高中数学书封皮-高中数学2016全国一卷
高中数学常用公式
第一部分集合
1.理解集合中
元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还
.....
是因变量的
取值?还是曲线上的点?…
2 .数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、
直角坐标系或韦
....
恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数
形结合的思想
方法解决
(3)集合
{a
1
,a
2
,
个;
非空真子集有
2
n
–2个.
4.
?
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个;真子集有
2
n
–1个;非空子集有
2
n
–1
第二部分 函数与导数
1.映射:注意:
①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一.
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法
;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元
法 ;
a?b
⑥利用均值不等式
ab??
2
离、
a
2
?b
2
; ⑦利用
数形结合或几何意义(斜率、距
2
绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(
a
、
sinx
、
cosx
等);⑨平方法;⑩ 导数法
3.复合函数的有关问题:
(1)复合函数定义域求法:
①
若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤
b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求
f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的
值域.
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为
基本函数:内函数
u?g(x)
与外函数
y?f(u)
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性:
x
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
...
.
⑵
f(x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
;
f(x
)
是偶函数
?f(?x)?f(x)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义,则
f(0)?0
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性
6.函数的单调性:
⑴单调性的定义:
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
;
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
;
⑵单调性的判定:①定义法:一般要将
式子
f(x
1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形
式,
以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性:
(1)周期性的定义
:对定义域内的任意
x
,若有
f(x?T)?f(x)
(其中
T<
br>为非零常数),
则称函数
f(x)
为周期函数,
T
为它的一个
周期。所有正周期中最小的称为函数的
最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期:①
y?sinx:T?2
?
;②
y?cosx:T?2
?
;
③
y?tanx:T?
?
;
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?<
br>(3)与周期有关的结论:
?
2
?
;⑤
y?tan
?
x:T?
|
?
|
|<
br>?
|
f(x?a)?f(x?a)
或
f(x?2a)?f(x)(a?
0)
?
f(x)
的周期为
2a
8.基本初等函数的图像与性质:
x
㈠.⑴指数函数:
y?a(a?0,a
?1)
;⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
;
⑶幂函数:
y?x
(
?
?R)
;⑷正弦函数:
y?sinx
;⑸余弦函数:
y?cosx
;
(
6)正切函数:
y?tanx
;⑺一元二次函数:
ax?bx?c?0
(a≠
0);⑻其它常用函
数:
① 正比例函数:
y?kx(k?0)
;②反比例
函数:
y?
2
?
ka
③函数
y?x?(a?0)
(k?0)
;
xx
㈡.⑴分数指数幂:
a
m
n
?a
;
a
n
m
?
m
n
?
1
a
m
n
(以上
a?0,m,n?N
,且
n?1
).
?
b
⑵.①
a?N?log
a
N?b
;
②
log
a
?
MN
?
?log
a
M?lo
g
a
N
;
Mn
?log
a
M?log
a
N
; ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑶.对数的换底公式:
log<
br>a
N?
.对数恒等式:
a
a
?N
.
log
m
a
③
log
a
9.二次函数:
2
⑴解析式:①一般式:
f(x)?ax?bx?c
;②顶点式:
f(x)?
a(x?h)?k
,
(h,k)
为
2
顶点;
③零点式:<
br>f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(a≠0).
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
二次函数y?ax?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
2
b
,顶点坐
标是
2a
?
b4ac?b
2
?
?
?
?2a
,
4a
?
?
。
??
10.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ)
y?f(x)?y?f(x?a)
,(a?0)
———左“+”右“-”;
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“-”; <
br>??
y??f(?x)
;ⅱ)
y?f(x)
???
y??f(
x)
; ②
对称变换:ⅰ)
y?f(x)
??
?
x?f(y)
; ⅲ)
y?f(x)
???
y?f(?x)
;
ⅳ)
y?f(x)
???
③ 翻折变换:
ⅰ)
y?f(x)?y?
f(|x|)
———(去左翻右)y轴右不动,右向左翻(
f(x)
在
y左侧图
象去掉);
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
———(留上
翻下)x轴上不动,下向上翻(|
f(x)
|在
x
下面
无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明:
(1)证明函数
y?f(x)
图像
的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)
的对称点仍在图像上;
x?0y?x
(0,0)
y?0
(2)证明函数
y?f(x)
与<
br>y?g(x)
图象的对称性,即证明
y?f(x)
图象上任意点关
于对
称中心(对称轴)的对称点在
y?g(x)
的图象上,反之亦然。
注*:①曲线C<
br>1
:f(x,y)=0关于原点(0,0)的对称曲线C
2
方程为:f(-x,
-y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C
2
方程为:f(-x, y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线
y=0的对称曲线C
2
方程为:f(x, -y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C
2
方程为:f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b-x)
(x∈R)
?
y=f(x)图像关于直线x=
a?b
对称;
2
特别地:f(a+x)=f(a-x)
(x∈R)
?
y=f(x)图像关于直线x=a对称.
③
y?f(x)的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
特别地:
y?
f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f
?
a?
x
?
??f
?
a?x
?
.
④函数
y?f
(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
函数
y?f(a?x)
与函数
y?f(a?x)
的图象
关于直线
x?0
对称。
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求
f(x)?0
的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 ,
则y=f(x)在(a,b)内至少有
一个零点。
13.导数:
⑴导数定义:f
(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f<
br>?
(x
0
)?lim
n?1
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
'
'
⑵常见函数的导数公式: ①
C
?0
;②
(x)?nx
x'x
n'
;③
(sinx)?cosx
;<
br>'x'x
'
④
(cosx)??sinx
;⑤
(a)?aln
a
;⑥
(e)?e
;⑦
(log
a
x)?
1
;
xlna
⑧
(lnx)?
'
1
。
x
u
v
u
?
v?uv
?
;
v
2
⑶导数的四则运算法则:
(u?v)
?
?u
?
?v
?
;(uv)
?
?u
?
v?uv
?
;()
?
?
(4)导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点
的切线?
②利用导数判断函数单调性:i)
f
?
(x)?0?f(x)
是增函
数;ii)
f
?
(x)?0?f(x)
为减函数;iii)
f
?
(x)?0?f(x)
为常数;
③利用导数求极值:ⅰ)求导数
f<
br>?
(x)
;ⅱ)求方程
f
?
(x)?0
的根;ⅲ)列
表得极值。
④利用导数求最大值与最小值:ⅰ)求极值;ⅱ)求区间端点值(如果有);ⅲ)比较
得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换
与解三角形
1.⑴角度制与弧
度制的互化:
?
弧度
?180
,
1?
⑵弧长公式:
l?
?
R
;扇形面积公式:
S?
?
?
?
1
80
弧度,
1
弧度
?(
180
?
)
??57
?
18
'
11
lR?
?
R
2
。
22
2.三角函数
定义:角
?
终边上任一点(非原点)P
(x,y)
,设
|OP|?r
则:
sin
?
?
yx
y
,cos
?
?,
tan
?
?
rr
x
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;(简记为“全s
t c”)
4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”
5.⑴
y?Asin(
?
x?
?
)
对称
轴:令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
,
得
x??;
对称中心:
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
;
?
⑵
y?Acos(
?
x?
?
)
对称轴:令
?
x?
?
?k
?
,得
x?
k
?
?
k
?
?
?
?
;对称中心:
?
2
?
?
(
?
,0)(k?Z)
;
⑶周
期公式:①函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及
y?
Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
为常数, 且A≠0).②函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
的周期
T?
6.同角三角函数的基本关系:
sin
2
x?cos<
br>2
x?1;
7.三角函数的单调区间及对称性:
⑴
y?sinx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
2
?
? (A、ω、
?
?
(A、ω、
?
为常数,且A≠0).
?
sinx
?tanx
cosx
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
k?Z
,单调递减区间
为
?
2
?
?
3
?
?
?
?
2k
?
?,2k
?
?k?Z
,对称轴为
x?k
?
?(k?Z)
,对称中心为
?
22
?
2
??
?
k
?
,0
?
(k?Z)
.
⑵
y?c
osx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
?
,2k?
?
k?Z
,单调递减区间为
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
k?Z
,
对称轴为
x?k?
(k?Z)
,对称中心为
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?
(k?Z)
.
2
?
p>
⑶
y?tanx
的单调递增区间为
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
??
k?Z
,对称中心为
2
?
?
k
?
?
,0
?
?
k?Z
?
.
?
2
??
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
①
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?
tan
?
.
1tan
?
tan
?
2222
②
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?<
br>)?sin
?
?sin
?
;
cos(
?
?<
br>?
)cos(
?
?
?
)?cos
?
?sin
?
③
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
所在的象
限
决定,
tan
?
?
b
).
a
2
9.二倍角公式:①
sin2
?
?2sin
?
cos
?<
br>.
(sin
?
?cos
?
)?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
②
cos2
??cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2si
n
?
(升幂公式).
2222
cos
2
?
?
10.正、余弦定理:
⑴
正弦定理:
1?cos2
?
1?cos2
?
(降幂公式).
,sin
2
?
?
22
abc
)
???2R
(
2R
是
?ABC
外接圆直径
s
inAsinBsinC
注:①
a:b:c?sinA:sinB:sinC
;②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
;
③
abca?b?c
。
???
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
222
b
2
?c
2
?a
2
⑵余弦定理:
a?b?
c?2bccosA
等三个;
cosA?
等三个。
2bc
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
(
h<
br>a
、h
b
、h
c
分别表示
222
111a、b、c边上的高);②
S?absinC?bcsinA?casinB
.③
222
1
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)
2
?(OA
?OB)
2
2
11.几个公式:⑴三角形面积公式:①
S?
⑵内切圆半径r=
2S
?ABC
;
外接圆直径2R=
a?b?c
abc
??;
sinAsinBsinC
第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:⑴画三视
图要求:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;
侧视图与俯视图宽相等。
⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:
①表面积:S=S
侧
+2S
底
;②侧面积:S
侧
=
2
?
rh
;③体积:V=S
底
h
⑵锥体:①表面积:S
=S
侧
+S
底
;②侧面积:S
侧
=
?
rl
;③体积:V=
'
1
S
底
h:
3
⑶台体
:①表面积:S=S
侧
+
S
上底
?
S
下底
;②侧面积:S
侧
=
?
(r?r)l
;③体积:V=
(S+
SS
'
?S
'
)h;
⑷球体:①表面积:S=
4
?
R
;②体积:V=
?
R
.
2
1
3
4
3
3
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行
?
线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义----两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:以上理科还可用向量法。
4.求角:(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴异面直线所成角的求法:
①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②用向量法
5.求距离:(步骤-------Ⅰ.找或作垂线段;Ⅱ.求距离)
点到平面的距离:①等体积法;②向量法
6.结论:
⑴棱锥的平行截面的性质如
果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,
截面面积与底面面积的比等于顶点到截面
距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对
应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等
于对应边的比的平方);相应小
棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. <
br>⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为
a
2
?
b
2
?c
2
全面积为2ab+2bc+2ca,体积V=abc。
23
⑶正方体的棱长为a,则体对角线长为
3a
,全面积为
6a
,体
积V=
a
。
,
⑷球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,
正方体的棱切球的直径
是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
⑷正四面体的性质:设棱长为
a
,则正四面体的:
① 高:
h?<
br>6266
a
;
a
;
a
;
a
。②对棱
间距离:③内切球半径:④外接球半径:
32124
第五部分
直线与圆
1.斜率公式:
k?
y
2
?y<
br>1
,其中
P
1
(x
1
,y
1
)、
P
2
(x
2
,y
2
)
.
x
2
?x
1
直线的方向向量
v?
?
a,b
?
,则直线的斜率为
k
=
2.直线方程的五种形式:
b
(a?0)
.
a
(1)点斜式:
y?y
1?k(x?x
1
)
(直线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)
,且斜率为
k
).
(
2)斜截式:
y?kx?b
(
b
为直线
l
在
y轴上的截距).
(3)两点式:
(4)截距式:
y?y
1
x?
x
1
?
(
P
1
(x
1
,y
1)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
??1
(其中
a
、
b
分别为直线在
x
轴、
y
轴上的截距,且
a?0,b?0
).
ab
(5)一般式:
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3.两条直线的位置关系:
(1)若
l
1
:y?k
1x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
,则:
①
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
,
b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
?
?1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1<
br>y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,则:
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1<
br>?0
且
A
1
C
2
?A
2
C
1
?0
;②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
4.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
5.两个公式:
⑴点P(x
0,
y
0
)到直线Ax+By
+C=0的距离:
d?
Ax
0
?By
0
?C
;
A
2
?B
2
⑵两条平行线Ax+By+C
1
=0与
Ax+By+C
2
=0的距离
d?
6.圆的方程:
C
1
?C
2
A?B
22
222
⑴标准方程:①
(x?a)?(y?b)?r
;②
x?y?r
。
222
⑵一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F?0)
注:Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C≠0且B=0且D+E-4AF>0
7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。
8.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:(
d
表示点到圆心的距离)
①
d?R?点在圆上;②
d?R?
点在圆内;③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:(
d
表示圆心到直线的距离)
①
d?R?
相切;②
d?R?
相交;③
d?R?
相离。
22222222
⑶圆与圆的位置关系:(
d
表示圆心距,
R,r
表示两
圆半径,且
R?r
)
①
d?R?r?
相离;②
d?R?r
?
外切;③
R?r?d?R?r?
相交;
④
d?R?r?
内切;⑤
0?d?R?r?
内含。
9.直线与圆相交所得弦长
|AB|?2r
2
?d
2
第六部分 圆锥曲线
1.定义:⑴椭圆:
|MF
1|?|MF
2
|?2a,(2a?|F
1
F
2
|);
⑵双曲线:
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,
(2a?|F
1
F
2
|)
; ⑶抛物线:|MF|=d
2.结论 :⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
A
B?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y2
)
2
,或
AB?x
1
?x
2
1?k
2
,
AB?y
1
?y
2
1?
1
k
2
.
AB
=x
2b
2
注:①抛物线:
1
+x
2
+p;②通径(最短弦):ⅰ)椭圆、双曲线:
a
;ⅱ)
抛物线:2p. <
br>⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:
mx
2
?ny
2
?
1
(
m,n
同时大于0时表示
椭圆;
mn?0
时表示
双曲线);当点
P
与椭圆短轴顶点重合时
?F
1
PF
2最大;
⑶双曲线中的结论:
①双曲线
x
2
y
2<
br>x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>0)的渐近线:
a
2
?
b
2
?0<
br>;
②共渐进线
y??
b
a
x
的双曲线标准方程可
设为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?
?
(
?
为参数,
?
≠ 0);
③双曲线为等轴双曲线
?
e?2?
渐近线互相垂直;
⑷焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3.直线与圆锥曲线问题解法:
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:①联
立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程?②直线斜率不
存在
时
考虑了吗?③判别式验证了吗?
⑵设而不求(点差法-----
代点作差法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点A(x
y
1,y
1
)、B(x
2
,y
2
);②作差得
k<
br>y
1
?
2
AB
?
x?x
???
;③
解决问题。
12
4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接
法(列等式);
(3)代入法(又称相关点法或坐标转移法);⑷待定系数法;(5)消参法;(6)交
轨
法;(7)几何法。
第七部分 平面向量
或
1.
平面上两点间的距离公式:
d
A,B
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
,其中A
(x
1
,
y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
.
22
2.向量的平行与垂直: 设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,且
b
?
0
,则:
①
a
∥
b
?
b
=λ
a
?x
1
y
2
?x<
br>2
y
1
?0
;
②
a
?
b
(
a
?
0
)
?
a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1<
br>y
2
?0
.
3.a·b=|a||b|cos=x
1
x
2
+y
1
y
2
;
⑵双曲线:<
br>||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
; ⑶抛物线:|MF|=d
2.结论 :⑴直线与圆锥曲线相
交的弦长公式:若弦端点为
A
(x
1
,y
1
),B(x2
,y
2
)
,则
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
,或
AB?x
1
?x
2
1?k
2
,
AB?y
1
?y
2
1?
1
k
2
.
注:①抛物线:
AB
=x:ⅰ)椭圆、双曲线:
2b
2
1<
br>+x
2
+p;②通径(最短弦)
a
;ⅱ)
抛物线:2p. <
br>⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:
mx
2
?ny
2
?
1
(
m,n
同时大于0时表示
椭圆;
mn?0
时表示
双曲线);当点
P
与椭圆短轴顶点重合时
?F
1
PF
2最大;
⑶双曲线中的结论:
①双曲线
x
2
?
y<
br>2
(a>0,b>0)的渐近线:
x
2
y
2
a
22
?1
a
2
?
b
2
?0
;
b
②共渐进线
y??
b
a
的双曲线标准方程可设为
2x
x
a
2
?
y
2
2
?
?(
?
为参数,
?
≠ 0);
b
③双曲线为等轴双曲线
?
e?2?
渐近线互相垂直;
⑷焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3.直线与圆锥曲线问题解法:
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:①联
立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程?②直线斜率不
存在
时
考虑了吗?③判别式验证了吗?
⑵设而不求(点差法-----
代点作差法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点A(x
y
1,y
1
)、B(x
2
,y
2
);②作差得
k<
br>y
1
?
2
AB
?
x
???
;③解决
问题。
1
?x
2
4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (
2)直接法(列等式);
(3)代入法(又称相关点法或坐标转移法);⑷待定系数法;(5)消参法;
(6)交轨
法;(7)几何法。
或
5.三点共线的充要条件:P,A
,B三点共线
?
OP?xOA?yOB且x?y?1
。
第八部分
数列
1.定义:
(1)等差数列{a
n
}?a
n?1
?
a
n
?d(d为常数,n?N
?
)?a
n
?a
n?
1
?d(n?2)
?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2,n?N*)?a
n
?kn?b?S
n
?An
2<
br>?Bn
⑵等比数列
{a
n
}?
a
n?1
?q(q?0)?a
2
n
?a
n-1
?a
n?1<
br>(n?2,n?N
?
a
)
n
2.等差、等比数列性质:
等差数列
等比数列
通项公式
a1)d
a
n?1
n
?a
1
?(n?
n
?a
1
q
?na
1
;
前n项和
S
n(a
1.q?1时,S
n
1
?a
n
)
2
?na
?
n(n?1)
n
?
2
d
n
1
2.q?1时,S?
a
1
(1?q)
n
1?q
?
a
1
?a
n
q
1?q
性质 ①a
n-m
n
=a
m
+ (n-m)d,
①a
n
=a
m
q;
②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q
③
S
k
,S
2k?S
k
,S
3k
?S
2k
,?
成AP ③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?
S
2k
,?
成GP
④
aa
q'?q<
br>m
k
,a
k?m
,
k?2m
,?
成AP,<
br>d'?md
④
a
k
,a
k?m
,a
k?
2m
,?
成GP,
3.常见数列通项的求法:
⑴定义法(利用AP,GP
的定义);⑵累加法(
a
n
?1
?a
n
?c
n型);⑶公式法:
a
S
1
n
=
S
n
-S
n-1
⑷累乘法(
a
n?1
a
?c
n
型);⑸待定系数法(
a
n?1
?ka
n<
br>?b
型)转化为
n
a
n?1
?x?k(a
n
?x)
(6)间接法(例如:
a
n?1
?a
n
?
4a
n
a
n?1
?
1
a
?
1
?4
);(7)(理科)数学归纳
n
a
n?1
法。
4.前
n
项和的求法:⑴分组求和法;⑵错位相减法;⑶裂项法。
5.等差数列前n项和最值的求法:
(n=1)
(n≥2)
⑴
S
n
最大值
?
?
a
n
?0
?
?
a?0
?
?
或S
n<
br>最小值
?
n
?
;⑵利用二次函数的图象与性质。
??<
br>?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
第九部分 不等式
a?ba
2
?b
2
1.均值不等式:
ab??(a,b?0
)
22
a?b
2
a
2
?b
2
)
?(a,b?R)
。 注意:①一正二定三相等;②变形:
ab?(
22
2.
极值定理:已知
x,y
都是正数,则有:
(1)如果积
xy
是定值
p
,那么当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
;
(2)如果和
x?y
是定值
s
,那么当
x?y
时积
xy
有最大值
2
1
2
s
.
43.解一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
:若
a?0
,则对
于解集不是全集或空集时,对
应的
解集为“大两边,小中间”.如:当
x
1
?x
2
,
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0?x
1
?x?x
2
;
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0?x?x
2
或x?
x
1
.
4.含有绝对值的不等式:当
a?0
时,有:①
x
?a?x
2
?a
2
??a?x?a
;
22
②
x?a?x?a?x?a
或
x??a
.
5*.分式不等式: <
br>(1)
(3)
f
?
x
?
f
?
x?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
; (2)
?0?f
?
x
?
?g
?<
br>x
?
?0
;
g
?
x
?
g
?
x
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
?
f
?
x
?
?g
?<
br>x
?
?0
f
?
x
?
f
?
x
?
; (4).
?0?
?
?0?
?
g
?
x
?
g
?
x
?
?
g
?
x
?
?0
?
g
?
x
?
?0
?<
br>f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a
f
(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
6*.指数不等式与对数不等式
(1)
当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
(2)当<
br>0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)
?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x
)?g(x)
?
3.不等式的性质:
⑴
a?b?b?a
;⑵
a?b,b?c?a?c
;⑶
a?b?a?c?b?c
;
a?b,c?d<
br>
?a?c?b?d
;⑷
a?b,c?0?ac?bd
;
a?
b,c?0?ac?bc
;
a?b?0,
c?d?0
?ac?bd
;⑸
a?b?0?a
n
?b
n
?0(n?N
?
)
;⑹
a?b?0?
n
a?
n
b(n?
N
?
)
第十部分 复数
1.概念:
2
⑴z=a+bi∈R
?
b=0
(a,b∈R)
?
z=
z
?
z≥
0;⑵z=a+bi是虚数
?
b≠
0(a,b∈R);
2
⑶z=a+bi是纯虚数
?
a=0且b≠
0(a,b∈R)
?
z+
z
=0(z≠ 0)
?
z<0;
⑷a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d∈R),则:
(1) z z
2
=
(a + b) ± (c + d)i;⑵ z
1
.z
2
=
(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;
1
±
⑶
z
1
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(z≠ 0)
?
ac
=
2
?
2
i
222
z
2
(c?di)(c?di)
c?dc?d
1?i
1?i
?i;??i;
1?i1?i
3.几个重要的结论:
22
2222
2
(1)z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?2(z
1
?z
2
);(2)z?z?z?z
;
⑶
(1?i)??2i
;⑷
⑸
i
性质:T=4;
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?
3
??i
;
i
4n
?i
4n?1
?i
4?
2
?i
4n?3
?0;
4*.模的性质:⑴
|z
1
z
2
|?|z
1
||z
2
|
;⑵
|
2
z
1
|z|
|?
1
;⑶
|z
n
|?|z|
n
。
z
2
|z
2
|5.实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
的解:
?b?b
2<
br>?4ac
2
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2<
br>?
;②若
??b?4ac?0
,则
2a
b
x
1
?x
2
??
;
2a
2
③若
??b?4
ac?0
,它在实数集
R
内没有实数根;在复数集
C
内有且仅有两个
共轭复
2
数
?b??(b
2
?4ac)i
2
根<
br>x?(b?4ac?0)
.
2a
第十一部分 概率
1.事件的关系:
⑴事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作
A?B
;
⑵事件A与事件B相等:若
A?B,B?A
,则事件A与B相等,记作A=B; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作
A?B
(或
A
?B
);
⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作
A?B
(或
AB
) ;
⑸事件A与事件B互斥:若
A?B
为不
可能事件(
A?B?
?
),则事件A与互斥;
⑹对立事件:
A?B
为不可能事件,
A?B
为必然事件,则A与B互为对立事件。
2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型:
P(A)?
A包含的基本事件的个数
;
基本事件的总数
构成事件A的区域长度(面积或体积等)
试验的全部结果构
成的区域长度(面积或体积等)
⑶几何概型:
P(A)?
第十二部分
统计与统计案例
1.抽样方法:
⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容
量
为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
注:①每个个体被抽到的概率为
n
;
N
②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。
⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,
从
每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。
注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④
按预
先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情
况,
将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。
注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
n
N
注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2.频
率分布直方图与茎叶图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率
分布直方图。⑵当数据是
两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效
数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效
数字,它的中间部分像植物的茎,两边
像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。
3.总体特征数的估计:
n
⑴样本平均数
x?
1
(x1
?x
2
?????x
n
)?
1
?
x
i
;
nn
i?1
n
⑵样本方差
S
2?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x
)
2
?????(x
n
?x)
2
]
?
1<
br>?
(x
i
?x)
2
;
n
n
i?
1
n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)2
]
=
1
(x?x)
2
?
in
n
i?1
3.相关系数(判定两个变量线性相关性):
2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型:
P(A)?
A包含的基本事件的个数
;
基本事件的总数
构成事件A的区域长度(面积或体积等)
;
试验的全部结
果构成的区域长度(面积或体积等)
n
⑶几何概型:
P(A)?
n
⑴
样本平均数
x?
1
(x
1
?x
2
?????xn
)?
1
?
x
i
;
n
i?1
n
⑵样本方差
S
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?
x)
2
]
?
1
?
(x
i
?x)
2
;
n
n
i?1
n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2?????(x
n
?x)
2
]
=
1
(x?x)
2
?
i
n
n
i?1
3.相关系数(判
定两个变量线性相关性):
r?
?
?
x?x
??
y?y<
br>?
ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn
?
2
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
(
?
x
i
2
?nx
2
)(
?
yi
2
?ny
2
)
i?1i?1
nn
注:⑴
r
>0时,变量
x,y
正相关;
r
<0时,变量
x,y
负相关;⑵当
|r|
越接近于1,
两个变量的线性相关性越强;当
|r|
越接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相
关关系。
4. 回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
??
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
y?a
?bx
,其中
?
22
x?xx?nx
??
??
ii
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
第十三部分 算法初步
1.程序框图:
⑴图形符号:
①
终端框(起止框);② 输入、输出框;
③
处理框(执行框);④ 判断框;⑤ 流程线 ;
⑵程序框图分类:
①顺序结构: ②条件结构:
③循环结构:
r =0?
否 求n除以i的余数
输入n
是
n不是质数 n是质数
i=i+1
i=2
i
?
n或r=0?
否
是
注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while型) ——先判断条件,再执行循环体;
Ⅱ.直到型(until型)——先执行一次循环体,再判断条件。
2.基本算法语句:
⑴输入语句 INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式
赋值语句: 变量=表达式
条件语句:①
②
IF 条件THEN IF条件
THEN
语句体
语句体1
END IF
ELSE
语句体2
END IF
⑶循环语句:①当型: ②直到型:
WHILE条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP
UNTIL 条件
第十四部分 常用逻辑用语与推理
证明
1.充要条件的判断:
(1)定义法----正、反方向推理
注意区分:“甲是乙
的充分条件(甲
?
乙)”与“甲的充分条件是乙(乙
?
甲)”
(2
)利用集合间的包含关系:例如:若
A?B
,则A是B的充分条件或B是A的必要
条件
;若A=B,则A是B的充要条件。
2.逻辑联结词:
⑴且(and) :命题形式
p
?
q; p q p
?
q
p
?
q
?
p
⑵或(or): 命题形式
p
?
q; 真 真 真 真 假
⑶非(not):命题形式
?
p . 真 假 假
真 假
假
真 假 真 真
假 假 假 假 真
3.四种命题的相互关系
原命题
互逆 逆命题
⑵
若p则q
若q则p
互 互
互 为 为
互
否 否
逆
逆
否 否
否命题
逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
4。四种命题:
⑴原命题:若p则q; ⑵逆命题:若q则p;
⑶否命题:若
?
p则
?
q;
⑷逆否命题:若
?
q则
?
p
注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
5.全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用
?
表示;
全称命题p:
?x?M,p(x)
;
全称命题p的否定
?
p:
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用
?
表示;
特称命题p:
?x?M,p(x)
;
6.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
,
成立
对任何
x
,
不成立
特称命题p的否定
?
p:
?x?M,?p(x)
;
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
存在某
x
,
不成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有(
n?1
)个
至少有(
n?1
)个
?p
且
?q
存在某
x
,
成立
p
且
q
?p
或
?q
第十五部分 推理与证明
1.推理:
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据
已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进
行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合
情推理。
①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:由两类对象具有类似和其
中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具
有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。
注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提
---------已知的一般结论;⑵小前
提---------所研究的特殊情况; ⑶结论
---------根据一般原理,对特殊情况得出的判
断。
2.证明:
⑴直接证明 ①综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系
列的
推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫
顺推法或由因导果法
。
②分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把
要
证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证
明的方法叫分析
法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
(2)间接证明(反证法):一般地,假设原命题不成立,经
过正确的推理,最后得出矛盾,
因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法
。
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