高中数学教师资格面试试讲教案-新课标高中数学竞赛蔡小雄编高一
安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一数学下学期疫情防控延
期开学期间辅
导测试试题(三)
一、单选题(共12题;共60分)
1.
已知幂函数f(x)=λ?x
α
的图象过点 ,则λ+α=( )
A. 2
B. 1
C.
D.
2. 三个数0.99
3.3
,
log
3
π,log
2
0.8的大小关系为( )
A.
log
2
0.8<0.99
3.3
<
log
3
π
B.
log
2
0.8<log
3
π<0.99
3.3
C. 0.99<log
2
0.81<
log
3
π
D.
lo
g
3
π<0.99
3.3
<log
2
0.8
3.
已知函数f(x)=x
2
?sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是(
)
3.3
A. B. C.
D.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x
)=x
2
﹣2sinx,则当x<0时,
f(x)=( )
A. ﹣x
2
﹣2sinx B.
﹣
x
2
+2sinx C.
x
2
+2sinx
D. x﹣2sinx
5. 某商场在2020年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按
标价打八折,折后
价格每满500元再减100元,如某商品标价1500元,则购买该商品的实际付款
额为1500×0.8
﹣200=1000元.设购买某商品的实际折扣率=
,某人欲购买标价为2700元的商品,那么
他可以享受的实际折扣率约为( )
A. 55%
B. 65%
C.
75%
D. 80%
6. 已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,﹣2cos3),则角α的弧度数为( )
A. 3
B.
π﹣
3 C.
3
﹣
D.
﹣3
7. 已知当
时,函数y=sinx+acosx取最大值,则函数y=asinx﹣cosx图象的一条对称轴为
(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ,则点P与△ABC的关系为(
)
A. P在△ABC内部 B. P在△ABC外部
C. P在AB
边所在直线上 D. P是AC边的一个三等分点
9.
设f(sinα+cosα)=sinα?cosα,则f(sin )的值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 函数y=sin (2x+
)的图象可由函数y=cosx的图象( )
2
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 个单位
C.
先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移 个单位
D.
先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移 个单位
11. 已知函数f(x)=
(a∈A),若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则集合A可以是
( )
A. (﹣∞,0) B.
[1,
2) C. (﹣1,
5]
D. [4,6]
12. 设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2﹣x),当x
∈[﹣2,0]时,f(x)
=(
)
x
﹣1,若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣log
a
(x
+2)=0,恰有4个不
同的实数根,则实数a(a>0,a≠1)的取值范围是( )
A. ( ,1) B. (1,
4)
C. (1,
8) D. (8,+∞)
二、填空题(共4题;共20分)
13. 函数 的定义域为________.
14. 函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0,
]上单调递增,且在这个区间上的最大值是 ,
则ω的值为________.
15. 若函数 的定义域和值域都是 ,则 ________.
16.
的值等于________.
三、解答题(共6题;共70分)
17. (
10分 )
如图△ABC,点D是BC中点, =2 ,CF和AD交于点E,设 =a,
=b.
(1)以a,b为基底表示向量 , .
(2)若
=λ ,求实数λ的值.
18. ( 12分 ) 已知函数 .
(1)求函数f(x)的对称中心;
(2)若
,不等式|x﹣m|<3的解集为B,A∩B=A,求实数m的取值范围.
19. ( 12分 ) 在△ABC中,
= +
(Ⅰ)求△ABM与△ABC的面积之比
(Ⅱ)若N为AB中点, 与
交于点P且 =x +y (x,y∈R),求x+y的值.
20. ( 12分 )
已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2 sinωx﹣ (ω>0)的最小正周期为
π.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再
向上平移1个单位,得到函数y=g(x)
的图象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有
10个零点,求b的最小值.
21. ( 12分 ) 已知函数 ,θ∈[0,2π)
(1)若函数f(x)是偶函数:①求tanθ的值;②求 的值.
(2)若f(x)在 上是单调函数,求θ的取值范围.
22. ( 12分 )
已知函数f(x)=x﹣a,g(x)=a|x|,a∈R.
(1)设F(x)=f(x)﹣g(x).
①若a= ,求函数y=F(x)的零点;
②若函数y=F(x)存在零点,求a的取值范围.
2
(2
)设h(x)=f(x)+g(x),x∈[﹣2,2],若对任意x
1
,x
2
∈[﹣2,2],|h(x
1
)﹣h
(x
2
)|≤6恒成立,试求
a的取值范围.
答案部分
一、单选题
1.C
2. A
解:∵0<0.99<1,log
3
π>1,log
2
0.8<0, <
br>∴log
2
0.8<0.99
3.3
<log
3
π,
故选:A.
3.D
解:f(x)=x
2
?sin(x﹣π)=﹣x
2
?sinx,
∴f(﹣x)=﹣(﹣x)
2
?sin(﹣x)=x
2
?sinx=﹣f(
x),∴f(x)奇函数,
∵当x= 时,f( )=﹣ <0,故选:D
4. A
解:函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
当x≥0时,f(x)=x﹣
2sinx,当x<0时,则﹣x>0,可得f(﹣x)=x+2sinx=﹣f(x),
∴f(x)=﹣x
2
﹣2sinx,故答案为:A.
5. B
解:当购买标价为2700元的商品时,
产品的八折后价格为:2700×0.8=2160,故实际付款:2160﹣400=1760,
故购买某商品的实际折扣率为: ≈65%,故答案为:B
6.C
解:∵锐角α终边上一点的坐标为(2sin3,﹣2cos3),
由任意角的三角函数的定义可得 tanα=﹣cot3=tan( 3﹣ ),
又3﹣
∈(0, ),∴α=3﹣ .故选C
7.A 解:∵当
时,函数y=sinx+acosx取最大值, ∴ 解得: ,
∴ ,∴
是它的一条对称轴,故选A.
8.D 解:∵ , ∴ ,∴ ,
∴P是AC边的一个三等分点.故选项为D
9. A
解:令sinα+cosα=t(t∈[﹣ , ]),
平方后化简可得 sinαcosα=
,再由f(sinα+cosα)=sinαcosα,得f(t)= ,
所以f(sin
)=f( )= =﹣ .故答案为:A.
22
3.3
10.B 解:把函数y=cosx=sin(x+
)的图象的横坐标变为原来的 倍,可得y=sin(2x+ )
的图象,再把所得图象再向右平移
个单位,可得y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x+ )的
图象,故答案为:B.
11. A 解:由题意,f(x)在区间(0,1]上是减函数.函数f(x)=
(a∈A),
当a=0时,函数f(x)不存在单调性性,故排除C.
当a<0时,函数y=
在(0,1]上是增函数,而分母是负数,可得f(x)在区间(0,1]
上是减函数,故A对.
当1≤a<2时,函数y=
在(0,1]上是减函数,而分母是负数,可得f(x)在区间(0,
1]上是增函数,故B不对.
当4≤a≤6时,函数y= 在(0,1]上可能没有意义.故D不对.故选A.
12.
D 解:对于任意的x∈R,都有f(2+x)=f(2﹣x),
∴f(x+4)=f[2+(x
+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x),∴函数f(x)是一个周期函数,且T=4.
又∵当x∈[﹣2,0]时,f(x)=( )﹣1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,
若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣log
a
(x+2)=0,恰有4个不同的实数解,
则函数y=f(x)与y=log
a
(x+2),在区间(﹣2,6)上有四个不同的交点,如下图所示:
x
又f(﹣2)=f(2)=f(6)=1,
则对于函数y=log
a
(x+2),根据题意可得,当x=6时的函数值小于1,
即log
a
8<1,由此计算得出:a>8,∴a的范围是(8,+∞),故答案为:D.
二、填空题
13. 解:要使函数有意义,需
,解得 故答案为 .
14. 解:∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0, ]上单调递增,∴ ≤
.
再根据在这个区间上f(x)的最大值是 ,可得ω? = ,则ω= ,故答案为:
.
15. . 当 时,函数 递增,又函数 的定义域和值域都是 , 则:
,此不等式组无
解。
当 时,函数 递减,又函数
的定义域和值域都是 ,
则: ,解得: ,
所以 .
16.
解: = ﹣ = = = = .故答案为: .
三、解答题
17.(1)解:因为点D是BC中点,
所以2 = + ,即 =2 ﹣ ,
所以 = ﹣ =2 ﹣ ﹣ =2 ﹣ ,
(2)解: =λ = (
+
+ )= +
.
,
因为点C,E,F共线,所以
λ=1,所以λ=
18.(1)解: ,
?
k
??
?
?,0
?
,k?Z.
解得:
?
?
26
?
(2)解:
,不等式|x﹣m|<3的解集为B,A∩B=A,
,∴
,∴A=[1,2],又解得B=(m﹣3,m+3)
而A∩B=A?A?B∴ ,得﹣1<m<4
19.解:(Ⅰ)在△ABC中, = + ? ?3
?3
,即点M在线段BC上的靠近B的四等分点,
∴△ABM与△ABC的面积之比为 .
(Ⅱ)∵ = + , =x +y (x,y∈R), ,
∴设 =
= ;
∵三点N、P、C共线,∴ , ,x+y= .
20.解:(Ⅰ)由题意,可得
f(x)= = .
∵函数的最小正周期为π,∴ =π,解之得ω=1.由此可得函数的解析式为
.
令
∴函数f(x)的单调增区间是
,解之得
.
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移
)+1的图象,
个单位,再向上平移1个单位,可得函数y=f(x+
∵
∴g(x)=
+1=2sin2x+1,可得y=g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1.
令g(x)=0,得sin2x=﹣
解之得 或
,可得2x=
.
或2x=
∴函数g(x)在每个周期上恰有两个零点,
若y=g(x)在[0,b]上至少含有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可,
即b的最小值为 .
21.(1)解:∵函数f(x)是偶函数,∴ ∴
①tanθ=
② =
(2)解:f(x)的对称轴为 ,
或 ,
或 (9分),
∵θ∈[0,2π),∴ ,
∴
,∴ ,
∴ , ,∴
22.(1)解:F(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣a﹣a|x|, ①若a=
,则由F(x)=x﹣ |x|
﹣ =0得: |x|=x﹣
,当x≥0时,解得:x=1;当x<0时,解得:x= (舍去);
综上可知,a=
时,函数y=F(x)的零点为1;
②若函数y=F(x)存在零点,则x﹣a=a|x|,当a>0时,作图如下:
由图可知,当0<a<1时,折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点,即函数y=F(x)存在零点;
同理可得,当﹣1<a<0时,求数y=F(x)存在零点;
又当a=0时,y=x与y=0有交点(0,0),函数y=F(x)存在零点;
综上所述,a的取值范围为(﹣1,1).
(2)∵h(x)=f(x)+g(x)=x-a+a|x|,x∈[-2,2],
∴当-2≤x<0时,h(x)=(1-a)
x-a;
当0≤x≤2时,h(x)=(1+a)x-a; 又对任意x
1
, x
2
∈[-2,2],|h(x
1
)-h(x
2
)
|≤6恒成立, 则
h(x
1
)
max
-h(x
2
)
min
≤
6, ①当a≤-1时,1-a>0,1+a≤0,h(x)=(1-a)
x-a在区间[-2,0)上
单调递增; h(x)=(1+a)x-a在区间[0,2]上单调递减(当a=-1
时
,h(x)=-a);
∴h(x)
max
=h(0)=-a,又h(-2)=a-2,h(2)=2+a,
∴h(x
2
)
min
=h
(-2)=a-2,
∴-a-(a-2)=2-2a≤6,解得a≥-2, 综上,-2≤a≤-1; ②当-1<a<1
时
,1-a>0,1-a>0,∴h(x)=(1-a)x-a在区间[-2,0)上单调递增,
且h(x)=(1+a)
x-a在区间[0,2]上也单调递增, ∴h(x)
max
=h(2)=2+a,h(x
2
)
min
=h(-2)=a-2,
由
a+2-(a-2)=4≤6恒成立,即-1<a<1适合题意;
③当a≥1时,1-a≤0,1+a>0,h(x)
=(1-a)x-a在区间[-2,0)上单调递减
(当a=1时,h(x)=-a),h(x)=(1+a)x-a
在区间[0,2]上单调递增;
∴h(x)
min
=h(0)=-a; 又h(2)=2+a>a-2=h(-2),
∴h
(x)
max
=h(2)=2+a,
∴2+a-(-a)=2+2a≤6,解得a≤2,又a≥1, ∴1≤a≤2;
综上
所述,-2≤a≤2.