【高考专题】高考数学(文科)公式大全

uuuruuur
uuur
OA?OB
OC?
;
2
x
1
?x
2
?
x?
?
?
2
设此时
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则中点的坐标公式：
Cx,y
??
．．．．．．．
?
?
y?
y
1?y
2
?
?2
B(x
2
,y
2
)、
C(x
3
,y
3
)
,59. 三角形的重心坐标公式 ：△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
60. 三角形四“心”向量形式的充要条件
．．．．
设
O< br>为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a ,b,c
，则
uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuuruuuruuurr
（2）
O
为
?ABC
的重心< br>?OA?OB?OC?0
.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC? OA
.
uuuruuuruuurr
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0
.






第六章 数 列


61. ⑴自然数和公式：
n
?
n?1
?
；
2
n
?
n?1
??
2n?1
?
222
②
1?2?????n?
；
6
①
1?2?????n?
2
n
?
n?1
?
③
1
3
?2
3
?????n
3
?4
2
⑵常见的拆项公式：
①
②
111
；
? ?
n
?
n?1
?
nn?1
1
?
11
?
?
?
?
?
；
?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12n?1
?
1
?
11
?
11
?
?
?
③
?
；
n
?
n?1
??
n?2
?
2
?
n
?
n?1
??
n?1
??
n?2
?
?
④11
?
a?b
a?b
?
a?b
；⑤
a
n
?S
n
?S
n?1
?
n?2
?
.
?
⑶数列的通项公式与前n项的和的关系

n?1
?
s
1
,
①
a
n
?
?

s?s,n?2
?
nn?1
②
S
n
?S
n?1?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
③
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
62. ⑴ 等差数列的通项公式：
*
①一般式 ：
a
n
?a
1
?(n?1)?d(n?N)
；
②推广形式：
a
n
?a
m
?(n?m)d
；d?
a
n
?a
m

n?m
③前
n项和形式
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)< br>（注：该公式对任意数列都适用）其前n项和公式为：
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
? d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
⑵ 数列
?
a
n
?
为等差数列
?a
n
?a
n?1
?d
（
d
为常数）
?2a
n
=a
n?1
?a
n?1
?
n?2,n?N*
?
?a
n< br>?an?b?An
2
?Bn

⑶ 常用性质：
①若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；特 别地：若
a
m
是a
n
,a
p
的等差中项，则有2
a
m
?a
n
?a
p
?
n、m、p成 等差数列；
②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如
a
1
?a
2
?a
3
,
a
4
?a
5
?a6,
a
7
?a
8
?a
9
，
???）仍是等差数列；
③
?
a
n
?
为等差数列，
S
n
为其前项和，则
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
，
S
4m
?S
3m
，．．．也成等
．
n
．．．
差数列；
④
a< br>p
?q,a
q
?p,则a
p?q
?0
；
⑤1+2+3+…+n=
n(n?1)

2
a
1
n
?q(n?N
*
)
；
q
n?m
63. 等比数列的通项公式：
⑴ ①一般形式：
an
?a
1
q
n?1
?
②推广形式：
a
n
?a
m
?q
n?m
，
q?
a
n

a
m

?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q ?1
?
?
③其前n项的和公式为：
s
n
?
?
1?q
，或
s
n
?
?
1?q
.
?na,q?1
?
na,q?1
?
1
?
1
⑵数列
?
a
n
?
为等比数列
?
a
n?1
?q
?
q?0
?
?a
n
2
?a
n?1< br>?a
n?1
?0
?
n?2,n?N
?
?
?a
n
?a
1
?q
n?1
a
n
?
a< br>1
、q?0，n?N*
?
?S
n
⑶ 常用性质：
?A?q
n
?B

① 若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；特别地：若
a
m
是a
n
,a
p
的等比中项，则有
a
m
2
?a
n
?a
p
?
n、m、 p成等比数列;
② 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如
a
1
?a
2
?a
3
,
a
4
?a
5
? a
6,
a
7
?a
8
?a
9
，
?? ?
）仍是等比数列；
③
?
a
n
?
为等比数列，< br>S
n
为其前n项和，则
S
m
,S
2m
?S< br>m
,S
3m
?S
2m
，
S
4m
?S
3m
，．．．也成等
比数列（仅当当
q??1
或者
q??1
且
m
不是偶数时候成立）；
④设等比数列
{b
n
}
的前为
T
n
，则
T
k
，
．
n< br>项积
．．









T
T
2k
T
3k
,
，
4k成等比数列．
T
k
T
2k
T
3k
第七章 不 等 式


64. 常用不等式：
⑴
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)；
⑵
a,b?R
?
?
22
a?b
?ab
(当 且仅当a＝b时取“=”号)；⑶
a?b?a?b?a?b
.
2
65. 极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
“一定二正三相等”
（1 ）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y有最小值
2p
；
1
2
s
.
4
22
(x?y)?(x?y)?2xy

x,y?R
推广 形式：已知，则有
．．．．
（2）若和
x?y
是定值
s
，则 当
x?y
时积
xy
有最大值
积定和最小
和定积最大

（1）若积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
22
66. ①一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4 ac?0)
，如果
a
与
ax
2
?bx?c
同号，则 其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号，则其 解集在两根之
间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x
1
?x?x< br>2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
对于
a?0
的情形“大射线小线段”
．．．．
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)( x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
< br>②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一
次穿过 ，偶次重根穿而不过。

1

?
x?1
??
x?1
??
x?5
?
?0< br>，如图
-3
5
从图中易知解集为
- -
-1
-
?
??,?3
?
U
?
?3,?1
?< br>U
?
1,5
?

2
③一元二次方程的根的分布情况： 设
x
1
,x
2
是实系数二次方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两
个实根，则
x
1
,x
2
的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：
根的分布 图像
18
16
14
12
10
例如：
?
x?3
?
2 3
充要条件
k
x
1
?x
2
?k

x
O
x
x=-b2a
10
12

?
??0,

?
fk?0,
??
?
??
?
?
?
b
?k
?
?
2a
?
??0,

?
?
?
?
f
?
k?
?0,
?
?
?
b
?k
?
?
2a
67. 含有绝对值的不等式，当a> 0
时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
k?x
1
?x
2

f(k)
x?a?x
2
?a
2
?x?a
x??a



大射线 小线段
．．．．．．
或
k
O
x
1< br>x
2
x=-b2a

x
1
?k?x
2

1210
x = -b2ax
1
k
x
2
f(k)
O
f
?
k
?
?0


?
??0,
?

f
?
k
1
?
?0,
?
?
?
f
?
k
2
?
?0,
?
?
k??
b
?k
12
?
2a
?
68. （1）理解绝对值的几何意义，
并了解下列不等式成立的几何意义
及取等号的条件：
x
1
,x
2
?
?
k
1
,k
2?

x = -b2a
f(k
1
)
k
1
f(k
2
)
k
2
O
x
1
x
2< br>
f
?
k
1
?
?f
?
k
2
?
?0
|a?b|?|a|?|b|
，
a,b?R
；
|a?b|?|a?c|?|c?b|
a,b?R
.
（2）会利用绝对值的几何意义求解
以下类型的不等式：
，
或
?f
?
k
?
?0,
1
x
1
、x
2有
且只有一
个在
k
1
?
?
b
k
1
?k
2
?
?
k
1
??
2a2
?
k
2
或
?
k
1
,k
2
?
内
O
?f
?
k
2
?
?0,
?
?
k
1
?k
2
b
???k
2
?
2 a

?
2

|ax?b|?c
；
|ax?b|?c
；
|x?c|?|x?b|?a
.
69. 无理不等式
（1）< br>?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0 ；
?
f(x)?g(x)
?

（2）
（3）
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
；
f (x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
g(x)?0
?< br>f(x)?[g(x)]
2
?
?
?
f(x)?0
?< br>
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g( x)]
2
?
70. 指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)< br>?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?







第八章 立体几何


71. 常用公理和定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．
⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．
⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．
⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．
B
A
C
B'

⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
72. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）
设AB与平面α所成的角为
?
1
,AC是α内的任一
条直线，且AC与AB的射影AB所成的角

为
?
2
，AB与AC所成的角为
?
．则

cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.如右图⑴。
图⑴
B
73. 空间两点间的距离公式 若A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，
uuuruuuruuur
2 22
则
d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2?z
1
)
.
S
'
74. 面积射影定理：
S?
.(平面多边形及其射影的面积
cos
?
'< br>分别是
S
、
S
，它们所在平面所成锐二面角的为
?
) .如图⑵
。

B'
A
75． 已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
C
图⑵
?
、
?
、
?
，因此有
cos
2
?
?cos< br>2
?
?cos
2
?
?1
；若长方体的体对角线与过同 一顶点的三侧面
所成的角分别为
?
、
?
、
?
，则有
cos
?
?cos
?
?cos
?
?2
。（ 线线面12）
76． 棱锥的平行截面的性质：
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所 得的截面与底面相似，截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对 应边对应成比例的多边形是相
似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小 棱锥的侧面积的
比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．）若每个顶点引出的棱数为
m
，则：.
77. 球
222
4
3
?
R
,其表 面积
S?4
?
R
2
；
3
②球的半径（R），截面 圆半径（
r
），球心到截面的距离为（
d
）构成直角三角形，因而有
①球的半径是R，则其体积
V?
关系：
r?R
2
?d
2，它们是计算球的关键所在。
78. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直
径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为半径为
6
a
,外接球的
12
6
a
.
4
79． 柱体、锥体的体积
11
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）;
V
锥体
? Sh
（
S
是锥体的底面积、
33
rr
80. 空间向量的直 角坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
,z
2< br>?
，则
rrrr
；；
a?b?
?
x
1?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y1
?y
2
,z
1
?z
2
?
rr
rr
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2?z
1
z
2
；
a
∥
b
?
x< br>1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
?
?
?R
?
,或
x
1
y
1
z
1
??< br>；
x
2
y
2
z
2
h
是锥体的高）.

rr
81. 二面角
?
?l?
?
的平面角计算（夹角）公式：设
a,b
为平面
?
，
?
的法向 量。通常情
rr
况下，若已知，则
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,b?
?
x
2
,y< br>2
,z
2
?
rr
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2

co sa,b?
222222
x
1
?y
1
?z
1
?x
2
?y
2
?z
2
82. 空间两点的距离公式：设< br>rr
a
⊥
b
?
x
1
x
2
? y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
A?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,B?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
， 则
d
A、B
?
?
x
1
?x
2
?< br>?
?
y
1
?y
2
?
?
?
z
1
?z
2
?
222
.
83． 高中数学角的范围：
① 向量夹角:[0°,180°]；
③ 直线的倾斜角:[0°,180°)；
③ 共面直线的夹角:[0°,90°]；
④ 直线和平面夹角:[0°,90°]；
⑤ 异面直线夹角:(0°,90°]；
⑥ 二面角:[0°,180°]。








第九章 平面解析几何


84. 斜率公式
①< br>k?
y
2
?y
1
?
??
(x,y)P(x, y)
?tan
??
?
（
P
、）
111222
??
.
x
2
?x
1
2
??

② 曲线
y?f
?
x
?
在点
P
0
?
x
0
,y
0
?
处的切线的斜率
k?f
?
x< br>0
?
，切线方程：
y?f

?
x
0
? ?
x?x
0
?
?y
0
.
③直线
y?kx?b
的一个方向向量为
?
1,k
?

85. 直线的五种方程﹙一般两点斜截距﹚
．．．．．．．
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
86. 两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1< br>:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
?? 1
.

(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2< br>、B
1
、B
2
都不为零,

A1
B
1
C
1
；②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0；
??
A
2
B
2
C
2
（3）直线< br>l
:
Ax?By?C?0
中，若
A?0,B?0
,
有谁垂（吹）谁
则
l
垂直于
y
轴；若
A?0,B ?0
,则
l
垂直于
x
轴。
①
l
1
||l
2
?
87．四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程
< br>(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A (x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1< br>x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的
交点的直线系 方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?< br>(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定
的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y ?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线
系方程．与直线
Ax?By?C ?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
)，λ是
参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
88. 点到直线的距离
A?B
89.
Ax?By?C?0
或
?0
(其中A、B不同时为0).所表示的平面区域
设直线
l:Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
(或
?0
)所表示的平面区域是：
若
C?0
,则用原点
O
?
0,0
?
试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，
边界的 另一区域才是；
若
C?0
，则用点
?
1,0
?
或 者
?
0,1
?
试，方法同上。
90. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
；
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：Ax?By?C?0
).
是0，（0，1）、（1，0）试
非0，（0、0）试
B(x
2
,y
2
)
). （3）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1< br>,y
1
)
、
91. 点与圆的位置关系
点
P(x< br>0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
在圆内 .
92. 直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
( x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
①
d?r?相离???0
;
②
d?r?相切???0
;
③
d?r?相交???0
.其中
d?
93. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别 为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d< br>
①
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
222
222
的位置关系有三种若
d?(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
，则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
Aa?Bb?C
A?B
22
.

②
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线

③
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
④
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
⑤
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
222
94. 圆的切线方程：已知圆
x?y?r
．过圆上的
P0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
;
95. 椭圆
①椭圆定义：
MF
；
a2a?|F
1
F
2
|?0）
1
?MF
2
?2（
②
F
1
B< br>1
?OF
1
?OB
1
（即
c?b?a
，注意
Rt?FOB
；
11
）
③设
2
2
22< br>222
P
2
是椭圆上任意
2
一点，且
?F
1
PF
2
?
?
，则有
PF
1
?PF
2
?2PF
1
?PF
2
cos
?
?
?2c
?
.
④下表是椭圆的标准方程及几何性质。
标准方程
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)

2
ab
B
1
y
F
2
A
2< br>x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)

2
ba
y
F
1
图形
x
A
1
F
1
O
B
2
x
F
2
O

B
1

范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半长轴
焦距
|x|
≤
a,|y|
≤
b |x|
≤
b,|y|
≤
a
0
?
、?a
?

?
?b，
?
0，
?c
?

?
0，
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
0
?

?
0,?b
?
、
?
?a，
0
?

?
?c，
长半轴椭长为
a
，短半轴长为
b

焦距为
2c

a、b、c
关系
离心率
a
2
?b
2
?c
2

e?
c

a
2
??
?
b
?
2
b
??
2
?
??
?1?eore?1?
??
?

?
?
a
??
a
?
?< br>??
x
2
y
2
a
2
a
2
)
，
PF
2
?e(?x)
； ⑴椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式：
PF
1
?e(x?
abc c
⑵椭圆的的内外部：
x
2
y
2
①点
P(x0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a? b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
②点P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2?1(a?b?0)
的外部
?
ab
22
x
0
y
0
??1
；
a
2
b
2
22
x< br>0
y
0
?
2
?1
；
2
ab

x
2
y
2
222 22
⑶椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax ?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
96. 双曲线
①双曲线定义：
MF
1
|-|MF
2
=2a
?
0< 2a<|F
1
F
2
|
?
；
②
AO
其中
A
1
、B
1
为同一象限内的< br>?OB
1
?A
1
B
1
（即
c?b?a
，注意
Rt?AOB
11
，
1
实顶点、虚顶点，
O
为坐标原点）；
③设
M
是双曲线上任意一点，且
222
222< br>?F
1
MF
2
?
?
，则有
MF
1< br>?MF
2
?2MF
1
?MF
2
cos
??
?
2c
?
.
④下表是其标准方程及几何意义。
标准方程

22
2
x
2
y
2
?
2
?1(a、b?0)

2
ab
y
2
x< br>2
?
2
?1(a、b?0)

2
ab

y


y
M
F
2
M
图形






F
1
o
F
2
x
F
1
x
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半长轴
焦距
x?a
或者
x??a

y?a
或者
y??a

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
0
?

?
?a，
0
?

?
?c，
a
2
?c
2
?b
2

e?
c

a
?a
?

?
0，
?c
?

?
0，
实半轴椭长为
a
，虚半轴长为
b

焦距为
2c

2
??
?
b
?
2
b
??
2
?
??
?e?1ore?1?
??
?

?
?
a
??
a
?
?
??< br>a、b、c
关系
离心率
渐近线

y??
b
x

a
y??
a
x

b
x
2
y
2
a
2
⑴ 双曲线
2< br>?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式：
PF
1
?|e(x?)|
，
c
ab
a
2
PF
2
? |e(?x)|
;
c
⑵ 双曲线的内外部：
x
2
y< br>2
①点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x< br>2
y
2
②点
P(x
0
,y
0
)在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?ab
22
x
0
y
0
?
2
?1
；
2
ab
22
x
0
y
0
??1
;
a
2
b
2

x
2
y
2
⑶ 双曲线
2
?
2
?1 (a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.

97. 抛物线
⑴抛物线
y?2px
?
p?0< br>?
的焦点弦（过焦点的弦）为
．．．．．．．．．．．
AB
，
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x2
,y
2
?
，则有如
2
下结论：
p
；
2
pp
② 焦点弦长
AB?x
1
? ?x
2
??x
1
?x
2
?p
；
22p
2
2
③
y
1
y
2
??p
，
x
1
x
2
?
.
4
① 焦半径公式：
AF?x
1
?
⑵抛物线的内外部：
① 点
P (x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的 内部
?y?2px(p?0)
；
②点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的外部
?y?2px(p?0 )
；
22
22
y
⑶抛物线
y?2px
?
p?0
?
上的动点可设为P
(
?
,y
?
)
，可简化计算。
2p
2
2
⑷ 抛物线的切线方程：
2
① 抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
；
② 抛物线
y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
98. 抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图
形

方程 焦点 准线 图形
22
y
2
?2px
?
p?0
?

p
?
p
?
x??
F
?
,0
?

2
?
2
?

y
x
O
F

y??2px
?
p?0
?

2
?
?
?
?
F
p
?
,0
?

2
?
y
p
x?

2
F
O
x

y
x
2
?2py
?
p?0
?

p
?
p
?
y??
F
?
0,
?

2
?
2
?

F
O
x

x??2py
?
p?0
?
2
F< br>p
??
0,?
??

2
??
y

四大方程四条
．．．．．．
规律：
．．
⑴一次项是
谁，焦点在谁


轴上；
22
⑵一次项系数
99. ①直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x< br>1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
或
的正负，代表
1
22222
?
AB?(1?k)(x
2?x
1
)?1?k?|x
1
?x
2
|?
?1?k
?
?
?
(x?x)?4xx?1??|y
1
?y
2
|

开口方向的上
212
?
2
?
1
k
下或右左；
?
y?kx?b
2
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，由方程
?
消去y得到
ax?bx?
一
c?0
，
⑶焦点坐标
F
个是0，另一非
??0
,
k
为直线的斜率）;
0，且刚好是
22
②中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为
Ax?By?1
；
一次项系数的
③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代 点相减法：设A
(x
1
,y
．．．．．
1
1
),B (x
2
,y
2
)
为椭圆
；

y?
p

2
O
x
?
F(x,y)?0
4
x
2
y
2
b
2
?
2
? 1(a?b?0)
上不同两点，
M
?
x
0
,x
0< br>?
是
AB
中点，则
k
AB
?
⑷
k< br>OM
??
2
的
；对于双
2
准线方程
aba
数值刚好是焦
x
2
y
2
b
2
y2
?2px
曲线
2
?
2
?1(a、b?0)
， 类似可得：
k
AB
?k
OM
?
2
；对于抛物线点的非
?
p?0
?
有
0坐标
aba
的相反数。
2p
k
AB
?
.
y
1
?y
2
100. 圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲 线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成 轴对称的曲线是
F(x?





2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
第十章 概率、统计及统计案例


101. 等可能性事件的概率：
P(A)?
102.
P
（
A
）=
m
事件A包含的基本事件数m
=
试验的基本事件总数n
n
构成事件A的区域长度（面积或体积）
.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
103. 互斥事件A，B分别发生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
104.
n< br>个互斥事件分别发生的概率的和:P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋
P(A
n)．
105. 抽样方法主要有：①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较 少时，
它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征
就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使

用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每
层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：
每部分抽取的个体数样本容量
?
该部分的个体总数总体中的个体数
或者
n
k
n
?

N
k
N
106. 总 体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，
样本容量越大，这种 估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图.
107. 样本平均数：
x?样本方差：
s?
2
x
1
?x
2
?x
3
?...?x
n
；
n
1
?
x
1
?x?x
2
?x?x
3
?x?...?x
n
?x
?
；
??
n
1
?
x
1
?x?x
2
?x?x
3
?x?...?x
n
?x
?
。 样本标准差：
s?
??
n
??????
??????







第十一章 算 法 初 步 及 框 图


108. ①画出计算
2?4?6?????100
的程 序框图，如图⑴；②对图⑵，若输入
执行程序后输出y的值为:____
开始
s=0
i=2
开始
输入y
S
1
=0,i=1
s=s+i
2
i=i+2
i=i+1
2222
1
，则
2
开始
输入
x
1
,???,x
4

x>1
Y
N
x<1
N
是
Y
1
s?s
1
i
i<=100
否
y=x
2
y=1
y=4
x
i<=4
否
是
S
1
=S
1
+
x
i

输出y
输出s
结束
结束
输出S
结束
图⑴





图⑵
图⑶
④如果执行下面的程序
框图，如图⑷，输入N=5,则
输出的数等于__________；< br>⑤阅读下面的程序框图⑸，
运行相应的程序后，则输出S
的值为_________.

③某城市缺水问题比较突出，为了制定节水
管理办法，对全市居民某年的月均用水量 进行了
抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别
为:
x
1
,??? ,x
4
(单位：吨)。根据如图所示的程序框
图，若
x
1
, x
2
,x
3
,x
4
分别为1，1.5，1.5，2，则输< br>出的结果s为______________.

开始
输入N
S=0,k=1
开始
s=0
i=1



1
a?i?2
i

s?s?
k=k+1

k
?
k?1
?

s?s?a


是
ki?i?1


否

否
输出S
s>11

是

结束
输出s


结束


图⑷ 图⑸


第十二章 推理与证明

109. ⑴归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的 推理。通常归纳的个体数目越多，越具
有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般 性规律的重要方法。；
⑵类比推理是从特殊到特殊的推理。通常是寻找事物之间的共同或相似性质，类 比的性质相
似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠
110. 综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”；反证法，往往用于“正难则反”，思路
决定出路。








第十三章 数系的扩充与复数的引入

110. 复数的相等：
a?bi?c?di?a?c, b?d
.（
a,b,c,d?R
）
111. 复数
z?a?bi< br>的模：
|z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b< br>2
.
112. 复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c? di)?(a?c)?(b?d)i
;(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b ?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?
2
i (c?di?0)
.
222
c?dc?d

2
2
113.
z?z?z?z
(其中
z?a?bi
和
z?a?bi
互为共轭复数)
114. ⑴
?
1?i
?
??2i
；
2
1?i1?i
?i
；
??i

1?i1?i
⑶虚数单位
i
的幂的周期性：
i
4n?1< br>?i
，
i
4n?2
??1
，
i
4n?3??i
，
i
4n?4
?1
，
n?N
?

⑵
22
一、二、三、四
i
负一，相反数
3
2
115. 设
?
??
1
?
3
i
,则有: ①
1??
?
?
2
?0
；②
?
3
?1?
?
；③
?
2
?
?
,
?
?
?.








第十四章 几何证明选讲

116． ① 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等
于它所对的弧的度数的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
② 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧度数的一
半。
③ 切割线定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交
点的线段长的比例 中项。
推论（割线定理）：从圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长B
的积，等于另一条割线上对应线段长的积。
D
④ 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
⑤ 直角三角形的射影定理：< br>Rt
?ABC
中，
AD
为斜边上的高，如图⑷。则有
⑴CD?AD?DB
;⑵
AC?AD?AB
⑶;
BC?BD?AB
.




222
A
C
图⑷

第十五章 坐标系和参数方程

117. 极坐标和直角坐标的互化
设为平面上的任一点，它的直角坐标为，极坐标为，如图⑸，由图可知下面的关系式成立：
y

?
?
?x
2
?y
2
?
x?
?
cos
?
?
或者
?
< br>?
y
?
y?
?
sin
?
?
tan< br>?
?
?
x?0
?
x
?
这就是极坐标和直角坐 标之间的互化公式。



M
x
O
图⑸

第十六章 不等式选讲

118. ⑴函数
f
?
x
?
?x?1?2?x
的值 域。（答案提示：
?
1,??
?
，图像如图⑴所示）。函数
f
?
x
?
的几何意义；表示在数轴上，到定点1和2的距离之和。
?
1,
?
⑵函数
g
?
x
?
?x?1?2?x??
2x?3,
?
?1,
?
x?2
1?x?2
值 域，（答案提示
?
?1,1
?
，其图像如图
x?1
⑵所示） 。函数
g
?
x
?
的几何意义：表示在数轴上，到定点1的距离与到定 点2的距离的差。

y
y?x?1?2?x



3

2

1
x


o
1
2
3

图⑴

⑶会根据绝对值的几何意义，求不等式
y
1
y?x?1?2?x
1 2
o
-1
x
图⑵
x?1?2?x?1
、
x?1?2?x?1
的解集。
具体求解不等式的类型及具体的解法，见“第七章 不等式”。