高中数学-三角函数公式大全

三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角
?
的终边上任取 一点
P(x,y)
，记：
r?x
2
?y
2
， ．．
正弦：
sin
?
?
正切：
tan
?
?
正割：
sec
?
?
yx
余弦：
cos
?
?

rr
x
y
余切：
cot
?
?

y
x
r

x
余割：
csc
?
?
r

y
注： 我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与
单位圆有关的有向线段
MP
、
OM
、
AT
分别叫做角
?
的正弦线、余弦线、正
．．
切线。
二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：
sin
?
?csc
?
?1
，
cos
?
?s ec
?
?1
，
tan
?
?cot
?
?1< br>。
商数关系：
tan
?
?
sin
?
cos
?
，
cot
?
?
。
cos
?
s in
?
平方关系：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
1?tan
2
?
?sec
2
?< br>，
1?cot
2
?
?csc
2
?
。
三、诱导公式

⑴
?
?2k
?
(k?Z)
、?
?
、
?
?
?
、
?
?
?
、
2
?
?
?
的三角函数值，等于
?
的
同 名函数值，前面加上一个把
?
看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名
．．
不变，符号看象限）
⑵
?
3
?
3
?
?
?
?
、
?
?
、
?
?
、
?
?
的三角函数值，等于
?
的异名函数值，
22
22
前面加上 一个把
?
看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看
．．
象限 ）

1

四、和角公式和差角公式
sin(< br>?
?
?
)?sin
?
?cos
?
?cos< br>?
?sin
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?

cos(
?< br>?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?< br>?sin
?

tan(
?
?
?
)?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
?tan
?
五、二倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
…
(?)

tan2
?
?
2tan
?

1?tan
2
?
二倍角的余弦公式
(?)
有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩 角）
1?cos2
?
?2cos
2
?

1?cos2
?
?2sin
2
?

1?sin2< br>?
?(sin
?
?cos
?
)
2

1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

cos
2
?
?
1?cos2
?
1? cos2
?
sin2
?
1?sin2
?
，
sin< br>2
?
?
，
tan
?
?
。
?
2sin2
?
1?cos2
?
2
六、万能公式（可以理解为二倍角 公式的另一种形式）

1?tan
2
?
2tan
?
2tan
?
cos2
?
?
sin2
?
?tan2< br>?
?
，，。
2
22
1?tan
?
1?ta n
?
1?tan
?
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来 表示。
．．
七、和差化积公式

sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
2
cos
?
??
2
…⑴

2

sin?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
s in
?
?
?
2
…⑵
…⑶
…⑷ < br>cos
?
?cos
?
?2cos
?
?
?2
2
cos
?
?
?
2
cos
?
?cos
?
??2sin
?
?
?
sin
?
?
?
2
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
??
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
sin
?
?sin
?
?cos?cossin

?
?sin
222222
? ?
?
?
??
?
??
?
??
?
?< br>?
?
?
??
?
?
?
sin
?
?sin
?
?cos?cossin

?
?sin
222 222
??
两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
cos
?
?cos
?
?co s?sinsin

?
?cos
2
?
2222
?< br>2
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
cos
?
?cos
?
?cos?sinsin

?
?cos
2
?
2222
?
2
两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式

sin
?
?cos
?
?
cos
?
?sin
?
?
cos
?
?cos
?
?
1
?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?

2
1
?
s in(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)?

2
1
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
?

2
1
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?< br>)
?

2
sin
?
?sin
?
??
我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式

3

asinx?bcosx?a
2
? b
2
sin(x?
?
)
（）
其中：角
?
的终边所在的象限与点
(a,b)
所在的象限相同， < br>sin
?
?
b
a
2
?b
2
，
cos
?
?
a
a
2
?b
2
，
t an
?
?
b
。
a
十、正弦定理

abc
???2R
（
R
为
?ABC
外接圆半径）
sinAsinBsinC
十一、余弦定理

a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA


b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB

c
2
?a
2
?b
2
?2ab?cosC

十二、三角形的面积公式

S
?ABC
??底?高


S
?ABC
?absinC?bcsinA?casinB
（两边一夹角）

S
?ABC
?
abc
（
R
为
? ABC
外接圆半径）
4R
1
2
1
2
1
2
1
2

S
?ABC
?
a?b?c
?r
（
r
为?ABC
内切圆半径）
2
a?b?c
）
2

S
?ABC
?p(p?a)(p?b)(p?c)
…
海仑公式（其中
p?
y



sin
?
?cos
?

o


x?y?0
sin
?
?cos
?

y

sin
?
?cos
?
?0
x

sin
?
?cos
?

A(?2,2)
sin
?
?cos
?
?0


x

o


sin
?
?cos
?
?0
A(?2,2)
x?y?0


4

十三诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函
数的值相等
k是整数
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscα
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=-cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα
cos（α-π）=－cosα
tan（α-π）=tanα
cot（α-π）=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=－cscα
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三
角函数值之间的关系
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三
角函数值之间的关系
公式五：
利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到
α-π与α的三角函数值之间的关系
公式六：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的
三角函数值之间的关系
5

sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
公式七：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关
系
sin（π2+α）=cosα
cos（π2+α）=－sinα
tan（π2+α）=－cotα
cot（π2+α）=－tanα
sec(π2+α)=-cscα
csc(π2+α)=secα
sin（π2－α）=cosα
cos（π2－α）=sinα
tan（π2－α）=cotα
cot（π2－α）=tanα
sec(π2-α)=cscα
csc(π2-α)=secα
sin（3π2+α）=－cosα
cos（3π2+α）=sinα
tan（3π2+α）=－cotα
cot（3π2+α）=－tanα
sec(3π2+α)=cscα
csc(3π2+α)=-secα
sin（3π2－α）=－cosα
cos（3π2－α）=－sinα
tan（3π2－α）=cotα
cot（3π2－α）=tanα
sec(3π2-α)=-cscα
csc(3π2-α)=-secα
下面的公式再记一次，大家：
四、和角公式和差角公式
sin(
?
?
?
)?sin?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
< br>sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos
?< br>?cos
?
?sin
?

cos(
?
??
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?si n
?

cos(
?
?
?
)?cos
??cos
?
?sin
?
?sin
?

6

tan(
?
?
?
)?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
?tan
?
五、二倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
…
(?)

tan2
?
?
2tan
?

2
1?t an
?
二倍角的余弦公式
(?)
有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩 角）
1?cos2
?
?2cos
2
?

1?cos2
?
?2sin
2
?

1?sin2< br>?
?(sin
?
?cos
?
)
2

1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

cos
2
?
?

1?cos2
?< br>1?cos2
?
sin2
?
1?sin2
?
，
sin
2
?
?
，
tan
?
?
。
?
2sin2
?
1?cos2
?
2
7