(完整版)高等数学公式大全

高等数学公式
高等数学公式
导数公式：
(tgx)
?
?sec x
(ctgx)
?
??cscx
(secx)
?
?secx ?tgx
(cscx)
?
??cscx?ctgx
(a
x
)
?
?a
x
lna
(log
a
x)
?
?
1
xlna
2
2
(arcsinx)
?
?1
1?x
2
1
(arccosx)
?
??
1? x
2
1
(arctgx)
?
?
1?x
2
1
(arcctgx)
?
??
1?x
2
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
?
tgxdx??lncosx?C
?
c tgxdx?lnsinx?C
?
secxdx?lnsecx?tgx?C
?
cscxdx?lncscx?ctgx?C
dx1x
?arctg?C
?
a
2
?x
2
aa
dx1x?a
?ln
?
x
2
?a
2
2ax?a
?C
dx1a?x
?ln?
a
2
?x
2
2aa?x
?C
dxx
?arcsin?C
?
a
2
?x
2
a
?
2
n
dx
2
?
cos
2
x
?
?secxdx?tgx?C
dx
2
?
sin
2
x
?
?
cscxdx??ctgx?C
?
secx?tgxdx?secx? C
?
cscx?ctgxdx??cscx?C
a
x
?
ad x?
lna
?C
x
?
shxdx?chx?C
?
c hxdx?shx?C
?
dx
x
2
?a
2
?ln( x?x
2
?a
2
)?C
?
2
I
n
?
?
sinxdx?
?
cos
n
xdx?
00n?1
I
n?2
n
?
?
?
x
2
a
2
2
x?adx?x?a?ln(x?x
2
?a
2)?C
22
x
2
a
2
222
x?adx?x? a?lnx?x
2
?a
2
?C
22
xa
2
x
2222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
22
2u 1?u
2
x2du
sinx?，　cosx?，　u?tg，　dx?
21?u
2
1?u
2
1?u
2
1 12

高等数学公式
一些初等函数： 两个重要极限：
e
x
?e
?x
双曲正弦:shx?
2e
x
?e
?x
双曲余弦:chx?
2
shxe
x
?e
?x
双曲正切:thx??
chx
e
x
?e
?x
arshx?ln(x?x
2
?1）
archx??ln(x? x
2
?1)
11?x
arthx?ln
21?x
三角函数公 式：
·诱导公式：
函数
角A
-α
90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α

sinx

lim?1
x?0

x
1

lim(1?)
x
?e?2.7045...
x??

x








sin cos tg
-tgα
ctgα
ctg
-ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
-sinα cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-sinα -ctgα -tgα
-cosα -tgα
-sinα -cosα tgα
-cosα -sinα ctgα
-cosα sinα
-sinα cosα
sinα cosα
-tgα
tgα
-ctgα -tgα

·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?
tg
?
?tg
?
tg(
?
?
?
)?
1?tg
?
?tg
?
ctg
?
? ctg
?
?1
ctg(
?
?
?
)?
ctg
?
?ctg
?

sin
?
?sin
??2sin
?
?
?
22
?
?
??
?< br>?
sin
?
?sin
?
?2cossin
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
??2coscos
22
?
?
??
?
?
cos< br>?
?cos
?
?2sinsin
22
cos
?
?
?
2 12

高等数学公式
·倍角公式：
sin2
?
?2sin
?
c os
?
cos2
?
?2cos
2
?
?1?1?2s in
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?ctg
2
?
?1
ctg2
?
?
2ctg
?
2tg
?
tg2
?
?
1?tg
2
?< br>
·半角公式：
sin3
?
?3sin
?
?4si n
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3c os
?
3tg
?
?tg
3
?
tg3
??
1?3tg
2
?
sin
tg
?
2
? ?
??
1?cos
??
1?cos
?
　　　　　　　　　　 　　cos??
222
1?cos
?
1?cos
?
sin< br>??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
? ?　　ctg????
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
21?cos
?
sin
?
1?cos
?
abc???2R
·余弦定理：
c
2
?a
2
?b< br>2
?2abcosC

sinAsinBsinC
?
2

·正弦定理：

·反三角函数性质：
arcsinx?
?
2
?arccosx　　　arct gx?
?
2
?arcctgx


高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)
(n)k(n?k) (k)
?
?
C
n
uv
k?0
n
?u
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
(n?2)
n(n?1)?(n?k?1)
(n?k)(k)
uv
??
???uv???uv
(n)
2!k!

中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f
?
(
?
)(b?a)
f (b)?f(a)f
?
(
?
)
柯西中值定理：?
F(b)? F(a)F
?
(
?
)
曲率：

当F(x)?x时 ，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds?1?y
?
2
dx ,其中y
?
?tg
?
平均曲率：K?
?
?
.??
:从M点到M
?
点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM
?
弧 长。
?s
y
??
?
?
d
?

M点 的曲率：K?lim??.
?s?0
?sds
(1?y
?
2
)
3
1
.
a
3 12

直线：K?0;
半径为a的圆：K?

高等数学公式
定积分的近似计算：
b
矩形法：
?
f(x)?a
b
b?a
(y
0
?y
1
???y
n ?1
)
n
b?a1
[(y
0
?y
n
)?y
1
???y
n?1
]
n2
b?a
[(y
0
?y
n
)?2(y
2
?y
4
???y
n? 2
)?4(y
1
?y
3
???y
n?1
)]
3n

梯形法：
?
f(x)?
a
b
抛物线法：< br>?
f(x)?
a
定积分应用相关公式：
功：W?F?s
水压 力：F?p?A
mm
引力：F?k
1
2
2
,k为引力系数< br>
r
b
1
函数的平均值：y?f(x)dx
?
b?a
a
1
均方根：f
2
(t)dt
?
b?a
a
空间解析几何和向量代数：
b
空间2点的距离：d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
向量在轴上的投影：Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?
是AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
? a
2
)?Prja
1
?Prja
2
?
?
?
?
a?b?a?bcos
?
?a
x
b
x
? a
y
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量,两向量之间的夹角：cos
?
?
i
?
??
c?a?b? a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
bz
a
x
?a
y
?a
z
?b
x
?b
y
?b
z
222222
k
??
?
?? ?
a
z
,c?a?bsin
?
.例：线速度：v?w?r.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
?
?
?
b
z
?a?b?ccos
?
,
?< br>为锐角时，

c
z
a
x
??
????
向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的 体积。
4 12

高等数学公式
?
1、点法式：A(x?x
0
)?B(y?y
0)?C(z?z
0
)?0，其中n?{A,B,C},M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
2、一般方程：Ax?By?Cz?D? 0
xyz
3、截距世方程：???1
abc
平面外任意一点到该平面的距离： d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A2
?B
2
?C
2
平面的方程：
?
x?x
0
?mt
x?xy?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方程：
0
???t,其中s?{m,n,p};参数方程：
?
y? y
0
?nt
mnp
?
z?z?pt
0
?
二 次曲面：
x
2
y
2
z
2
1、椭球面：
2< br>?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
2、抛物面：??z（,p,q同号）
2p2q
3、双曲面：
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面：
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2< br>双叶双曲面：
2
?
2
?
2
?（马鞍面）1
a bc

多元函数微分法及应用

全微分：dz?
?z?z?u?u ?u
dx?dy　　　du?dx?dy?dz
?x?y?x?y?z
全微分的近似计 算：?z?dz?f
x
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y
多元复 合函数的求导法：
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]　　　????　dt?u?t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]　　 　?　???
?x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，
?u ?u?v?v
du?dx?dy　　　dv?dx?dy　
?x?y?x?y
隐函数的 求导公式：
F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F (x,y)?0，　　??，　　
2
?(?
x
)＋(?
x
) ?
dxF
y
?xF
y
?yF
y
dx
dx< br>F
y
F
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0，　??
x，　　??
?xF
z
?yF
z
5 12

高等数学公式
?F
?
F(x,y,u,v)?0
?(F,G)
?u
隐函数方程组：　　　J??
?
?G
G(x,y,u,v)?0
?( u,v)
?
?u
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???　　　　?? ?
?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
? ??　　　　???
?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)
微分法在几何上的应用：
?F
?v
?
F
u
?G
G
u
?v
F
v
G
v

?
x?
?
(t)
x? xy?y
0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程 ：
0
??
??
?
(t)
?
(t)
?
?
(t
0
)
00
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程：
?
?
(t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y
0
)?< br>?
?
(t
0
)(z?z
0
)?0
?
?
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
?
F(x,y,z)?0
若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,
?GGG
x
GG
G(x,y,z)?0
?
yz
zx
?
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
)，则：
?
1、过此点的法向量：n?{F
x
(x
0,y
0
,z
0
),F
y
(x
0
,y< br>0
,z
0
),F
z
(x
0
,y
0< br>,z
0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过此点的法线方程：??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
, z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
方向导数与梯度：
F
y
G
y
}
2、过 此点的切平面方程：F
x
(x
0
,y
0
,z
0)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0
?f?f?f
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos
?
?sin
?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f
?
?f
?
i?j
?x?y

??
?f
? ?
它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos
?
?i?s in
?
?j，为l方向上的
?l
单位向量。
?f
?是gra df(x,y)在l上的投影。
?l
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gra df(x,y)?
多元函数的极值及其求法：
设f
x
(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)?0， 令：f
xx
(x
0
,y
0
)?A,　f
xy
(x
0
,y
0
)?B,　f
yy
(x
0
,y
0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极大值
2
AC?B?0时，
?
?
?
A?0,( x
0
,y
0
)为极小值
?
?
2
则：值?
AC?B?0时，　　　　　　无极
?
AC?B
2
?0时,　 　　　　　　不确定
?
?
?
6 12

高等数学公式
重积分及其应用：
??
f(x,y)dxdy?
??
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
?
?
?z
?
1?
??
?
?
?
?y
?
?
dxdy
?x
??
??
2
2
平面薄片 的重心：x?
M
x
?
M
??
x
?
(x,y )d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D,　　y?
M
y
M
?
??
y
?
(x, y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D< br>
平面薄片的转动惯量：对于x轴I
x
?
??
y
2< br>?
(x,y)d
?
,　　对于y轴I
y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点 M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{F
x
,F
y
,F
z< br>}，其中：
F
x
?f
??
D
?
(x,y)x d
?
(x?y?a)
222
2
，　　F
y
?f??
3
D
?
(x,y)yd
?
(x?y?a)
222
2
，　　F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
22
3
2
2柱面坐标和球面坐标：
?
x?rcos
?
?
柱面坐标：f(x ,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,z)rdrd
?dz,
?
y?rsin
?
,　　　
???
??
?
z?z
?
其中：F(r,
?
,z)?f(rcos
?,rsin
?
,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标：
?
y?rsin
?
sin
?
，　　dv?rd
?
?rsin
?
?d
?
?d r?rsin
?
drd
?
d
?
?
z?rcos?
?
2
?

?
r(
?
,
?< br>)
2
F(r,
?
,
?
)rsin
?
dr
?
0
???
?
f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,
?
)rsin
?
drd
?< br>d
?
?
?
d
?
?
d
?
?0 0
2
重心：x?
1
M
???
x
?
dv,　 　y?
?
?
1
M
???
y
?
dv,　　z ?
?
?
1
M
???
z
?
dv，　　其中M ?x?
???
?
dv
??
?
转动惯量：I
x
?
???
(y
2
?z
2
)
?
dv，　　 I
y
?
???
(x
2
?z
2
)
?
dv，　　I
z
?
???
(x
2
?y
2< br>)
?
dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
?
x?
?
(t)
设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(< br>?
?t?
?
),则：
?
?
y?
?
( t)
?
L
?
x?t
22
??
f(x,y)ds?< br>?
f[
?
(t),
?
(t)]
?
(t)?< br>?
(t)dt　　(
?
?
?
)　　特殊情况：
??
y?
?
(t)
?
?
7 12

高等数学公式
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
?
x?
?
( t)
设L的参数方程为，则：
?
y?
?
(t)
?
?
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?
?
{P[
?< br>(t),
?
(t)]
?
?
(t)?Q[
?
( t),
?
(t)]
?
?
(t)}dt
L
两类曲线积 分之间的关系：
?
Pdx?Qdy?
L
?
(Pcos
??Qcos
?
)ds，其中
?
和
?
分别为
L< br>L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P
格林公式：(?)dxdy??
Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy?
????
?x?y?x?y
DLD
?Q?P
当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A?
?x?y
·平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P(x,y)， Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数 的全微分求积：
?Q?P
在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：
?x?y
(x,y)
?
Pdx?Qdy
L
??
dx dy?
2
?
xdy?ydx
DL
1
?Q?P
＝。注 意奇点，如(0,0)，应
?x?y

u(x,y)?
(x
0
,y
0
)
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x
0< br>?y
0
?0。
曲面积分：
22
对面积的曲面积分：
??
f(x,y,z)ds?
??
f[x,y,z(x,y)]1?z
x(x,y)?z
y
(x,y)dxdy
?D
xy
对坐标的曲面积 分：
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy ，其中：
?
号；
??
R(x,y,z)dxdy??
??
R [x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
?D
xy

号；< br>??
P(x,y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z]dydz ，取曲面的前侧时取正
?D
yz
号。
??
Q(x,y,z)dzdx ??
??
Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正
?D
z x
两类曲面积分之间的关系：
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
? ?
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??
高斯公式：
???
(
?
?P?Q?R
??) dv?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
?x?y?z
??
高斯公式的物理意义——通量与散度：
?
?P?Q?R
?
散度： div
?
???,即：单位体积内所产生的流体质量，若div
?
?0,则为 消失...
?x?y?z
?
?
通量：
??
A?nds???
A
n
ds?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds，
?
因此，高斯公式又可写成：di vA
???
dv?
??
A
n
ds
??
?? ?
8 12

高等数学公式
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
??
(
?< br>?R?Q?P?R?Q?P
?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z?x?x?y
?
dzdx
?
?y
Q
dxdycos
?
??
?
??
?z?x?
RP
cos
?
?
?y
Q
cos
?< br>?
?z
R

dydz
?
上式左端又可写成：
??
?x
?
P
?R?Q?P?R?Q?P
空间曲线积分与路径无关的 条件：?，　?，　?
?y?z?z?x?x?y
ijk
?
???
旋 度：rotA?
?x?y?z
PQR
??
?
向量场A沿有向闭曲线? 的环流量：
?
Pdx?Qdy?Rdz?
?
A?tds
??
常数项级数：
1?q
n
等比数列：1?q?q???q?
1?q
( n?1)n

等差数列：1?2?3???n?
2
111
调和级数： 1?????是发散的
23n
2n?1
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法 ——根植审敛法（柯西判别法）：
?
?
?1时，级数收敛
?
设：?
?lim
n
u
n
，则
?
?
?1时， 级数发散
n??
?
?
?1时，不确定
?
2、比值审敛法：< br>?
?
?1时，级数收敛
U
n?1
?
设：
?< br>?lim，则
?
?
?1时，级数发散
n??
U
n?
?
?1时，不确定
?
3、定义法：
s
n
?u
1
?u
2
???u
n
;lims
n
存在， 则收敛；否则发散。
n??

交错级数u
1
?u
2
?u
3
?u
4
??(或?u
1
?u
2
?u
3
??,u
n
?0)的审敛法——莱布尼兹定理：
?
?
u
n
?u
n?1
如果交错级数满足s?u
1
,其余项r
n
的绝对值r
n
?u
n?1
。
?
limu?0
，那么级数收敛且其和
n
?
?
n??
绝对收 敛与条件收敛：
9 12

高等数学公式
(1)u
1
?u
2
???u
n
?? ，其中u
n
为任意实数；
(2)u
1
?u
2
?u< br>3
???u
n
??
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收 敛级数；

如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。
1(?1)
n
调和级数：
?
n
发散，而
?
n
收敛；< br>1
　　级数：
?
n
2
收敛；
ｐ?１时发散
1
　　p级数：　　
?
n
p
p?1时收敛
幂级数：
1
x?1时，收敛于
1?x
1?x?x
2
?x
3
? ??x
n
??　　
x?1时，发散
对于级数(3)a
0
?a
1
x　?a
2
x
2
???a
n
x
n
??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在 R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1

?
? 0时，R?
求收敛半径的方法：设lim
n??
a
n?1
?
?
，其中a
n
，a
n?1
是(3)的系数，则
?
? 0时，R???
a
n
?
???时，R?0
?
函数展开成幂级 数：
f
??
(x
0
)f
(n)
(x
0< br>)
2
函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)???(x?x
0
)
n
??2!n!
f
(n?1)
(
?
)

余项：Rn
?(x?x
0
)
n?1
,f(x)可以展开成泰勒级数的充要 条件是：limR
n
?0
n??
(n?1)!
f
??
(0)
2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时 即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x???x??
2!n!< br>一些函数展开成幂级数：
m(m?1)
2
m(m?1)?(m?n?1)n
x???x??　　　(?1?x?1)
2!n!

352n?1xxx
sinx?x?????(?1)
n?1
??　　　(???x???)< br>3!5!(2n?1)!
(1?x)
m
?1?mx?
欧拉公式： ?
e
ix
?e
?ix
cosx?
?
?
2

e
ix
?cosx?isinx　　　或
?
ix?ix
?
sinx?
e?e
?
2
?
三角级数：
10 12

高等数学公式
?
a
0
?
?
(a
n
cos nx?b
n
sinnx)
2
n?1n?1
其中，a
0
?aA
0
，a
n
?A
n
sin
?
n，b
n
?A
n
cos
?
n
，
?
t?x。
f(t)?A
0
?
?
A
n
sin(n< br>?
t?
?
n
)?
?

正交性：1,sinx ,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[?
?,
?
]
上的积分＝0。
傅立叶级数：
?
a
0
f(x)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinn x)，周期?2
?
2
n?1
?
?
1
f(x)cos nxdx　　　(n?0,1,2?)
?
a
n
?
?
?
?
?
?
其中
?
?
?
b?
1
f( x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)
?
n
?
?
?
?
?
11
?
2
1?
2
?
2
?? ?
8
35
　
111
?
2
?????
24< br>2
2
4
2
6
2
正弦级数：a
n
?0 ，b
n
?
余弦级数：b
n
?0，a
n
?
1 11
?
2
1?
2
?
2
?
2
??? （相加）
6
234
111
?
2
1?
2
?< br>2
?
2
???（相减）
12
234
2
?
?
2
?
f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?
0　f(x)?
?
b
n
sinnx是奇函数
　f(x)?
a
0
?
?
a
n
cosnx是偶函数
2
?< br>?
?
f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?
0
周期为
2l
的周期函数的傅立叶级数：
?
a
0
n
?
xn
?
x
f(x)??
?
(a
n
cos?b
n
sin)，周期?2l
2ll
n?1
l
?
1n
?< br>x
dx　　　(n?0,1,2?)
?
a
n
?
?f(x)cos
ll
?
?l
其中
?
l
?
b?
1
f(x)sin
n
?
x
dx　　　(n?1,2, 3?)
?
n
l
?
l
?l
?

微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y
?
?f(x,y)　或　P(x, y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x )dx的形式，解法：
?
g(y)dy?
?
f(x)dx　　得：G(y)? F(x)?C称为隐式通解。
齐次方程：一阶微分方程可以写成
dyy
?f(x,y) ?
?
(x,y)，即写成的函数，解法：
dxx
ydydududxduy< br>设u?，则?u?x，u??
?
(u)，??分离变量，积分后将代替u，
xd xdxdxx
?
(u)?ux
即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：
dy
1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)
dx
?P(x)dx
当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce
?

P(x)dx?P(x)dx
dx?C)e
?
当Q(x)?0时，为非齐次方程，y? (
?
Q(x)e
?
dy
2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)y
n
，(n?0,1)
dx
11 12

高等数学公式
全微分方程：
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：

?u?u
du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q( x,y)
?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f(x)?0时为齐次
d
2
ydy

?P(x)?Q(x) y?f(x)，
2
dx
dx
f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次 线性微分方程及其解法：
(*)y
??
?py
?
?qy?0，其中 p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：(?)r
2
?pr?q?0， 其中r
2
，r的系数及常数项恰好是(*)式中y
??
,y
?
,y的系数；
2、求出(?)式的两个根r
1
,r
2
3、根据r< br>1
,r
2
的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r
1
，r
2
的形式

两个不相等实根
(p?4q?0)

两个相等实根
(p?4q?0)

一对共轭复根
(p?4q?0)

2
2
2
(*)式的通解
y?c
1
e
r< br>1
x
?c
2
e
r
2
x

y?(c
1
?c
2
x)e
r
1
x

y?e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)

r
1
?
?
? i
?
，r
2
?
?
?i
?
4q?p
2

p
?
??，
?
?
22
二阶常系数非齐 次线性微分方程
y
??
?py
?
?qy?f(x)，p,q为常数
f(x)?e
?
x
P
m
(x)型，
?
为常 数；
f(x)?e
?
x
[P
l
(x)cos
?x?P
n
(x)sin
?
x]型

12 12