数学三角函数公式大全

三角函数
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终 边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z

?
▲
y
2
sinx
1
cosx
cosx
②终 边在x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

③终 边在y轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180?90,k?Z
④终边在坐标轴上的角的集合：
?
|
?
?k?90
?
, k?Z

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
?
|
?
?k? 180
?
?45
?
,k?Z

⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?45< br>?
,k?Z

??
3
sinx
4
?
??
?
cosx
cosx
1
sinx
2
sinx< br>3
x
??
4
??
SINCOS
三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
??
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称，则角
?
与角
?
的关 系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：< br>?
?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

⑩角< br>?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的 关系：
?
?360
?
k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745（rad）
?
180
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
r
y
x
cos
?
?
；
tan
?
?
x
r
；
cot
?
?
x
；
sec
?
?
r
；.
csc
?
?
r
.
y
x
y
ox
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y
P
T
M
A
x

6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?

1
??
?
x|x?R且 x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

1
??< br>?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

cos
?
co
?
s
?co
?
t

sin
?
8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
?ta n
?

16. 几个重要结论
:
(1)
y
??co?s?1

tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec
sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

(2)
y
9、诱导公式：
k
?

把?
?
的三角函数化为
?
的三角函数，概括为：
2
|sinx|>|cos x|
sinx>cosx
O
x
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
“奇变偶不变，符号看象限”



三角函数的公式：（一）基本关系


公式组一


sin
x
·
csc
x
=1tan
x=
sinx
sin
2
x
+cos
2
x
=1
cosx

cosx
x
=1+tan
2
x=sec
2
x

cos
x
·
sec
x
=1
sinx

tan
x
·
cot
x
=1 1+cot
2
x
=csc
2
x

公式组二
sin(2k
?
?x)?sinx
cos(2k
?
?x)? cosx

tan(2k
?
?x)?tanx
cot(2k?
?x)?cotx

公式组三
sin(?x)??sinx
cos(?x)?cosx

tan(?x)??tanx
cot(?x)??cotx



cosx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2

公式组四
sin(
?
?x)??sinx
cos(
?
?x)??co sx

tan(
?
?x)?tanx
cot(
?
?x)?cotx
公式组五
sin(2
?
?x)??sinx
c os(2
?
?x)?cosx

tan(2
?
?x)?? tanx
cot(2
?
?x)??cotx
公式组六
sin(?
?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosx

tan(
?
?x)??tanx
cot(
?
?x)??co tx



（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
co
?
s
22
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?

cos2
??co
2
s
?
?sin
?
?2co
2
s
?
?1?1?2sin
?

2
?
?
si n(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?co s
?
sin
?

tan
2tan
?
2
1?tan
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin??
2
?
1?co
?
s

2
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
1?cos
?

cos??

1?tan
?
tan
?
22
tan
?
?t an
?

tan

?
??
1 ?cos
?
?
sin
?
?
1?cos
?
1 ?tan
?
tan
?
21?cos
?
1?cos
?
sin
?
tan(
?
?
?
)?
公式组三 公式组四 公式组五
1
1
?
sin
?
cos
?
?
?
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?< br>?
?
?
cos(
?
?
?
)?sin
?
2tan
2
2
2

sin
?< br>?
1
2
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
co s
?
sin
?
?
1
1?tan
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
2
2
1
co s
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?1
?
2
tan(
?
?
?
)?cot
?
1?tan
2
2
1
2

cos
?< br>?
sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?< br>?
?
?
2
1
1?tan
2
?
???
?
?
cos(
?
?
?
)??sin
?
2
sin
?
?sin
?
?2sincos
2< br>22

2tan
tan
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
?
?
?
2
sin
?
?
?
??
?
2
cos
22
2
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
??2sinsin
2 2
6?2
, ,
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,.
tan75
?
?cot15
?
?2?3

??
sin15?cos75?
2

1?tan
2
cos
?
?cos
?
?2cos
1
tan(?
?
?
)??cot
?
2
1
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
4
sin75
?< br>?cos15
?
?
6?2

4













10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域
值域
周期性
奇偶性






单调性

y?sinx

y?cosx
R
[?1,?1]


y?tanx
1
?

?
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??

y?cotx

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

（A、
?
＞0）
R R
[?1,?1]

R
?

?
?A,A
?


?
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?< br>
2
?

奇函数
2
?

2
?
偶函数
[
?
2k?1
?
?
,
2k
?
]
奇函数
?
?
?
?
? k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
奇函数
[?
?
2
?2k
?
,
；
?
??
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上 为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
?2k
?< br>]
上为增函
数；
[?2k
?
,
2
3
?
?2k
?
]
2
上为增函
数
[2k
?,

?
2k?1
?
?
]
上为减函
数
（
k?Z
）

上为增函数
（
k?Z
）
?
上为增函数；
?
?
2k
?
??
??
上为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
( A),
??
?
??
??
3
?
2k
?
?
2
?
?
?
?
(?A)
??
?
??
上为减函数

（
k?Z
）

注意：①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相反；
y?? cosx
与
y?cosx
的单调性也同样相
反.一般地，若
y?f( x)
在
[a,b]
上递增（减），则
y??f(x)
在
[a ,b]
上递减（增）.
▲
②
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.
③
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?
)
（
?
?0
）的周期
T?
2
?
y
?
.
O
x
x
y?tan
的周期为2
?
（
T?
?
?T?2
?
，如图，翻折无效）.
2
?
④
y ?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?< br>?
?
2
（
k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?(osc
?
x?
?
)
的
对 称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
），对称中心（
k
?
?
1
?
,0
）；
y?an(t
2
（
?
x?
?
)
的对称中心
k
?
.
,0< br>）
2
y?cos2x?
原点对称
????y??cos(?2x)?? cos2x

⑤当
tan
?
·
tan
?
? 1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k? Z)
；
tan
?
·
tan
?
??1,
?< br>?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
.
?
?
⑥
y?cosx
与
y?sin
?
?< br>x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数，则
2
??
1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)? ?cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对 称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定
义域关于原 点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数：
f(?x)??f(x)
）
1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y? tanx
是奇函数，
y?tan(x?
?
)
是非奇非偶.（定
3
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若
0?x
的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则无此性质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
为周期函数（
T?
?
）；

y
▲
y
x< br>12
x
y=cos|x|图象
y=|cos2x+12|图象

< br>；
y?cosx
为周期函数（
T?
?
）；
y?co sx
是周期函数（如图）
y?cos2x?
1
的周期为
?
（ 如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
2
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos< br>?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(?
?
?
)?cos
?
?















b
有
a
2
?b
2
?y
.
a
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ω x＋φ）的振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初 相
?
|
?
|
T2
?
（即当x＝0时的相位）．（当 A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵 坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|
＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象 ，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用yA
替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵 坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）
到原来的
|
1< br>|
倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx
?
替换x)
由y＝si nx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，
得到y＝sin（ x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象 上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，
得到y＝sinx＋b的图象 叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象 利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的
图象，要特别注意：当 周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区
别。


























高中数学三角函数常见习题类型及解法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos
2
θ+sin
2
θ
=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：
?
?
?
sin
2
x+2cos
2
x=(sin
2
x+cos
2
x)+co s
2
x=1+cos
2
x；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2< br>?
?
?
－等。
2
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=
a
2
?b
2
sin(θ+
?
)，这里辅助角
?
所
b
在象限由a、b的符 号确定，
?
角的值由tan
?
=确定。
a
2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三 角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化
为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不 等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的
单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用 单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析
cos
?
?sin
?
例1．已知
tan
?
?2
，求（1 ）；（2）
sin
2
?
?sin
?
.cos
??2cos
2
?
cos
?
?sin
?
的值.
sin
?
1?
cos
?
?sin
?
cos
?
?
1?tan
?
?
1?2
??3?22
；
?
解：（1）
sin
?
1?tan
?
1?2< br>cos
?
?sin
?
1?
cos
?
sin< br>2
??sin?cos??2cos
2
?
22
(2)
sin??sin?cos??2cos??

22
sin??c os?
sin
2
?sin?
??2
2
2?2?24?2??

?
cos?
2
cos?
. < br>sin?
2?13
?1
cos
2
?
说明：利用齐次式 的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行
弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数
y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)
2
的值域。 < br>π
解：设
t?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2，2]
，则原函 数可化为
4
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
，因为
t?[?2，2]
，所以
24
13
当
t ?2
时，
y
max
?3?2
，当
t??
时，
y
min
?
，
24
3
所以，函数的值域为
y?[，3?2]
。
4
例3．已知函数
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2，x?R
。
（1）求
f(x)
的最小正周期、
f(x)
的最大值及此时x的集合 ；
（2）证明：函数
f(x)
的图像关于直线
x??
π
对称。
8
解：
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2?2sinx? 2(1?2sin
2
x)

?2sinx2?2coxs?2
π
22xs?in

(2
4
)
(1)所以
f(x)
的最小正周期
T?π
，因为
x?R
，
ππ
3
π
?2kπ?
，即
x?kπ?
时，
f(x)
最大值为
22
；
428
π
(2)证明：欲证明函数
f(x)
的图像关于直线
x??
对称，只要证明对任 意
x?R
，
8
ππ
有
f(??x)?f(??x)
成立，
88
ππππ
因为
f(??x)?22sin[2(??x)?]? 22sin(??2x)??22cos2x
，
8842
ππππ
f(?? x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x
，
88 42
πππ
所以
f(??x)?f(??x)
成立，从而函数
f(x )
的图像关于直线
x??
对称。
8
88
3
1
例4． 已知函数y=cos
2
x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
2
2
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得
到？
33
111
解：（1）y=cos
2
x+sinx·cosx+1= (2cos
2
x－1)+ +（2sinx·cosx）
2
244
4
+1
3
151< br>??
5
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
4
4424
66
1
?
5
=sin(2x+)+ < br>24
6
?
?
?
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（ k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
626
?
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
??
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像； 66
1
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到
2
?
函数y=sin(2x+)的图像；
6
1
（iii）把得到的 图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到
2
1
?
函数y=si n(2x+)的图像；
2
6
所以，当
2x?

（iv）把得到的图像向上平移
的图像。
51
?
5
个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+
424
6
3
1
cos
2
x+sinxcosx+1的图像。
2
2
说明：本题是 2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数
的图像和性质。这类题一般有两种解法： 一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降
综上得到y=
幂后最终化成y=
a2
?b
2
sin (ωx+
?
)+k的形式，二是化成某一个三 角函数的
二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，< br>1313
cos
2
x?sinxcosx?tanx
2
y=< br>2
+1=
22
2
+1
22
sinx?cosx1? tanx
化简得：2(y－1)tan
2
x－
3
tanx+2y－3 =0
37
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
44
7
?
∴y
max
=，此时对应自变量x的值集为{x| x=kπ+,k∈Z}
4
6
xxx
例5．已知函数
f(x)?si ncos?3cos
2
.

333
（Ⅰ）将
f(x)
写成
Asin(
?
x?
?
)
的形式，并求其图象对 称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b
2
=ac，且 边b所对的角为x，试求x
的范围及此时函数
f(x)
的值域.
解：
f(x)?
1
sin
2x
?
3
(1?cos
2x
)?
1
sin
2x
?
3
cos
2x
?
3
?sin(
2x
?
?
)?
3
< br>232323232332
2x
?
2x
?
3k?1
? )
=0即
??k
?
(k?z)得x?
?
k?z

33332
3k?1
即对称中心的横坐标为
?
，k?z

2
（Ⅱ）由已知b
2
=
a
c
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
?ac2ac ?ac1
cosx????，
2ac2ac2ac2
1
??
2x?
5
?
??cosx?1，0?x?，???
233339
??
5
???
2x
?
2x
?
3
?
|? |?|?|，?sin?sin(?)?1，?3?sin(?)?1?，
3292333332
3
]
. 即
f(x)
的值域为
(3,1?
2
3
?
]
. 综上所述，
x?(0,]
，
f(x)
值 域为
(3,1?
2
3
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式 等知识，还需要利用数
形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行< br>整合的能力。
（Ⅰ）由
sin(

例6．在
ABC
中，a
、
b
、
c分别是角A
、
B
、
C的对边，且
(1)求
sinB
的值；
(2)若
b?42
，且a=c，求
ABC
的面积。
解：(1)由正弦定理及
cosC3a?c
，
?
cosBb
cosC3a?ccosC3sinA?sinC
，有， ??
cosBbcosBsinB
即
sinBcosC?3sinAcosB?s inCcosB
，所以
sin(B?C)?3sinAcosB
，
又因为< br>A?B?C?π
，
sin(B?C)?sinA
，所以
sinA?3s inAcosB
，因为
sinA?0
，
22
1
所以
cosB?
，又
0?B?π
，所以
sinB?1?cos
2
B?
。
3
3
2
(2)在
ABC
中，由余弦定理可 得
a
2
?c
2
?ac?32
，又
a?c
，
3
4
所以有
a
2
?32，即a
2
?24< br>，所以
ABC
的面积为
3
11
S?acsinB?a
2
sinB?82
。
22











三角函数
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
kππkπ
2．集合M＝{x|x＝ ± ，k∈Z}与N＝{x|x＝ ，k∈Z}之间的关系是 （ ）
244
C.M＝N D.M∩N＝
?

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）
A.60° B.－60° C.30° D.－30°
4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4) 1711°，其中在第一象限的
角是
( )

A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4）
5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于 （ ）
2
A.
5

21
B.－ C.
55

1
D.－
5
13
6．若cos(π＋α)＝－ ， π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ）
22
A.－
3

2
B.
31
C.
22
D.±
3

2
7．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A.2 B.
2
C.2sin1
sin1
2
1
9．如果sinx＋cosx＝ ，且0＜x＜π，那么cotx的值是 （ ）
5
4
A.－
3

433
B.－ 或－ C.－
344

43
D. 或－
34
10．若实数x满足log
2
x＝2＋sin θ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于 （ ）
A.2x－9 B.9－2x C.11 D.9
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．tan300°＋cot765°的值是_____________.
sinα＋cosα
12．若 ＝2，则sinαcosα的值是_____________.
sinα－cosα13．不等式（lg20)
2cosx
＞1，(x∈(0，π))的解集为_______ ______.
1
14．若θ满足cosθ＞－ ，则角θ的取值集合是_____________.
2
15．若cos130°＝a，则tan50°＝_____________. －
16．已知f(x)＝
1－x
π
，若α∈( ，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为___________.
2
1＋x

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面
积？最大 面积是多少？




18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，5 )，且cosα＝
2
x，求sinα与tanα的值.
4

m－34－2m
π
19．(本小题满分14分)已知 ≤θ≤π，sinθ＝ ，cosθ＝ ，求m的值.
2
m＋5m＋5





20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3
3
－ lg2，求cos
3
α－sin
3
α的值.
2




7
21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝2 cos( π＋β)和3 cos(－α)＝－2 cos(π＋β)，
2
且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.














三角函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）
A.y＝sin2x
C.y＝sin2x＋cos2x








x
B.y＝cos
2
1－tan
2
x
D.y＝
1＋tan
2
x
2．设函数y＝cos(sinx)，则 （ ）
A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数
C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数
3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两

π
倍，然后把图象向左平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为
4
（ ）
A.y＝2sin2x









B.y＝－2sin2x
x
π
D.y＝2cos( ＋ )
24
π
C.y＝2cos(2x＋ )
4
π
4．函数y＝2sin(3x－ )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）
4
π
A.
3
B.
2π
C.π
3
D.
4π

3
5．若sinα＋cosα＝m，且－2 ≤m＜－1，则α角所在象限是 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3π
6．函数y＝|cotx|·sinx（0＜x≤ 且x≠π）的图象是 （ ）
2
cos
2
x
7．设y＝ ，则下列结论中正确的是 （ ）
1＋sinx
A.y有最大值也有最小值 B.y有最大值但无最小值
C.y有最小值但无最大值 D.y既无最大值又无最小值
π
8．函数y＝sin（ －2x)的单调增区间是 （ ）
4
3π
ππ
5π
A.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) B.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
8888
π
3π3π7π
C.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
8888
1
9．已知0≤x≤π，且－ ＜a＜0，那么函数f(x)＝cos
2
x－2asinx－1的最小值是 （ ）
2
A.2a＋1 B.2a－1 C.－2a－1 D.2a
π
10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋3 cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0， ］上是增函数的θ的一
4
个
（ ）
A.
5π

3
B.
值
4π2π
C.
33
为
π
D.
3
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
cosx
11．函数y＝ 的值域是_____________.
1＋2cosx

cosx
12．函数y＝ 的定义域是_____________.
lg（1＋tanx）
13．如果x，y∈［0， π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________.
14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图
形的面积是_____________
15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.
π
16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋ )(x∈R)有下列命题：
3①由f(x
1
)＝f(x
2
)＝0可得x
1
－x
2
必是π的整数倍；
π
②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－ )；
6
π
③y＝f(x)的图象关于点（－ ，0)对称；
6
π
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－ 对称.
6
其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.








18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)
2
＋2 cos
2
x.(x∈R)
(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？


19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝
log
1
(si nx－cosx)
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.





20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯 形的水渠（如图），为降低成本，必
须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧
壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

21． (本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤ π)是R上的偶函数，其
3π
π
图象关于点M（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求φ和ω的值.
42