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上海(沪教版)数学高一下学期同步辅导讲义教师版:第十二讲 等差数列

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 21:23
tags:高中数学补习

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沪教版数学高一下春季班第12讲
课题
等差数列

1.掌握等差数列的概念;
学习
2.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;
目标
3.灵活掌握等差数列的性质;
4.等差数列求最值。
重点
1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;
2.灵活掌握等差数列的性质;

难点
3.灵活掌握等差数列的性质;

单元 第章 学科 数学 年级 十
教学安排

1
2
3
4
5

版块
知识梳理
例题解析
巩固训练
师生总结
课后练习
时长
30
60
20
10
30
知识梳理

数列通项公式求法:
1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等
差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示
2、等差数列的判定方法:
②定义法:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n?1
?a
n
?d
(常数),则数列
?
a
n
?
是等差数列
③等差中项:对于数列
?
a
n
?
,若
2a
n?1
?a
n
?an?2
,则数列
?
a
n
?
是等差数列
3、等差数列的通项公式:
④如果等差数列
?
a
n
?的首项是
a
1
,公差是
d
,则等差数列的通项为
an
?a
1
?(n?1)d
该公式整
理后是关于n的一次函数

1



4、等差数列的前n项和:

S
n
?
n(n?1)
n(a
1
?a
n
)< br> ⑥
S
n
?na
1
?d

2
2
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
5、等差中项:
⑥如果
a

A

b
成等差数列,那么
A< br>叫做
a

b
的等差中项即:
A?
a?b
或< br>2A?a?b

2
在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末 项除外)都是它的前一项与后一项
的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差 中项
6、等差数列的常用性质:
⑦等差数列任意两项间的关系:如果
a
n
是等差数列的第
n
项,
a
m
是等差数列的第
m项,且
m?n
,公差为
d
,则有
a
n
?am
?(n?m)d

⑧对于等差数列
?
a
n
?
,若
n?m?p?q
,则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q

*
⑨若数列
?
a
n< br>?
是等差数列,
S
n
是其前n项的和,
k?N
,那么
S
k

S
2k
?S
k

S
3k
?S
2k
成等
差数列
7、奇数项和与偶数项和的关系: < br>⑩设数列
?
a
n
?
是等差数列,
S

是奇数项的和,
S

是偶数项项的和,
S
n
是前n项的和 ,则有如
下性质:
前n项的和
S
n
?S

?S


当n为偶数时,
S

?S

?
n
d
,其中 d为公差;
2
S

n?1
S?S

S
n
n?1n?1
?

?n

?

a


S

?a


S

n?1< br>S

?S

S

?S

22
当n为奇数时,则
S

?S

?a


S

?
8前n项和与通项的关系:
(11)
若等差数列
?
a
n
?
的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
,等差数列
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和 为
S
2
'
n?1
,则
a
n
S
2n ?1
?
'

b
n
S
2n?1
9、等差数列的单调性
等差数列公差为d,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。
10、等差数列的最值
11

{
a
n
}
是等差数列,求前n项和的最值时, ○
(1)若
a
>0,d< 0,且满足
?
1
?
a
n
?0
,前n项和
S
n
最大;
?
a
n?1
?0
?
a
n
?0
,前n项和
S
n
最小;
a?0
?
n?1
2
(2)若
a
<0,d>0,且满足
?
1



(3)除上面方法外,还可将
{
a
n
}
的前n项 和的最值问题看作
S
n
关于n的二次函数最值问题,
利用二次函数的图象或配 方法求解,注意
n?N
?







例题解析
一、等差数列的概念与公式
【例1】在等差数列
?
a
n
?
中:
(1)若
a
1
?3,a
n
?21,d?2
,求n;
(2)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为多少升?
【难度】★
【答案】(1)10;(2)

【例2】已知等差数列
?
a
n
?
满足
a
2
?0,a
6
?a
8
??10
,求数列的通项公式.
【难度】★
【答案】2-n

【例3】已知a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也是等差数列.
【难度】★
【答案】略

【例4】已知
?
a
n
?
是各项不同的正数等差数列,
lga
1
,lga
2
,lga
4
成等差数列,又
b
n
?
(1) 证明
?
b
n
?
为等比数列;
(2) 如果数列
?
b
n
?
前3项和等于
【难度】★★
【答案】(1)提示:证明
67
.
66
1

n?N
*

a
2
n< br>7
,求数列
?
a
n
?
的首项
a
1< br>和公差
d

24
b
n?1
1
?
; (2)
a
1
?d?3

b
n
2

【例5】设各项均为正数的数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,已知
2a
2
?a
1
?a3
,数列
?
S
?
是公差为
d

n
3



等差数列.
(1) 求数列
?
a
n
?
的通项公式(用
n、d
表示);
(2) 设
c
为实数,对满足
m?n?3k

m?n
的任意正整数
m、n、k
,不等式
S
m
?S
n
? cS
k

成立,求证:
c
的最大值为
【难度】★★★
9

2
?
m
2
?n
2
?
【答案】(1)
a
n
?
?
2n?1
?
d
;(2)提示:转化为
c?
??

2
?
k
?
min
2

【巩固训练】 1.已知
{a
n
}
为等差数列,则下列各式所确定的数列
{b< br>n
}
必为等差数列的是( )
A.
b
n
?a
n

【难度】★
【答案】D

2.等差数列
{a
n
}
中,
a
3
??2,a
7
?5
,则
a
11
?_ _______,a
13
?_______.

【难度】★
【答案】
12,

3.
{a
n
}
为等差数 列,若
a
1
?a
6
?0,a
3
a
4
??1
,则
a
n
?_________
.
【难度】★
【答案】-2n+7或2n-7

4.已知数列
{a
n
}
是等差数列,且
a
6
?10
,则使
a
1
a
2
最小的公差
d?________.

【难度】★
【答案】

5.等差数列
?
a
n
?
的前1 0项和为140,其中项数为奇数的各项和为125,求前100项和.
【难度】★
【答案】-97600

6.已知等差数列
?
a
n
?
中,
S
10
?100,S
100
?10
,求< br>S
110
.

2
B.
b
n
?a
n
C.
b
n
?a
n
a
n?1
D.
b
n
?5a
n

31

2
9

4

4



【难度】★
【答案】-110

7.已知数列
?
an
?
的各项均不为零,且满足关系式:
a
n
?
3an?1
(n?2)

a
n?1
?3
(1)求证数列
{
1
}
是等差数列;(2)当
a
1
?0.5
时,求数列
?
a
n
?
的通项公式.
a
n
【难度】★
【答案】(1)略;(2)

8.数列< br>{a
n
},{b
n
}
中,
a
n
?l g3
n
?lg2
n?1
,b
n
?a
3n
, 试问数列
{b
n
}
是否为等差数列?如果是,写出它的通
项公式;如 果不是,说明理由.
【难度】★
3
.
n?5
3
【答案】
b
n
?(3lg)n?lg2

2


二、等差数列的性质

【例6】一个共有n项的等差 数列前4项之和为26,末4项之和为110,且所有项之和为187,则n=____
【难度】★
【答案】11
【解析】
4
?
a
1
?a
n
?
?136
n=11

【例7】 等差数列前9项 和等于前4项和,若
a
1
?1,a
k
?a
4
?0< br>,则k=
【难度】★★
【答案】10
【解析】
s
9
?s
4
,a
9
?a
8
?a
7
?a
6
?a
5
?0,a
7
?0

a
k
?a
4
?2a
7
,k=10

【 例8】设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
S
9
?72
,则
a
2
? a
4
?a
9
=
【难度】★
【答案】24
【解析】
Q
?
a
n
?
是 等差数列,由
S
9
?72
,得
?S
9
?9a
5
,
a
5
?8

?

a
2?a
4
?a
9
?(a
2
?a
9
)?a
4
?(a
5
?a
6
)?a
4
?3a
5
?24
.



5



【例9】设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和 为
S
n
,若
a
5
?5a
3

【难 度】★
【答案】9
【解析】
Q
?
a
n
?
为等差数列,
?

S
9
?

S
5
S
9
9a
5
??9
S
5
5a
3

【 例10】等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,若 S
9
?18,a
k?5
?30(k?9),S
k?1
?33 6,则k?
_____

【难度】★★
【答案】
k?22

(k?1)(a
5
?a
k?5
)
,求出
k

S
2n?1
?(2n?1)a
n
,注意
2
(k? 1)(a
5
?a
k?5
)
a
n

S
2n?1
的中间项。由于
S
9
?18

S
9?9a
5
,有
a
5
?2
,再由
S
k? 1
?
,代入可求
2

k?22

【解析】根据S
9
?9a
5
求出
a
5
,再根据
S< br>k?1
?

【例11】已知等差数列
?
a
n
?
的前10项之和为30,前20项之和为100,则
a
3
?a
28
=

【难度】★★
【答案】14
【解析】对等差数列?
a
n
?
进行分组,十个一组,则每组之和也成等差数列
由以 上分析,得
?
?
S
10
?T
1
?30
?< br>T?30
,由于
T
1
,T
2
,T
3
成等差,所以
T
3
?110

?
?
1
?
S
20
?T
1
?T
2
?100
?
T
2
?70
30(a
1
?a
30
)30(a
3
?a
28
)
,得到
a
3
?a
28?14

?
22
所以
S
30
?T
1< br>?T
2
?T
3
?210
,再由
S
30
?

【例12】一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项与奇数项和之比为3 2:27,则公差
d=_________
【难度】★★
【答案】5
?
?
S

?32k
【解析】根据
S

:S< br>奇
=32:27
,可设
?
,代入求出
k

S ?27k
?
?

【解答】:由分析,设
?
?
?S

?32k
,再由
S
12
?354
,可知< br>S

?S

=354?32k?27k?354?k?6
?< br>?
S

?27k

6



又 因为
S

?S

=6d
,所以
6d?S

?S

?30?d?5


【例13】设等差数列

?
a
n
?
的首项及公差均是正整数,前
n
项和为
S
n
,且
a
1
?1

a
4
?6

S
3
?12

a
2012
=

【难度】★★
【答案】4024
【解析】
a?1?a?2,由分析有
S?3a?3d?12?3d?12?3a?6?d?2

11
311
?
a?a
1
?3d?6?a
1
?3
再由< br>d
是正整数,当
d?1
时,
?
4
,矛盾,舍掉 S?3a?3d?12?a?3
11
?
3

d?2
时< br>S
3
?3a
1
?3d?12?a
1
?2?a
1
?2

所以
a
n
?2?2(n?1)?2n?a
2012
?4024


【例14】
S
n
为等差数 列
{a
n
}
的前
n
项和,若
a
2n
?
4n?1
,则
S
2n
= .
a
n
2n?1
S
n
【难度】★★
【答案】4
【解析】由
a
2n
?
4n?1
,即
a
n
?nd
?
4n?1
,得
a
n
?
2n?1< br>d,a
1
?
d

a
n
2n?1
a
n
2n?1
22
n(a
1
?a
n
)
n
2
d
(2n)
2
d
S

S
2 n
??4S
n
.故
2n
=4.
S
n
??
2
22
S
n

【例15】已知
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】

111
,,
成等差数列,求证:
b?c
,
a?c
,
a?b
也成等差数列.
abc
abc
111
112
,,
成等差数列,有
???ba?bc?2ac?b(a?c)?2ac

abc
acb






b? ca?bc
2
?bc?a
2
?bac
2
?2ac?a
2
(c?a)
2
2(c?a)
2
2(c?a)
????? ??

acacacacb(a?c)b
b?ca?ca?b
也成等差数列.
,,
abc
【巩固训练】

7



2
1、已知等差数列
?
a
n
?
的前n项和为
S< br>n
,已知
a
m?1
?a
m?1
?a
m
?0

S
2m?1
?38
,则
m?


【难度】★★
【答案】10
2
【解析】因为
?
a
n
?
是等差数列,所以,
a
m?1
?a
m?1
?2a
m
,由
a
m?1
?a
m?1
?a
m
?0
,得:2
a
m

a
m
2
=0,所以,
a
m
=2或0(舍),又
S
2m?1
?38
,即
解得m=10,故选.

(2m?1)(a
1
?a
2m?1
)
=38,即(2m-1)×2=38,
2
2、首项 为-24的等差数列
?
a
n
?
从第10项起为正数,则公差d的取值 范围是
【难度】★★
【答案】
8
?d<3

3
8
?d<3

3
a
S
9
9
?
,求
5

b
5
T
9
5
【解析】 提示:
a
9
?0且a
10
>0


3 、设
S
n

T
n
分别是等差数列
?
an
?

?
b
n
?
的前n项和,若
【难 度】★★
【答案】
9

5
S
2n?1
?(2n? 1)a
n
,可得【解析】根据

?
S
9
?9a5
?
?
T
9
?9b
5
S
9
9 a
5
a
5
a
9
???
5
?
T9b
5
b
5
b
5
5
由次可得
9
S< br>n
2n?3
?
,则
T
n
4n?3
4. 设等 差数列
?
a
n
?

?
b
n
?的前n项和分别为
S
n

T
n
,若对任意自然数n都有
a
9
a
3
?
的值为
b
5< br>?b
7
b
8
?b
4
【难度】★★
【答案】
19

41
a
9
a
3
a aa
19
??
9
?
3
?
6
…. =

b
5
?b
7
b
8
?b
42b
6
2b
6
b
6
41
【解析】

5. 等差数列
?
a
n
?
中,前m项的和为77(m为奇数 ),其中偶数项的和为33,且
a
1
-a
m
=18,求这个
数列的通项公式。
【难度】★★
【答案】
a
n
=-3n+23
【解析】利用前奇数项和和与中项的关系

8



令m=2n-1,n∈N
+
?
S
2n?1
?(2n?1) a
n
?77
2n?177

?
∴ ∴ n=4∴ m=7
?
S?(n?1)a?33
n?133
n
?

∴ a
n
=11∴ a
1
+a
m
=2a
n
=22
又a
1
-a
m
=18∴ a
1
=20,a
m
=2∴ d=-3∴
a
n
=-3n+23


三、等差数列通项公式的求法
【例16】已知数列
{a
n
}
中,
S
n
? n
2
,求通项
a
n
.

【难度】★
【答案】
a
n
?2n?1(n?N*)

a
2?
?
a
a
1
?1
【解析】依题意有:
a?3< br>
n
32
a?a?2

?3

nn?1

【解析】
a
1
?S
n
?1




【例17】数列
{a
n
}满足a
1
?0,且


22
n?2
时,有
a
n
?S
n
?S
n?1
?n?(n?1)?2n?1

经检验
a
n?2n?1
对于
n?1
时也成立,
?a
n
?2n?1( n?N*)

11
??2(n?N
*
),则通项公式a
n
?


1?a
n?1
1?a
n
【难度】★
1
?

n?N

2n?1
a
2
?
?
a
a
1
?1
【解析】依题意有:
a?3

n
32
a?a?2

n

?3

n?1
【答案】
a
n
?1?

【解析】
11
看成一个新数列,是个等差数列,首项,先求出其通项公式
1 ?a
n
1?a
1
111
1
??(n?1)d??2(n?1 )?2n?1

?a
n
?1?

1?a
n
1?a
1
1?0
2n?1

【例 18】在数列
{a
n
}
中,
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?2n?1,求a
n
.
【难度】★
【答案】
a
n
?n
2
?2n?3

n?N
?

a
2
?
?
a
a
1
?1
【解析】依题意有:
a?3

n
32
a?a?2

?3

nn?1


9



【解析】逐项累加有
a
n
?a
1
?1?3?K?2n?3?
从而
a
n
?n
2
?2 n?3

n?N


【例19】已知数列
{a
n< br>}
满足
a
1
?
【难度】★
【答案】
an
?
?
(1?2n?3)(n?1)
?(n?1)
2
? n
2
?2n?1

2
1
1

a
n?1
?a
n
?
2
,求
a
n

2
n?n
31
?

n?N
?

2n
1111
???
; 分别令
n?1,2,3,??????,(n?1)

n
2
?n< br>n(n?1)nn?1
【解析】由条件知:
a
n?1
?a
n< br>?
代入上式得
(n?1)
个等式累加之,即
(a
2
?a
1
)?(a
3
?a
2
)?(a
4
?a
3
)????????(a
n
?a
n?1
)
11111111
?(1?)?(?)?(?)????????(?)
所以
a
n
?a
1
?1?

n
22334n ?1n
1131
1
?a
1
?

?a
n??1???

n?N
?

2
2n2n
【例20】已知数列
{a
n
}

a
1
?
【难度】★
【答案】
a
n
?
12n?3
,a
n
??a
n?1
(n?2)
,求数列
{a
n
}
的通项公式.
32n?1
1
4n
2
?1

n?N
?
a
n
a
2
1
a
3
3
a4
52n?3
?,?,?,K,?,
【解析】当
n?2
时,a
1
5a
2
7a
3
9a
n?1
2n? 1

将这
n?1
个式子累乘,得到
1?311
a
n
1?3
??
2
,从而
a
n
?

?
(2n?1)(2n?1)34n?1
a
1
(2n?1)(2n?1)< br>当
n?1
时,

1
4n
2
?1
?< br>11
?
?a
1
,所以
a
n
?
2
n?N

34n?1
【例21】已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2,a
n?1
?
【难度 】★★
【答案】
a
n
?
2a
n
,求
a< br>n
.
a
n
?2
2
?

n?N

n
【解析】两边取倒数得:

10



2
111n
111
??
,所以
??(n?1)??
,故有a
n
?

n?N
?

n
a
n
a
1
22
a
n?1
a
n
2
【例
22
】已知数列
{a
n
}

{b
n
}
的通项公式分别为
a
n
?3n?6

b
n
?2n?7

n?N*)
.
将集合
{xx?a
n
,n?N*}U{xx?b
n
,n?N*}
中的元素从小到大依次排列,构 成数列
c
1
,c
2
,c
3
,L,c
n,L


1
)写出
c
1
,c
2
,c
3
,c
4



2
)求证:在数列
{c
n
}
中,但不在数列
{b
n
}
中的项 恰为
a
2
,a
4
,L,a
2n
,L


3
)求数列
{c
n
}
的通项公式
.
【难度】★★★
【答案】见解析

【解析】⑴

由于a
n
:9,12,15,18,?

b
n
:9,11, 13,15,?

所以
c
1
?9,c
2
?11,c
3
?12,c
4
?13






任意
n?N
*
,设
a
2n?1
?3(2n?1)?6?6n?3?b
k
?2k?7
,则
k?3n?2,即
a
2n?1
?b
3n?2



假设
a
2n
?6n?6?b
k
?2k?7
?
k?3 n?
1
?N
*
(矛盾),∴

a
2n
?{b
n
}

2

在数列
{c
n
}
中、但不在数列
{b
n
}中的项恰为
a
2
,a
4
,L,a
2n
,L



b
3k?2
?2(3k?2)?7?6k?3 ?a
2k?1


b
3k?1
?6k?5

a
2k
?6k?6

b
3k
?6k?7



6k?3?6k?5?6k?6?6k?7


< br>当
k?1
时,依次有
b
1
?a
1
?c
1
,b
2
?c
2
,a
2
?c
3
,b
3
?c
4
,……

?
6k?3(n?4k?3 )
?
6k?5(n?4k?2)
?
,k?N
*




c
n
?
?
?
6k?6(n?4k?1 )
?
?
6k?7(n?4k)


【巩固训练】
1、已知为等差数列,,则等于( )
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
【难度】★
【答案】
B

11



【解析】∵
a
1
?a
3
?a5
?105

3a
3
?105

a
3
?35
同理可得
a
4
?33
∴公差
d?a
4
?a
3
??2

a
20
?a
4
?(20?4)?d?1
.选B

2、等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,且
S
3
=6,
a
1
=4, 则公差d等于(
A.1 B
【难度】★
【答案】
C
【解析】∵
S
3
?6?

3、已知数列
{a
n
}
中,
a
1
?1,a
n?1
?3a
n
?3
n
,求数列
{a
n
}
的通项公式.

【难度】★
【答案】
a
n
?n?3
n?1

n?N

【解析】
?
a
n?1
?3a
n
?3
n
?
?

5
C.- 2 D 3
3
3
(a
1
?a
3
)

a
3
?a
1
?2d a
1
=4 ? d=2
.故选C
2
a
n
a
n?1
a
n< br>,

??1
?b
n

n?1
nn?1
3
33
?
数列
?
b
n
?
是等差数列,< br>b
n
?1?1(n?1)?n

?
a
n
?n ?3
n?1

n?N
?


4、设
S< br>n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和,< br>S
n
?pna
n
(n?N
?
)

a
1
?a
2
.

(1)求常数
p
的值;
(2)求证:数列
?
a
n
?
是等差数列.
【难度】★★
【答案】见解析

【解析】解:(1)
S
n
?pna
n

a
1
?a
2

?< br>a
1
?pa
1
?p?1

(2)由(2)知:
S
n
?na
n


n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?na
n
?(n?1)a
n?1
?(n?1)(a
n
?a
n?1
)?0

?

a
n
?a
n?1< br>?0(n?2)

?
数列
?
a
n
?
是等差数列.

5、已知
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和,
S
n
?
1
2
11
n?n
;数列
?
b
n
?
满足:
b
3
?11

22
b
n?2
?2b
n ?1
?b
n
,其前
9
项和为
153.

(1)求数列
?
a
n
?

?
b
n
?
的通项公式;

12



(2)设T
n
为数列
?
c
n
?
的前
n
项和,
c
n
?
成立的最大正整数
k
的值.

【难度】★★★
【答案】见解析

【解析】(1)
S
n< br>?
6
k
,求使不等式
T
n
?

?n ?N
?

(2a
n
?11)(2b
n
?1)
57
1
2
11
n?n

22
?
n?1
时,
a
1
?S
1
?6


n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1?
1
2
11111
n?n?(n?1)
2
?(n?1) ?n?5

2222

n?1
时,
1?5?6?a1

?
a
n
?n?5


b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?b
n?1
?

?
b
n
?b
n?2

?
?
b
n
?
是等差数列,设其公差为
d
.
2
?
b
1
?2d?11
?b
1
?5,d?3

?9b
1
?36d?153
?
b
n
?5?3(n?1)? 3n?2
.

c
n
?
66
?

(2a
n
?11)(2b
n
?1)
?
2(n?5)?11< br>??
2(3n?2)?1
?

?
211
??

(2n?1)(2n?1)2n?12n?1
1
3
1
5
1
5
1
7
111
< br>?)?1?
2n?12n?12n?1
?
T
n
?(1?)?( ?)?(?)???(
1
3
n?N
?

?
T
n
是单调递增数列.
?

n?1
时,
?
Tn
?
min
?T
1
?1?
?
T
n?
12
?

33
k
k2k

?n?N
?
都成立
?
?
T
n
?
min
?? ??k?38

57
57357
?
所求最大正整数
k
的值为
37
.



四、等差数列的前n项和

【例23】设
{a
n
}
为等差数列,
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和,已知
S
7< br>?7,S
15
?75,T
n
为数列
{
项和,求
T
n
.
【难度】★
S
n
}
的前
n
n

13



【答案】
n(n?9)

4
【解析】先通 过
S
7
?7,S
15
?75
求出
a
n?n?3
,进而
S
n
?

n(n?5)
S
n?5
,所以
n
?
是等差数列 < br>2
n2
【例24】已知数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?(2n?1)
2
,求其前
n
项和
S
n

【难度】★
【答案】
S
n
?
1n(4n
2
?1)

n?N
?

3
22
2222
【解析】
?
(2n?1)?4n?4n?1

?
S
n
?1?3?5???(2n?1)

?4(1
2
?2
2
?3
2
???n
2
)?4(1?2?3 ???n)?n

1
11
?4?n(n?1)(2n?1)?4?n(n?1 )?n
?n(4n
2
?1)

n?N
?


3
62

【例25】已知数列
?
a
n
?< br>的通项
a
n
?
【难度】★
【答案】
S
n< br>?
【解析】
?
1
,求其前
n
项和
S
n

n(n?1)
n
?

n?N

n?1
111
??

n(n?1)nn?1
n
1< br>1111111
?

n?N


?
)
?1?
?
原式
?(1?)?(?)?(?)???(?
n?1
n? 1
22334nn?1

x
2
【例26】设
f(x)?
,求:

2
1?x
(1)
(2)
11
f(
1
4
)?f(
3
)?f(
2
)?f(2)?f(3)?f(4)

111f(
2010
)?f(
2009
)???f(
1
3)?f(
2
)?f(2)???f(2009)?f(2010).

【难度】★★
【答案】见解析
x
2
【解析】
?
f(x)?
1?x
2

?
1
f(x)?f()?1
.
x
11
(1)
f(
1
4
)?f(
3< br>)?f(
2
)?f(2)?f(3)?f(4)?1?4?4

(2)原式
?1?(2010?1)?2009
.


14




2
S
n
为其前
n
项和 ,【例27】已知数列
?
a
n
?
是各项均不为
0
的 等差数列,公差为
d
,且满足
a
n
?S
2n?1

n?N
*
.数列
?
b
n
?
满足
b
n
?
1

T
n
为数列
{b
n}
的前n项和.
a
n
a
n?1
(1)求
a< br>1

d

T
n

n
(2)若对任 意的
n?N
*
,不等式
?T
n
?n?8?(?1)
恒成立,求实数
?
的取值范围
【难度】★★★
【答案】见解析
2
【解析】(1)(法一)在
a
n
?S
2n?1
中,令n?1

n?2

2
2
?
?
?a
1
?a
1
,
?
a
1
?S
1
,

?

?

2
2?
?
?
(a
1
?d)?3a
1
?3d,
?
a
2
?S
3
,
解得
a
1
?1

d?2

?a
n
?2n?1

Qb
n
?
11111
??(?)

a
n
a
n?1
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
111111n
?T
n
?(1????L??)?
23352n?12n?12n ?1
a?a
2n?1
a?a
2n?1
?a
n
?S< br>2n?1
?
1
(法二)
?
?
a
n
?
是等差数列,
?
1
(2n?1)
?(2n?1)a
n

2< br>2
2
2

a
n
?S
2n?1
,得
a
n
?(2n?1)a
n
,又
Qa
n
?0

?a
n
?2n?1
,则
a
1
?1,d? 2

(
T
n
求法同法一)
n
(2)①当
n
为偶数时,要使不等式
?T
n
?n?8?(?1)
恒成立,即需 不等式
(n?8)(2n?1)8
?2n??17
恒成立.
nn
8

Q2n??8
,等号在
n?2
时取得.
?
此时
?
需满足
?
?25

nn
②当
n
为奇数时,要使不等式
?T
n
?n?8?(? 1)
恒成立,
(n?8)(2n?1)8
即需不等式
?
??2n??15
恒成立.
nn
8
8

Q2n?
是随
n
的增大而增大,
?n?1

2n?
取得最小值
?6

n
n
?
此时
?
需满足
?
??21

综合①、②可得
?
的取值范围是
?
??21

?
?


【巩固训练】
1、已知等差数列{
a< br>n
}中,
a
3
a
7
??16,a
4
?a
6
?0,
求{
a
n
}前n项和
s
n< br>.
【难度】★
【答案】见解析

15



【解析】设
?
a
n
?
的公差为
d
,则
?
?
?
a
1
?2d
??
a
1?6d
?
??16

?
?
?
a
1?3d?a
1
?5d?0
?
a
1
2
?8da< br>1
?12d
2
??16

?

?
a
1
??4d
解得
?
?
a
1
??8,
?
a
1
?8

?
?
d?2,
?
d??2

因此
S
n
??8n?n
?
n?1
?
?n
?
n?9
?
,或S
n
?8n?n
?
n?1
?
??n
?
n?9
?


2、已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?【难度】★★
1
n(n?1)

n?N
?
,求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
2
1
n(n?1)(n?2)

n?N
?
6
11
2
1
【解析】
?
n(n?1)?n?n

222
11
?
S
n
?(1
2
?2
2
?3
2
???n
2
)?(1?2?3???n)

22
111
11
??n(n?1)(2n?1)
??n(n?1)
?n(n?1)(n?2)

n?N
?

22
6
26
【答案】
S
n
?

3、(1)求和:
1111
?????

1?32?43?5n(n?2)
1111
?????

1?44 ?77?10(3n?2)(3n?1)
1111
?????
2?13?24?3n? 1?n
.
(2)求和:
(3)求和:
【难度】★★
【答案】(1)原式
?

1
?
311
?
n
1
?
1
?
??
(2)
原式;
(3)原式
?n?1?1

?
?1?< br>??
??
2
?
2n?1n?2
?
3
?
3n?1
?
3n?1
?
?
1
?
?
2
?
2
4、数列
?
a
n
?

a
1
?1,当n?2时
,其前n项和
S
n
满足
S< br>n
?a
n
?
s
n
?
(1)求
S
n
的表达式
(2)设
b
n
?
【难度】★★
S
n
,求数列?
b
n
?
的前n项和
T
n

2n?1

16



【答案】见解析
【解析】 提示:
a
n
?s
n
?s
n?1
代入用倒 数法求得
S
n
?

1n
。裂项相消法得
T
n
?

2n?12n?1< br>5、已知数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?3 1?3n
,求数列
{a
n
}
的前n项和
H
n

【难度】★★
【答案】见解析
【解析】由
a
n
?0
解出
n?10

n?10
时,
H
n
?S
n
??

n?11
时,
H
n
?2S
10
?S
n
?
3
2
59
n?n

22
3
2
59
n?n?290

22
?< br>?3
2
59
n?n,(n?10)
?
?
22

?H
n
?
?
?
3
n
2
?
59
n?290,(n?11)
?
?22


五、等差数列的综合应用(最值、单调性、数列与函数、数列与不等式综合等)

< br>【例28】等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
S
16
?0,S
17
?0
,则当n=_______时,
S
n
最大.
【难度】★★
【答案】8
【解析】
因为
S
n
?na
1
?
n(n?1)dd
d?n
2
?(a
1
?)n
,所 以
S
n
可以看成
n
的过原点的二次函数(没
222
有常数项)
S
16
?0,S
17
?0
,可知开口向下,考虑 对称轴
x?m
,那么抛物线与
x
轴的另一交点坐标

(2m ,0)

2m
应在
16

17
之间,
根据 分析有
16?2m?17?8?m?8.5
,离对称轴最近的
y
整数是
8
,所以
n?8
时,
S
n
最大.


【例29】设集合
W
是满足下列两个条件的无穷数列
{ a
n
}
的集合:①
a
n
?M.其中n?N
*
,

M
是与
n
无关的常数.
a
n
?a
n?2
?a
n?1
; ②
2m
m
2
x
O
(1)若{
a
n
}是等差 数列,
S
n
是其前
n
项的和,
a
3
=4,
S
3
=18,试探究
{S
n
}
与集合
W< br>之间的关系;
(2)设数{
b
n
}的通项为b
n
? 5n?2
n
,且{b
n
}?W,求
M
的取值范围;(4分)
【难度】★★

17



【答案】(1)设等差数列
{a
n
}
的公差是
d
,则
a
1
+2
d
=4,3
a
1
+3
d
=18,解得
a
1
=8,
d
=-2,
所 以
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d??n
2
?9n
,(2分),
2
S
n
?S
n?2
(S?S
n?1
)?(S
n?1
?S
n
)
an?2
?a
n?1
d
????1,

?S
n? 1
?
n?2
22
22

S
n
?S
n?2
?S
n?1
,
适合条件①. (4分);
2

S
n
??n
2
?9n??(n?
9
)
2
?
81

24
所以当
n
= 4或5时,
S
n
取得最大值20,即
S
n
≤ 20,适合条件②, (3分),
综上,{
S
n
}
?W
. (1分)
(2)因为
b
n?1
?b
n
?5(n?1)?2
n?1
?5n?2
n
?5?2
n
,(2分),
所 以当
n
≥3时,
b
n?1
?b
n
?0
,此 时数列{
b
n
}单调递减;(1分)

n
= 1,2时 ,
b
n?1
?b
n
?0
,即
b
1
<b
2
<b
3

因此数列{
b
n
}中的 最大项是
b
3
=7,所以
M
≥7.(3分)

2
2n?
【例30】已知
f(x)?a
1
x?a
2
x ???a
n
x(n?Z)
,且
y?f(x)
的图像经过点
( 1,n)

(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)当n为奇数 时,设
g(x)?
1
?
1
?
?
f(x)?f(?x )
?
,是否存在整数m和M,使不等式
m?g
??
?M
2< br>?
2
?
恒成立,若存在,求出
M?m
的最小值;若不存在,请 说明理由。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】1)再写一项做差得
a
n
?2n?1

1
11
?
1
??
1
?
3n
2)
g(x)?< br>?
f(x)?f(?x)
?
?a
1
x?a
3
x?K?a
n
x

g()?1??5?
??
?K?
?
2n?1
?
??

2
22
?
2
??
2
?
3n
11
?
1
??
1
? ?
1
?
g()?1?
??
?5?
??
K?
?
2n?1
?
??
42
?
2
??
2
??
2
?
小于

35n?2
11413
?
1
?
2n
?
1
?
相减得
g()???
? ?
?
??
明显
299
?
2
?
3
?
2
?
nn
14
?
1
?
?
1
?
11
?
1
?
14

g
??
为 n的增函数n=1时
g
??
?

?g
??
?
m最大值为0,M最小值为2
9
?
2
?
?
2
?
22
?
2
?
9
【例31】已知正数列
{an
}
的前
n
项和
S
n
满足

2S
n
?a
n
a
n?1
?1

a
1
?a?0


18



(1)求证:
a
n?2
?a
n
是一个定值;
(2)若数列
{a
n
}
是一个单调递增数列,求
a
的取 值范围;

【难度】★★
【答案】见解析
【解析】(1)
Q2S
n
?a
n
a
n?1
?1

?

2S
n?1
?a
n?1
a
n?2
?1

?

2a
n?1
?a
n?1
?
a
n?2
?a
n
?
,任意
n?N
*
,
an
?0
,
?a
n?2
?a
n
?2

1?2a1
?2?

a a
111
数列的前几项:
a,
2?

a?2
4?

a?4

6?

L

aaa
1
整个数列成单调递增的充要条件是
a?2??a?2
解得
1?a?1?2


a
(2)计算
n?1,2a?aa
2
?1,?a
2
?

?
【例32】设数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?pn?q(n?N,P?0)
. 数列
{b
n
}
定义如下:对于正整数
m
b
m
是使得不等式
a
n
?m
成立的所有
n中的最小值.
(Ⅰ)若
p?
11
,q??
,求
b
3

23
(Ⅱ)若
p?2,q??1
,求数列
{b
m
}
的前2
m
项和公式;
?
(Ⅲ)是否存在
p
q
,使得
b
m
?3m?2(m?N)
?如果存在,求
p

q
的取值范围;如果不存在,
请说明理由.
【难度】★★★ < br>【答案】(Ⅰ)由题意,得
a
n
?

20
1111< br>n?
,解
n??3
,得
n?
.
32323
11
n??3
成立的所有
n
中的最小整数为7,即b
3
?7
.
23
(Ⅱ)由题意,得
a
n
?2n?1

对于正 整数,由
a
n
?m
,得
n?
根据
b
m的定义可知

m?2k?1
时,
b
m
?kk?Nm?1
.
2
?
*
?
;当
m?2k
时 ,
b
m
?k?1
?
k?N
*
?
.

b
1
?b
2
?L?b
2m
?
?
b
1
?b
3
?L?b
2m?1
?
?
?< br>b
2
?b
4
?L?b
2m
?

?< br>?
1?2?3?L?m
?
?
?
?
2?3?4?L?< br>?
m?1
?
?
?


19



?
m
?
m?1
?
m
?< br>m?3
?
??m
2
?2m
.
22
m?q
.
p
(Ⅲ)假设存在
p

q
满足条件,由不等式
pn?q?m

p?0

n?
?

b
m
?3m?2(m?N)
,根据
b
m
的定义可知,对于任意的正整数
m
都有
3m?1?
m?q
?3 m?2
,即
?2p?q?
?
3p?1
?
m??p?q
对任意的正整数
m
都成立.
p
p?q2p?q
(或
m??
),
3p?1
3p?1

3p?1?0
(或
3p?1?0
)时,得
m??
这与上述结论矛盾!

3p?1?0
,即
p?
1
2121
时,得
??q?0???q
,解得
??q??
.
3
3333
?
∴ 存在
p

q
,使得b
m
?3m?2(m?N)

p

q
的取值 范围分别是
p?
1
21

??q??
..
3
33

【巩固训练】
1、设等差数列
?
an
?
的前
n
项和
S
n
,已知
a
3
?12,S
12
?0,S
13
?0
.指出
S< br>1
,S
2
,
…,
S
12
中哪一个值最大,< br>并说明理由.
【难度】★★
【答案】
S
6

【解 析】设对称轴
x?m
,则
12?2m?13?6?m?6.5
,所以
S
6
最大

2、设数列{
a
n
}是首项为50, 公差为2的等差数列;{b
n
}是首项为10,公差为4的等差数列,以
a
k

b
k
为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S
k
,若
k
≤21,那么S
k
等于?
【难度】★★
【答案】
(2k?3)
?

【解析】
a
n
?2n?48

b
n
?4n?6

n?21
2n?48>4n?6
从而
a
n
?b
n
最大圆是以a
n
,b
n
中较
小的边为直径的圆,所以
r?

2222
3、设
?
a
n
?
是公差不为零的等差数列 ,
S
n
为其前
n
项和,满足
a
2
?a3
?a
4
?a
5
,S
7
?7

2
b
n
?2n?3

2
(1)求数列
?< br>a
n
?
的通项公式及前
n
项和
S
n


20



(2)试求所有的正整数
m
,使得
【难度】★★
【答案】见解析

2
【解析】(1)设公差为
d
,则
a
2

d
a
m
a
m?1
为数列
?
a
n
?
中的项。
a
m?2
222< br>,由性质得
?3d(a
4
?a
3
)?d(a
4
?a
3
)
,因
?a
5
?a
4
?a
3
所以
a
4
?a
3
?0
,即
2a
1
?5d?0
,又由
S
7
?7

7a
1
?
?0

7?6
d?7
,得
a
1
??5

2

d?2
,
(2) (方法一)
am
a
m?1
(2m?7)(2m?5)
aa
(t?4)(t?2 )8
?
,设
2m?3?t
,则
mm?1
=
?t?? 6
, 所
a
m?2
2m?3
a
m?2
tt
t
为8的约数。因为t是奇数,所以t可取的值为
?1

当t =1,m=2时,
t+?6?3
,是数列
?
a
n
?
中的项;当当t=-1,m=1时,
t+?6??15
,数列中的最
小项是-5,不符 合,所以满足条件的正整数m=2。
(方法二)因为
8
t
8
ta
m
a
m?1
(a
m?2
?4)(a
m?2< br>?2)
8
??a
m?2
?6?
为数列
?
a< br>n
?
中的项,
a
m?2
a
m?2
a
m?2

8
a
m+2
为整数,又由(1)知:
a
m?2
为奇数,所以
a
m?2
?2m?3??1,即m?1,2

经检验,符合题意的正整数只有
m?2






求数列的通项公式以及前项
n
和是数列知识的一个重点,也是一 个难点,高考也往往通过考
查递推数列来考查学生对知识的探索能力,熟练掌握求数列通项公式的几种方 法有利于更好地解
决数列相关问题,求数列的前项和的基础是对于数列中递推数列的通项公式的求法要很 好地掌
握,一般是将递推公式变形,推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊< br>数列,把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列,在基础上数列进行进一
步 的研究,即对于数列求和中和不等式、函数,行列式等结合考查学生的综合能力。
反思总结




21







课后练习
1
2
A.4 B.6 C、8 D.10
【难度】★
【答案】C

【 解析】由
1、在等差数列
?
a
n
?
中,若
a
2
?a
4
?a
6
?a
8
?a
10
?80
,则
a
7
?a
8
的值为( )
a
2
?a
4
?a
6
?a
8
?a
1 0
?80?5a
6
?80
?a
6
?16

111
a
7
?a
8
?a
6
?d?(a
6< br>?2d)?a
6
?8
,故选C.
222

2、设等 差数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
。若< br>a
1
??11

a
4
?a
6
??6
,则当
S
n
取最小值时,n等
于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【难度】★★
【答案】A
【解析】由
a
4
?a
6
?a
1
?a
9??11?a
9
??6
,得到
a
9
?5
,从而
d?2
,所以
S
n
??11n?n(n?1)?n
2?12n
,因此当
S
n
取得最小值时,
n?6
.

3、等差数列{a
n
}中,a
10
<0,a
11
>0且a
11
>|a
10
|,S
n
为其前n项和, 则
A.S
1
,S
2
,…,S
10
都小于0,S< br>11
,S
12
,…都大于0
B.S
1
,S
2
,…,S
19
都小于0,S
20
,S
21
,…都 大于0
C.S
1
,S
2
,…,S
5
都小于0,S
6
,S
7
,…都大于0
D.S
1
,S
2
,…,S
20
都小于0,S
21
,S
22
,…都大 于0
【难度】★★
【答案】B
【解析】由题意知
?
?
a
1
?9d?0,
可得d >0,a
1
<0.又a
11
>|a
10
|=-a
1 0

?
a
1
?10d?0,
∴a
10
+ a
11
>0.由等差数列的性质知a
1
+a
20
=a
10
+a
11
>0,∴S
20
=10(a
1
+a
20
)>0.

4、设
s
n
是数列
{a
n
}
的前n项和,若
s
3
1
s
?
,则
6
?
( )
s
6
3s
12
A
111
3
B C D
389
10
【难度】★★
【答案】A

22



【解析】设
sn
?an?bn.则由
2
s
3
s
9a?3b136a? 6b54a3
??,得b?3a

?
6
???

s
6
36a?6b3
s
12
144a?12b180a10

5、如图,在杨辉三角中,斜线
l
上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1 ,3,3,4,6,5,10,…,
记其前
n
项和为
S
n
,

S
19
等于
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … … …
【难度】★★★
【答案】283
【解析】由条件 知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S
19
=283.

6、下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案, 则按此规律第
n
个图案中需用黑色
瓷砖 块.(用含
n
的代数式表示)


【难度】★★
【答案】4n+8
【解析】第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为:15-3 =12;24-8=16;35-15=20;…
由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8

7、 已知数列
?
a
n
?

1,?,?
1
221
23
2312100
?,…,??…?,…

331001 00100
求证:数列
?
a
n
?
为等差数列,并求它的公差
【难度】★
【答案】见解析
n
?
1?n
?
12 n1?2?…?nn?1
2
??
【解析】①由条件,
a
n
? ??…??

nnn2n2

a
n?1
?
n?2< br>n?2n?11
??
?
n?1
?
;∴
a
n ?1
?a
n
?
2
222
1

2

?
a
n
?
为等差数列,公差
d?

*8、数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
? na?n(n?1)b
(n?N)
,a,b是常数,且b
?
0.

23



⑴证明:
?
a
n
?
是等差数列;
⑵证明以
(a
n
,
S
n
?1)
为坐标的点P
n
都落在同一条直线上 ,并求出此直线的方程.
n
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】⑴证 明:∵
a
1
=
S
1
=
a
,∵当
n ≥2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
=[ < br>na

n

n
-1)
b
]-[(
n
-1)
a
+(
n
-1)
(
n
-2)
b
]=
a
+(
n
-1)2
b

a1
也符合此形式)

∴数列{
a
n
}是以
a
为首项,公差为2
b
的等差数列.
⑵证明: ∵
b
?
0,
?
a
n
?
是等差数列,当
n
≥2时,
P
n
(a
n
,

k
P
n
P
1
?
(
S
n
?1)
,
P
1(a
1
,S
1
?1)

P
1
(a,a ?1)

n
S
n
?1)?( S
1
?1)
na?n(n?1)b?nan(n?1)b
1
n
=
S
n
?nS
1
= = = .
n[a?(n?1)?2b ?a]2n(n?1)b
2
n(a
n
-a
1
)
a< br>n
?a
1
1
S
n
(a,a?1)
为坐标的点 都在过点,斜率为的直线上,
?1)
2
n
此直线的方程为:
x-2
y

a
-2=0.

∴以
P
n
(a
n
,
9
、已知数列

.
的前项和,数列的每一项都有,求数列的前项
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】


又当



数列

故数列





时,

的通项公式为
是首项为
9
,公差为的等差数列
.
.
.
,当时,

.

.
由二次函数的性质知,

最大(若令则)
.

.
的前五项为正,

,从第
6
项起又组成一个首项为
1


公差为
2
的等差数列,

其和为


24





故当时,
.
.

综合上述,可得数列

的前项和为

10、已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=12n-n
2
,求数列{|a
n
|}的前n项和T
n
.

【难度】★★
【答案】见解析 【解析】当n=1时,a
1
=S
1
=12-1
2
=11 ;
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n

1
=12n-n
2
-[12(n-1)-(n-1)
2
]=13-2n .
∵n=1时适合上式,
∴{a
n
}的通项公式为a
n
=13-2n.
13

2
即当 1≤n≤6(n∈N
*
)时,a
n
>0;当n≥7时,a
n
<0.
(1)当 1≤n≤6(n∈N
*
)时,
T
n
=|a
1
|+ |a
2
|+…+|a
n
|=a
1
+a
2
+ …+a
n
=12n-n
2
.
(2)当n≥7(n∈N
*
)时,
T
n
=|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|
=(a
1
+a
2
+…+a
6
)-(a
7
+a
8
+… +a
n

=-(a
1
+a
2
+…+a
n
)+2(a
1
+…+a
6

=-S
n
+2S
6
=n
2
-12n+72. 由a
n
=13-2n≥0,得n≤
2
?
(1?n?6,n?N< br>*
),
?
12n?n
∴T
n
=
?

2
*
?
?
n?12n?72
(n?7,n?N).

11、设各项均为正数的数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
,已知,数列
1)求数列
?
a
n
?
的通项公式(用n,d表示)
?
S
?
是公差为d的等差数列。
n
2)设c为 实数,对满足
m?n?3k且m?n
的任意正整数m,n,k不等式
s
m?s
n
>cs
k
都成立,求证:
c的最大值是
【难度】 ★★
【答案】见解析
【解析】
S
n
?a
1
?< br>?
n?1
?
d
当n≥2时
a
n
?
9
.
2
?
S
n
?S
n?1
??
S
n
?S
n?1
?2da
1
?3d
2
?2d
2
n

?
22
22

2a
2?a
1
?a
3

22da
1
?d?a
1
?2da
1
?3d
解得
a
1
?d
故n≥ 2时
a
n
?2nd?d

??
2
2
a
1
?d
所以数列通项公式为
a
n
?
?
2n?1
?
d

22
2)
a
1
?d
S
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

d>0,S
n
?nd

s
m
?sn
=m
2
?n
2
??
?
m?n
?d
2

2
2
99
d
2
?k
2
d
2
?s
k

22

25



9933
。另一方面,任取实数
c>
,设k为偶数 ,令
m?k?1,n?k?1
,则
2222
22
??
21
22
2
33
????
222
时就
s
m
?s
n
=
?
m?n
?
d=
?
?
k?1
?
?
?
k?1
?
?
d?d
?
9k?4
?
,于是只要
9k
2
?4<2ck
2< br>即当
k>
222
2c?9
???
??
?
?< br>?
99

s
m
?s
n
<cs
k,所以矛盾,应有c≤。 因此c的最大值为。
22
故c的最大值≤

12、已知集合
A?
?
a
1
,a
2
,La
n
?
(0?a
1
?a
2
?L?a
n
,n?N
*
,n?3)
具有性质
P

对任意
i ,j(1?i?j?n)

a
i
?a
j

a
j
?a
i
至少一个属于
A

1,2,3
?
是否具有性质
P
,并说明理由; (1)分别判断集合
M?
?
0,2,4
?

N?
?
(2)①求 证:
0?A
;②求证:
a
1
?a
2
?L?a
n
?
n
a
n

2
(3)研究当
n?3 ,4

5
时,集合
A
中的数列
?
a
n?
是否一定成等差数列?
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】 (1)对于集合
M

Q2?0?2,4?2?2,4?0?4,0?0?0,2?2? 0,4?4?0?A

∴集合
M
具有性质
P
.对于集合N

Q2?2?4,2?2?0?A
,∴集合
N
不具性质
P

(2)①
Qa
n
?a
n
?a
n
?A?a
n
?a
n
?0?a
1
?A


Q0?a
1
?a
2
?L?a
n
,? 0?a
n
?a
n
?a
n
?a
n?1
?L? a
n
?a
1


Qa
n
?a
n?i
?a
n
(i?1,2,L,n?1),?a
n
?a
n?i
?A


?a
1
?a
n
?a
n
,a
2
?a
n
?a
n?1
,a
3
?a
n
?a
n?2
,La
n
?a
n?a
1


?a
1
?a
2
?L ?a
n
?
n
a
n

2
(3)① 当n?3
时,集合
A
中元素
a
1
,a
2
,a
3
一定成等差数列.
证明:当
n?3
时,
0?a1
?a
2
?a
3
,?0?a
3
?a
3
?a
3
?a
2
?a
3
?a
1
.< br>
?0?a
3
?a
3
?A,?a
1
?0.

Qa
3
?a
3
?a
3
,?a
3
? a
3
?A,

Qa
3
?a
2
? a
3
,?a
3
?a
2
?A,?a
3
?a< br>2
?A,?a
3
?a
2
?a
2
,


2a
2
?a
3
,

a
1?0,
,∴
2a
2
?a
1
?a
3
.故
a
1
,a
2
,a
3
成等差数列.
② 当
n?4
时,集合
A
中元素
a
1
,a
2,a
3
,a
4
不一定成等差数列.
如:
A

0,1,2,3
组成等差数列;
A

0,2,3,5
不组成 等差数列.
③ 当
n?5
时,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
成等差数列.
证明:当< br>n?5
时,
0?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
,?0?a
5
?a
5
?a< br>5
?a
4
?a
5
?a
3
?a
5?a
2
?a
5
?a
1
.

< br>?a
1
?0,a
5
?a
4
?a
2
, a
5
?a
3
?a
3
,?a
4
?a
3
?a
3
?a
2
,


Qa
4< br>?a
3
?a
4
?a
2
?a
5
,?a
4
?a
3
?A,0?a
4
?a
3
?a3
?a
2
?a
3
,?a
4
?a
3?a
3
?a
2
?a
2

?a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
成等差数列 .


26



















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