高中数学l几何精讲视频-四川小学到高中数学
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三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角
?<
br>的终边上任取一点
P(x,y)
,记:
r?
..
正弦:
sin
?
?
正切:
tan
?
?
x
2?y
2
,
yx
余弦:
cos
?
?
rr
x
y
余切:
cot
?
?
y
x
正割:
sec
?
?
r
x
余割:
csc
?
?
r
y
注:
我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,
与单位圆有关的有向线段
MP
、
OM
、
AT
分别叫做角
?
的正弦线、余弦线、<
br>..
正切线。
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
sin<
br>?
?csc
?
?1
,
cos
?
?sec?
?1
,
tan
?
?cot
?
?1
。
商数关系:
tan
?
?
sin
?
cos
?
,
cot
?
?
。
cos
?
sin
?
2222
平方关系:
sin
?
?
cos
??
1
,
1?tan
?
?sec
?
,
1
?cot
2
?
?csc
2
?
。
三、诱导公式 <
br>⑴
?
?2k
?
(k?Z)
、
?
?
、
?
?
?
、
?
?
?
、
2
?
?
?
的三角函数值,
等于
?
的同名函数值,前面加上一个把
?
看成锐角时原函数值的符号。(口
..
诀:函数名不变,符号看象限) <
br>⑵
?
2
?
?
、
?
2
?
?<
br>、
3
?
3
?
?
?
、
?
?<
br>的三角函数值,等于
?
的异名函
22
数值,前面加上一个把
?
看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,
..
符号看象限)
四、和角公式和差角公式
sin(
?
?
?
)?sin?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
-可编辑-
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sin(
?
?
?<
br>)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
?c
os
?
?sin
?
?sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?
tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)?
五、二倍角公式
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
1?tan?
?tan
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?cos
2
?
?sin<
br>2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
…
(?)
tan2
?
?
2tan
?
2
1?tan
?
二倍角的余弦公式
(?)
有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)
1?cos2
?
?2cos
2
?
1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
1?cos2
?
?2sin
2
?
1?sin2<
br>?
?(sin
?
?cos
?
)
2
cos
2
?
?
tan
?
?
1?
cos2
?
2
,
sin
2
?
?
1?sin
2
?
2
,
1?cos2
?
sin2
?
。
?
sin2
?
1?cos2
?
六、万能公式(可以理解为二
倍角公式的另一种形式)
1?tan
2
?
2tan
?
2t
an
?
cos2
?
?
sin2
?
?tan2
?
?
,,。
1?tan
2
?
1?tan
2?
1?tan
2
?
万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正
切来表示。
..
七、和差化积公式
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
2
cos
sin
??
?
2
2
…⑴
sin
?
?sin?
?2cos
?
?
?
2
?
?
?
…⑵
-可编辑-
精品教育
cos
?
?
cos
?
?2cos
?
?
?
2
2
cos<
br>?
?
?
2
…⑶
cos
?
?cos?
??2sin
?
?
?
sin
?
?
?
2
…⑷
了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:
?<
br>?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
sin
?
?sin?
?cos?cossin
?
?sin
2
?
2222<
br>?
2
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?sin
?
?sin
?
??sincos?cossin
?
2
?
2222
?
2
两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?<
br>?
?
cos
?
?cos
?
??coscos?sin
sin
?
2
?
2222
?
2
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?<
br>?
??
?
?
?
cos
?
?cos
?
?cos?sinsin
?
?cos
2
?
2222
?
2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式 <
br>sin
?
?cos
?
?
cos
?
?sin<
br>?
?
cos
?
?cos
?
?
1
?<
br>sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?
2
1
?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?
2
1
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
??
)
?
2
1
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
?
2
sin
?
?sin
?
??
我们可以把积化和差公式看成是
和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式
asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
()
-可编辑-
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其中:角
?
的终边所在的象限与点
(a,b)
所在的象限相同,
sin
?
?
十、正弦定理
b
a
2
?b<
br>2
,
cos
?
?
a
a
2
?b
2
,
tan
?
?
b
。
a
abc
???2R
(
R
为
?ABC
外接圆半径)
sinAsinBsinC
十一、余弦定理
a
?
b
?
c
?
2bc
?
cosA
222
b
?
a
?
c
?
2
ac
?
cosB
222
c
2
?a
2<
br>?b
2
?2ab?cosC
十二、三角形的面积公式
S
?ABC
?
1
?底?高
2
S
?ABC
?
111
ab
sin
C?
bc
sin
A
?
ca
sin
B
(两
边一夹角)
222
abc
(
R
为
?ABC
外接圆半径) 4R
a?b?c
?
r
(
r
为
?ABC
内切圆半径)
2
S
?ABC
?
S
?ABC
?
S
?ABC
?
p(p?
a)(p
?
b)(p
?
c)
…海仑公式(其中
p?
y
sin
?
?cos
?
sin
?
?cos
?
?0
y
a?b?c
)
2
sin
?
?cos
?
o
x?y?0
x
sin
?
?cos
?
A(?2,2)
sin
?
?cos
?
?0
x
o
sin
?
?cos
?
?0
A(?2,2)
x?y?0
-可编辑-
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十三诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数
的值相等
k是整数
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
sec(2kπ+α)=secα
csc(2kπ+α)=cscα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
sin(α-π)=-sinα
cos(α-π)=-cosα
tan(α-π)=tanα
cot(α-π)=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=-cscα
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sec(2π-α)=secα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函
数值之间的关系
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函
数值之间的关系
公式五:
利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到α-π
与α的三角函数值之间的关系
公式六:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角
函数值之间的关系
-可编辑-
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csc(2π-α)=-cscα
公式七:
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关
系
sin(π2+α)=cosα
cos(π2+α)=-sinα
tan(π2+α)=-cotα
cot(π2+α)=-tanα
sec(π2+α)=-cscα
csc(π2+α)=secα
sin(π2-α)=cosα
cos(π2-α)=sinα
tan(π2-α)=cotα
cot(π2-α)=tanα
sec(π2-α)=cscα
csc(π2-α)=secα
sin(3π2+α)=-cosα
cos(3π2+α)=sinα
tan(3π2+α)=-cotα
cot(3π2+α)=-tanα
sec(3π2+α)=cscα
csc(3π2+α)=-secα
sin(3π2-α)=-cosα
cos(3π2-α)=-sinα
tan(3π2-α)=cotα
cot(3π2-α)=tanα
sec(3π2-α)=-cscα
csc(3π2-α)=-secα
下面的公式再记一次,大家:
四、和角公式和差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
sin(
?
?
?
)?sin<
br>?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
??sin
?
?sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?tan
?
-可编辑-
精品教育
tan(
?
?
?
)?
五、二倍角公式
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?t
an
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?<
br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
…
(?)
tan2
?
?
2tan
?
2<
br>1?tan
?
二倍角的余弦公式
(?)
有以下常用变形:(规律:降幂
扩角,升幂缩角)
1?cos2
?
?2cos
2
?
1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
1?cos2
?
?2sin
2
?
1?sin2<
br>?
?(sin
?
?cos
?
)
2
cos
2
?
?
tan
?
?
1?
cos2
?
2
,
sin
2
?
?
1?sin
2
?
2
,
1?cos2
?
sin2
?
。
?
sin2
?
1?cos2
?
-可编辑-