郑州高中数学教师招聘最新-高中数学必修二62页答案
立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离辅导教案
学生姓名
授课教师
教学课题
性别
上课时间
年级 高二 学科
数学
课时：3课时
第（ ）次课
共（ ）次课
立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离
1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．
2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
教学目标
教学重点
与难点
区分清楚运用向量法求解二面角的基本步骤
一、作业检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
二、内容回顾
三、知识整理
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l
1
，l
2
的方向向量，则
范围
求法
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面
α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β.
|a·n|
则sin
θ＝|cos β|＝
|a||n|
.
3．求二面角的大小
l
1
与l
2
所成的角θ
π
??
0，
?
2
?
??
|a·b|
cos θ＝
|a||b|
a与b的夹角β
[0，π]
a·b
cos
β＝
|a||b|
1
→→
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的
大小θ＝
(2)如图②③，n
1
，n
2
分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
|cos
θ|＝|cos
，n
2
>|，二面角的平面角大小是向量n
1
与n
2
的夹角(或其补角)．
4．利用空间向量求距离(供选用)
(1)两点间的距离
→
设点A(x
1
，y
1
，z
1
)，点B(x
2
，y
2
，z
2
)，则|
AB|＝|AB|＝?x
1
－x
2
?
2
＋?y
1<
br>－y
2
?
2
＋?z
1
－z
2
?2
.
(2)点到平面的距离
→
→
|AB·n|<
br>如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝|n|
.
四、例题分析
2
考点一
求异面直线所成的角
【例1】 如图，在四棱锥P
－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA
⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA
＝2.求：
(1)三角形PCD的面积．
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
规律方法 本题可从两个
不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：
把角的求解转化为向量运算，应
注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，
→→
|AC·BD|
一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β＝.
→→
|AC||BD|
考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角
3
【例2】
∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA
1
＝3.
(1)证明：AC⊥B
1
D；
(2)求直线B
1
C
1
与平面ACD
1
所成角的正弦值．
如图，在直棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD∥BC，
规律方法 (1)本题求解时关键是结
合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第
(2)问中，运用空间向量，将线面角转
化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方
程思想．
4
(2)利用空间向量
求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补
角)；二是借助平面的法
向量．
题型三 利用向量求二面角
【例3】如图，四棱锥P-
ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底
面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
5
规律方法 (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，
二是利用
方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与
n>|＝
|m||n|
.求解时一定要注意结合
实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
五、对应训练
1.已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为C
1
D
1
的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
________．
2
.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；
(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．
六、本课小结
1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．
(1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向
向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos
(2)求直线l与平面α所成的
角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin
θ＝|cos
6
(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n
1
，n
2
所成的角，则θ＝
，n
2
>或π
－
2
>.
2．(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同． (2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，
从而确定二面角与向量n
1
，n
2
的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求
二面角的难点、易错点.
七、课堂小测
1．平面α的一个法向量为n＝(1，－3，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )．
πππ5π
A.
6
B.
3
C.
4
D.
6
2.如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别是棱CD
，CC
1
的中点，则异面直线A
1
M与DN
所成的角的大小是(
)．
A．30° B．45° C．60°
D．90°
→
1
→→
3．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为a，点M在AC
1
上且AM
＝
2
MC
1
，N为B
1
B的中点，则|MN|
为(
)．
216
A.
6
a B.
6
a
C.
1515
a D.a
63
4.过正方形ABCD的顶点A，
引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面
角的大小是( )．
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7
5
．如图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AA
1
C
1
C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA
1
C
1
C，AB
＝3，BC＝5.
(1)求证：AA
1
⊥平面ABC；
(2)求二面角A
1
－BC
1
－B
1
的余弦值；
BD
(3)在线段BC
1
上是否存在点D，使得AD⊥A
1
B？若存在，试求出
BC
的值．
1
8
八、作业布置
1.在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E为BB
1
的中点，则平面A
1
ED与平面ABCD所成的锐二面角
的余弦值为________．
2.
在正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
＝2AB，则CD与平面BDC
1
所成角的正弦值等于_____
___．
→→→
3.已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝
(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，且点Q在直
→→→
线OP上运动，当QA·QB取得
最小值时，OQ的坐标是________．
9
10