全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导三角恒等式和三角不等式

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第七讲 三角恒等式和三角不等式

知识、方法、技能
三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.
三角恒等式包括绝对 恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与
求证或所证恒等式等号两边三角式的繁 简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与
求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、 次数以及结构的差别与联系，抓住其主
要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异， 统一形式，完成证明.“和
差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧 。当然有时也可以利
用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于
t?tan
x< br>的代数恒等式的证明问题.
2
要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握
各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.

?
?
?

T
?
?
?

T
?
?
?

T

2
?


相除 相除 相除



S
?
??
S
?
?
?
S
2
?
?
??



C
?
?
?
C
?
?
?
C
2
?


相加减

万
S
?

能
积化和差
2

公
C
?


2
式
S
3
?


T
?
C
3
?

2
和差化积

上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和
基础.
此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题
往往可 以从几何或复数角度获得巧妙的解法.
三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方 法：配方法、比较法、放

缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有 自己的特点——含有三角式，
因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利 武器.
三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角
形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正
弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式
S?p(p?a)(p?b)(p?c)[其中p?
1
(a? b?c)]
，大家往往不甚熟悉，但十分有用.
2
赛题精讲
例1：已知< br>sin
?
?Asin(
?
?
?
),|A|?1,求证 :tan(
?
?
?
)?
sin
?
.
cos
?
?A
【思路分析】条件涉及到角
?
、
?
?
?
，而结论涉及到角
?
?
?
，
?
.故 可利用
?
?(
?
?
?
)?
?
或
?
?(
?
?
?
)?
?
消除条件与结论间角的差异，当 然亦可从式中的“A”
入手.
【证法1】
?sin
?
?Asin(
?
?
?
),


?sin(
?
?
?
?
?< br>)?Asin(
?
?
?
),

sin(
?< br>?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
?Asin(
?
?
?
),

s in(
?
?
?
)(cos
?
?A)?sin
?cos(
?
?
?
),
?
|A|?1,
?cos
?
?A?0,

从而cos(
?
?
?
)?0,

tan(
?
?
?
)?
【证法2】
sin
?
.
cos
?
?A
sin
?
?
sin
?
?A
sin
?
sin(
?
?
?
)sin
?
< br>?
sin
?
cos
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?
sin(
?
?
?
)
sin(
?
?
?
)sin
?
cos
?
sin(
?
?
?
)?sin[(
?
?
?
)?
?
]
sin(
?
?
?
)sin
?

?

cos(
?
?
?
)sin
?
?tan(
?
?
?
).
?
例2：证明：
cos7x?7cos5x?21ocs3x?35 cosx?64cos
7
x.

【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3 x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为
sinx
、
cosx
的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.
【证明】 因为
cos3x?4cosx?3cosx,所以4cosx?cos3x?3cosx,

从而有
16cos
6
x?cos
2
3x?6cos 3xcosx?9cos
2
x

33

?

1?cos6x9
?3(cos4x?cos2x)?(1?cos2x)

22

32cos
6
x?1?cos6x?6cos4x?6cos 2x?9?9cos2x,
64cosx?2cos6xcosx?12cos4xcosx?30co s2xcosx?20cosx
7

?cos7 x?cos5x?6cos5x?6cos3x?15cos3x?15cosx?20cosx
?cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx.
【评述】本题看似“化简为繁”， 实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复
数求解. 令
z?cos
?
?isin
?
,则2cos
?
?z?
11
,从而 ,128cos
7
?
?(z?)
7
，展开即可.
zz例3：求证：
3tan18
?
?tan18
?
tan12
?
?3tan12
?
?1.

【思路分析】等式左边同时出现tan18tan12
、
tan18?tan12
，联想到公式
????
tan
?
(?
?
)?
tan
?
?tan< br>?
.
1?tan
?
tan
?
【证明】
3t an18
?
?tan18
?
tan12
?
?3tan12< br>?

?3(tan18
?
?tan12
?
)?tan 18
?
tan12
?

?3?tan(18
?
?1 2
?
)(1?tan18
?
tan12
?
)?tan18< br>?
tan12
?

?1
???
【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证
(1
?
tan1)(1
?
tan2)
?
(1
?
tan43 )


(1?tan44
?
)?2
22
等. 例4：已知
1?tan
?
?2001,求证:sec2
?
?ta n2
?
?2001.

1?tan
?
1?cos(?2?
)
1?sin2
??
2
【证明】
sec2
?
?tan2
?
???tan(?
?
)

?
cos2
?
4
sin(?2
?
)
2
?
1? tan
?
1?tan
?

?2001.
?
例5：证 明：
4sin
?
sin(60
?
?
?
)sin(6 0
?
?
?
)?sin3
?
.

【证明】< br>sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?

3
?4sin
?
(?sin
2
?
)
4
31
?4sin
?
(cos
2
?
?si n
2
?
)
44

?4sin< br>?
[(
3
cos
?
)
2
?(
1sin
?
)
2
]

22
?4sin
?
(sin60
?
cos
?
?cos60
?
sin< br>?
)(sin60
?
cos
?
?cos60
?
sin
?
)
?4sin
?
sin(60
?
??
)sin(60
?
?
?
)
【评述】这是三倍角的正弦 的又一表示. 类似地，有
cos3
?
?4cos
?
cos(60< br>?
?
?
)cos(60
?
?
?
)


tan3
?
?tan
?
?tan(60
?
?
?
)tan(60
?
?
?
)
. 利用这几个公式可解下例.
例6：求证：①
cos6
?
cos42
?
cos66
?
cos78
?
?
②sin1°sin2°sin3°…sin89°=
()
1

16
1
4
45
?610.

【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°

cos42
?
cos78
?
=cos6°cos54°cos66°
?
?
cos54
cos18
?
cos42
?
cos78< br>?
?
4cos54
?
1
cos(3?18
?
)

?
4
?
4cos54
1
?.
16②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°) (sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin6 0°
=
()


1
4
29
sin3?
sin6
?
?
sin87
?
?
3

4
1
?(
)
30
3(sin3
?
sin5 7
?
sin63
?
)(sin6
?
sin54
?< br>sin66
?
)?(sin27
?
sin33
?
si n87
?
)sin30
?
sin60
?
4

1
?()
40
?3sin9
?
?sin18
?
?
sin81
?
4

1
?()
40
?3?( sin9
?
sin18
?
)(sin18
?
sin72?
)(sin27
?
sin63
?
)(sin36
?< br>sin54
?
)?sin45
?
4

132?()
42
?sin18
?
sin36
?
sin54< br>?
sin72
?
42
13
?()
42
?2c os72
?
cos54
?
cos36
?
cos18
?
42
13
?()
42
?2cos18
?
cos3 6
?
cos72
?
cos54
?
42

1 3
?()
42
?2cos18
?
cos36
?
si n18
?
cos54
?
42
13
?()
43
?2sin72
?
cos54
?
42
13
?()
43
?2cos18
?
sin36
?
42
1
又(cos18
?
sin36
?
)
2
?(1?cos36
?
)(1?cos72
?
)

4
1
(1? cos36
?
?cos72
?
?cos36
?
cos72< br>?
)
4

?
1
(1?cos36
?
cos72
?
)

4
5
?
16
?
即
cos18
?
sin36
?
?
5
.

4
所以
sin1
?
sin2
?
?
sin 89
?
?()
45
?610.

例7：证明：对任一自然数n及任意实数
x
?

1
4
m
，有
?
(k
?
0,1,2,?
,n,m
为任一整数）
k
2
111
?????cot x?cot2
n
x.

n
sin2xsin4x
sin2x
【思路分析】本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，
并 希冀能消去其中许多中间项.
12cos
2
x?cos2x2cos
2xcos2x
【证明】
????cotx?cot2x,

sin2xsin2x2sinxcosxsin2x
1
同理
?cot2x?cot4x

sin4x
……

1
n?1n
?cot2x?cot2x

n
sin2x
【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
tan
?
tan2
?
?tan2
?
tan3
?
???tan(n?1 )
?
tann
?
?
tann
?
?n
. < br>tan
?

tan
?
?2tan2
?
? 2
2
tan2
2
?
?
?
?2
n
t an2
n
?
?cot
?
?2
n?1
cot2
n?1
?
.

111
??
??
?
??c os1cot1
??????
cos0cos1cos1cos2cos88cos89
例8：证明：
sin
?
?sin(
?
?
?
)?s in(
?
?2
?
)???sin(
?
?n
?
)?
sin(
?
?
nn?1
?
)sin
?
22
.

sin
?
2
【证明】
sin
?
sin
?
1
??
??[cos(
?
?)?cos(
?
?)],

2222
类似地sin(
?
?
?
)sin

13
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?< br>?)],
2222
?
153
sin(
?
?2
?
)sin??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)],
2222

??
?
12n?12n?1
sin(
?
?n
?
)sin??[cos(
?
?< br>?
)?cos(
?
?
?
)],
2222
?< br>各项相加得,sin
?
2
[sin
?
?sin(
?< br>?
?
)?sin(
?
?2
?
)?
?
?sin(
?
?n
?
)]

12n?1
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?)]
22 2

nn?1
?sin
?
(?
?
)s in
?
.
22
所以，
sin
?
?sin(
?
?
?
)???sin(
?
?n
?
)?
sin(
?
?
nn?1
?
)sin
?
22
.

sin
?
2
【评述】①本题也可借助复数获证.
② 类似地，有
cos
?
?cos(
?
?
?
)???c os(
?
?n
?
)?
sin
n?1n
?
c os(
?
?
?
)
22
.

sin
?
2


利用上述公式可快速证明下列各式：
nn?1
sin
?
cos
?
22

cos
?
?cos2
?
?cos3
?
???cosn
?< br>?
?
sin
2

351
?cos?
?cos
?
?.
9772

?
3571cos?cos
?
?cos
?
?cos
?
?等.
99992
cos
?
针对性训练题
1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°.
2． 证明：
sin(2
?
?
?
)sin
?
?2cos(
?
?
?
)?.

sin
?
sin
?
3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.
求证：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.
4． 已知
?
?(0,
?
),求证:sin
?
?
5．已知
0?
?
?
11
sin2
?
?sin3
?< br>?0.

23
?
?
?
2
,且tan
?
?3tan
?
,求
?
?
?
的最大值.
?
6．已知
?
、
?
、
?
、
?
?( 0,),且
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.求y?sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
的最大值.
2
7．△ABC中，C=2B的充要条件是
c?b?ab.

8．△ ABC中，已知
sinA
、
sinB
、
sinC
成等差数列 ，求证：
cotA
、
cotB
、
cotC
也
成等差 数列.
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
2b?a?c
，求B的最大值.
10．若
?
、
?
?(0,
11．求函 数
y?
12．求函数
y?

222
22
?
2
),
能否以
sin
?
、
sin
?
、sin(
?
?
?
)
的值为边长构成一个三角形.
2?x?8?3x
的值域.
x
?1?x
2
?2x?2
的值域.
2