新课标高中数学常用公式及常用结论大全

新课标高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系
x ?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AB)?C
U
AC
U< br>B;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
.
3.包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AC
U
B??
?C
U
AB?R

4.容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)
.
5．集合
{a
1
,a
2
,
n
,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；非空的真子集
有
2
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

M?NM?N
f(x)?N
|?
?0

?
|f(x)?
?
22
M?f(x)
11
. ?
?
f(x)?NM?N
8.方程
f(x)?0
在
(k
1
,k
2
)
上有且只有一个实根,与
f(k
1)f(k
2
)?0
不等价,前者是后者的一个必要而不是
充分条件.特别 地, 方程
ax?bx?c?0(a?0)
有且只有一个实根在
(k
1
,k
2
)
内,等价于
f(k
1
)f(k
2
)?0
,或
2
f(k
1
)?0
且
k
1< br>??
k?k
2
k?k
2
bb
?
1
? ??k
2
. ,或
f(k
2
)?0
且
1
2 a222a
b
处及区间的两端点处取得，具
2a
9.闭区间上的二次函数的最 值
2
二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间?
p,q
?
上的最值只能在
x??
体如下：
(1)当 a>0时，若
x??
b
b
?
?
p,q
?
， 则
f(x)
min
?f(?),f(x)
max
?
max< br>?
f(p),f(q)
?
；
2a
2a
b
?
?
p,q
?
，
f(x)
max
?
max< br>?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
bb
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
，若
x???
?
p,q
?
，则(2)当a<0时，若
x??
2a2a
f(x)
max
?max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
.
x??



10.一元二次方程的实根分布

依据：若
f(m)f(n)? 0
，则方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内至少有一个实根 .
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新课标高中数学常用公式及常用结论
设
f(x)?x
2
?px?q
，则
?
p
2
?4q?0
?
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
；（2）方程
f (x)?0
在
?
??m
?2
?
f(m)?0
?f(n)?0
?
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?2
区间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0
或
?
p?4q?0
或
?
或
?
；
af(n) ?0
af(m)?0
?
?
?
?
m??
p
? n
?
?2
?
p
2
?4q?0
?
（3）方程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
p
.
?
??m
?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x ?L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)< br>man
?0(x?L)
.
?
a?0
?
a?0
?
(3)
f(x)?ax
4
?bx
2
?c?0
恒 成立的充要条件是
?
b?0
或
?
2
.
?
c?0
?
b?4ac?0
?
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n
个
小于 不小于 至多有
n
个
对所有
x
， 存在某
x
，
p
或
q

成立 不成立
对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
p
且
q

成立
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个

?p
且
?q


?p
或
?q








14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
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