高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导

高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导
2-1模块练习题
姓名：
一、非解答题
1 如果
x?ky? 2
表示焦点在
y
轴上的椭圆，那么实数
k
的取值范围是
22
x
2
y
2
的直线
l
与双曲线的右支< br>2．
已知双曲线
2
?
2
?1
(a
＞
0
，
b
＞
0)
的右焦点为
F
，若过点
F
且倾斜角为
60°
ab
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是< br>__________
．


3．已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆 的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点．现有一水平放置的椭圆形台球 盘，其长轴长为2a，焦距为2c，若点A，B是它的焦点，当静放在点
A的小球（不计大小），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，小球经过的路程是
4．用一个与圆柱母 线成
60?
角的平面截圆柱，截口是一个椭圆，则此椭圆的离心率是

uuuuruuuur
5.已知
F
1
、
F
2
是椭圆的两个焦点，满足
MF
1
?MF
2
?0
的点
M
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
x< br>2
y
2
??1
于M、N两点，椭圆于y轴的正半轴交于点B，若
?BMN
的重心恰好6．已知直线L交椭圆
2016
落在椭圆的右焦点上，则直线L的方程是
x
2
y
2
7．设椭圆
2
?
2
?1
和
x
轴正方向交点为A，和
y
轴正方向的交点为B，Ｐ为第一象限内 椭圆上的点，使
ab
四边形OAPB面积最大（Ｏ为原点），那么四边形OAPB面积最大值为 （ ）
A．
2ab
B．
1
2
ab
C．
ab
D．
2ab

2
2
x
2
y
2
1< br>??1
的离心率为，则
k
的值为______________ 8 椭圆
k?89
2
x
2
y
2
??1
的两个焦点， 过
F
1
的直线交椭圆于A、B两点，若
F
2
A?F
2
B?12
，9．已知
F
1
、F
2
为椭圆
259
则
AB
=___________。
x
2
y
2
??1
的焦点
F
1
、
F
2
，点
P
为其上的动点，当∠
F
1
P
F
2
为钝角时，点
P
横坐标的取值范10．椭圆
94
围是
11.已知
m,n
为空间中两条不同的直线，
?
,
?
为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若
n?
?
,n?
?
,m?
?
,则
m
?
B. 若
m?
?
,
?
?
?
，则
m
?
C. 若
m,n
在
?
内的射影互相平行,则
mn
D. 若
m?l,
?
I
?
?l
，则
m?
?

12.在四边形
ABCD
中，
AB?AD?2
，
BC?3< br>，
CD?5
，
AB?AD
，现将
?ABD
沿
BD
折起，得
三棱锥
A?BCD
，若三棱锥
A?BCD
的四 个顶点都在球
O
的球面上，则球
O
的体积为（ ）
1 11

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1125272
82
?
B.
?
C.
?
D.
?

433
3
13.如图，平面
?
?
平面
?
，且
A,B,C,D?
?
I
?
=直线
l
，
A,C
是
?
内不同的两点，
B,D
是
?
内不同的两点，
直线
l
，
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点．下列判断正确的是（ ）
A.
A. 当
CD?2AB
时，
M,N
两点不可能重合
B.
M,N
两点可能重合，但此时直线
AC
与
l
不可能相交
C. 当
AB
与
CD
相交，直线
AC
平行于
l
时，直线
BD
可以与
l
相交
D. 当
AB,CD
是异面直线时，直线
MN
可能与
l
平行

14. 如图所示，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，底面是
?ABC
为直角的等腰直角三角形，
AC?2a< br>，
BB
1
?3a,D
是
A
1
C
1< br>的中点，点
F
在线段
AA
1
上，当
AF?
________时，
CF?
平面
B
1
DF
.












第14题
第16题
15．已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长是
1，则直线
DA
1
与
AC
间的距离为 。
16．如图，在三棱锥
A?BCD
中，
BC?DC?AB?AD?2,BD?2
，平面
ABD?

平面
BCD
，
O
为
B D
中点，
P,Q
分别为线段
AO,BC
上的动点（不含端点），且
AP?CQ
，则三棱锥
P?QCO
体积的最大值为_________.

二、解答题
x
2
y
2
2
1．设椭圆< br>2
?
2
?1,
?
a?b?0
?
的左右焦点分 别为
F
1
,F
2
，离心率
e?
，点
F2
到右准线为
l
的距离为
2
ab
uuuuruuuur
2
（Ⅰ）求
a,b
的值；（Ⅱ）设
M,N
是
l上的两个动点，
F
1
M?F
2
N?0
，
uu uuruuuuruuuurr
证明：当
MN
取最小值时，
F
1F
2
?F
2
M?F
2
N?0









2 11

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x
2
y
2
2．如图、椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的一个焦点是 F（1，0），O为坐标原点.
ab
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意
转动，都有
OA?OB?AB
，求a的取值范围.












3 ．设椭圆中心在坐标原点，
A(2，，0)B(0，1)
是它的两个顶点，直线
y?k x(k?0)
与AB相交于点D，与椭
圆相交于E、F两点．
222
uuu ruuur
（Ⅰ）若
ED?6DF
，求
k
的值； （Ⅱ）求四边形
AEBF
面积的最大值．






4.如图所示的几何体
P?ABCD
中，四边形
ABC D
为菱形，
?ABC?120?
，
AB?a
，
PB?3a< br>，

PB?AB
，平面
ABCD?
平面
PAB
，
AC?BD?O
，
E
为
PD
的中点，
G
为平面
PAB
内任一点．
（Ⅰ）在平面
PAB
内，过
G< br>点是否存在直线
l
使
OEl
？
如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；
（Ⅱ）过
A
，
C
，
E
三点的平面将几何体
P?ABCD

截去三棱锥
D?AEC
，求剩余几何体
AECBP
的体积．




3 11

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5.
已知四棱锥
P?ABCD
的底面为直角梯形，
ABDC
，
?DAB?90
?< br>,PA?
底面
ABCD
，且
PA?AD?DC?
1
，
2
AB?1
，
M
是
PB
的中点
（1）求
AC
与
PB
所成角的余弦值；
（2）求面
AMC
与面
BMC
所成夹角的余弦值.










6 .如图，在三棱锥
S?ABC
中，
?ABC
是边长为4的正三角形，平面SAC?
平面
ABC
，
SA?SC?22
，
M
为
AB
的中点.
（1）证明：
AC?SB
；
（2）求二面角
S?CM?A
的余弦值；
（3）求点
B
到平面
SCM
的距离.










4 11
S
C
A
M
B

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参考答案
一、选择题
y
2
x
2
2
??1,?2?0?k?1
1．
?
0,1
?
焦点在
y
轴上，则
22k
k
b
x
与直线
l
平行，或渐近线从该位置绕原点按 逆时针旋转时，直线
l
与
a
bc
双曲线的右支有且只有一个交点，所 以
?3
，即
c
2
?a
2
?b
2
? 4a
2
，所以
e??2
．

aa
3．
4a

2．
[2
，
+∞) 【解析】当渐近线
y?
4．
e?
R2R
c1
?
，
b?R
，
?
解：设圆柱底面半径为R，则
a?
0< br>sin60
a2
3
∴
c?a
2
?b
2
?(
1
2
c1
2R
2
R
，∴
e??。
)?R
2
?
a2
33
P
y

5．
e?(0,)
解：由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则
1
c?b?c?b?a?c?e?
又
e?(0,1)
，
2
1
所以
e?(0,)
。
2
22222
F
1

O
F
2

x

6．
6x?5y?28?0
解：设M、N的坐标分别为M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y< br>2
)
，点B坐标为
B(0,4)
，椭圆右焦
点为
F( 2,0)
， ∵
?BMN
的重心恰好落在椭圆的右焦点上，
?
x
1
?x
2
?0
?2
?
?
x
1< br>?x
2
?6
?
3
?
?
∴
?
，∴MN的中点坐标为
(3,?2)
， 又点
M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
在椭圆
y?y??4
y?y?4
2
2
?
1
?0
?
1
?
3
?
x
1
2
y
1
2
x
2
y
2
x
2
2
y
2
2
??1
上， ∴
??1
，
??1
，两式相减得：
20 162016
2016
x
1
2
?x
2
2
y
1
2
?y
2
2
(x?x)(x?x)(y?y
2< br>)(y
1
?y
2
)
??0?
1212
??< br>1

20162016
∴直线MN的斜率
k?
y
1< br>?y
2
16(x
1
?x
2
)
16?66?????

x
1
?x
2
20(y
1
?y
2
)20?(?4)5
y

B
P
6
∴直线MN的方程为
y?2?(x?3)
，
5
5 11
O A
x

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即
6x?5y?28?0
。
7．B 解：
?OAB
的面积为
1
ab
，四边形OAPB的面积大于
2
?OAB
的面积而小于
?OAB
的面积的2倍，故选B。
c
2
k?8?91
5
2
?,k?4
； 8．
4,或?
解：当
k?8?9
时，
e?
2
?
ak?84
4
c
2
9?k?815
?,k??
当
k?8?9
时，
e?
2
?
a944
2
9． 8 解：依题直线
AB
过椭圆的左焦点
F
1
,在
?F2
AB
中，
|F
2
A|?|F
2
B|?| AB|?4a?20
，又
|F
2
A|?|F
2
B|?12< br>，∴
|AB|?8.

10．
(?
3535
,)
可以证明
PF
1?a?ex,PF
2
?a?ex,
且
PF
1
2
?PF
2
2
?F
1
F
2
2

55
5,e?
5
22222222
，则
(a?ex)?(a?ex)?( 2c),2a?2ex?20,ex?1

3
而
a?3,b?2,c?
x
2
?
3535
111
??e?
即
,??x?,
55
e
2
ee
11.A 12.D 13B
14.
a
或
2a
；
uuuruuuur
3
15.
A(0,0,0),C(1,1,0),D (0,1,0),A,1,0),DA
1
?(0,?1,1)

1
( 0,0,1),AC?(1
3
uuuuruuuuruuuruuuuruuuur
设
MN?(x,y,z),MN?AC,MN?DA
1
,x?y?0,?y?z?0,令 y?t

uuuur
uuuur
则
MN?(?t,t,t)
，而另可设
M(m,m,0),N(0,a,b),MN?(?m,a?m,b)

?
?m??t
rr
111
uuuu
1113
1
uuu u
?
MN?(?,,),MN????
a?m?t,N(0,2t,t),2t?t? 1,t?
，
?
3339993
3
；
?
b?t
?
16.
2

48

二、解答题
1．解：因为
e ?
a
a
，
F
2
到
l
的距离
d?? c
，所以由题设得
c
c
6 11

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?
a2
?
?
?
2
解得
c?2,a?2
由
b
2
?a
2
?c< br>2
?2
，得
b?2

?
c
?< br>a
?c?2
?
?
c
（Ⅱ）由
c?2,a?2
得
F
1
?2,0,F
2
???
??
2,0
，
l
的方程为
x?22

?
??
uuuuruuuur
由知
FM?FN?0
知 ?
2
12
故可设
M22,y
1
,N22,y
2

??
2?2,y
1
?22?2,y
2
?0

6

y
1
?
得
y
1
y
2
??6
，所以
y
1
y
2
?0,y
2
??

MN?y
1
?y
2
?y
1
?
61
?y
1
??26

y
1
y
1
当且仅当
y
1
??6
时，上式取等号，此时
y
2< br>??y
1

uuuuruuuuruuuur
所以，
F
1
F
2
?F
2
M?F
2
N??22,0?
???
2,y
1
?
??
2,y
2
?
?< br>0,y
1
?y
2
?
?
r
?0

2．解：(Ⅰ)设M
，
N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，
所以
OF?
32b
3
g,解得b＝3.

MN< br>,
1?
23
2
x
2
y
2
?1.
a?b?1?4
，因此，椭圆方程为
?
43
22
(Ⅱ) 设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2).

(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，
OA?OB?2a
2,AB?4a
2
(a
2
?1),因此，恒有OA?OB?AB.

x
2
y
2
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为 ：
x?my?1代入
2
?
2
?1,

ab
整理得
(a?bm)y?2bmy?b?ab?0,

2222 2222
222222
2b
2
mb
2
?a
2
b
2
,y
1
y
2
?
2
所以
y< br>1
?y
2
??
2

a?b
2
m2
a?b
2
m
2
因为恒有
OA?OB?AB
， 所以
?
AOB恒为钝角.
222
uuuruuur
即
OA
g
OB?(x
1
,y
1
)
g
(x
2
,y
2
)?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
恒成立.
7 11

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x
1
x
2
?y
1
y
2
?(my
1
?1)(my
2
?1)?y
1
y
2
?(m
2
?1)y
1< br>y
2
?m(y
1
?y
2
)?1

( m
2
?1)(b
2
?a
2
b
2
)2b2
m
2
?m
2
a
2
b
2
?b
2
?a
2
b
2
?a
2
??
2?1??0.

22222222
a?bma?bma?bm
又
a?bm?0
，所以
?mab?b?ab?a?0
对
m?R
恒成立，
即
mab?a?b?ab
对
m?R
恒成立，当
m?R
时，
mab
最小值为0，
2222
所以
a?b?ab?0
，
a?b(a?1)?b
,
2224
2222222222
2222 222222
∵a?0,b?0,∴a?b
2
?a
2
?1
， 即
a
2
?a?1?0
,
解得
a?
1?51?51 ?5
或
a?
(舍去)，即
a?
,
222
1?5
,??)
.
2
综合（i）(ii)，a的取 值范围为
(
x
2
?y
2
?1
， 3．解（Ⅰ）：依 题设得椭圆的方程为
4
直线
AB，EF
的方程分别为
x?2y?2< br>，
y?kx(k?0)
．
如图，设
D(x
0
，k x
0
)，E(x
1
，kx
1
)，F(x
2
，kx
2
)
，其中
x
1
?x
2
，
且
x
1
，x
2
满足方程
(1?4k)x?4
，
故
x
2
??x
1
?
22
y
B
O
E
F
D
A
x
2
1?4k
2
． ①
uuuruuur
1510< br>由
ED?6DF
知
x
0
?x
1
?6(x2
?x
0
)
，得
x
0
?(6x
2?x
1
)?x
2
?
；
2
77
71? 4k
由
D
在
AB
上知
x
0
?2kx
0
?2
，得
x
0
?
所以
2
．
1?2k
21023
2
?
，化简得
24k?25k?6?0
，解得
k?
或
k?
．
1?2k
71?4k
2< br>38
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点
E，F
到
A B
的距离分别为
h
1
?
x
1
?2kx
1< br>?2
5
?
2(1?2k?1?4k
2
)
5(1?4k )
2
，
8 11

高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导
h
2
?
x
2
?2kx
2
?2
5
?
2(1?2k?1?4k
2
)
5(1?4k)
2
．
又
AB?2
2
?1?5
，所以四边形
AEBF
的面积为
2(1?2k)
1
1?4k
2
?4k
14(1?2k)
?
≤
22
，
S?AB(h
1
?h
2
)
?
g
5
g
?2
2
2
2
2
2
1?4k
1?4k
5(1?4k)
当
2k?1
，即当
k?
1
时，上式取等号．所以
S
的最大值为
22
．
2
解法二：由题设，
BO?1
，
AO?2
．
设< br>y
1
?kx
1
，
y
2
?kx
2，由①得
x
2
?0
，
y
2
??y
1< br>?0
，
故四边形
AEBF
的面积为
22
S?S< br>△BEF
?S
△AEF
?x
2
?2y
2
?( x
2
?2y
2
)
2
?x
2
?4y
2
?4x
2
y
2

22
≤
2(x
2
?4y
2
)
?22
，
当
x
2
?2y
2
时，上式取等号．所以
S
的最大值为
22
． 4.【解析】（Ⅰ）过
G
点存在直线
l
使
OEPl
，理 由如下：
由题可知
O
为
BD
的中点，又
E
为PD
的中点，所以在
?PBD
中，有
OEPB
.
若点
G
在直线
PB
上，则直线
PB
即为所求作直线
l< br>，所以有
OEl
；
若点
G
不在直线
PB
上 ，在平面
PAB
内，过点
G
作直线
l
，使
lPB< br>，
又
OEPB
，所以
OEl
，即过
G
点存 在直线
l
使
OEl
.
（Ⅱ）连接
EA
，
EC
，则平面
ACE
将几何体分成两部分：三棱锥
D?AEC
与几何 体
AECBP
（如
图所示）.
因为平面
ABCD?
平面
PAB
，且交线为
AB
，
又
PB?AB
，所以
PB?
平面
ABCD
，故PB
为几何体
P?ABCD
的高.
又四边形
ABCD
为菱形，
?ABC?120?
，
AB?a
，
PB?
所以S
四边形ABCD
?2?
所以
V
P?ABCD
又
OE
3
2
3
2
a?a
，
42
13
2
1
1
a?3a?a
3
. ?S
四边形ABCD
?PB?
?
322
3
3a
，
1
PB
，所以
OE?
平面
ACD
，
2
1
11
所以
V
三棱锥D?AEC
?V
三棱锥E? ACD
?

S
?ACD
?EO?

V
P?ABCD
?a
3
，
3
48
113
所以几何体
AECBP
的体积
V?V
P?ABCD
?V三棱锥D?EAC
?
a
3
?a
3
?a
3
.
288

5.
21.证明：以 为坐标原点 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
9 11

高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导
.
（1）因

（2）平面 的一个法向量设为 ，

平面 的一个法向量设为 ，

所求二面角的余弦值为
6.解析：（1）证 明：取
AC
的中点
O
，连接
OS,OB

因为SA?SC
，
BA?BC
，所以
AC?SO
且
AC?B O
.
因为平面
SAC?
平面
ABC
，平面
SAC ?
平面
ABC?AC
，所以
SO?
平面
ABC

所以
SO?BO
.
如右图所示，建立空间直角坐标系
O?xyx

则
A(2,0,0),C(?2,0,0),S(0,0,2),B(0,23,0)

所以
AC?(?4,0,0),BS?(0,?23,2)

因为
AC?BS?(?4,0,0)?(0,?23,2)?0

所以
AC?SB

（2）由（1）得
M(1,3,0)
，所 以
CM?(3,3,0),CS?(2,0,2)

10 11

高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导
设
n?(x,y,z)
为平面
SCM
的一个法向量，则
?
?
n?CM?3x?3y?0
，取
z?1
，则
x??1,y ?3
所以
n?(?1,3,1)

?
?
?
n?CS?2x?2z?0
又因为
OS?(0,0,2)
为平面
ABC的一个法向量，所以
cosn,OS?
n?OS
?
5

所以二面角
S?CM?A
的余弦值为
5
5
.
nOS
5
11 11