高中数学必修5-必修2公式大全

71.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a?b?2ab< br>(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
333?
22
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
； < br>（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
推广 已知
x,y?R
，则有
(x?y)?(x?y)?2xy

（1）若 积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
22
73.一元二次不等式
ax?bx?c?0( 或?0)(a?0,??b?4ac?0)
，如果
a
与
1
2
s
.
4
22
ax
2
?bx?c
同号，则其解集在 两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号，则其解集在两 根之
间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x2
)
；
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x< br>1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
).
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.

75.无理不等式
（1）
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)??
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)? 0
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x) ?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
（2）
（3）
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
77.斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式 < br>y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y< br>2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(4)截距式
xy
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab

（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2< br>:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2
B
2
C
2< br>②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
80.夹角公式
(1)< br>tan
?
?|
k
2
?k
1
|
. < br>1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1< br>x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
(2)
tan
?
?|
A
1
B
2
?A
2
B
1
|
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1
y ?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
81.
l
1
到
l
2
的角公式
(1)
tan
?
?
?
.
2
k
2
?k
1
.
1?k
2
k< br>1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，< br>l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1< br>k
2
??1
)
(2)
tan
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
.
A1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1< br>:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是
?
.
2

82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经 过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程 为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0
(x0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)? B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2) 共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点
的直线系方程为
(A
1< br>x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x ?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中 λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变 动时，表示平行直线系
方程．与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
)，λ是参
变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
83.点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B?0，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的 区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的 区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
1< br>x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
?0
），则
(A
1
x?B
1y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是：
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分；

(A
1
x? B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C< br>2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
（3）圆的参数方程
?
22
222
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
87. 圆系方程
(1 )过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2,y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
[(x? x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)( x
1
?x
2
)]?0

?(x?x
1
)( x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?(ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c?0
是直线
AB
的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
22x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C) ?0
,λ是待定的系数．
2222
(3) 过圆
C
1
:< br>x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆< br>C
2
:
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点
2222
的圆系方程是
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系
数．
88.点与圆的位置关系
点
P(x
0
,y
0
)< br>与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点< br>P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;

d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条， 其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
? ?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的
22

x
0
x?y
0
y?
切点弦方程．
②过圆外一点的 切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条 件求k，这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切 线方程为
y?kx?r1?k
2
.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．

uuuruuur
u uuruuuruuur
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
ruuuruuur
uuur
uuu
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD< br>不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实数对
x,y
,使
p?ax?by
．
uuuruuuruuur
推论 空间一点P位于平面MAB内的
?
存在有 序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB
，
uuuruuuur uuuruuur
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OP?OM? xMA?yMB
.
uuuruuuruuuruuur
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
（
x? y?z?k
），则当
k?1
时，对于空间任一点
O
，总有P、A、B 、C四点共面；当
k?1
时，若
O?
平面ABC，则P、A、B、C四点共面 ；若
O?
平面ABC，则P、A、B、C四点不
共面．
r
uuuruuuruuur
uuuruuur
uuu
A、B、 C、D
四点共面
?
AD
与
AB
、
AC
共 面
?
AD?xAB?yAC
?

uuuruuuruuuruuur
OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O?
平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存 在一个唯一的有序实数组x，
y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实
uuuruuuruuuruuur数x，y，z，使
OP?xOA?yOB?zOC
.
121.射影公式
uuur
'
已知向量
AB
=a和轴
l
，e是
l< br>上与
l
同方向的单位向量.作A点在
l
上的射影
A
， 作B
点在
l
上的射影
B
，则
'
uuur
AB?|AB|cos
〈a，e〉=a·e
''
122.向量的直角坐标运算
设a＝
(a
1
,a2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2,b
3
)
则
(1)a＋b＝
(a
1
?b1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(2)a－b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；