
q
?
＜0对任意正整数n都成立．
??
n
?
1
所以q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.
q
答案：0＜q＜1
7．在数列{a
n
}中，若a
1＝1，a
n
＋
1
＝2a
n
＋3(n≥1)，则该数列的 通
项a
n
＝______________．
解析：由a
1
＝1，a
n＋1
＝2a
n
＋3(n≥1)，
所以a
n＋1
＋3＝2(a
n
＋3)(n≥1)，
即(a
n
＋3)是以a
1
＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a
n＋3＝
4·2
n
－
1
＝2
n
＋
1，
所以该数列的通项a
n
＝2
n
＋
1
－3.
答案：2
n
＋
1
－3

3

8．已知等比数列{a
n
}为递增数列，且a
2< br>5
＝a
10
，2(a
n
＋a
n
＋
2
)＝5a
n
＋
1
，则数列{a
n
}的通项公式a< br>n
＝________．
解析：因为{a
n
}单调递增，所以q>0，
又a
2
5< br>＝a
10
>0，所以a
n
>0，q>1，
?
an
a
n＋2
?
＋
由条件得2
??
＝5， ?
a
n＋1
a
n＋1
?
?
1
?
即2
?
q
＋q
?
＝5，
??
1
所以q＝2或q＝
(舍)，
2
429
由a
2
5
＝a
10
得(a
1
q)
＝a
1
q
，
所以a
1
＝q＝2，故a
n
＝2
n
.
答案：2
n

三、解答题
9．已知一个等比数列的首项为1，项数 是偶数，其奇数项的和
为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
解：法一： 设该数列的公比为q，项数为2n，则S
a
1
（1－q
2n
）
＝85＋170，
1－q
所以2
2n
－1＝255.所以2n＝8.
故这个数列的公比为2，项数为8.
法二：设该数列的公比为q，项数为2n，则
偶
＝qS
奇
?

4

a
1
[1－（q
2
）
n
]
S
奇
＝＝ 85，
2
1－q
a
1
q[1－（q
2
）
n
]
S
偶
＝＝170.
2
1－q
所以n＝4，q＝2.
10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于
求这三个数．
a
解：设三个数为
，a，aq(a，q>0)，
q
a
?< br>?
q
＋a＋aq＝21
由题
?
，
7
q11
?
＋＋＝
?
aaaq
12

?
1
?
?
?
＋1＋q
?
＝21
a
?
?
q
?
12
所以
?
?a
2
＝21×＝36，
7
1
?
71
?
?
q＋1＋
?
＝< br>?
a
?
q
?
12
?
7
，
1 2
1
所以a＝6，q＝2或，
2
所以三个数为3，6，12或12，6，3.

B级 能力提升
1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：由题意知(3x＋3)
2
＝x(6x＋6)，

5

即x
2
＋4x＋3＝0，解得x＝ －3或x＝－1(舍去)，所以等比数列
的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
答案：A
1
2．等比数列{a
n
}中，a
1
＝3 17，q＝－.记f(n)＝a
1
·a
2
·…·a
n
，2
则当f(n)最大时，n的值为________．
?
1
?
n－1
1
??
解析：由于a
n
＝317×
－
2，易知a
9
＝317×
＞1，a
10
＜0，
256??
0＜a
11
＜1，又a
1
a
2
…a
9
＞0，故f(9)＝a
1
a
2
…a
9
值最大， 此时n＝9.
答案：9
3．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a＞b)，先
1
将A中农药 的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，
4
恰好使A中保持mL，问至少经过多少 次这样的操作，两容器中农药
的浓度差小于1%?
解：设第n次操作后，A中农药的浓度为a
n
，B中农药的浓度为
b
n
，则a
0
＝a%，b< br>0
＝b%.
1311
b
1
＝(a
0
＋4b
0
)，a
1
＝a
0
＋b
1
＝(4a
0
＋b
0
)；
5445
1311
b
2
＝(a
1
＋4b
1
)，a
2
＝a
1
＋b< br>2
＝(4a
1
＋b
1
)；…；
5445
1
b
n
＝(a
n－1
＋4b
n－1
)．
5
1
a
n
＝(4a
n－1
＋b
n－1
)，
5

6

3
所以a
n
－ b
n
＝(a
n－1
－b
n－1
)＝…＝
5
?
3
?
n－1
3
??
(a－b)·.
5
00
?
5
?
1
因为a
0
－b< br>0
＝
，
5
1
?
3
?
n
所 以a
n
－b
n
＝
·
?
5
?
. < br>5
??
1
?
3
?
n
依题意知·
?< br>5
?
＜1%，n∈N
*
，解得n≥6.
5
??
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.


7