高中数学选修2-2公式-高中数学必修三数字特征
西安远东仁民补习学校
一对一个性化辅导中心
学 员 辅 导 教 案
学生姓名：
授课时间2016 年10月23日 （星期日） 科目：数学
三角函数变换的方法与技巧
方法与技巧：
1.和角公式中
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
要注意公式成立的条件。
1
?
tan
?
tan
?
2.三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最小，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数
，尽
量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应该要求出具体值。
3.要熟悉角的拆拼
、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如
?
?(
?
?
?
)?
?
，
?
?(
?
?
?
)?
?
，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
?
?<
br>)
，
?
3
是
2
?
?
?
的半
角，
2
?
?
是
?
?
倍角。
32
4
4.要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性化非特殊角为特殊角，正确选用公式
，灵活
掌握个公式的正用、逆用、变形等。
一、凑角法
在三角
函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、
倍半、互
余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：
?<
br>?(
?
?
?
)?
?
；
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
；
例1
函数
y?2sin
?
?
π
??
π
?
． <
br>?x
?
?cos
?
?x
?
(x?R)
的最小
值等于（ ）
36
????
（C）
?1
（D）
?5
（A）
?3
（B）
?2
例2、已知
cos
?
?
例3、已知cos(
?
?
111
,cos(
?<
br>?
?
)??,
?
,
?
均是锐角，求
cos<
br>?
。
714
?
?
??
?
?
?1
2
)??
,sin(-
?
)=,且
?
??
?
,0?
?
?,
求
cos.
29
222
2
3
1
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例4、已知
sin
??msin(2
?
?
?
),
求证：
tan(
?
?
?
)?
1?m
tan
?
(m?1).
1?m
当堂练习：例1、已知
tan(
?
?
?
)?ntan(
?
?
?
),n??1
，求证：
sin2
?
n?1
?<
br>。
sin2
?
n?1
二、常数的变换
在三角函数的、求
值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：
1?sin
2
?
?cos
2
?
?sec
2
?
tan
2
?
?csc
2
?
?cot
2
?
1?sec
?
?cos
?
,1?csc
?
sin
?
等
等。
例1：已知tana?3,求2sin
2
a?3sinacosa的值
，
1?sin90
0
?sin45
0
，
例2 已知
tan
?
?2，求2sin<
br>2
?
?3sin
?
cos
?
?4cos
2<
br>?
的值。
2
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2
例3：已知
tan
??2
，求
sin2
?
?cos
?
的值。
例4
：已知
当堂练习：例1、已知
tan
?
tan
?
??1
，求
sin
2
?
?si
n
?
cos
?
?2
的值。
tan
?
?1
1
?
π
?
的值．
?
?
?
?2
，求
2
2sin
?
cos?
?cos
?
4
??
三、去异化同
三角函数变换的目的在
于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将
异名的三角函数化为同名
的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。
评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法： （1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；
（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以
利用公式
tanx?
化为“切函数”进行解答．
例1、若sin（α+β）=
sinx
将“弦函数”
cosx
11
tan
?
,
sin （α—β）＝，求
210
tan
?
3
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π
cos
2
x
例2
、当
0?x?
时，函数
f(x)?
的最小值是（ ）．
4
cosxsinx?sin
2
x
（A）
4
（B）
0
1
2
（C）
2
（D）
1
4
cos10
0
例3、化简：
(tan10?3)
sin50
0
2sin
2
?
?sin2
?
??
当堂练习：例2
、(上海)已知试用
k
表示
sin
?
?cos
?
的
值。
?k
(?
?
?)
，
42
1?tan
?
四、升幂与降幂变换 <
br>分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．
π
??
sin
?
?
?
?
15
4
??
例1、
已知
?
为第二象限角，且
sin
?
?
，求的值．
sin2
?
?cos2
?
?1
4
4
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3?4sin20??8sin
3
20?
例2、求值：
2sin20?sin480?
五、公式的变形与逆用
在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达
到化简的目的。通常顺用公
式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角
公式的基本形式，如果我们熟
悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。三角公式是变换的依据，应熟练掌
握三角公式的顺用、逆用及变形
应用。如cosα＝
例1、求
tan17??tan28??tan17?tan28?
的值。
例2、求
tan(
sin2
?
，tanα±tanβ＝tan（α＋β
）（1
?
tanαtanβ）等。
2sin
?
?
6
?
?
)?tan(
?
6
?
?
)?3tan(?
6
?
?
)tan(
?
6
?
?
)
的值。
5
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课后作业
一、
选择题
2
?
1
?
，
tan(
?
?)?<
br>，那么
tan(
?
?)
等于（）
5444
131331
A. B.
C. D.
1822226
x
2sin
2
?1
?
2
2.若
f(x)?2tanx?
，则
f()的值为（）
xx
12
sincos
22
1.已知
ta
n(
?
?
?
)?
A.
?
43
B.
8
C.
43
D.
?43
3
110
??
?
?
，
?
?(,)
，则
sin(2
?
?)
的值为（）
tan
?
3424
3.若
tan
?
?
A.
?
223272
B. C.
D.
10101010
6
则
a,b,c
的大小关系是（）
2
4.设
a?sin14
?
?cos14
?
，
b
?sin16
?
?cos16
?
，
c?
A.
a?b?c
B.
b?c?a
C.
a?c?b
D.
b?a?c
5.
2?2cos8?21?cos8
化简的结果是（）
A.
4cos4?2cos4
B.
2cos4
C.
2cos4?4cos4
D.
?2cos4
二、 填空题
6.
已知
sin(
?
3
?x)?
，则
sin2x?
45
三、解答题
sin2x?2sin
2
x
3
7.已知
cos(?x)?
，求的值
45
1?tanx
?
6
西安远东仁民补习学校
一对一个性化辅导中心
8.已知
?
?(0,
?
2
)
，
tan
?
?
1
?
，求
tan2
?
和
sin(2
?
?
)
的值
23
?
2sin
?
cos
?
9、
已知
tan(
?
?)??3
，求
2
的值。
4sin
?
?sin
?
cos
?
?1
本次课程实际授课时间：___月_ 日______点至___点结束
7