高中数学立体几何公式大全

立体几何公式大全
一、空间向量的基础公式：

数量积
向量式
rrrr
a?b?a?bcos
?

坐标式
=
x
1
x
2
?y
1
y< br>2
?z
1
z
2

=
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
=0
rr
a?b

rrrr
ab
（
b?0
）
rr
a?b?0

rr
a?
?
b
（
?
?0,方向相同
； < br>=
(x
1
,y
1
,z
1
)
=
?
(x
2
,y
2
,z
2
)

?
?0,方向相反
）
r
模
a

rrrr
夹角
?
（
a?0
，
b?0
）
二、求角和距离公式：
求异面直线a与b
所成角
?
：
求直线a与平面
?
所成角
?
：
即：
x
1
?
?
x
2
，
y
1
?
?
y
2
，
z
1
?
?
z
2

=
x
1
?y
1
?z
1

=
222
rr
2
a?a

rr
a?b
cos
?
?
rr

a?bx
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z
2
1
2
1
2
1< br>x
2
?y
2
?z
2
222

rr
KP115例1
a?b
x
1
x
2
? y
1
y
2
?z
1
z
2

JP60例3
cos
?
?
rr
?
222222< br>a?b
x
1
?y
1
?z
1
x
2?y
2
?z
2
rr
KP125例1
a?n
r
sin
?
?
rr
（
n
表示平面
?
的法向量）
a?n
二面角
?
?l?
?
的大小
?
:
ur
uur
JP69例3(2)
设
?
1
为平面< br>?
的法向量
n
1
与平面
?
的法向量
n
2
KP127例2（2）
uruur
n
1
?n
2
的夹角：则
cos
?
1
?
uruur
：求二面角
?
步骤：
n
1
?n
2
一、瞄：瞄一下看二面角
?
是锐角还是钝角；二、
ur
求：先求平面
?
的法向量
n1
与平面
?
的法向
uruur
ur
uuuurr
n
1
?n
2
量
n
2
，而后用
cos?
1
?
uruur
求出
n
1
与
n< br>2
n
1
?n
2
的夹角
?
1
；三、定 ：同锐相等：若
?
是锐角，
?
1
也是锐角，则
?
?
?
1
；同钝相等：若
?
是锐
角，
?
1也是锐角，则
?
?
?
1
；锐钝互补：若
?
.< br>是锐角，
?
1
也是锐角，则
?
?180?
?
1


.

点P到平面
?
的距离d:
注：
1、直线
l
平面
?
，求直线
l
与平面
?
的距离 d:只要在
l
上取一点P仍然用此公式；
2、平面
?
平面
?
，求平面
?
与平面
?
的距离 d:只要在平
面
?
上取一点P仍然用此公
式；

三、求法向量步骤：
uuurr
AP?n
d?
r

n
注：点A为平面
?
上的任意
JP71例2
r
一点，
n
为平面
?
的法向量
r
r
（1） 设法向量
n?(x,y,z)
，利用法向量
n
与平面上的两相交直线方向向量垂直数量
积为0建立两个方程；
r
（2） 求出x等于多少z, y等于多少z;并令z=1进而求出x,y,从而得到法向量
n
；
r
或者求出x等于多少y, z等于多少y;并令y=1进而求出x,z,从而得到法向量
n
；
r
或者求出y等于多少x, z等于多少x;并令x=1进而求出y,z,从而得到法向量
n
；
r
（3） 把所求的法向量
n
代入方程组检验！
r
四、法向量
n
的在证明题中用处:
rr
l?平面
?
且l?n
?
l平面
?
：参见JP65例2 (1) 线面平行：
（证明线面平行问题只要转成去求线的向量与法向量数量积为0即可）
uruur
(2) 面面平行：
n
1
n
2
?
平面
?
平面
?
：参见JP65例2
（证明面面平行问题只要转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可）
rrr
(3) 线面垂直：
ln?l?平面
?
：
（证明线面垂直问题只要转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可）
uruur
(4) 面面垂直：
n
1
?n
2
?平面
?
?平面
?
：参见JP65例3
（证明面面垂直问题只要转成去求两法向量数量积为0即可）

.