电场强度的公式几种典型交变电流有效值计算公式的推导

几种典型交变电流有效值计算公式的推导
交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的. 让交流和直流分别通过
相同阻值的电阻，如 果它们在相同时间内产生的热量相等，就把这一直流的数值
叫作这一交流的有效值.即用与交变电流有相 同热效应的直流来等效替代交变电
流在能量方面所产生的平均效果.现行所有版本的高中物理教材都没有 给出交变
电流有效值计算公式的推导，只是直接给出了正弦全波交变电流有效值的计算公
式.而 计算非正弦交变电流（如矩形波、锯齿波等）的有效值时，不能应用正弦
全波交变电流的有效值公式，只 能根据有效值的定义进行求解.本文就来介绍正
弦波、矩形波和锯齿波等几种典型交变电流有效值计算公 式的推导，以加深对交
变电流有效值定义的理解.
一、正弦波交变电流有效值的计算公式
1. 正弦全波交变电流有效值的计算公式
根据有效值的定义可知，用与交变电流有相同热效 应的直流来等效替代交变
电流在能量方面所产生的平均效果.因交变电流的大小和方向随时间做周期性变
化，不同时刻的效果一般不同，即瞬时功率不能反映交变电流的实际效果，通常
用平均功率来描 述交变电流在一个周期内产生的平均效果.
正弦交变电流的电流（i=Imsinωt）和在纯电阻R 两端所产生的电压
（u=Umsinωt）都随时间做周期性变化，则交变电流在纯电阻R上消耗的瞬时 功
率为
P=i2R=Rsin2（ωt）=R ①
或 P==sin2（ωt）= ②
交变电流在纯电阻R上消耗的平均功率是瞬时功率P在一个周期T内对时
间的平均值，即
其中最大功率为Pm=R ④
（1）割补法
在 纯电阻电路中，由于通过电阻R的电流i和电阻R两端的电压u相位一
致，无相位差，因而任何时刻输入 到负载电阻R中的瞬时功率P都是正值. 由①
或②式可得如图①所示的P-t图像.把P-t图线与t 轴围成的“面积”进行割补：A-a、
B-b、C-c对应割-补，就会得到一个矩形ODT. 在p- t图像中，图线与坐标轴所
包围的“面积”在数值上等于这段时间内交变电流在负载电阻R上做的功. 根据功
能关系、P-t图像的物理意义和交变电流有效值的定义可得Q = W =t
I2RT =T ⑥
或 T =T ⑦
由③、④、⑥式可得
I=，
由③、⑤、⑦式可得
U=.
（2）对称法
如图1所示，在一个周期内，根据对称性，P-t图像中图线与t轴所包围的“ 面
积”等于矩形OPmET面积的一半，由P-t图像的物理意义和交变电流有效值的定
义可得
PmT=I2RT ⑧

或 PmT=T ⑨
由④、⑧式可得I=，
由⑤、⑨式可得 U=.
2. 正弦半波交变电流有效值的计算公式
若如图2所示 的正弦半波交变电流通过电阻R时，那么一个周期T内产生
的热量等于它为正弦全波交变电流时的一半， 即
T=T
或 RT=I2RT.
而U=，I=，
因而可得U半=，I半=.
3. 正弦单向脉动交变电流有效值的计算公式
因为电 流的热效应与电流的方向无关，所以如图3所示的正弦单向脉动交变
电流与正弦全波交变电流通入电阻时 所产生的热效应完全相同，即
二、矩形波交变电流有效值的计算公式
1. 矩形非对称交变电流有效值的计算公式
若把一直流电压U和如图4所示的矩形非对称交变电压分别加在 同一电阻R
上，则矩形非对称交变电流在一个周期T内产生的热量为
Q1=·+·
或 Q1=I12R·+R·.
直流电在相等时间T内产生
的热量为
Q2=T或Q2=I2RT .
根据有效值的定义可知
·+·=T
或 I12R·+R·=I2RT.
则 U=， I=
2. 矩形对称交变电流有效值的计算公式
在图4中，若U1=U2=Um，即为矩形对称交变电流，则由上 式可知，其有
效值的计算公式为
U = Um或 I = Im
即 U =，I =.
3. 矩形脉动交变电流有效值的计算公式
如图5所示的矩形脉动交变电流的 实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻R
后，一个周期T内产生的热量相当于直流电产生热量的，t为一 个周期内脉动时
间.由有效值的定义可知
T=T
或 I2RT=RT，
则 U=Um，
I=Im，
当=时，U=，I=.
三、锯齿波交变电流有效值的计算公式
若把如图6所示的锯齿波交变电流的一个周期T分成n 等份，则每一份时
间Δt=.且一个周期T内对应的时刻分别为
t1=Δt，t2=2Δt，…，tn=nΔt=T，所对应的电流的瞬时值分别为

i1=kt1，i2=kt2…，in=ktn=Im，
其中图线的斜率k=.
当n→∞时，Δt→0.可认为在时间Δt内，电流为某一定值，则由有效值的定
义可知
I2RT=i12RΔt+i22RΔt+…+RΔt.
由以上各式联立可得
I=Im.
把12+22+…+n2=代入上式，并进行极限运算可得锯齿波交变电流有效值的
计算公式为
I=.
引申：（1）若把如图7所示的锯齿波交变电流的一个分成n等份，则每一份
时间Δt=.且锯齿波图线的斜率大小k=.电流的热效应与电流的方向无关，根据有
效值的定义可得 I2RT=2（i12RΔt+i22RΔt+…+RΔt），同理可得锯齿波交变电流
有效值的计算公 式为I=.
（2）若把如图8所示的等腰三角波交变电流的一个分成n等份，则每一份
时间Δ t=.且等腰三角波图线的斜率大小k=. 根据有效值的定义可得 I2RT=4
（i12RΔt+i22RΔt+…+RΔt）.
同理可得等腰三角波交变电流有效值的计算公式为I=.
（3）因为电流的热效应与电流的方 向无关，同理可得如图9所示的等腰三
角单向脉动交变电流有效值的计算公式为I=.
综上所 述，不同类型交变电流的有效值都是根据有效值的定义计算的，同时，
对称矩形波、正弦全波（含正弦单 向脉动、矩形脉动）和锯齿波交变电流有效值
的计算公式分别为：I=，I=，I=；U=，U=，U= .