高中数学选修2-2课后习题答案-高中数学竞赛哪部分最难
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x
2
那么
f(x<
br>1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数
.
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；若
f
?
(x)?0，则
f(x)
为减函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x
，都有
f(?x)?f(x)
，则
f(x)
是偶函数； 对于定义域内任意的
x
，都有
f(?x)??f(x)
，则
f(
x)
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x
)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0<
br>?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
4、几种常见函数的导数
①
C
'
?0
；②
(x<
br>n
)
'
?nx
n?1
； ③
(sinx)'
?cosx
；④
(cosx)
'
??sinx
； <
br>⑤
(
a
x
)
'
?
a
x
ln
a
；⑥
(e
x
)
'
?e
x
；
⑦
(log
a
x)
'
?
5、导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
.
（1）
(u?v)?u?v
. （2）
(uv)?uv?uv
.
（3）
()?
2
vv
''''''
1
1
；⑧
(lnx)
'
?
x
xlna
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极
大值；
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?<
br>x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极小值．
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan<
br>?
=
sin
?
.
cos
?
9、正弦、余弦的诱导公式
k
?
?
?<
br>的正弦、余弦，等于
?
的同名函数，前面加上把
?
看成锐角时该
函数的符号；
k
?
?
?
2
?
?
的正弦、余弦，等于
?
的余名函数，前面加上把
?
看成锐角时
该函数的符号。
10、和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
si
n
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?<
br>cos
?
msin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan
?
tan
?
11、二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co
s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c
os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
.
tan2
?
?
1?tan
2
?
1?cos2
?
2cos
2
?
?1?cos2
?
,cos
2
?
?;
2
公式变形：
1
?cos2
?
2sin
2
?
?1?cos2
?
,s
in
2
?
?;
2
12、三角函数的周期
函数
y?
sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A
≠
0，ω＞0)的周期
T?
2
?
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z
(A
,ω,
?
为常数，
2
?
且A≠0，ω＞0)的周期
T
?
?
.
?
13、 函数
y?sin(
?
x?<
br>?
)
的周期、最值、单调区间、图象变换
14、辅助角公式
y?a
sinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
) 其中
tan
?
?
b
a
15、正弦定理?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
16、余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
17、三角形面积公式
111
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222
19、
a
与
b
的数量积(或内积)
20、平面向量的坐标运算
uuuruuuruuur
(1)设A<
br>(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y<
br>2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a?b
=
x
1
x<
br>2
?y
1
y
2
.
(3)设
a
=<
br>(x,y)
，则
a?x
2
?y
2
21、两向量的夹角公式
设
a
=
(x
1
,y1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b?0
，则
22、向量的平行与垂直
ab
?
b?
?
a
?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
.
a?b(a?0)
?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
三、数列
23、数列的通项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{
a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2?L?a
n
).
a
n
?
?
s?s,n?2<
br>?
nn?1
24、等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
25、等差数列其前n项和公式为
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
a
1
n
?q(n?N
*
)
；
q
26、等比数列的通项公式
a
n
?a
1
qn?1
?
27、等比数列前n项的和公式为
?
a
1
(
1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q
?1
,q?1
?
?
1?q
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
.
?
na,q
?1
?
na,q?1
?
1
?
1
五、解析几何
28、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过
点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(<
br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
29、两条直线的平行和垂直
若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
①
l
1
||l
2<
br>?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
; <
br>②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
30、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(
A
(x
1
,y
1
)
，
B
(x
2
,y
2
)
).
31、点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
32、直线与圆的位置关系
直线
A
x?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r<
br>2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长=
2r
2
?d
2
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
六、立体几何
33、证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线
（2）平行四边形（一组对边平行且相等）
34、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条
直线平行）
（2）先证面面平行
35、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理
（一个平面内的两条相交直线分别与另一平
．．．．
面平行）
36、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
37、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）
．．．．
（2
）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交
线的直线垂直另一个平面）
38、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
39、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=2
?
rl
，表面积=
2
?
rl?2
?
r
2
圆椎侧面积=
?
rl
，表面积=
?
rl?
?
r
2
1
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）
.
3
4
球的半径是
R
，则其体积
V?
?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
40、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
41、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
42、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面
垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
43、平均数、方差、标准差的计算
x
1
?x
2
??x
n
1
方差:s
2
?
[(
x
1
?x
)
2
?
(
x
2
?x
)
2
??
(
x
n
?x
)
2
]
n
n
1
标准差
:
s?
[(
x
1
?x
)
2
?
(<
br>x
2
?x
)
2
??
(
x
n
?x
)
2
]
n
平均数:
x?
八、复数
44、复数的除法运算
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
??
. c?di(c?di)(c?di)
c
2
?d
2
22
|
z||a?bi|
a?b
z?a?bi
45、复数的模==.