高中数学必修1-5公式大全_

必修2：
一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tanα=
y
2
?y
1
（α ≠ 90°，x
1
≠x
2
）
x
2
?x
1
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y – y
0
= k ( x – x
0
) ，k存在；
（3）两点式
y?y
1
x?x
1
xy
?
（
x
1
?x
2
,y1
?y
2
） ；4）截距式
??1
（
a?0,b?0
）
y
2
?y
1
x
2
?x
1
ab
（5）一般式
Ax?By?c?0 (A,B不同时为0）

3、两条直线的
位置关系：





4、两点间距离公式：设P
1
( x
1
, y
1
) 、P
2
( x
2
, y
2
)，则 | P
1
P
2
| =
5、点P ( x
0
, y
0
)到直线l

：A

x + B y + C = 0的距离：
d?
7、圆的方程

标准方程
圆的方程
x
2
+ y
2
= r
2

(x – a )
2
+ ( y – b )
2
= r
2

x
2
+ y
2
+D x + E y + F = 0
圆心
（0，0）
（a，b）
半径
r
r
平行
垂直
k
1
= k
2
且b
1
≠ b
2

k
1
k
2
= – 1
重合

l
1
：y = k
1
x + b
1

l
2
：y = k
2
x + b
2

k
1
= k
2
且b
1
= b
2

l
1
： A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
l
2
： A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
A
1
BC
?
1
?
1

A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1

??
A
2
B
2
C
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
?
x< br>1
?x
2
?
2
?
?
y
1
? y
2
?
2

2
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2

一般方程
?
DE
?
?
?,?
?

?
22
?
1
D
2
?E
2
?4F

2
8.点与圆的位置关系
222
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种若
d?(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
， 则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相 离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
1

10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条， 其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
? ?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切点弦方程．
22

x
0
x?y
0
y?
②过圆外一点的 切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条 件求k，这时必有两条切线，注
意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y< br>0
y?r
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k

二、立体几何 （一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
2

2
222
2

（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（七）．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
（八）．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
（九）．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
（十）．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理；
（十一）．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2） 转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直 线垂直于另一个平行平面；
P
（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
三、空间几何体
A C
（一）、正三棱锥的性质
D
O
B
1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a，则有

图形 外接圆半径 内切圆半径 面积

A
正三角形

O
OA?
3
3
3
a

OD?
6
a

S?
3
2
4
a


B
D

3

2、正三棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABC于O，则O为△ABC的中心，PO为棱锥的高，
取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为△ABC的AB边上的高，
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90°
（二）、正四棱锥的性质
1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a，则有

正方形

B
P
图形

O
A
外接圆半径 内切圆半径 面积
S = a
2

D
C
O
A
B
E
2
OB =
a


2
a
OA =
2
2、正四棱锥的辅助线作法一般是： 作PO⊥底面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，PO为棱锥
的高，取AB的中点E，连结P E、OE、OA，则PE为四棱锥的斜高，点O在AC上。∴△POE和△POA
都是直角三角形，且∠ POE =∠POA = 90°
（三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为
3
a 。
（四）、正方体与球
1、设正方体的棱长为a，它的外接球半径为R
1
，它 的内切球半径为R
2
，则
3a?2R
1
,
a?2R
2

（五）几何体的表面积体积计算公式
1、圆柱: 表面积:2π
R
+2πRh 体积:πR?h
2、圆锥: 表面积:πR?+πRL 体积: πR?h3 (L为母线长)
22
D
O
C
1

B
2
A
1

D
A
C
B
3、圆台：表面积:
?
r?
?
R?
?
(r?R)l
体积：V＝πh(R?＋Rr＋r?)3
4、球：S
球面
= 4πR
2
V
球
=
4
πR
3
（其中R为球的半径）
3
5、正方体： a－边长， S＝6a? ，V＝a?
6、长方体 a－长 ,b－宽 ,c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
7、棱柱：全面积=侧面积+2X底面积 V＝Sh
8、棱锥：全面积=侧面积+底面积 V＝Sh3
9、棱台：全面积=侧面积+上底面积+下底面积
V?
1
(s
1
?s
1
?s
2
?s)
2
h

3
4

四、三视图 1.投影：把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
把在一束平行光线照射下形成的投影，称为 平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分
为斜投影和正投影两种。
2 、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图(也叫主视图)；光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图；光线从几何体的左面向右面正投
影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)
3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
必修3: 第一章 算法初步
1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常 是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，
这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在 有限步之内完成.
2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框

起止框


输入、输出框


处理框


判断框

不成立时标明“否”或“N”。
3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。(结构图请看教材)
4、（ 1）、辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除
法 ，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。
（2）、更相减损术。以较大的数减去较小的 数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续
这个操作，直到所得的数相等为止，则这个 数（等数）就是所求的最大公约数。
（3）进位制 ①以k为基数的k进制换算为十进制：
不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；
入、输出的位置。
赋 值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中 任何需要输
名称 功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
k?a
n?1
?k

a
n
a
n?1
...a
1
a
0(k)
?a
n< br>?
nn?1
??a
1
?k
1
?a
0
?k
0

②十进制换算为k进制：除以k取余，倒序排列
5

第二章 统计 1．
总体和样本：
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称 为样本容量．
2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全 随机地抽取调查单
位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同。
（总体个数较少）

3、简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；
4、系统抽 样（等距抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽
取样本。 第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
（总体个数较多）

K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
5、分层抽样：先将总体中的所有单位按照 某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后
再在各个类型或层次中采用简单随机抽样 或系统抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来
构成总体的样本。先以分层变量将总体划 分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
（总体
， ， ，
中差异明显）

6、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②
个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。
7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s 为标准差）
（1）、平均值：
x?
x
1
?x
2
?
?
?x
n

n
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2< br>?
?
?(x
n
?x)
2
（2）、
s?

n
8、两个变量的线性相关（1）、概念:（1）回归直线方程：
y?a?bx< br>
?
???
（2）回归系数：
b?
i?1
n
?x
i
y
i
?nxy
i?1
n
?x
i2
?nx
2
，
a?y?bx

??
（3）．应用直线回归时注意：回归分析前,最好先作出散点图；
6

第三章 概率
一、概念 1、事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生
⑶概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事
件，则事件A发生的概率
p(A)?
m

n
3、几何概型：⑴特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
构成事件A的区域长度（面积或体积）
⑵几何概型概率计算公式：
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
。
4、若A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；
5、若A∩ B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件
A与事件 B互为对立事件；
二、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于
是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与 联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具
体包括三种不同的情形：（1）事件 A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件
A与事件B同时不发生，而对立 事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事
件A发生B不发生；（2）事件 B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形。
五、解析几何
29、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式 < br>y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2< br>)(
P
?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
7

(4)截距式
x
a
?
y
b< br>?1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
30、两条直线的平行和垂直
若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>
①
l
1
||l
2
?k
1
?k2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
31、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
2< br>?x
1
)?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
32、点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2
(点P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax? By?C?0
).
33、 圆的三种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
（3）圆的参数方程
?
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
.
34、直线与圆的位置关系
直线
Ax?B y?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
. 弦长=
2r
2
?d
2

其中
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
.
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
x
2
y< br>2
椭圆：
ab
?1(a?b?0)
，
a
2
? c
2
?b
2
，离心率
e?
c
?
x?aco s
?
2
?
2
a
?1
，参数方程是
?
.
?
y?bsin
?
8

x
2
y
2
c
b
双曲线：
2
?
2
?1
(a>0,b>0)，
c
2
?a
2
?b
2
，离心率
e??1
，渐近线方程是
y??x
.
a
aba
抛物线：
y?2px
，焦点
(
2
p
p
,0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
2
2
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
xy
xy
b
(2)若渐近线 方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?< br>2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，
abab
焦点在y轴上） .

37、抛物线
y?2px
的焦半径公式
2
22
p
.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）
2
pp
38、过抛物线焦点的弦长
AB?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
抛物线
y ?2px(p?0)
焦半径
|PF|?x
0
?
2
六、立体几 何
39、证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等）
40、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2）先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）
．．．．
42、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
43、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）
．．．．
（2 ）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
9

44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
2
?
rl
，表面积=
2
?
rl?2
?
r
2< br>
圆椎侧面积=
?
rl
，表面积=
?
rl?
?
r
2

1
V
柱体
?Sh
（
S< br>是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
1
V
锥体< br>?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
3
4
球的半径是
R
，则其体积
V?
?
R
3< br>,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
平均数:
x?
x
1
?
x
2
??
x
n
1
方差:
s
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]

n
n
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2??(x
n
?x)
2
]

n
标准差:
s?
50、回归直线方程
n
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
??
i?1
?
b??
n
?
2
y?a?bx
，其中
?
?
x
i
?x
?
?
?
i ?1
?
?
a?y?bx
?
xy?nxy
ii
i?1
n
n
?
x
i?1
2
i
?nx
2< br>.
n(ac?bd)
2
K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b? d)
51、独立性检验
2
52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状 图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗
．．．．．．．．．
漏）

10