高中数学必修1345知识点归纳及公式大全

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必修1数学
知识点

第一章、集合与函数概念
§
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集 合：
N
*
或
N
?
，整数集合：
Z
，有理数 集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§
1、 一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的
子集。记作
A?B.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x ?A
，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子集.
§
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交 集.记作：
A?B
.
3、全集、补集？
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任 意一个数
x
，在集合B中都
n
y?f
?
x
?
,x?A
. 有惟一确定的数
f
?
x
?
和它对应，那么就 称
f:A?B
为集合A到集合B的一个函数，记作：
2、 一个函数的构成要素为：定 义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，
则称这两个函数相等.
§
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§
1、 注意函数单调性证明的一般格式：
解：设
x
1
,x
2?
?
a,b
?
且
x
1
?x
2
，则：
f
?
x
1
?
?f
?
x
2< br>?
=…
§
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x< br>?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为偶函数.
偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般地，如果对 于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有f
?
?x
?
??f
?
x
?
，那么就称 函数
f
?
x
?
为奇函数.
奇函数图象关于原点对称.
第二章、基本初等函数（Ⅰ）
§
1、 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
当
n
为偶数时，
a?a
.
3、 我们规定：
n
n
n

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⑴
a
n
m
?
m
a
n

*
?
a?0,m,n?N
⑵
a
?n
,m?1
；
?
?
1
?
n?0
?
；
n
a
r?s
4、 运算性质：
⑴
aa?a
⑵
a
r
rs
?
a?0,r,s?Q
?
；
??
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
； < br>rr
⑶
?
ab
?
?ab
?
a?0,b?0, r?Q
?
.
r
§
1、 记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x
§
x
1、
a?N?log
a
N?x
；
2、
a
log
a
N
?a
.
3、
log
a
1?0
，
log
a
a?1
.
4、当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴
log
a
?
MN
?
?log
a
M?log
a
N；
⑵
log
a
?
?
M
?
N
?
?
?log
a
M?log
a
N
；
?< br>n
⑶
log
a
M?nlog
a
M
.
5、换底公式：
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
6、
log
a
b?
1

log
b
a

?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
§2..2.2、对数函数及其性质
1、 记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?

§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
第三章、函数的应用
§

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1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 性 质：如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f
?
a
?
? f
?
b
?
?0
，那么，
函数
y?f
?x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f
?
c
?
?0
，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§
1、掌握二分法.
§
§
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.
必修3数学
知识点
第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、算法的三种基本结构：
顺序结构、选择结构、循环结构
3、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
4、循环结构中常见的两种结构：
当型循环结构、直到型循环结构
5、基本算法语句：
①赋值语句：“=”（有时也用“←”）
②输入输出语句：“INPUT” “PRINT”
③条件语句：
If … Then
…
Else …
End If
④循环语句： “Do”语句
Do
…
Until …
End
“While”语句
While …
…
WEnd
⑹算法案例：辗转相除法—同余思想
第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）

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②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的 总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。
3、总体特征数的估计：
x?x?x
3
???x
n
⑴平均 数：
x?
12
；
n
取值为
x
1
,x2
,?,x
n
的频率分别为
p
1
,p
2
,?,p
n
，则其平均数为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据
x
1
,x
2
,?,x
n

1
方差：
s
2
?
n
n
。
N
?
(x
i?1
n
2
i
?x)
；
标准差：
s?
1
n
?
(x
i?1
n
2
i
?x)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：
P(A)?
m
,0?P(A)?1
；
n
?
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件

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A发生的概率
P(A)?
m
。
n
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P(A)?
d的测度
；
D的测度
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互斥事件，则称事件A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥，则有：
⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
必修4数学
知识点

第一章、三角函数
§
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
l
.
r
§
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、
?
?
3、弧长公式：
l?
n
?
R
?
?
R
.
180
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§
1、 设
?
是一个任 意角，它的终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
，那么：
s in
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
y
.
x
22
x
0
?y
0
） 2、 设点
A
?
x
0
,y
0
?
为角
?
终边上 任意一点，那么：（设
r?

sin
?
?
y
0< br>x
y
，
cos
?
?
0
，
tan?
?
0
.
rr
x
0
3、
sin
?
，
cos
?
，
tan
?
在四个象限的符 号和三角函数线的画法.
4、 诱导公式一：

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sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,
cos
?
?< br>?2k
?
?
?cos
?
,
（其中：
k?Z< br>）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270°的三角函数值.




§
1、 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
.
2、 商数关系：
tan
?
?
22












sin
?
.
cos
?
§1.3、三角函数的诱导公式
1、 诱导公式二：
2、诱导公式三：
3、诱导公式四：
4、诱导公式五：
5、诱导公式六：
§
1、记住正弦、余弦函数图象：
2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、
单调性、周期性.
3、 会用五点法作图.
§
1、 周期函数 定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?
?f?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周 期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
§
1、记住正切函数的图象：
2、 能够对照图象讲出正
调性、周期性.
§1.5、函数
切函数的相关性质：定义域、值 域、对称中心、奇偶性、单
y?Asin
?
?
x?
?
?的图象
1、 能够讲出函数
平移伸缩变换关系.
2、 对于函数：
y?sinx
的图象和函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
?b
的图象之间的
y?Asin
?
?
x?
?< br>?
?b
?
A?0,
?
?0
?
有：振幅A，周 期
T?
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.
第二章、平面向量
§
2
?
?
，初相
?
，相位
?
x?
?
，频率
f?
1
T
?
2
?
?
.

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1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、 向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），记作
AB
；长度为零的 向量叫做零向量；长度等于1
个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§
1、 三角形法则和平行四边形法则.
2、
a?b
≤
a?b
.
§
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
§
1、 规定：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的 数乘.记作：
?
a
，它的长度和方向规定如下：
⑴
?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向 相同；当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
§
1、 平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是 同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
，有且只
有一对实数< br>?
1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
§
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§
1、 设< br>a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?< br>?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
⑵
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
⑶
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，
⑷
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
??

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AB ?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1< br>?
.
§
1、设
A
?
x
1
,y< br>1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则
?
⑵△ABC的重心坐标为
?
⑴线段AB中点坐标为
§
x
1
?x
2
2
y
2
，
,
y
1
?
2
?
x
1
?x
2
?x< br>3
3
,
y
1
?y
3
2
?y
3
.
?
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
3、
a?a
.
4、
a?
2
2
a
.
2
5、
a?b?a?b?0
.
§
1、 设
a?
?
x< br>1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y2
?
，则：
⑴
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2

⑵
a?x
1
2
?y
1
2

⑶a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0< br>
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
.
§
§
第三章、三角恒等变换
§
1、
cos
?
?
?< br>?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

2、记住15°的三角函数值：


§ < br>1、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

2、sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

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3 、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

4、
ta n
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
t an
?
.
tan
?
?tan
?
5、
ta n
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
t an
?
.
tan
?
?tan
?
§
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
2< br>sin2
?
.
2、
cos2
?
?cos
?
?sin
?

22
?1?2sin
2
?
，
变形1：
cos
2
?
?
1?cos2
?
，
2
变形2：
sin
2
?
?
1?cos2
?
.
2
3、
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
2、余弦定理：
3、三角形面积公式：
第二章：数列
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列。
⑵通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d

⑶求和公式：
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
n?1
⑵通项公式：
a
n
?a
1
q
a
1
?a
n
q
a
1
1?q
n
?
⑶求和公式：
S
n
?

1?q1?q
第三章：不等式
??

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1、
当a,b ?0时，a?b?2ab
?
当且仅当a?b时取等号
?

2、
当a,b?R时，a
2
?b
2
?2ab
?
当且仅当a?b 时取等号
?
2

a
2
?b
2
?
a ?b
?
3、变形：
ab?
?

?
,ab?
2
?
2
?
数学必修1、3、4、5常用公式及结论
必修1
： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，则称A是B的子集。记作
A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作A
?
B 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
A?B

?
3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
AUB

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
AIB

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
C
U
A

nnn
5．集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1个；
6.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

① f ( x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f ( x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax
2
+bx + c（
a?0
）的性质
*
?
b4ac?b
2
?
4ac?b
2
b
1、顶点坐标公式：?
?
?
2a
,
4a
?
?
， 对称轴：
x??
2a
，最大（小）值：
4a

??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式
f( x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a
m
? a
n
= a
m + n
，（2）
a?a?a
n
mnm?n
22
，（3）( a
m
)
n
= a
m n
（4）( ab )
n
= a
n
? b
n

n
?1
1
a
n
?
a
?
m
n
?n< br>（5）
??
?
n
（6）a
0
= 1 ( a≠0)（7）
a?
n
（8）
a
m
?a
（9）
a
m
?

n
m
a
b
?
b
?
a
n

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2、根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
?
a,a?0
（2）当
n
为奇数时，
a?a
； 当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
n
n
4、指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

Y
Y
b
5.指数式与对数式的互化：a > 1

logN?b?a?N
(a?0,a?1,N?0)
.

a
0 < a < 1
五、对数与对数函数
1
1
1对数的运算法则：
X
logN
（1）a
b
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a
a = 1（4）log
a
a
b
= b（5）a

a

= N
0
X
0
M
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N （7）log
a
() = log
a
M -- log
a
N
N
（8）log
a
N
b
= b log
a
N （9）换底公式：log
a
N =
n
log
b
N

log
b
a
（10）推论
log
a
m
b?
（11）log
a
N = < br>n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
1
（12）常用对数：lg N = log
10
N （13）自然对数：ln A = log
e
A （其中 e = 2.71828…）
log
N
a
2、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

Y
Y
a
:
>1
六、幂函数y = x
a
的图象（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .
a < 1 0 <

X
0 < a < 1 a < 0
0
1
1
a > 1
1
1
?1
2
例如： y = x
2

y?x?x

y?
0
?x

X
x
七.图象平移：若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
.
九、函数的零点 ：1.定义：对于
y?f(x)
，把使
f(x)?0
的X叫
y?f( x)
的零点。即

y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函 数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一 条
曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f(c)?0
，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度
?
）
x
a?b

2
（3）计算
f(x
1
)< br>①若
f(x
1
)?0
，则
x
1
就是零点；② 若
f(a)?f(x
1
)?0
，则零点
（1）确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,b
?
的中点
x
1
?
x< br>0
?
?
a,x
1
?
③若
f(x
1
)?f(b)?0
，则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
；
（4）判断是否达到精确度
?
，若< br>a?b?
?
，则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否
则重复（2）到（4）

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必修3: 第一章 算法初步
1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题 是程序或步骤，这
些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框

名称
起止框
可少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框
中任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公
处理框 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框
内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框
“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。(结构图请看教材)
4、（ 1）、辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。
（2）、更相减损术。以较大的数减去较小的 数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操
作，直到所得的数相等为止，则这个 数（等数）就是所求的最大公约数。
（3）进位制 ①以k为基数的k进制换算为十进制：
②十进制换算为k进制：除以k取余，倒序排列
第二章 统计 1．
总体和样本：
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一 般从总体中随机抽取一部分：
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2、简 单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同。
（总体个数较少）

3、简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；
4、系统抽 样（等距抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
（总体个数较多）

K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
5、分层抽样：先将总体中的所有单位按照 某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在
各个类型或层次中采用简单随机抽样 或系统抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的
， ， ，
功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不

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样本。先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
（总体中差异明显）

6、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数
为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。
7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s 为标准差）
x
1
?x2
???x
n
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?L?(x
n
?x)
2
（1）、平均值 ：
x?
（2）、
s?

n
n
8、两个变量的线性相 关（1）、概念:（1）回归直线方程：
y?a?bx

?
???
（ 2）回归系数：
b?
i?1
n
?x
i
y
i
?nxy
i?1
n
?x
i
2
?nx
2
，< br>a?y?bx

??
（3）．应用直线回归时注意：回归分析前,最好先作出散点图；
第三章 概率
一、概念 1、事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生
⑶概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事
件，则事件A发生的概率
p(A)?
m

n
3、几何概型：⑴特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
构成事件A的区域长度（面积或体积）
⑵几何概型概率计算公式：
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
。
4、若A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；
5、若A∩ B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件A与
事件 B互为对立事件；
二、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于
是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与 联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包
括三种不同的情形：（1）事件 A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件

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B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生， 其包括两种情形；（1）事件A发生B不
发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的 特殊情形。
必修4 一、
三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
增区间[-
单调性

R
[-1,1]
2π
奇函数

R
[-1,1]
2π
偶函数
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
( k∈Z )
增区间
(-
余弦函数

{x| x≠
正切函数
?
+kπ,k∈Z}
2
R
π
奇函数
对称轴
对称中心
??
+2kπ,+2kπ]
22
?
3
?
减区间[+2kπ, +2kπ]
2
2
?
x = + kπ( k∈Z )
2
( kπ,0 ) ( k∈Z )
??
+kπ,+kπ)
22
无
( k∈Z )
x = kπ ( k∈Z )
(
??
+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k,0 ) ( k∈Z )
22
sin
?
2、同角三角函数公式 sin
2
α+ cos
2
α= 1
tan
?
?
tanαcotα=1
cos
?
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos
2
α-1 = 1-2 sin
2
α= cos
2
α- sin
2
α
tan2
?
?
4、降幂公式
cos
?
?
2
2tan
?

2
1 ?tan
?
1?cos2
?
1?cos2
?
2

sin
?
?

22
5、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα)
2
1 + cos2α=2 cos
2
α 1- cos2α= 2 sin
2
α
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcosβ土cosαsinβ cos (α±β) = cosαcosβ干sinαsinβ
7、两角和差正切公式的变形：
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
1?tan
?
tan45??tan
?
?
1?tan
?
tan45? ?tan
?
?
== tan (+α) == tan (-α)
1?tan
?
1?tan45?tan
?
41?tan
?
1 ?tan45?tan
?
4
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
as in
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin
?
?
?
?
?
（其中
tan
?
?
9、半角公式：
sin
b
） < br>a
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos?

cos??

222
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cosα， tan (π－α) = －tanα；
sin (π+α) = －sinα cos (π+α) = －cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π－α) = －sinα cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tanα
sin (－α) = －sinα cos (－α) = cosα tan (－α) = －tanα

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??
?
－α) = cosα cos (－α) = sinα tan (－α) = cotα
222
???
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sinα tan (+α) = －cotα
222
sin (
11.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
函数y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
2
?
?
；
?
2
,k?Z
(A,ω,?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
.
?
二、平面向量 （一）、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：（1）向量法：|
a
| =
a?a?a
；
2
（2）坐标法：设
a
=（x，y），则|
a
| =
x
2
?y
2

2、单位向量的计算公式：
?< br>xy
（1）与向量
a
=（x，y）同向的单位向量是
?
,?
x
2
?y
2
x
2
?y
2
?
?
x
（2）与向量
a
=（x，y）反向的单位向量是
??,
22
?
x?y
?
3、平行向量
?
?
；
?
?
y
?
?
；
?
x
2
?y
2
?
?
规定：零向量与任一向量平行 。设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x2
，y
2
），λ为实数
向量法：
a
∥
b（
b
≠
0
）<=>
a
=λ
b
< br>坐标法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<=> x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0 <=>
4、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
）
向量法：
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0 坐标法：
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
5.平面两点间的距离公式
x
1
x
2
（y
1
≠0 ，y
2
≠0）
?
y
1
y
2
uuuruuuruuur< br>22

d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A< br>(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y< br>2
)
).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2） 坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（ x
2
，y
2
），则
a
+
b
=（x
1
+ x
2
，y
1
+ y
2
）
（三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法： 设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
-
b
=（x
1
- x
2
，y
1
- y
2
）
（3）、重要结论：| |
a
| - |
b
| | ≤ |
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|

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（四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos
?
=
a?b
|a||b|

（2）坐标法：设
a
=（x< br>1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2< br>），则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2

（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：
a
·
b
= |
a
| |
b
| cos
（2）坐标法：设
a
= （x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2

?

（3） a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
3.平面向量基本定理：如果e
1
、e
2
是同 一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有
且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e2
．不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
（七）.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2< br>)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心 的坐
标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)

33
必修5 一
、解三角形：ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B = 60?，∠A +∠C = 120?
2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
sin (
ABCABC
?
) = cos , cos (
?
) = sin
222222
abc
???2R
（R为ΔABC外接圆半径）
sinAsinBsinC
3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）
4、边角关系：（1）正弦定理：
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,
（2）余弦定理：a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc?cosA , b
2
= a
2
+ c
2
– 2a c?cosB ,
c
2
= a
2
+ b
2
– 2 a b?cosC
b
2
? c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2< br>a
2
?b
2
?c
2
cosA?
,
cosB?
,
cosC?

2bc2ac2ab
5、面积公式：S =
1111
a h = ab sinC = bc sinA = ac sinB
2222
二、数列 （一）、等差数列{ a
n
}
1、通项公式：a
n
= a
1
+ ( n – 1 ) d ，推广：a
n
= a
m
+ ( n – m ) d ( m , n∈N )
2、前n项和公式：S
n
= n a
1
+
n(a
1
?a
n
)
1
n ( n – 1 ) d =
2
2
3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则 a
m
+ a
n
= 2 a
p
（等差中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a
m
+ a
n
= a
p
+ a
q
( m , n , p , q∈N )

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③S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
– S
2 n
组成等差数列，公差为n d。
（二）、等比数列{ a
n
}1、通项公式：a
n
= a
1
q
n – 1
，推广：a
n
= a
m
q
n – m
( m , n∈N )
2、等比数列的前n项和公式：
a
1< br>(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
当q≠ 1时，S
n
= =， 当q = 1时，S
n
= n a
1

1?q
1?q
3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则a
p
2
= a
m
? a
n
（等比中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则 a
m
? a
n
= a
p
? a
q
( m , n , p , q∈N )
③S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
– S
2 n
组成等比数列，公比为q
n
。
（三）、一般数列{ a
n
}的通项公式：记S
n
= a
1
+ a
2
+ …

+ a
n
，则恒有
a
n
?
?
三、不等式
（一）、均值定理及其变式（1）a , b ∈ R , a
2
+ b
2
≥ 2 a b
S
1
?
n?1
?

??
n?2,n?N
S?S
n?1
?
n
?
?
a?b
?
（2）a , b ∈ R
+
, a + b ≥ 2
ab
（3）a , b ∈ R
+
, a b ≤
??

2
??
2
a?ba
2
?b
2
（4） ，以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。
?ab??
11
22
?< br>ab
2
2
（二）.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a ?0,??b?4ac?0)
，如果
a
与
ax?bx?c
同号，则其 解
22
集在两根之外；如果
a
与
ax?bx?c
异号，则其 解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设
x
1
?x
2

2
(x?x
1
) (x?x
2
)?0?x
1
?x?x
2
；
(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x?x
1
,或x?x< br>2

（三）.含有绝对值的不等式：当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
2
（四）.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
（五）.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域： 直线定界，特殊点定域。
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)