高中数学必修、知识点归纳及公式大全

必修1数学
知识点

第一章、集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集 合：
N
*
或
N
?
，整数集合：
Z
，有理数 集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子
集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集 合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一般地，由属于集合A且属于集 合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B
.
3、全集、补集？
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集合B中都
n
y?f< br>?
x
?
,x?A
. 有惟一确定的数
f
?
x
?
和它对应，那么就称
f:A?B
为集合A到集合B的一个函数，记作：2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一 致，
则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、 注意函数单调性证明的一般格式：
解：设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
且
x
1
?x2
，则：
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
=…
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么就称函数f
?
x
?
为偶函数.
偶函数图象关于
y
轴对称 .
2、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意 一个
x
，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为奇函数.
奇函数图象关于原点对称.
第二章、基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
当
n
为偶数时，
a?a
.
3、 我们规定：
n
n
n

⑴
a
n
m
?
m
a
n

*
?
a?0,m,n?N
⑵
a
?n
,m?1
；
?
?
1
?
n?0
?
；
n
a
r?s
4、 运算性质：
⑴
aa?a
⑵
a
r
rs
?
a?0,r,s?Q
?
；
??
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
； < br>rr
⑶
?
ab
?
?ab
?
a?0,b?0, r?Q
?
.
r
§2.1.2、指数函数及其性质
1、 记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x

§2.2.1、对数与对数运算
x
1、
a?N?log
a
N?x
；
2、
a
log
a
N
?a
.
3、
log
a
1?0
，
log
a
a?1
.
4、当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴
log
a
?
MN
?
?log
a
M?log
a
N；
⑵
log
a
?
?
M
?
?
?log
a
M?log
a
N
；
N
??
n
⑶
log
a
M?nlog
a
M
.
5、换底公式：
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
6、
log
a
b?
1

log
b
a

?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
§2..2.2、对数函数及其性质
1、 记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?

§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：



第三章、函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 性 质：如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f
?
a
?
? f
?
b
?
?0
，那么，
函数
y?f
?x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f
?
c
?
?0
，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.
必修3数学
知识点
第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、算法的三种基本结构：
顺序结构、选择结构、循环结构
3、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
4、循环结构中常见的两种结构：
当型循环结构、直到型循环结构
5、基本算法语句：

①赋值语句：“=”（有时也用“←”）
②输入输出语句：“INPUT” “PRINT”
③条件语句：
If … Then
…
Else …
End If
④循环语句： “Do”语句
Do
…
Until …
End

“While”语句
While …
…
WEnd
⑹算法案例：辗转相除法—同余思想
第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个 体被抽到的机会（概率）均为
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。
3、总体特征数的估计：
x?x?x
3
???x
n
⑴平均 数：
x?
12
；
n
取值为
x
1
,x2
,?,x
n
的频率分别为
p
1
,p
2
,?,p
n
，则其平均数为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据
x
1
,x
2
,?,x
n

1
方差：
s
2
?
n
n
。
N
?
(x
i?1
n
2
i
?x)
；
标准差：
s?
1
n
?
(x
i?1
n
2
i
?x)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2

2
?
x
i
?nx
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?
注意 ：线性回归直线经过定点
(x,y)
。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：
P(A)?
m
,0?P(A)?1
；
n
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A
发生的概率
P(A)?
m
。
n
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P(A)?
d的测度
；
D的测度
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互斥事件，则称事件A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥，则有：
P(A
1< br>?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
必修4数学
知识点

第一章、三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
l
.
r
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、
?
?
3、弧长 公式：
l?
n
?
R
?
?
R
.
180
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
，那么：
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
y
.
x
22
x
0
?y
0
） 2、 设点
A?
x
0
,y
0
?
为角
?
终边上任意一 点，那么：（设
r?

sin
?
?
y
0
x
y
，
cos
?
?
0
，
tan
?
?
0
.
r
r
x
0
3、
si n
?
，
cos
?
，
tan
?
在四个象限的 符号和三角函数线的画法.
4、 诱导公式一：
sin
?
?
?2 k
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?< br>.
5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270°的三角函数值.
?

sin
?

cos
?

tan
?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
.
2、 商数关系：
tan
?
?
22
?
6

?
4

?
3










sin
?
.
cos
?
§1.3、三角函数的诱导公式
1、 诱导公式二：
s in
?
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.

2、诱导公式三：
sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
3、诱导公式四：
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
,

cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式五：

?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
?
?
?

5、诱导公式六：
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?

?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin?
.
?
2
?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象
1、记住正弦、余弦函数图象：
2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域 、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性.
3、 会用五点法作图.
§1.4.2、正弦、余弦函数的性质
1、 周期函数定义：对于函数< br>f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得当
x
取定 义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期.









§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：

2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
§1. 5、函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象
1、 能够讲出函数
y?sinx
的图象和函数
y?Asin
??
x?
?
?
?b
的图象之间的平移伸缩变换关系.
2、 对于函数：
y?Asin
?
?
x?
?
?< br>?b
?
A?0,
?
?0
?
有：振幅A，周期
T?
2
?
?
，初相
?
，相位
?
x?
?
，频率
f?
1
T
?
2
?
?
.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、 向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），记作
AB
；长度为零的 向量叫做零向量；长度等于1
个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形法则和平行四边形法则.
2、
a?b
≤
a?b
.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数
?
与向量a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
?
a
，它的长度和 方向规定如下：
⑴
?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向 相同；当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果
e
1,e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
，有且只
有一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
??

§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a??
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
⑵
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
⑶
?
a?
?
?x
1
,
?
y
1
?
，
⑷
ab ?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?x
2
,y
2
?
，则：

AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y< br>2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则
?
⑵△ABC的重心坐标为
?
⑴线段AB中点坐标为
x
1
?x
2
2
y
2
，
,
y
1< br>?
2
?
x
1
?x
2
?x
3
3
,
y
1
?y
3
2
?y
3
.
?
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
3、
a?a
.
4、
a?
2
2
a
.
2
5、
a?b?a?b?0
.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

⑵
a?x
1
2
?y
1
2

⑶a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0< br>
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
.
§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
1、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?cos
?
?sin
?
sin
?

2、记住15°的三角函数值：
?

cos
?

sin
?

?
12
tan
?

2?3


6?2
4

6?2
4

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin< br>?
sin
?

2、
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

3、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

4、
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan
?
.
tan
?
?t an
?
5、
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan
?
.
tan
?
?tan
?
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
2< br>sin2
?
.
2、
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
，
变形1：
cos
2
?
?
1?cos2
?
，
2
变形2：
sin
2
?
?
1?cos2
?
.
2
3、
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
2、余弦定理：

a
2
? b
2
?c
2
?2bccosA,
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB,

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.
b
2
?c
2
?a
2
cosA?,
2bc
a
2
?c
2
? b
2
cosB?,

2ac
a
2
?b
2< br>?c
2
cosC?.
2ab
3、三角形面积公式：
S
?ABC
?
111
absinC?bcsinA?acsinB

222
第二章：数列
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
,当n?1时，
?
S
1

a
n
?
?
S?S,当n?1时.
n?1
?
n
2、等差数列：
⑴定 义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
⑵通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d

⑶求和公式：
S
n
?na
1
?
?
a?a
n
?
n
n
?
n?1
?
d?
1
22
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
n?1
⑵通项公式：
a
n
?a
1
q
a
1
?a
n
q
a
1
1?q
n
?
⑶求和公式：
S
n
?

1?q1?q
第三章：不等式
1、
??
当a,b?0时，a?b? 2ab
?
当且仅当a?b时取等号
?

2、
当a,b?R时 ，a
2
?b
2
?2ab
?
当且仅当a?b时取等号
?
2

a
2
?b
2
?
a?b
?< br>3、变形：
ab?
?

?
,ab?
22
??
数学必修1、3、4、5常用公式及结论
必修1
： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法

2、集合间的关系：子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，则称A是B的子集。记作
A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作A
?
B 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
A?B

?
3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
AUB

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
AIB

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
C
U
A

5．集合
{a
1
, a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；
6.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=>
f
(– x

) = –
f
( x

) ，偶函数 <=>
f
(–x

) =
f
( x

)（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数
f
(
x
)，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

①
f
( x
1
) <
f
( x
2
) <=>
f
( x
1
) –
f
( x
2
) < 0 <=>
f
(
x
)是增函数
②
f
( x
1
) >
f
( x
2
) <=>
f
( x
1
) –
f
( x
2
) > 0 <=>
f
(
x
)是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
2
三、二次函数
y
=
ax
+
bx
+
c
（
a?0
）的性质
*
?
b4ac?b
2
?
4ac?b
2
b< br>1、顶点坐标公式：
?
?
?
2a
,
4a
?< br>?
， 对称轴：
x??
2a
，最大（小）值：
4a

??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式
f( x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）
a
?
a
=
a

n
m nm + n
22
，（2）
a?a?a
mnm?n
，（3）(
a
) =
a

n
m n m n
（4）(
ab
) =
a
? b
n
nnn
?
1
1
a
n
?
a
?
m
n
0
?n
m
（5）
??
?
n
（6）a = 1 ( a≠0)（7）
a?
n
（8）
a?a
（9）
a
m
?

n
m
a
b
?
b
?
a
2、根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
?
a,a?0
n
n
n
n
nn
（2）当为奇数时，
a?a
； 当为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?

x
4、指数函数
y
=
a
(
a
> 0且
a
≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）


Y
Y

a
> 1
0 <
a
< 1

1
1
X

0
X
0

5.指数式与对数式的互化：

log
a
N?b?a
b?N
(a?0,a?1,N?0)
.

五、对数与对数函数
1对数的运算法则：
bblog
a
N
（1）
a
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a

a
= 1（4）log
a

a
= b（5）
a
= N
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N （7）log
a
(
M
N
) = log
a
M -- log
a
N
（8）log
N
b
a
= b log
N
a

N
（9）换底公式：log
a

N
=
log
b
loga

b
（10）推论
logn
n
a
m
b?
m
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1,
n?1
,

N?0
).
（11）log
1
a

N
=
log
（12）常用对数：lg N = log
10

N
（13）自然对数：ln A = log
e
A
N
a
2.71828…） 2、对数函数y

= log
a

x (
a
> 0且
a
≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）


Y
a
>1
Y
0 <
a
< 1


0
X
1
1
X

0

六、幂函数y = x
a
的图象:（1） 根据
a
的取值画出函数在第一象限的简图 .


a > 1
0 < a < 1 a < 0




1
例如： y = x
2

y?x?x
2

y?
1
?x
?1
x

七.图象平移：若将函数y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
九、 函数的零点：1.定义：对于
y?f(x)
，把使
f(x)?0
的X叫
y?f(x)
的零点。即

y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函 数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一 条
曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f(c)?0
，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度
?
）
（1）确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,b
?
的中点
x
a?b
1
?
2

（3）计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
) ?0
，则
x
1
就是零点；②若
f(a)?f(x
1
)?0
，则零点
x
0
?
?
a,x
1
?
③若
f( x
1
)?f(b)?0
，则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
；
e = （其中

（4）判断是否达到精确度
?
，若
a?b?
?
，则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否
则重复（2）到（4）
必修3: 第一章 算法初步
1、算法概念：在数学上，现 代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这
些程序或步骤必须是明 确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框

起止框


输入、输出框


处理框
中任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据 需要的算式、公
式等分别写在不同的用以处理数据的处理框
内。

判断框
“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。(结构图请看教材)
4、（ 1）、辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。
（2）、更相减损术。以较大的数减去较小的 数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操
作，直到所得的数相等为止，则这个 数（等数）就是所求的最大公约数。
（3）进位制 ①以k为基数的k进制换算为十进制：

a
n
a
n?1
...a
1
a
0(k)
?a
n
gk?a
n?1
gk
nn?1
名称 功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不
可少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明?La
1
gk
1
?a
0
gk
0

②十进制换算为k进制：除以k取余，倒序排列
第二章 统计 1．
总体和样本：
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一 般从总体中随机抽取一部分：
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2、简 单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同。
（总体个数较少）

3、简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；
4、系统抽 样（等距抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
（总体个数较多）

， ， ，

K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
5、分层抽样：先将总体中 的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在
各个类型或层次中采 用简单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的
样本。先以分 层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
（总体中差异明显）

6、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数
为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。
7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s 为标准差）
x
1
?x2
???x
n
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?L?(x
n
?x)
2
（1）、平均值 ：
x?
（2）、
s?

n
n
8、两个变量的线性相 关（1）、概念:（1）回归直线方程：
y?a?bx

?
???
（ 2）回归系数：
b?
i?1
n
?x
i
y
i
?nxy
i?1
n
?x?nx
2
i
2
，
a ?y?bx

??
（3）．应用直线回归时注意：回归分析前,最好先作出散点图；
第三章 概率
一、概念 1、事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生
⑶概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事
件，则事件A发生的概率
p(A)?
m

n
3、几何概型：⑴特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
构成事件A的区域长度（面积或体积）
⑵几何概型概率计算公式：
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
。
4、若A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；
5、若A∩ B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件A与事
件 B互为对立事件；
二、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于
是有P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件与对 立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包括
三种不同的情 形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同
时 不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形。
必修4 一、
三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
图象

定义域
值域
周期性
奇偶性
增区间[-
R
[-1,1]
2π
奇函数
R
[-1,1]
2π
偶函数
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
( k∈Z )
增区间
(-

{x| x≠

?
+kπ,k∈Z}
2
R
π
奇函数
??
+2kπ,+2kπ]
22
单调性
?
3
?
减区间[+2kπ, +2kπ]
2
2
?
x = + kπ( k∈Z )
对称轴
2
对称中心 ( kπ,0 ) ( k∈Z )
??
+kπ,+kπ)
22
无
( k∈Z )
x = kπ ( k∈Z )
(
??
+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k,0 ) ( k∈Z )
22
sin
?
22
2、同角三角函数公式 sin α+ cos α= 1
tan
?
?
tanαcotα=1
cos
?
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cosα-1 = 1-2 sinα= cosα- sinα
tan2
?
?
2222
2tan
?

1?tan
2
?
4、降幂公式
cos
?
?
2
1?cos2
?
1?cos2
?
2

sin
?
?

22
222
5、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα) 1 + cos2α=2 cosα 1- cos2α= 2 sinα
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcosβ土cosαsinβ cos (α±β) = cosαcosβ干sinαsinβ
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
7、两角和差正切公式的变形：
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
1?tan
?
tan45??tan
?
?
1?tan
?
tan45? ?tan
?
?
== tan (+α) == tan (-α)
1?tan
?
1?tan45?tan
?
41?tan
?
1 ?tan45?tan
?
4
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）

asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin
?
?
?
?
?
（其中
tan
?
?
9、半角公式：
sin
b
） < br>a
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos?

cos??

222
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
??

1?cos
?
1?cos
?
sin
?

tan
?
2
??
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cosα， tan (π－α) = －tanα；
sin (π+α) = －sinα cos (π+α) = －cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π－α) = －sinα cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tanα
sin (－α) = －sinα cos (－α) = cosα tan (－α) = －tanα
???
－α) = cosα cos (－α) = sinα tan (－α) = cotα
222
???
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sinα tan (+α) = －cotα
222
sin (

11.三角函数的周期公式
函数
y ?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω ＞0)的周期
T?
函数
y?tan(
?
x?
?
)< br>，
x?k
?
?
2
?
?
；
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?< br>?
.
?

二、平面向量 （一）、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：（1）向量法：|
a
| =
a?a?a
；
22
2
（2）坐标法：设
a
=（x，y），则|
a
| =
x?y

2、单位向量的计算公式：
?
xy
（1） 与向量
a
=（x，y）同向的单位向量是
?
,
?
x
2
?y
2
x
2
?y
2
?
?
?；
?
?
?
x
（2）与向量
a
=（x，y）反 向的单位向量是
?
?,
22
?
x?y
?
3、平行向 量
?
?
；
?
x
2
?y
2
?< br>?
y
规定：零向量与任一向量平行。设
a
=（x
1
， y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），λ为实数
向量法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<= >
a
=λ
b

坐标法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<=> x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0 <=>
4、垂直向量
规定：零 向量与任一向量垂直。设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
）
向量法：
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0 坐标法：
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
x
1
x
2
（y
1
≠0 ，y
2
≠0）
?
y
1
y
2

5.平面两点间的距离公式
uuuruuuruuur
22

d
A,B
=
|A B|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
)
，B< br>(x
2
,y
2
)
).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2） 坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（ x
2
，y
2
），则
a
+
b
=（x
1
+ x
2
，y
1
+ y
2
）
（三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法： 设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
-
b
=（x
1
- x
2
，y
1
- y
2
）
（3）、重要结论：| |
a
| - |
b
| | ≤ |
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|
（四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos
?
=
a?b
|a||b|

（2）坐标法：设
a
=（x< br>1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2< br>），则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2

（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：
a
·
b
= |
a
| |
b
| cos
?

（2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2

（3） a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
3.平面向量基本定理：如果e
1
、e
2
是同 一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有
且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e2
．不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
（七）.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2< br>)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心 的坐
标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)

33
必修5 一
、解三角形：ΔABC的六个元素A, B, C,
a
, b, c满足下列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B = 60?，∠A +∠C = 120?
2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
sin (
ABCABC
?
) = cos , cos (
?
) = sin
222222
abc
???2R
（R为ΔABC外接圆半径）
sinAsinBsinC
3、边的关系：
a
+ b > c ,
a
– b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）
4、边角关系：（1）正弦定理：

a
: b : c = sinA : sinB : sinC 分体型
a
= 2R sinA ,
b
= 2R sinB
, c
= 2R sinC ,
22 222 2
（2）余弦定理：
a
= b + c – 2bc?cosA ,
b
=
a
+ c – 2
a
c?cosB ,
22 2

c
=
a
+ b – 2
a
b?cosC

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
,
cosB?
,
cosC?

2ab
2bc2ac
5、面积公式：S =
1111
a
h =
a
b sinC = bc sinA =
a
c sinB
2222
二、数列 （一）、等差数列{
a

n
}
1、通项公式：
a

n
=
a

1
+ ( n – 1 ) d ，推广：
a

n
=
a

m
+ ( n – m ) d ( m , n∈N )
2、前n项和公式：
S

n
= n
a

1
+
n(a
1
?a
n
)
1
n ( n – 1 ) d =
2
2
3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则
a

m
+
a

n
=

2
a

p
（等差中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则
a

m
+
a

n
=
a

p
+
a

q
( m , n , p , q∈N )
③
S
n
,
S
2 n
--
S

n
,
S
3 n
– S
2 n
组成等差数列，公差为n d。
n – 1n – m
（二）、等比数列{
a

n
}1、通项公式：
a

n
=
a

1
q ，推广：
a

n
=
a

m
q ( m , n∈N )
2、等比数列的前n项和公式：
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
当q≠1时，
S

n
= =， 当q = 1时，
S

n
= n
a

1

1?q
1?q
3、等比数列的主要性质
2
① 若m + n = 2 p，则
a

p
=
a

m
?
a

n
（等比中项）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，则
a

m
?
a

n
=
a

p
?
a

q
( m , n , p , q∈N )
③
S
n
,
S
2 n
--
S

n
,
S
3 n
– S
2 n
组成等比数列，公比为q。
（三）、一般数列{
a

n
}的通项公式：记
S

n
=
a

1
+
a

2
+ …

+
a

n
，则恒有
a
n
?
?
三、不等式
2 2
（一）、均值定理及其变式（1）
a
, b ∈ R ,
a
+ b ≥ 2 a b
n
S
1
?
n?1
?

??
n?2,n?N
S?S
n?1
?
n
?
?
a?b
?
+ +
（2）
a
, b ∈ R ,
a
+ b ≥ 2
ab
（3）
a
, b ∈ R ,
a
b ≤
??

2
??
2
a?ba
2
?b
2
（4） ，以上当且仅当
a
= b时取“ = ”号。
?ab??
11
22
?
ab
2
2
（二）.一元二次不等式
ax?bx?c? 0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)
，如果
a
与
ax?bx?c< br>同号，则其解
22
集在两根之外；如果
a
与
ax?bx?c< br>异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设
x
1
?x
2

2
(x?x
1
) (x?x
2
)?0?x
1
?x?x
2
；
(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x?x
1
,或x?x< br>2

（三）.含有绝对值的不等式：当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
2
（四）.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?

(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
（五）.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域： 直线定界，特殊点定域。