初高中数学衔接数学校本课程教材

初高中数学衔接数学校本课程
教材

课程名称
初高中数学衔接




年级：九年级
学科：初中物理
姓名：

目录
总论…………………………………………………………………2
第一讲：垂径定理…………………………………………………8.
第二讲：直径所对的圆周角………………………………………10
第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）……………………12
第四讲：函数图像的平移…………………………………………14
第五讲：一元二次方程的根与系数的关系………………………18
第六讲：二次函数
y?ax
2
?bx?c
（
a,b,c
是常数，
a?0
…………20
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总论
经过紧张的中考，暑期之后初三的同学们就要迎接紧张充实的 高中生活。为了迎接
高中的数学学习应该做些什么？良好的开端是成功的一半。我们今天主要谈一下从初 中到
高中的数学学科的衔接问题。很多同学还没有接触高中知识，我们既不谈那一个个知识点，
也不谈那一个个大家耳熟能详的学习方法，主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认
识上如何去准备 。
一、为何要做好初高中衔接？
从初中升入高中，大家普遍觉得上升了一个门槛。 教学实践证明，踏好这个门槛，实
现这个转折确实需要衔接。其原因是：
1.环境的改变 对学生有影响。初中学校与高中学校的教学理念不完全相同，学校之间
的差异或大或小，高一新生来自不 同的学校，差异性较大。大家熟悉以前的校园、以前的
人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。但进 入新校园后，校园环境不同了，同学不
同了，新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。对于这些变化 ，要使学生尽快融入新
的集体、新的学校，这就必须做好衔接工作。对高一新生来讲，各方面可以说是全 新的，
新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。
另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，
如初三辛苦了 ，在高一休息一下，待高二认真一些、高三冲刺，使得高中入学后无紧迫感。
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也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就比较头疼数学，高中数学课一开始 也确是些难
理解的抽象概念，如映射、函数、立体几何等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。< br>一些原来在初中是班级的佼佼者、教师的宠儿的学生，或者是中上等的学生。进入高中后
发现自己 没有优势可言。随着所处地位的改变和课程负担的加重等原因，可能出现适应不
了新的学习环境，心理出 现了极大的反差，所以不可避免地出现困惑、失落、焦虑、胆怯
等不良心理现象。
2.初 中与高中在思维方式上差异较大。相对初中的学习，高中的知识内容与知识结构
与初中相比出现了两个飞 跃：从具体到抽象、由特殊到一般。在知识的广度和深度上都大
大提高。在能力方面，高中的学习对同学 们提出了更高的要求，如抽象思维能力、逻辑思
维能力、分析综合能力、自学能力等，而且高考命题强调 能力立意，这就更加强化能力培
养。在高中数学语言更加抽象。初中数学主要是以形象、通俗的语言方式 进行表达，而高
一数学一下子就触及抽象的集合符号语言、函数语言等，一下子难以互相转化。
3.教材结构不同，知识跨度大。初中数学教材内容通俗具体，变量也不多，题型少而
简单 ；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，
这与初中相比增加了 难度。初中课改教材很多内容作了改变，有的内容在对学生的要求上
大大降低要求，体现了“浅、少、易 ”的特点，但是高中还认为学生在初中熟练掌握了。
随着近几年新教材内容的调整，虽然初高中教材都降 低了难度，但相比之下，初中降低的
幅度大，而高中由于受高考的限制，教师还不敢降低难度，造成了高 中数学实际难度没有
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降低。因此，从一定意义上讲，调整后的新教材不仅没有缩小初高中教材内容 的难度差距，
反而加大了。初中比较注重基础，常识性的介绍较多；高中知识则强调逻辑性、系统性、< br>研究性，越来越接近科学体系，难度相应地增大、加深。
4.课时和学法的变化。在初中， 由于内容少，题型简单，课时较充足。因此，课容量
小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调， 对各类习题的解法，教师有时间进行
举例示范，学生也有足够时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多 ，灵活性加大和新课
时要求的实行，使课时减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间 强调，
对所有型题也不可能讲全讲细和巩固强化，主要讲通性通法。这也使高一新生开始不适应
高中学习而影响成绩的提高。这一点对数学的冲击最大。新课改之后，有的学校数学课相
对而言就少了很 多，我了解得很多学校就是每周5节，也就是一天一节。当然也有多的，
达到了11节。而且学习上学时 玩得多了，中午、课外活动都去玩了，放在学习上的精力
明显会少很多。在初中，知识点相对而言比较少 ，教师讲得细，有足够的时间练习，考试
时，学生只要记准概念、公式、典型例题，一般都能熟练应答取 得不错的成绩。中考数学
考试时，两个小时的时间很多同学在一个小时的时候就只剩下最后一个大题，在 高考时这
几乎是不可能的，在一个小时内学生完成前两个大题就算好的了，也就是说至少还剩四个
大题。因此，初中时学生习惯于围着教师转，因为即使不独立思考、不归纳总结，老师也
会一再强调直 到你做熟练为止。到了高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形
式和题型讲全讲细，只能选讲 一些具有典型性的题目，以落实“三基”培养能力，有的地
方说“双基”，这里就不争论了。这就导致在 以前好几天学习一个知识点，一个题型翻来
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复去的作很多遍；在高中就变成了一天学习好几个知识点，有的题型做到两三 遍就已经是
很重要的题型了。因此，高中数学学习要求学生要勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。但是刚入学的高一新生，往往继续沿用初中的学
法，还在“ 等”、“靠”老师总结、老师布置相应的练习一一对应那些知识点去练，致使
学习困难较多，个别同学完 成当天作业都比较困难，更没有预习、复习及总结等自我消化
自我调整的时间。这显然不利于良好学法的 形成和学习质量的提高。
那么，如何走好“学习”衔接这一步，显得最为重要了。
二、如何做好初高中衔接？
初高中衔接措施很多，但归纳起来，可从两个方面思考：
1.从思想上：增强紧迫感，消除松懈情绪。不要等到高三再努力，一开始就要蹦紧学
习这根弦。首先， 培养自觉性。兴趣是最好的老师，初高中衔接，提高学科兴趣是第一步。
不要被以前的成绩绊住了自己的 脚步，不管是成绩好的还是不理想的，把自己当成一张白
纸，从新规划。
2. 从学习上：
（1）重视新旧知识的联系与区别。每年新高一开头的几节课，数学老师间的都比较< br>别扭，在讲授新知识时，一些原本应该在初中掌握的知识点，发现学生大多只掌握了很浅
显的内容 ，稍微深一些的内容，学生就说没有学过。有的高中必备知识、公式，以前初中
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应该教，高中默认你已经熟练掌握的知识，有的学生却没有一点概念。还有的 知识一部分
学生学过，一部分听说过，还有根本么听过的。有的老师就说“今年中考成绩600多分的< br>学生，教起来还不如过去500多分的学生”。学生学得吃力，教师也教得吃力，这几乎是
老师们 的共同感受。一些老师不得不对这些新生补习与高中教材相对应的初中老教材，有
时补课就要占去很多的 课堂时间。为了不落下高中新课程，只得赶进度，学生学得吃力，
很多问题还没搞明白，又要上新课了。 “不仅初中知识没能掌握，高中知识的学习也因此
受到影响”。这就要求最好在开学前对这部分初高中衔 接过程中必备的知识自己先有所了
解并将它强化。初高中数学有很多衔接知识点，如函数概念、平面几何 与立体几何相关知
识等，到高中，它们有的加深了，有的研究范围扩大了，有些在初中成立的结论到高中 可
能会有所变化。因此，联系旧知识，复习和区别旧知识，特别注重对那些易错易混的知识
加以 分析、比较和区别。这样可达到温故知新、温故而探新的效果。
（2）重视展示知识的形成过程和 方法探索过程，培养创造能力。高中数学较初中抽
象性强，应用灵活，这就要求学生对知识理解要透，应 用要活，不能只停留在对知识结论
的死记硬套上，要有质疑和解疑的思想，促进创造性思维能力的提高。 碰到比较难理解的
地方，一是反复多看，二是放一点时间在回过来看。以前学习遇到的难点，现在看起来 可
能就很简单了，小学的数学题你现在就不屑于做了。尽量缩短理解的过程，比如函数，两
三天 理解了还行，两三个星期再理解基本概念，那落下的就很多了。定义域、值域、求解
析式、单调性、奇偶 性、图象的变换一堆东西都学过去了。
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（3）重视培养自我反思自我总结的良好习惯，高中数学概括性强，题目 灵活多变，
只靠课上听懂是不够的，需要课后进行认真消化，认真总结归纳。培养好的学习习惯：预习、听讲、作业、总结这些每天做好就是了。这就要求学生应具备善于自我反思和自我总
结的能力。 在解题后，积极反思：思解题思路和步骤，思解题方法和解题规律的总结。在
单元结束时，进行自我章节 小结，形成自己的知识网络。每天晚上回顾一遍即可，每星期，
每月都要对自己学过的知识作一个系统的 梳理。
总的来说，要想使初中到高中有一个理想的衔接，就是要提高自己的能力。能做好开
学时对自己心理和知识上的准备，学习时认真，学习后做到及时归纳整理就一定会取得理
想的成绩。









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第一讲：垂径定理
【知识要点】
弦所对的两条弧。
直于弦 ③直线平分弦
④直线平分弦所对的优弧 ⑤直线平分弦所对
的劣弧 （“ 知二求三”）
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C
A
M
O
B
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分
D
2、垂径定理的推论：①直线过圆心 ②直线垂

【例题分析】
例1：①已知圆O的弦AB＝8，相应的弦心距OC
＝3，那么圆O的半径等于 ；
②两个以点
O
为圆心的同心圆中，大圆的
弦
AB
与小圆 相切，如果
AB
的长为24，大圆的半
径
OA
为13，那么小圆的半 径为 。
例2：①已知：在⊙O中，
AB,AC
为互相垂直的 两
条相等的弦，
OD?AB,OE?AC,D,E
为垂足。则四边形
ADOE
必为 。
②已知在⊙O中，弦
AB?CD
于
P
，⊙O的半径
为5，
AB?8,CD?6,OE?AB,

OF?CD
，求四边形
OEPF
的周长。



例3：如图，⊙
O
的直径
AB
和弦
CD
相交于E
，若
AE?2cm,BE?6cm,
?CEA?30

，求：
?
1
?
CD
的长；
?
2
?
C
点到
AB
的距离与
D
D
A
G
E
O
?
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F
H
B
C

点到
AB
的距离之比。








练习：
如图，在⊙
O
中，直径
AB
和弦
CD
相交于点
E
， 已知
AE?1cm,BE?5cm,
且
?DEB?60
，求
CD
的长。







【巩固练习】
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1、在圆
O
中，弦
AB
的长为6，它所对 应的弦心
距为4，那么半径
OA?
．
2、已知
AB,CD
为⊙
O
的两条平行弦，⊙
O
的半径为
5cm,A B?8cm,CD?6cm.

的距离则
AB,CD
为 。
3
cosB?
（如图）3、在
△ABC
中，．如
AB? AC?5
，
5
果圆
O
的半径为
10
，且经过点B，C
，那么线段
AO
的
长等于 ．
4、如图，等腰
?ABC
内接于半径为
5cm
的⊙
O< br>，
A
1
AB?AC,tanB?.
2

B
?
D
O
C
求：
?
1
?
BC
的长；
?
2
?
AB
边上高的长。




【回家作业】
3图
1、若⊙
O
的直径为
10 ,
圆心
O
到弦
AB
的距离
OM
的长
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为
3
，则弦
AB
的长是 。
2、如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，
垂足分别为
M、N，如果 MN＝3，那么BC＝ ．
3、本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为
测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖
边选取< br>A
，
B
，
C
三根木柱，使得
A
，
B
之
间的距离与
A
，
C
之间的距离相等，并测得
BC
长
为
240
米，
A
到
BC
的距离为
5
米，如图所示．请你
帮他们求出滴水湖的半径
为 。
4、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、
OB的延长线上，且OA＝3，AC＝ 2，CD平行于
AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若
tan?C?
1
，求弦MN的长．
2



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第二讲：直径所对的圆周角
【知识要点】
1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交
的角叫圆周角。
2、三角形的外接圆、外心的定义，直角三角形
外心的位置是 。
3、在圆中，90°的圆周角所对的弦是直径；直
径所对的圆周角是直角。

【例题分析】
1、证明：在圆中，90°的圆周角所对的弦是直
A
径；直径所对的圆周角是直角。




B
O
C
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C
A
O
2、如图，AB是⊙ O的直径，若AB=AC，求证：
D
B
BD=CD.




E
A
D
O
C
3、如图，AB是⊙O的直径，AC 是⊙O的弦，以
B
OA为直径的⊙D与AC
相交于点E，AC=10,求AE的长.





【巩固练习】
1、若AB是⊙O的直 径，点C在⊙O上，在
∠BAC=10°，则∠ABC=________.
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2、若AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不
与点A、B重 合)，延长BD到点C，使DC=BD，
D
C
判断△ABC的形状：________ ____________。
3、如图，点A、B、C、D在圆上，
AB=8,BC=6,A C=10,CD=4.求AD的长.








【回家作业】
1、三角形的外心
的交点。
A
B
第3题
是
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锐角三角形的外心在 ，直角三
角形的外心在 ,
钝角三角形的外心在 。
2、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为
D
5cm，
C
F
则经过P点的最短弦长为_________cm；最长弦
B
A
O
长为___________cm．
3、如图，A、B、C三点在⊙O上，且AB是⊙O的
直径，半径OD⊥AC，
垂足为F，若∠A=30?，OF=3，则OA=_____ ,
AC=______ ,
BC= _________ .

4、如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，若
A
?ABC=
?
，
B
O
C
⊙O半径为
r
，试用
?
、r
表示AB与AC。
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5、如图 ，在Rt△ABC中，
∠C=90°，点O在AB上，
以O为圆心、OA长为半径的
圆 与AC、AB分别交于点D、
E，且∠CBD=∠A，
判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论。







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C
D
O
E
A
B

第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）
【知识要点】
1、十字相乘法与分组分解法；
2、解二元二次方程组（以代入法为主）

【例题分析】
例1、分解下列因式：
（1）
x

x
（4）（5）
2m?mp?np?2n

2
1
2
?5xy?6y
2
（2）
3x
2
?8x?3
（3）
1?x
2
?4xy?4y
2

?3x
1?(x
2
2
?3x
2
)
x
x?
（6）
x
1
2
?(x
2
?
1
x
1
)
x
2


例2、解方程组①


?
2x?y?0
?
22
?
x?y?3?0
x?y?11
②
?

?
xy?28
?
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例3、已知方程组
k
?
y
2
?4 x?2y?1?0
?
?
y?kx?2
有两个不相等的实数解，
的取值 范围。




【巩固练习】
1、分解下列因式：
（1）
x
2
?7xy?12y
2
（2）
6y

（5）

2x
2
?11y?10
（3）
（6）
x
2
?a
2
?2ab?b
2

（4 ）
mx?mx
x
2
2
x
1
2
x
1
??(x
2
?)
x
1
x
2
2
?n ?nx
2
1
?x
1
?(2x
2
2
?x2
)


2、解下列方程组： (1)

3、方程组
?
x
2
?y
2
?1?0
?
?
y? x?m?0
?
x
2
?2y
2
?8
?
?x?y?2
(2)
?
11
??1
?
?
xy
?
?
xy??
1
?
6
?

有唯一解，则
m
的
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是 。
【回家作业】
1、分解下列因式：
（1）
x

（4）
a
3x< br>1
2
?
2
4
?7x
2
?18
（2）
4m
2
?8mn?3n
2
（3）
4x< br>4
?65x
2
y
2
?16y
4

?b
2
?c
2
?2bc

（5）
a3
?a
2
b?ab
2
?b
3

（6 ）
55
?(3x
2
2
?)
x
1
x
2



2、解下列方程组：
(1)





3、已知方程组
?
y?x
2
??
y?x?m
?
x?y?1
?
22
2x?3xy?y? 5
?
(2)
?
x?y??3
?
?
xy?2

有两个不同的实数解，求实数
m
的
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值范围。




y=ax+1
4、当实数
a
为何值时，方程组
?

?
3x?y=1
?
22
①仅有一个解， ②没有实数解，
③有两个实数解。

第四讲：函数图像的平移
【知识要点】
1、了解
f(x)
，
f(x?a)
，
f(x)?b
三类函数图像之间的关系。
2、一次函数图像的平移：

?
3、二次函数图像的平移：

y?a(x?h)
2
?k
向左（右）平移
m(m?0)
个单位长度可得
y?a(x?m?h)
2
?k

y?a(x?h)
2
?k
向上（下）平移
b(b?0)
个单位长度可得
y?a(x?h)
2
?k?b

4、函数图像的平移变换的一般规律:
y?f(x)
的图像向左（右）平移
a(a?0)
个单位长度可得
f(x?a)
的图像，
y?f(x)
的图像向上（下）平移
b(b?0)
个单位长度可得
f(x)?b
的图像。
【例题分析】
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1
(x?2)
向左平移3个单位，则平移后函数的解析式 为__________；
2
1
已知直线
y?(x?2)
向上平移2 个单位，则平移后函数的解析式为____________。
2
11
例2、由直线
y?(x?2)
经过怎样的平移得直线
y?x?5
？
22
例1、已知直线
y?


例3、已知直线
l< br>1
:y?3x?12
，将其向右平移5个单位长度得到直线
l
2
，求直线
l
2
的解析
式．


例4、（1）由 抛物线
y?
1
2
?
x?1
?
?2
先向左平 移2个单位，再向上平移3个单位得到新
2
抛物线，则新抛物线的解析式为_________ ____________；
（2）由抛物线
y?
1
2
x?x?1
先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线，
2
2
则新抛物线的 解析式为_________________________
1
1
?
1
?
2
例5、（1）抛物线
y?
?
x?1
?
?2
要经过怎样的平移得到抛物线
y?
?
x?
?
?2
？
2
2
?
2
?

（2）函数
y??
2x?3
?
?2
的图像要经过怎样的平移得到函数
y?
?
2x?1
?
?2
的图像？

例6、已知二次函数的图 像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是
y
轴，向
下平移1个单位后与
x
轴只有一个交点，求此二次函数的解析式。


例7、把函数< br>y?
22
1
的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的函数的解析
x
式为__________________


?2
的图像的对称中心为例8、（1）函数
y?
x
1
?3
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……………………………………………………………………
22 37

______________；
x?5
的图像的对称中心为______________；
x?3
7?2 x
（3）
y?
的图像的对称中心为______________.
x?3
（2）
y?




【巩固练习】
1
x?2
向下平移3个单位长度后得到的直线解析式是 ．
3
x?1
2．直线
y?
向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是 ．
6
1．直线
y?
3．直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向 ＿＿＿平移(填“上”或“下”)＿＿＿单位长度得
到；也可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填 “左”或“右”)＿＿＿单位长度得到．
4. 将抛物线y= -2(x-1)
2
+ 3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析
式为________________ _______．
5. 抛物线
y?

1
2
1
x?3
要经过怎样的平移可得到
y?(x－3)
2
的图像？
22
2x?5
的图像的对称中心为______________.
x?3
7．已知二次函数的图像与
x
轴只有一个交点，图像向右平移2个单位后的对称轴是< br>y
轴，
6.
y?
向下平移1个单位后经过点（0，-1），求此二次函数的解析式。
【回家作业】
1．要从直线
y?
11
x?3
得到直线y?x
的图像，只须（ ）
22
昆明行知中学
……………………………………………………………………
23 37

A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；
C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．
2．要从抛物线y= -2x
2
的图像得到y= -2x
2
-1的图像，则抛物线y= -2x
2
只须（ ）
A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位；
C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．
3．将抛物线y= -3x
2
的图像向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解
析式为（ ）
A．y= -3(x-1)
2
-2； B．y= -3(x-1)
2
+2； C．y= -3(x+1)
2
-2； D．y= -3(x+1)
2
+2．
4．要从抛物线y=2x
2
得 到y=2(x-1)
2
+3的图像，则抛物线y=2x
2
必须 （ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
3
x
向左平移1个单位得到直线（ ）
2
333333
A．
y??x?1
； B．
y??x?1
； C．
y??x?
； D．
y??x?

222222
1
2
1
2
6．函数
y?x
与
y?x?2
的图像的不同之处是（ ）
33
5．直线
y??
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
7．把函数
y??
2
的图像向左平移1个单 位，再向上平移2个单位所得到的函数的解析式
x
为__________________
8．函数
y?
?2x?1
的图像的对称中心为______________ .
x?2
2
9．把二次函数
y??x
的图像先向右平移2个单位， 再向上平移5个单位后得到一个新
图像，求新图像所表示的二次函数的解析式。
10．把函数y= -2x
2
-4x+1的图像经过怎样的变换可得到函数y= -2x
2
＋4x的图像？








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11．已知
a?b?c?0
，
a?0< br>，把抛物线
y?ax?bx?c
向下平移1个单位，再向左平
移5个单位所得到 的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。










2
12．作出函数
y?
2
x
x
?
?
1
1
的图象，并说出有关 性质，
指出它是由
y?
1
的图象如何变化得到的。
x











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第五讲：一元二次方程的根与系数的关系
【知识要点】
1、一元二次方程
ax
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的求根公式
2、韦达定理：设
则
x?x
1
x
1
、x
2
是一元二次方程
c
a
的两个实根，
2
??
b
,
a
x
1
?x
2
?

【例题分析】
1、已知关于
x
的方程
2x


2、已知方程
2x
式的值：
（1）
?
x
1
?2
??
x
2
?2
?
2
?5x?p?0
的一个根为
3
，求
方程另一根及
p
的值。
2
?4 x?1?0
的两根为
x、x
，求下列各
12
； （2）
x< br>x
2
?
1
x
1
x
2
； （3）
x
1
?x
2
。
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3、已知关于
x
的方程
x
实数
a
的取值范围。



【巩固练习】
1、已知关于
x
的方程
3x


2、已知方程
?3x
式的值：
（1）
x
1
?x
1
；（2）
x
12
2
?3x?2a?1?0
有两个正根，求
2
?19x?k?0
的一个根为
1
，求
方程 另一根及
k
的值。
2
?x?1?0
的两根为
x、x
，求下列各
12
1
?x
2
；（3）。
?
2x1
?1
??
2x
2
?1
?
。


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3、已知关于
x
的方程
x



4、设
m
、
n
是一元二次方程
x2
＋3
x
－7＝0的两
个根，求
m
2
＋4m
＋
n
的值．


【回家作业】
1、已知 关于
x
的方程
2
2
x?ax?2?0
3
2
?
?
2m?1
?
x?m
2
?1?0
的两个实数根< br>的平方和为
9
，求实数
m
的值。
1
的一个根为
2
，
求方程另一根及
a
的值。



2、已知方程
4x
式的值：
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2
?8x?1?0
的两根为
x、x
，求下列各
12

?
1
（1）
?
x
2
?
1
??
1
?
?3
??
x
2
?3
?
??
2
?
； （2）
x
2
?1x
1
?1< br>?
x
1
x
2
； （3）
3x
1
?x
2
。







3、已知关于
x
的方程
?
k?1< br>?
x
相等的实根
x、x
。
12
2
?
?
2k?3
?
x?k?1?0
有两个不
（1）求实数
k< br>的取值范围；
（2）是否存在实数
k
，使得方程的两个实数根
互为相 反数？若存在，求出
k
的值；若不存在，
请说明理由。




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4、（选做题）已知关于
x
的方程
x
根为
x、x
。
12
2
?5x?1?3a?0
的两
（1） 若
x
（2） 若
x




1
? 2，x
2
?2
?1，x
2
?1
，求实数
a
的取值范围。
1
，求实数
a
的取值范围。
第六讲：二次函数
y?ax
【知识要点】
1、 顶点为
?
b4ac?b
2
?
?
?
2a
,
4a
?2
?bx?c
（
a,b,c
是常数，
a?0
）
?
?
?
?
，对称轴为
x??
2
b
a； 当定
4ac?b
2
4a
义域是一切实数时，
如果
a?0
，则存在最大值；如果
a?0
，则存
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在最小值
4ac?b
2
4a
。
2、 当
a?0
时，在
x??
2
b
a
时< br>y
随
x
的增大而减小（单
调递减），在
x??
2b
a
时
y
随
x
的增大而增大（单调
递增）；
当
a?0
时，在
x??
2
b
a
时
y
随
x
的增大而增大（单
调递增），在
x??
2
b
a
时
y
随
x
的增大而减小（单
调递减）。
【例题分析】
1、求下列函数图像的顶点坐标与对称轴：
y?x
（1）
2
?8x?18y?4x
； （2）
2
?8x?1y??2x
； （3）
2
?3x?1
。






2、分别按下列要求计算函数
y?x
和最小值：
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31 37

2
?4x?3
的最大值

x
取一切实数；（1） （2） （3）
0?x?4
；
?3?x?5
。







3、 已知函数
y??x
2
?ax?
a1
?
42
，当
0?x?1
时，函数随
着
x的增大而增大（单调递增），求实数
a
的取
值范围。




【巩固练习】
1
y?x
1、求下列函数的顶点坐标： （1）
2
y??3x
2
?2x?1
2
?3x?2
； （2）

昆明行知中学
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32 37

2、分别在下列各范围上求函数
y?x
。
2
?2x?3
的最值：
（1）
x
取一切实数；（2）?2?x?2
；（3）
1?x?3
；（4）
?3?x??2




3、已知函数
f
?
x
?
? x
2
?2ax?2
，
?5?x?5
。
（1）当
a ??1
时，求函数
f
?
x
?
的最大值与最小值；
（2）求实数
a
的取值范围，使得当
?5?x?5
时，函
数
y?f
?
x
?
的值随着
x
的增大而减小（单调递减）。



【回家作业】
1、 求函数
y?6x

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33 37

2
?x?2
的顶点坐标与对称轴。

2、 已知函数
y?x


3、 已知函数
y?4x


4、 求函数
y??2x


5、（选做题）函数
f(x)?x


2
2
22
?
?
a?2
?
x?3
的图像关于
x?1对称，
求实数
a
的值及函数的顶点坐标。
?mx?5
在
x?2
时单调递增，求实
数
m
的取值范围。
?x?1
在
0?x?1
时的最值。
?2x?3
在
0?x?m
上的最大
值为
3
，最小值为
2
，求实数
m
的取值范围。
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